2014年6月教学导航
例谈用向量法解立体几何教学的“误区”
筅湖北省宜昌市二中筅浙江省象山县第二中学
向量法的最大优势就是让学生摆脱空间中令人眼花缭乱的点、线、面位置关系的干扰，直接通过向量运算“轻松”解决立体几何问题.正是基于这样的天然优势，向量法越来越受到师生的青睐，并且也逐步成为当前高“主流”方法.或许正是受向量的强大功能的诱考应试的
惑，许多教师在立体几何教学中没能“Hold”住，从而使得用向量法解立体几何问题教学走向歧途.
二部分被安排在选修2-1的第三章“空间向量与立体几，一般是在高二进行教学，主要介绍向量法在立体几何”
何中的应用.作为高一期末考试，本不应该出现向量法的影子.事后，笔者才得知，有两所学校已经提前向学生传授了向量法.
虽然向量法功能强大，但对于如此基础的题目，用“杀鸡用了牛刀”.本题第一问面面垂直的向量法显然是
证明，用传统综合法寥寥数语就可以搞定；第二问中二面角的平面角在图形中已经作好，只需指明并求出即可.若用向量法，先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，再列方程组求法向量，最后利用向量的数量积证明垂直或求出夹角，方法、思路尽管简单，但运算量显然比较大.相比综合法，孰优孰劣一目了然.但学生为什么还要选择向量法呢？这就是过早引入向量法的后果.
姜伯驹院士就曾经指出：“平面几何之招人恨，在于它能透视出思维的品质（包括洞察力和说服力），靠死记作为平面几何升级版的立体几何，恐硬背不容易过关.”
怕更加招学生“恨”.你可以想象，要在平面图形中找到立体的感觉，并且还要梳理点、线、面之间错综复杂的位
一、过早介入向量法，导致学生思维懈怠
许多教师认为传统立体几何教学不仅费时费力，而且教学成效无法得到迅速体现，因此在教学中有意识地简化传统立体几何的教学过程，压缩立体几何传统方——综合法的教学时间，迫不及待地向学生抛出“神法—
通广大”的“向量法”.如此急功近利的做法，在应付考试时确实能起到立竿见影的效果，但随之产生的副作用却不容小觑.
案例1：如图1，在棱长为1的正
方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是BD的中点.
（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面C1OC；
（Ⅱ）求二面角C1－BD－C的正切值.
.立体几何难置关系，这对学生的思维是多大的挑战“
学，难于上青天”恐怕是多数学生的心声.在这样的现实背景下，教师一旦抛出向量法，这种可以摆脱空间图形干扰的方法，尤其是对于处于立体几何学习初期的学生，对立体几何的认识还处于似懂非懂、心烦意乱的阶段，必然会被学生当成“救命稻草”一把抓去，而传统“艰涩”的综合法必然被学生抛弃，这也就意味着传统立体几何的学习前功尽弃.因此，也就不难理解，学生一见到立体几何题，必然条件反射式地采用向量法，不管是垂直、平行的证明，还是空间角的求解；也不管方法是否合适，运算是否烦琐，在学生心中传统的综合法太伤脑筋了，向量法才是唯一的选择.懒得思考，懒得抉择，这实际上就是思维懈怠的表现.向量法的过早介入导致了学生思
上题是宁波市年度高一下数学期末考试试卷上的题.在阅卷的过程中，笔者发现有相当数量的学生采用了向量法，甚至包括第一问面面垂直的证明，即先建立空间直角坐标系，然后通过坐标运算解得答案.
众所周知，高中阶段立体几何被分成了两部分，分别在两个阶段进行教学.以人教A版为例，立体几何的第一部分被安排在必修2的第一章“空间几何体”和第二章“点、直线、平面之间的位置关系”，一般是在高一进行教学，主要向学生传授立体几何的传统方法，即综合法；第
教学导航2014年6月
维的懈怠，这实在是得不偿失啊.同，而且适用的问题也不同.传统的综合法一般适用于平行、垂直等空间关系的证明，它的优点是推理严谨、简洁明了；而向量法往往适用于空间角度、距离的求解，它的优点是化繁为简、操作容易.不仅如此，向量法还可以细分为建系（坐标法）和非建系两种方法，坐标法操作程序固定，但运算烦琐；非建系向量法的思维层次高于坐“化腐朽为神奇”的效果.标法，若使用得当往往能起到既然方法这么多，那么教会学生选择合适的方法才是学好立体几何的关键.但很多教师迫于课时和应试的压力，忽视了这个环节的教学，而是把立体几何的解决方法固定在某个方法或者某个操作流程上，让学生生搬硬套，从而导致学生思维混乱.
案例3：（2013年高考重庆理）如
二、过度强调坐标法，导致学生思维僵化
在利用向量法解立体几何问题时，坐标法因思路简操作容易成为了师生的“宠儿”，“建系—求坐标—运单、
算法”似乎成了当前高考解立体几何问题的标准解答流程.因此，不少教师无视其他方法的存在，却只把坐标法当成了“万能钥匙”，让学生埋头“苦练”.这样做的直接后果就是导致学生解题思维的僵化，立体几何学习陷入死胡同.
案例2：（2013年高考湖南理）
如图2，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3.
（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
图3，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面
ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=
，F为PC的中点，AF⊥PB.A3
这是笔者最近观摩的一堂县级公开课上的一个例题.教师先让学生尝试解答.学生的表现令人非常满意，几乎所有的学生都解出了正确答案.但笔者却高兴不起千篇一律地都采用了坐来.因为纵观所有学生的解法，
标法，甚至包括第一问垂直关系的证明，多数学生也是通过坐标运算得到的.垂直、平行几何关系的证明用得着坐标运算吗？坐标法操作机械，没有过深的思维成分恐怕是学生选择它的唯一理由.第二问即便采用了坐标法，实际上还是有优化的余地.平面ACD1的法向量其实不必重新列方程求解，由第一问可得B1D⊥平面ACD1，
B1D就是平面ACD的一个法向量，只需求出向量因此1
（Ⅰ）求PA的长；
）求二面角B-AF-D的正弦值.（Ⅱ
解本题的第一问“求PA的长”，最快捷的方法却是F=AP+AC）PB，向量法，并且是非建系的方法.因为A
A+AB，FPB=AP+AC）A+AB）P+=P则1A··（P=-A1111ACAB）P+|AC||AB|cos∠BAC·=－A）=0，解得AP=
本题第二问求二面角的大小，一般是采用向量法.但涉及求空间点的坐标和两个平面的法向量，运算量显然比较大，学生容易算错.若注意到本题图形的特殊性，采用传A统的综合法就快捷多了.由于△ABF和△ADF全等，过点B作AF的垂线，
1111B没有一个学生注意1C1和B1D的夹角就行了.但很遗憾，到这点，教师最后也没做任何补充.由此可见，学生根本没有根据具体的题目选择恰当的方法，而是毫不犹豫地套用坐标法，一味地希望通过“建系—埋头运算”的固定程式解决灵活多变的立体几何问题.学生之所以出现上述情况，这恐怕和教师平时过分强调坐标法密切相关.实际上坐标法并不是万能的，若遇到难以建系的几何体，坐标法恐怕就要“失灵”了；还有坐标运算相对烦琐，一步算错，全盘输.试想：一个只会通过建立坐标系来解决立体几何题的学生，他对于知识的理解是不是单一了一点儿？学生的解题思维是否过于僵化了？
垂足为G，然后连接DG，如图4所示，显然DG⊥AF，则∠BGD就是所求二面角的平面角，而在△BDG中利用余弦定理就很容易求出∠BGD的余弦值的大小.
由此可见，学生若没有选择解题方法的能力，遇见类似的“有违常理”的题目很可能会不知所措，会不可避免地出现思维混乱.因此不管是综合法，还是向量法，学会选择才能更好地应用.
向量法虽强，但它并不是万能的，我们在教学中应该遵循教学规律和学生的认知规律，循序渐进，步步为营，最后实现融会贯通，灵活运用.WG
三、忽视方法的选择，导致学生思维混乱
综合法重在空间想象、思辨论证，而向量法则重在代数运算，它们不仅在分析问题的视角上不程序建构、
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& 高三数学[人教版]各题型解法：平面向量与解析几何
来源：高考网整理
　　平面向量与解析几何
　　在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就&平面向量&解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
　　一、知识整合
　　平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的&双重身份&，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
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