扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 下载作业帮安装包 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 1,从 1,2,3,4,.,2007中取N个不同的数,取出的数中任意三个的和能被15整除,求N的最大值.2.甲乙两船在静水的速度同为每小时30千米.一次甲乙两船分别同时从A,B两码头相向而行,到达某C点后立即返回.结果乙比甲先到C点0.5小时.当乙返回B码头1.5小时后,甲才返回A码头.已知A在B的上游,水速为2千米/小时.求AB的距离. 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 1,2,3,4,…,2007中取N个不同的数,N个取出的数中任意三个的和能被15整除,由于15=5*3,因此这N个数必须保证每个都能被5整除,且除以5的商除以3的余数都相同所以1,2,3,4,…,2007中能被5整除的数有.4,即是401个这401个数除以5的商中,除以3的余数只有0,1,2三种情况,则每种情况有数401/3=133.7显然这种数最多有134个,有两组,还有一组是133个,那么1,2,3,4,…,2007中取N个不同的数,取出的数中任意三个的和能被15整除的数的个数就是134,这些数是除以15余5或者10 的一组数,而每个都能被15整除的数一共有133个所以N最大为134 1、设乙总共走了T小时,那么甲走了T+1.5小时,设AB距离为S.因为开始甲是顺水,速度是30+2=32,乙是逆水,速度是30-2=28,回来刚好相反.但他们一去一回平均速度还是30,则S=30(T+1.5)+30T=60T+45.(1)2、又设：甲到达C点的时间为t1,速度是32,那么乙到达C点的时间为t1-0.5,速度是28；又设乙回来的时间为t1,速度是32,那么甲花的时间是t2+1.5,速度是28.所以有方程：32t1+28(t1-0.5)=28(t2+1.5)+32t2,整理后,得：60（t1+t2)=56.(2),t1+t2=14/15,因为t1+t2=T,所以T=14/15,代入（1）得：S=101千米 请问第一题，为何不能用 2007直接除以15？ 如果这样做的话，N值最大只能取133个了。 想法很好，而且可以实行，答案正确。3.8 ≈134 但是我也能力有限，不能解决你的问题哦！抱歉！ 为您推荐： 其他类似问题 扫描下载二维码该问题被发起重新开启投票 投票剩余时间： 之前被关闭原因： 该问题被发起删除投票 投票剩余时间： 距离悬赏到期还有： 参与关闭投票者： 关闭原因： 该问题已经被锁定 锁定原因：（） 保护原因：避免来自新用户不合宜或无意义的致谢、跟帖答案。 该问题已成功删除，仅对您可见，其他人不能够查看。 最笨的法，穷举。。。问题可看作把1-9 9个数字重新排列，然后对重新排列后的数，取第1，2，3个组合为第一个数字，取第4，5，6个为第二个数字，第7，8，9个为第三个数字，然后验证比值是否为1:2:3。排列过程就是个全排列吧。 复习了一下全排列，得出了结果：192, 384, 576219, 438, 657273, 546, 819327, 654, 981 从网上找的一个全排列算法基础上修改的，C语言，通过GCC编译。 #include &stdio.h& void Swap(char *a, char *b) { char temp = *a; *b = } void check(int num1, int num2, int num3){ if(num1*2 == num2 && num1*3 == num3) printf("%d , %d , %d\n", num1, num2, num3); }}int getNum(char *a){ int tmp=0; tmp = (*a++ - '0')*100; tmp += (*a++ - '0')*10; tmp += *a -'0';}void Perm(char list[], int k, int m) { if (k == m) { check(getNum(list), getNum(list+3), getNum(list+6)); for (i=k; i &= i++) { Swap (list+k, list+i); Perm (list, k+1, m); Swap (list+k, list+i); } } int main() { char s[]=""; Perm(s, 0, 8); return 0; } 这个可以这样来做。设三个三位数从大到小分别是abc，def，hij，则有hij2=def hij3=abc由于所有的字母只能取1-9，且不重复，那么由上面的结论可以得出：1.由hij2=def知，def一定是偶数，所以f只能取值2,4,6,8中的一个; 2.由于f不能取0，所以j不能取5; 3.由于hij3=abc，则h3不能超过10，所以h只能取值1,2,3中的一个，而且如果h=3，则a=9，且i3不能有进位，则在这种情况下i只能取值1,2(h=3,比3大的都会进位)综上，算法可以这样设计：1.由于最大的数是987，而987/3=329，而最小的数是123，所以，外层循环hij可以从123到369取值，跳过每10个数中j=5的那个数(上述结论2，一次剪枝)。2.计算hij2获得def的值，这时候可以通过判断是否有重复数字而判断是否舍弃(二次剪枝)，因为f只能取值2,4,6,8，所以很容易会在hij和def之间产生重复，从而避免一些额外的计算。 3.计算hij3获得abc的值，然后再次判断。一般来说，前两步已经去掉了一些不可能的情况，所以这一步的计算会减少许多，这样也可以适当的提高效率。 我也疑问，难道这问题只能用穷举吗？应该有数学公式的吧？ for (var j = 123; j & 330; j++) { (function(e) { var f = e * 2; var g = e * 3; var t = e.toString()+f+g if (!t.match(/0/g)) { var reg = /(?:^|)(\w{1}).*\1/g; if (!reg.test(t)) { console.log(e+","+e*2+","+e*3) /* gcc 编译*/#include &stdio.h&#include &string.h&void count_digits(int n, int * num) { while (n != 0) { num[n%10]++; /* get the last digit, and count it */ n /= 10; /* it will be truncated */ }}void main() { int num[10]; for (i = 123; i &= 329; i++) { memset((void *)num, 0, sizeof(num)); count_digits(i, num); count_digits(i*2, num); count_digits(i*3, num); /* make sure all digits appear exactly one time */ for (j = 1; j & 10 && 1 == num[j]; j++); /* find an answer */ if (j == 10) printf("%d %d %d\n", i, i*2, i*3); 不是您所需，查看更多相关问题与答案 德问是一个专业的编程问答社区，请 后再提交答案 没有相关问题 关注该问题的人 共被浏览 (10714) 次扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 下载作业帮安装包 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 满足被5除余3,被6除余1,被7除余2的最小的自然数是（）? 扫二维码下载作业帮 拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录 3*126+1*175+2*120=793 5 6 7的最小公倍数为210就是说每210个数字里就有一个能满足被5除余3,被6除余1,被7除余2.那么最小的就是793-210*3=793-630=163解释一下3*126+1*175+2*120=793 3是除以5的余数126是6和7的公倍数中除以5余1的最小的一个1是除以6的余数175是5和7的公倍数中除以6余1的最小的一个2是除以7的余数120是5和6的公倍数中除以7余1的最小的一个如不懂可以发消息给我. 为您推荐： 其他类似问题 8 13 18 23 28 33 38 33……………………就这样试下去就可以了 没有更好的办法了我试到80多了 还没试出来 5*6=3030除以7余2即除7余2的较小数为305*7=3535除6余5即除6余1的较小数为35*5=175（35*2除6余4 35*3除6余3。。。）6*7=4242除5余2即除5余3的较小数为42*4=168故 168+175+30=373一定满足 被5除余3，被6除余1，被7除余2 但不是最小
> 小学数学奥数基础教程(三年级)目30讲全1 小学奥数基础教程（三年级）-1-小学奥数基础教程 （三年级）第 1 讲 加减法的巧算 第 2 讲 横式数字谜(一) 第 3 讲 竖式数字谜(一) 第 4 讲 竖式数字谜(二) 第 5 讲 找规律(一) 第 6 讲 找规律(二) 第 7 讲 加减法应用题 第 8 讲 乘除法应用题 第 9 讲 平均数 第 10 讲 植树问题 第 11 讲 巧数图形 第 12 讲 巧求周长 第 13 讲 火柴棍游戏(一) 第 14 讲 火柴棍游戏(二) 第 15 讲 趣题巧解 第 16 讲 数阵图(一) 第 17 讲 数阵图(二) 第 18 讲 能被 2， 整除的数的特 5 征 第 19 讲 能被 3 整除的数的特征 第 20 讲 乘、除法的运算律和性 质 第 21 讲 乘法中的巧算 第 22 讲 横式数字谜(二) 第 23 讲 竖式数字谜(三) 第 24 讲 和倍应用题 第 25 讲 差倍应用题 第 26 讲 和差应用题 第 27 讲 巧用矩形面积公式 第 28 讲 一笔画(一) 第 29 讲 一笔画(二) 第 30 讲 包含与排除小学奥数基础教程（三年级）2小学奥数基础教程（三年级） 第 2 讲 横式数字谜(一) 在一个数学式子(横式或竖式)中擦去部分数字，或用字 母、文字来代替部分数字的不完整的算式或竖式，叫做 数字谜题目。解数字谜题就是求出这些被擦去的数或用 字母、文字代替的数的数值。 例如，求算式 324+□=528 中□所代表的数。 根据“加数=和-另一个加数”知， □=582-324＝258。 又如，求右竖式中字母 A，B 所代表的数字。显然个位数 相减时必须借位，所以，由 12-B＝5 知，B＝12-5＝7； 由 A-1＝3 知，A＝3＋1＝4。 解数字谜问题既能增强数字运用能力，又能加深对 运算的理解， 还是培养和提高分析问题能力的有效方法。 这一讲介绍简单的算式(横式)数字谜的解法。 解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则： (1)一个加数+另一个加数=和； (2)被减数-减数=差； (3)被乘数×乘数=积； (4)被除数÷除数=商。 由它们推演还可以得到以下运算规则： 由(1)，得 和-一个加数=另一个加数； 其次，要熟悉数字运算和拆分。例如，8 可用加法 拆分为 8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4； 24 可用乘法拆分为 24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(两个数之积) =1×2×12＝2×2×6=?(三个数之积) =1×2×2×6＝2×2×2×3=?(四个数之积) 例 1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？ (1)□+5＝13-6； (2)28-○＝15＋7； (3)3×△=54； (4)☆÷3＝87； (5)56÷*＝7。 解：(1)由加法运算规则知，□=13-6-5＝2； (2)由减法运算规则知，○＝28-(15＋7)＝6； (3)由乘法运算规则知，△＝54÷3＝18； (4)由除法运算规则知，☆=87×3＝261； (5)由除法运算规则知，*＝56÷7＝8。 例 2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+□+□=48； (2)○＋○＋6＝21-○； (3)5×△-18÷6＝12； (4)6×3-45÷☆＝13。 解：(1)□表示一个数，根据乘法的意义知， □+□+□=□×3， 故□=48÷3＝16。 (2)先把左端(○＋○＋6)看成一个数，就有 (○＋○＋6)＋○＝21， ○×3＝21-6， ○＝15÷3＝5。 (3)把 5×△，18÷6 分别看成一个数，得到 5×△=12＋18÷6， 5×△=15， △=15÷5＝3。 (4)把 6×3，45÷☆分别看成一个数，得到 45÷☆＝6×3-13， 45÷☆＝5， ☆＝45÷5＝9。 例 3(1)满足 58＜12×□＜71 的整数□等于几？-3-(2)180 是由哪四个不同的且大于 1 的数字相乘得到的？ 试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。 180=□×□×□×□。 (3)若数□，△满足 □×△=48 和□÷△=3， 则□，△各等于多少？ 分析与解：(1)因为 58÷12＝4??10，71÷12＝5??11， 并且□为整数，所以，只有□=5 才满足原式。 (2)拆分 180 为四个整数的乘积有很多种方法，如 180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝? 但拆分成四个“大于 1”的数字的乘积，范围就缩 小了，如 180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝? 若再限制拆分成四个“不同的”数字的乘积，范围 又缩小了。按从小到大的次序排列只有下面一种： 180＝2×3×5×6。 所以填的四个数字依次为 2，3，5，6。 (3)首先，由□÷△=3 知，□＞△，因此，在把 48 拆分 为两数的乘积时，有 48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6， 其中，只有 48＝12×4 中，12÷4=3，因此 □=12，△=4。 这道题还可以这样解：由□÷△=3 知，□=△×3。 把□×△=48 中的□换成△×3，就有 (△×3)×△＝48， 于是得到△×△=48÷3＝16。因为 16＝4×4，所以 △=4。再把□=△×3 中的△换成 4，就有 □=△×3=4×3=12。 这是一种“代换”的思想，它在今后的数学学习中 应用十分广泛。 下面，我们再结合例题讲一类“填运算符号”问题。 例 4 在等号左端的两个数中间添加上运算符号， 使下列 各式成立： (1)4 4 4 4＝24； (2)5 5 5 5 5=6。小学奥数基础教程（三年级） 解：(1)因为 4＋4＋4＋4＜24，所以必须填一个“×”。 4×4＝16，剩下的两个 4 只需凑成 8，因此，有如下一 些填法： 4×4＋4＋4＝24； 4＋4×4＋4＝24； 4＋4＋4×4＝24。 (2)因为 5+1=6，等号左端有五个 5，除一个 5 外，另外 四个 5 凑成 1，至少要有一个“÷”，有如下填法： 5÷5+5-5+5＝6； 5＋5÷5＋5-5＝6； 5＋5×5÷5÷5=6； 5＋5÷5×5÷5＝6。 由例 4 看出，填运算符号的问题一般会有多个解。 这些填法都是通过对问题的综合观察、分析和试算得到 的，如果只是盲目地“试算”，那么就可能走很多弯路。 例 5 在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成 立： 8 2 3＝3 3。 分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法： 3+3＝6； 3-3＝0； 3×3＝9； 3÷3=1。 再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数 3，所以 要想得到奇数，3 的前面只能填“＋”或“-”，要想得 到偶数，3 的前面只能填“×”。经试算，只有两种符 合题意的填法： 8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。 填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是 培养分析能力的好内容。 练习 2 1.在下列各式中，□分别代表什么数？ □+16＝35； 47-□=12； □-3＝15； 4×□=36； □÷4=15； 84÷□=4。 2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (□+350)÷3=200； (54-○)×4＝0； 360-△×7＝10； 4×9-☆÷5=1。 3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？ 150-□-□=□； ○×○＝○＋○； △×9＋2×△=22。 4.120 是由哪四个不同的一位数字相乘得到的？试 把这四个数字按从小到大的次序填在下式的□里： 120＝□ ×□×□×□。 5.若数□，△同时满足 □×△=36 和□-△=5， 则□，△各等于多少？ 6.在两数中间添加运算符号，使下列等式成立： (1)5 5 5 5 5＝3； (2)1 2 3 4＝1。 和： 成立： 12□4□4=10□3。-4-7.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式8.在下列各式的□内填上合适的运算符号，使等式 成立： 123□45□67□89＝100； 123□45□67□8□9＝100； 123□4□5□67□89＝100； 123□4□5□6□7□8□9＝100； 12□3□4□5□67□8□9＝100； 1□23□4□56□7□8□9＝100； 12□3□4□5□6□7□89＝100。 答案与提示 练习 2 1.略。 2.□= 250，○=54，△= 50，☆=175。 3.□=50，○=0 或 2，△= 2。 4.1×3×5×8 或 1×4×5×6 或 2×3×4×5。 5.□=9，△=4。 6.(1)5-5÷5-5÷5= 3；(2)1×2＋3-4=1。 7.12÷4＋4=10-3 或 12＋4÷4=10＋3。 8.123-45-67＋89＝100； 123 ＋ 45－ 67＋ 8－ 9＝ 100； 123＋4－5＋67－89＝100； 123－4－5－6－7＋8－9＝100； 12＋3－4＋5＋67＋8＋ 9＝100； 1＋23－4＋56＋7＋8＋9=100； 12-3-4＋5-6＋7＋89＝100。 第 3 讲 竖式数字谜(一) 这一讲主要讲加、减法竖式的数字谜问题。解加、 减法数字谜问题的基本功，在于掌握好上一讲中介绍的 运算规则(1)(2)及其推演的变形规则，另外还要掌握数 的加、减的“拆分”。关键是通过综合观察、分析，找 出解题的“突破口”。题目不同，分析的方法不同，其 “突破口” 也就不同。 这需要通过不断的 “学” “练” 和 ， 逐步积累知识和经验，总结提高解题能力。 例 1 在右边的竖式中，A，B，C，D 各代表什么数字？ 解：显然，C=5，D=1(因两个数 字之和只能进一位)。 由于 A＋4＋1 即 A＋5 的个位数为 3， 且必进一位(因 为 4＞3)，所以 A＋5=13，从而 A＝13-5=8。 同理，由 7＋B＋1=12，即 B＋8＝12，得到 B＝ 12-8＝4。 故所求的 A=8，B=4，C=5，D=1。 例 2 求下面各竖式中两个加数的各个数位上的数字之 分析与解：(1)由于和的个位数字是 9，两个加数的个位 数字之和不大于 9＋9＝18， 所以两个加数的个位上的两 个方框里的数字之和只能是 9。(这是“突破口”)小学奥数基础教程（三年级） 再由两个加数的个位数之和未进位，因而两个加数 的十位数字之和就是 14。 故这两个加数的四个数字之和是 9＋14=23。 (2)由于和的最高两位数是 19，而任何两个一位数相加 的和都不超过 18，因此，两个加数的个位数相加后必进 一位。(这是“突破口”，与(1)不同) 这样，两个加数的个位数字相加之和是 15，十位数 字相加之和是 18。 所求的两个加数的四个数字之和是 15＋18＝33。 注意：(1)(2)两题虽然题型相同，但两题的“突破 口”不同。(1)是从和的个位着手分析，(2)是从和的最 高两位着手分析。 例 3 在下面的竖式中，A，B，C，D，E 各代表什么数？ 分析与解：解减法竖式数字谜，与解加法竖式数字谜的 分析方法一样，所不同的是“减法”。 首先，从个位减起(因已知差的个位是 5)。4＜5， 要使差的个位为 5，必须退位，于是，由 14-D＝5 知， D=14-5＝9。(这是“突破口”) 再考察十位数字相减： B-1-0＜9 知， 由 也要在百位 上退位，于是有 10＋B-1-0＝9，从而 B＝0。 百位减法中，显然 E=9。 千位减法中，由 10＋A-1-3＝7 知，A＝1。 万位减法中，由 9-1-C＝0 知，C＝8。 所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。 例 4 在下面的竖式中，“车”、“马”、“炮”各代表 一个不同的数字。请把这个文字式写成符合题意的数字 式。 分析与解：例 3 是从个位着手分析，而这里就只能从首 位着手分析。 由一个四位数减去一个三位数的差是三位数知， “炮”＝1。 被减数与减数的百位数相同， 其相减又是退位相减， 所以，“马”＝9。至此，我们已得到下式： 由上式知， 个位上的运算也是退位减法， 11- 车” 由 “ =9 得到“车”＝2。 因此，符合题意的数字式为： 例 5 在右边的竖式中，“巧，填，式，谜”分别代表不 同的数字，它们各等于多少？ 解：由(4×谜)的个位数是 0 知，“谜”＝0 或 5。 当“谜”＝0 时，(3×式)的个位数是 0，推知“式” ＝0，与“谜”≠“式”矛盾。 当“谜”＝5 时，个位向十位进 2。 由(3×式+2)的个位数是 0 知，“式”＝6，且十位 要向百位进 2。 由(2×填+2)的个位数是 0，且不能向千位进 2 知， “填”＝4。 最后推知，“巧”＝1。 所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“谜”＝5。 第 4 讲 竖式数字谜(二) 立： 练习 3-5-1.在下列各竖式的□中填上适当的数字，使竖式成 2.下列各竖式中，□里的数字被遮盖住了，求各竖式中 被盖住的各数字的和： 3.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立： 4.下式中不同的汉字代表 1～9 中不同的数字， 相同的汉 字代表相同的数字。这个竖式的和是多少？ 5.在下列各竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立： 答案与提示练习 3 1. (1) 764＋265=1029；(2) 981＋959=1940；(3) 99＋ 903＝1002； (4) 98＋97＋ 923＝1118。 2.(1) 28；(2) 75。 3.(1) ＝4503；(2) ； (3) =8094；(4) 39。 4.。 5.提示：先解上层数谜，再解下层数谜。本讲只限于乘数、除数是一位数的乘、除法竖式数 字谜问题。 掌握好乘、除法的基本运算规则(第 2 讲的公式 (3)(4)及推演出的变形式子)是解乘、除法竖式谜的基 础。 根据题目结构形式， 通过综合观察、 分析， 找出“突 破口”是解题的关键。 例 1 在左下乘法竖式的□中填入合适的数字， 使竖式成 立。分析与解：由于积的个位数是 5，所以在乘数和被乘数 的个位数中，一个是 5，另一个是奇数。因为乘积大于 被乘数的 7 倍， 所以乘数是大于 7 的奇数， 即只能是 9(这 是问题的“突破口”)，被乘数的个位数是 5。 因为 7×9＜70＜8×9，所以，被乘数的百位数字只 能是 7。 至此， 求出被乘数是 785， 乘数是 9(见右上式)。 例 2 在右边乘法竖式的□里填入合适的数字， 使竖式成 立。 分析与解：由于乘积的数字不全，特别是不知道乘积的 个位数，我们只能从最高位入手分析。 乘积的最高两位数是 2□， 被乘数的最高位是 3， 由小学奥数基础教程（三年级） 填 5。 可以确定乘数的大致范围，乘数只可能是 6，7，8， 9。到底是哪一个呢？我们只能逐一进行试算： (1)若乘数为 6，则积的个位填 2，并向十位进 4，此时， 乘数 6 与被乘数的十位上的数字相乘之积的个位数只能 是 5(因 4+5=9)。 这样一来， 被乘数的十位上就无数可填 了。这说明乘数不能是 6。 (2)若乘数为 7，则积的个位填 9，并向十位进 4。与(1) 分析相同，为使积的十位是 9，被乘数的十位只能填 5， 从而积的百位填 4。得到符合题意的填法如右式。-6-首先，由于余数是 5，推知除数＞5，且被除数个位由于商 4 时是除尽了的，所以，被除数的十位应填 2，且由于 3×4=12，8×4=32，推知，除数必为 3 或 8。 由于已经知道除数＞5，故除数=8。(这是关键！) 从 8×4=32 知，被除数的百位应填 3，且商的百位 应填 0。 从除数为 8，第一步除法又出现了 4，8×8=64，8 ×3=24，这说明商的千位只能填 8 或 3。试算知，8 和 3 都可以。所以，此题有下面两种填法。(3)若乘数为 8，则积的个位填 6，并向十位进 5。为使 积的十位是 9，被乘数的十位只能填 3 或 8。 当被乘数的十位填 3 时，得到符合题意的填法如右 式。当被乘数的十位填 8 时，积的最高两位为 3，不合 题意。 练习 4 1.在下列各竖式的□里填上合适的数： (4)若乘数为 9，则积的个位填 3，并向十位进 6。为使 积的十位是 9，被乘数的十位只能填 7。而此时，积的最 高两位是 3 ，不合题意。 2.在右式中，“我”、“爱”、“数”、“学”分 别代表什么数时，乘法竖式成立？ 综上知，符合题意的填法有上面两种。 除法竖式数字谜问题的解法与乘法情形类似。 例 3 在左下边除法竖式的□中填入适当的数， 使竖式成 立。 3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”各代 表一个不同的数字，它 们各等于多少时，右边的乘法竖式成立？分析与解：由 48÷8=6 即 8×6=48 知，商的百位填 6， 且被除数的千位、百位分别填 4，8。又显然，被除数的 十位填 1。由 1□=商的个位×8 知，两位数 1□能被 8 除尽，只有 16÷8=2，推知被 除数的个位填 6，商的个位填 2。填法如右上式。 例 3 是从最高位数入手分析而得出解的。 例 4 在右边除法竖式的□中填入合适的数字。 使竖式成 立。 分析与解：从已知的几个数入手分析。 5.在下式的□里填上合适的数。 4.在下列各除法竖式的□里填上合适的数，使竖式 成立：小学奥数基础教程（三年级） 找到规律。例如数列(3)(4)。-7-第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可 第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规 律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例 3、例 4 来 作一些说明。 答案与提示 练习 4 1.(1) 055； (2)2379 × 8= 19032 或 7379 × 8= 59032。 2.“我”＝5，“爱”=1，“数”=7，“学”=2。 3.“我”、“们”、“爱”、“祖”、“国”分别 代表 8，7，9，1，2。 4.(1) ；(2) 822÷3=274。 5. 例 1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上 合适的数： (1)4，7，10，13，( )，? (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，? (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，? (6)2，6，12，20，( )，( )，? 解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可 发现 (1)的规律是：前项+3=后项。所以应填 16。 (2)的规律是：前项-12=后项。所以应填 48，36。 (3)的规律是：前项×3=后项。所以应填 54，162。 (4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填 5，1。 (5)的规律是：数列各项依次为 第 5 讲 找规律(一) 这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发 现和寻找“数列”的规律。 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，? (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，? (4) 1，1，2，3，5，8，13。 一个数列中从左至右的第 n 个数，称为这个数列的 第 n 项。如，数列(1)的第 3 项是 3，数列(2)的第 3 项 是 4。一般地，我们将数列的第 n 项记作 an。 数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可 以是无限多个，如数列(1)(3)。 许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲 就是讲如何发现这些规律。 数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的， 也叫 做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第 n 项 an ＝n。 数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第 n 项 数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。 数列(4)的规律是： 从第三项起， 每项等于它前面两 项的和，即 a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， a6=3+5=8，a7=5+8=13。 常见的较简单的数列规律有这样几类： 第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的 前一项有关。例如数列(1)(2)。 为 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n； (3)an＝2×3 ；(4)an＝5 ；(5)an＝n ；(6)an＝n(n+1)。 这样表示的好处在于，如果求第 100 项等于几，那 么不用一项一项地计算，直接就可以算出来，比如数列 (1)的第 100 项等于 3×100+1=301。 本例中， 数列(2)(4) 只有 5 项，当然没有必要计算大于 5 的项数了。 例 2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上 合适的数： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。 解： 通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。 (1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发 现其规律是：前一组每个数加 1 得到后一组数，所以应 填 4，5。 (2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14， 7，每组中两数的商都是 2，且由 5，6，7 的次序知，应 填 8，4。n-1 5-n 21=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 所以应填 5×5=25。 (6)的规律是：数列各项依次为 2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5， 所以，应填 5×6=30， 6×7=42。 说明： 本例中各数列的每一项都只与它的项数有关， 因此 an 可以用 n 来表示。各数列的第 n 项分别可以表示小学奥数基础教程（三年级） (3)这个数列的规律是： 前面两项的和等于后面一项， 故 应填( 17+27=)44。 (4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项， 故应填(8×32=)256。 例 3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上 合适的数： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 解：(1)因 20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项前项)组成一新数列 2，4，6，?其规律是“依次加 2”， 因为 6 后面是 8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 a5=8+30=38。 (2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新 数列 1，2，4，8，?按此规律，8 后面为 16。因此，a6-a5 ＝a6-26=16，故 a6＝16+26=42。 (3)观察数列前、后项的关系，后项=前项×2+1，所以 a6=2a5+1＝2×47+1＝95， a7＝2a6+1＝2×95+1=191。 例 4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上 合适的数： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 解：(1)数列的第 1，3，5，?项组成一个新数列 12， 17， 22，?其规律是“依次加 5”，22 后面的项就是 27；数列的第 2，4，6，?项组成一个新数列 15，30， 45，?其规律是“依次加 15”，45 后面的项就是 60。 故应填 27，60。 (2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列 2，5，8，?中， 8 后面的数应为 11；由偶数项组成的新数列 8，6，4，? 中，4 后面的数应为 2。故应填 11，2。 练习 5 按其规律在下列各数列的( )内填数。 1.56，49，42，35，( )。 2.11， 15， 19， 23，( )，? 3.3，6，12，24，( )。 4.2，3，5，9，17，( )，? 5.1，3，4，7，11，( )。 6.1，3，7，13，21，( )。 7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 9.2，5，10，17，26，( )。 10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 11.数列 1，3，5，7，11，13，15，17。 (1)如果其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何 处？ (2)如果其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？ 答案与提示 练习 5 1.28。 2.27。 3.48。-8-4.33。提示：“后项-前项”依次为 1，2， 4，8， 16，? 5.18。提示：后项等于前两项之和。 6.31。提示：“后项-前项”依次为 2，4，6，8， 10。 7.3，20。 8.11，6。 9.37。 提示：an=n +1。 10. 24，15。提示：奇数项为 15，18，21，24；偶 数项为 21，19，17，15。 11.(1)缺 9，在 7 与 11 之间；(2)多 15，因为除 15 以外都不是合数。 第 6 讲 找规律(二) 这一讲主要介绍如何发现和寻找图形、数表的变化 规律。 例 1 观察下列图形的变化规律， 并按照这个规律将第四 个图形补充完整。2分析与解：观察前三个图，从左至右，黑点数依次为 4， 3，2 个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转 90°，所 以第四个图如右图所示。观察图形的变化，主要从各图形的形状、方向、数 量、大小及各组成部分的相对位置入手，从中找出变化 规律。 例 2 在下列各组图形中寻找规律，并按此规律在“？” 处填上合适的数：解：(1)观察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等 于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故小学奥数基础教程（三年级） 第三个图形中的“？”=5×3×8÷2=60； 第四个图形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。 (2)观察前两个图形中的已知数，发现有 10=8+5-3， 8=7+4-3， 即三角形里面的数的和减去三角形外面的数就是中 间小圆圈内的数。故 第三个图形中的“？”=12+1-5=8； 第四个图形中的“？”=7+1-5=3。 例 3 寻找规律填数： 3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。-9-解：(1)观察每行中两边的数与中间的数的关系，发现 (2)观察每列中三数的关系， 发现 1+3×2=7， 7+2×2=11， 所以，？=4+5×2=14。 例 6 寻找规律填数： (1) (2)解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16， 33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个 “？”=18+16=34。 (2)从左至右，一上一下地看，由 1，3，5，？，9，? 知， 下面的 12 “？” 一下一上看， 6， 10， ？， =7； 由 8， 12， ? 知，9 下面的“？”=14。 例 4 寻找规律在空格内填数： 解：(1)观察其规律知 (2)观察其规律知： 观察比较图形、图表、数列的变化，并能从图形、 数量间的关系中发现规律，这种能力对于同学们今后的 学习将大有益处。 练习 6 寻找规律填数：解：(1)因为前两图中的三个数满足： 256=4×64，72=6×12， 所以，第三图中空格应填 12×15=180；第四图中空 格应填 169÷13=13。第五图中空格应填 224÷7=32。 (2)图中下面一行的数都是上一行对应数的 3 倍，故 43 下面应填 43×3=129；87 上面应填 87÷3=29。 例 5 在下列表格中寻找规律，并求出“？”：小学奥数基础教程（三年级）- 10 -6.下图中第 50 个图形是△还是○？ ○△○○○△○○○△○? 答案与提示 练习 6 1.5。提示：中间数=两腰数之和÷底边数。 2.45；1。提示：中间数= 周围三数之和×3。 3.(1)13。提示：中间数等于两边数之和。 (2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。 4.横行依次为 60，65，70，75，325； 竖行依次为 40， 65， 90， 115， 325。 5.14。提示：(23＋ 5) ÷ 2=14。 6.△。 7. 7142。 8. 8888886； 。 9.36。提示：等于加式中心数的平方。 第 7 讲 加减法应用题 用数学方法解决人们生活和工作中的实际问题就产 生了通常所说的“应用题”。 应用题由已知的“条件”和未知的“问题”两部分 构成，而且给出的已知条件应能保证求出未知的问题。 这一讲主要介绍利用加、减法解答的简单应用题。 例 1 小玲家养了 46 只鸭子，24 只鸡，养的鸡和鹅的总 只数比养的鸭多 5 只。小玲家养了多少只鹅？ 解：将已知条件表示为下图： 由上面三种不同角度的分析，得到如下三种解法。 解法 1：(52-12)+18=58(个)。 解法 2：52+(18-12)=58(个)。 解法 3：(52+18)-12=58(个)。 答：原来梨筐中有 58 个梨。 例 3 某校三年级一班为欢迎 “手拉手” 小朋友们的到来， 买了若干糖果。 已知水果糖比小白兔软糖多 15 块， 巧克 力糖比水果糖多 28 块。 又知巧克力糖的块数恰好是小白 兔软糖块数的 2 倍。三年级一班共买了多少块糖果？ 表示为算式是：24+？=46+5。由此可求得养鹅 (46+5)-24=27(只)。 答：养鹅 27 只。 若例 1 中鸡和鹅的总数比鸭少 5 只(其它不变)，则 已知条件可表示为下图， 分析与解：只要求出某一种糖的块数，就可以根据已知 条件得到其它两种糖的块数，总共买多少就可求出。先 求出哪一种糖的块数最简便呢？我们先把已知条件表示 为下图。 有几种思考方法： (1)根据取走 18 个梨后， 梨比苹果少 12 个， 先求出梨筐 里现有梨 52-12=40(个)，再求出原有梨 (52-12)+18=58(个)。 (2)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个， 我们设想 “少 取 12 个”梨，则现有的梨和苹果一样多，都是 52 个。 这样就可先求出原有梨比苹果多 18-12＝6(个)， 再求出 原有梨 52+(18-12)=58(个)。 (3)根据取走 18 个梨后梨比苹果少 12 个， 我们设想不取 走梨，只在苹果筐里加入 18 个苹果，这时有苹果 52+18=70(个)。 这样一来，现有苹果就比原来的梨多了 12 个(见下 图)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(个)。表示为算式是：24+？+5=46。由此可求得养鹅 46-5-24=17(只)。 例 2 一个筐里装着 52 个苹果， 另一个筐里装着一些梨。 如果从梨筐里取走 18 个梨，那么梨就比苹果少 12 个。 原来梨筐里有多少个梨？ 分析： 根据已知条件， 将各种数量关系表示为下图。由上图可求出， 小白兔软糖块数=15+28=43(块)， 水果糖块数=43+15=58(块)， 巧克力糖块数=43×2=86(块)。 糖果总数=43+58+86=187(块)。 答:共买了 187 块糖果。小学奥数基础教程（三年级） 例 4 一口枯井深 230 厘米， 一只蜗牛要从井底爬到井口 处。它每天白天向上爬 110 厘米，而夜晚却要向下滑 70 厘米。这只蜗牛哪一个白天才能爬出井口？ 分析与解：因蜗牛最后一个白天要向上爬 110 厘米，井 深 230 厘米减去这 110 厘米后(等于 120 厘米)，就是蜗 牛前几天一共要向上爬的路程。 因为蜗牛白天向上爬 110 厘米， 而夜晚又向下滑 70 厘米，所以它每天向上爬 110-70=40(厘米)。 由于 120÷40=3， 所以， 120 厘米是蜗牛前 3 天一共 爬的。故第 4 个白天蜗牛才能爬到井口。 若将例 4 中枯井深改为 240 厘米，其它数字不变， 这只蜗牛在哪个白天才能爬出井口？(第 5 个白天) 练习 7 1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干个。甲给乙 2 个， 乙给丙 3 个，丙又给甲 5 个后，三人都有桃子 9 个。甲、 乙、丙三人原来各有桃子多少个？ 2.三座桥，第一座长 287 米，第二座比第一座长 85 米，第三座比第一座与第二座的总长短 142 米。第三座 桥长多少米？ 3.(1)幼儿园小班有巧克力糖 40 块， 还有一些奶糖。 分给小朋友奶糖 24 块后， 奶糖就比巧克力糖少了 10 块。 原有奶糖多少块？ (2)幼儿园中班有巧克力糖 48 块，还有一些奶糖。 分给小朋友奶糖 26 块后， 奶糖就只比巧克力糖多 18 块。 原有奶糖多少块？ 4.一桶柴油连桶称重 120 千克，用去一半柴油后，连桶 称还重 65 千克。 这桶里有多少千克柴油？空桶重多少？ 5.一只蜗牛从一个枯水井底面向井口处爬，白天向上爬 110 厘米，而夜晚向下滑 40 厘米，第 5 天白天结束时， 蜗牛到达井口处。这个枯水井有多深？ 若第 5 天白天爬到井口处，这口井至少有多少厘米 深？(厘米以下的长度不计) 6.在一条直线上，A 点在 B 点的左边 20 毫米处，C 点在 D 点左边 50 毫米处，D 点在 B 点右边 40 毫米处。 写出这四点从左到右的次序。 7.(1)五个不同的数的和为 172， 这些数中最小的数 为 32，最大的数可以是多少？ (2)六个不同的数的和为 356，这些数中，最大的是 68，最小的数可以是多少？ 答案与提示练习 7 1.甲 6 个，乙 10 个，丙 11 个。 2.517 米。 解：287＋(287＋ 85)- 142= 517(米)。 3.(1)54 块；(2)92 块。 解： (1)40- 10＋ 24= 54(块)； (2)48＋18＋26=92(块)。 4.110 千克，10 千克。 解：柴油=(12－65) ×2＝ 110(千克)， 解：如右图所示。 7.(1)38；(2)26。 解： (1) 172- (32＋ 33＋ 34＋ 35)＝ 38； (2)356-(68＋ 67＋ 66＋ 65＋ 64)＝ 26 第 8 讲 乘除法应用题 空桶=120-110=10(千克)。 5.390 厘米；321 厘米。 解：(110-40)× 4＋110=390(厘米)； (110-40) × 3＋ 110＋1=321(厘米)。 6.A，C，B，D。- 11 -本讲向同学们介绍如何利用乘、除法解答简单应用 题。用乘、除法解应用题，首先要明确下面几个关系， 然后根据应用题中的已知条件， 利用这些数量关系求解。 被乘数×乘数=乘积，相同数×个数=总数， 小数×倍数=大数， 被除数÷除数=商，被除数÷商=除数， 被除数÷除数=(不完全)商??余数。 例 1 学校开运动会，三年级有 86 人报名参加单项比赛， 其他年级参加单项比赛的人数是三年级的 4 倍少 5 人。 全校参加单项比赛的人数有多少人？ 分析：先求出其他年级参赛人数， 86×4-5＝339(人)， 再加上三年级参赛人数，就可求出全校参赛人数。 解：(86×4-5)＋86＝425(人)。 答：全校参赛 425 人。 本题中全校参赛人数也可以看成是三年级参赛人数 的 5 倍少 5 人，所以可列式为 86×5-5＝425(人)。 例 2 有 5 只猴子，其中 2 只各摘了 7 个桃子，另外 3 只 各摘了 12 个桃子。 把所有摘下的桃子平均分给这 5 只猴 子，每只猴子能分到多少个桃子？ 解：共摘桃子 7×2＋12×3＝50(个)， 平均每只猴可分 50÷5＝10(个)。 综合算式(7×2＋12×3)÷5＝10(个)。 答：每只猴子能分到 10 个桃。 例 3 小白兔上山采摘了许多蘑菇。它把这些蘑菇先平均 分成 4 堆，3 堆送给它的小朋友，自己留一堆。后来它 又把留下的这一堆平均分成 3 堆， 两堆送给别的小白兔， 一堆自己吃。自己吃的这一堆有 5 个。它共采摘了多少 个蘑菇？ 分析：我们从后向前分析。当分成 3 堆时，共有 5 ×3＝15(个)，这是分成 4 堆时每一堆的个数。所以，分 成 4 堆时，共有 15×4＝60(个)。 解：(5×3)×4＝15×4=60(个)。小学奥数基础教程（三年级） 答：共摘了 60 个蘑菇。 例 4 小雨到奶奶家。如果来回都乘车，那么路上要用 20 分钟。如果去时乘车，回来时步行，那么一共要用 50 分钟。小雨步行回来用多少时间？ 分析： 来回都乘车用 20 分， 所以乘车单程所用的时 间是 20÷2=10(分)。去时乘车回来时步行共用 50 分， 减掉去时乘车用的 10 分，回来时步行用了 50-10＝40(分)。 解：50-20÷2=40(分)。 答：步行回来用 40 分钟。 例 5 师徒二人加工同样的机器零件。师傅加工的个数是 徒弟的 4 倍， 其个数比徒弟多 54 个。 师徒二人这天各加 工了多少个零件？ 几本书，两人的书才一样多？- 12 -6.小兰有 24 本书，小玲有 18 本书。小兰要给小玲 7.小红与小光买拼音本。 小红买了 12 本， 小光买了 8 本。小红比小光多用 2 元 4 角钱。每本多少钱？ 8.甲、乙两辆汽车分别从同一车站出发，沿相反方 向开去，3 时共行 360 千米。甲的速度是乙的速度的 2 倍。甲、乙的速度各是多少？ 9.甲、乙两个粮库共存粮 150 吨。甲库运出 40 吨， 乙库运入 10 吨，这时甲库存粮是乙库存粮的 2 倍。甲、 乙粮库原来存粮各多少？ 答案与提示练习 8 1.72 天。解：3×(7×3＋3)=3×24＝72(天)。 2.42 只。解：(15-8)×6＝42(只)。 3.28 元 4 角。 解： 500－36－36×5＝284(角)＝28 元 4 角， 或 500－36×(5＋1)＝284(角)＝28 元 4 角。 4.1 时 50 分。分析： 如下图所示， 把徒弟加工的个数看成 份” “1 ， 师傅加工的就是“4 份”，因而师傅比徒弟多(4-1)份。 由上图可求得 1 份为 54÷(4-1)=18(个)， 由此可求出师 徒二人各加工了多少个零件。 解：徒弟加工了 54÷(4-1)=18(个)， 师傅加工了 18×4＝72(个)。 答：徒弟加工了 18 个，师傅加工了 72 个。 解这类题的关键是分析出“54”是如何多出来的， 即弄明白用“倍数-1”来除它，所得的数代表什么。 例 6 工厂装配四轮推车，1 个车身要配 4 个车轮。现在 有 40 个车身，70 个车轮。问：装配出多少辆四轮推车 后，剩下的车身和车轮的数量相等？ 分析：1 个车身配 4 个车轮，即每装配出一辆四轮 推车，用的车轮数比车身数多 4-1=3(个)。现在车轮比 车身多 70-40＝30(个)，要把这 30 个车轮“消耗掉”， 需装配 30÷3＝10(辆)四轮车。 解：(70-40)÷(4-1)＝10(辆)。 答：需装配出 10 辆四轮推车。 练习 8 1.某项工作 3 人做需要 3 个星期又 3 天，中间无休 息日，那么，1 人单独做这项工作需要多少天？ 2.贺林家养鸡的只数是鹅的只数的 6 倍，鸭比鹅多 8 只，鸭有 15 只。贺林家养了多少只鸡？ 3.小敏买了一本书和一包糖。买一本书用了 3 元 6 角，买糖用的钱数是买书所用钱数的 5 倍。她带去的 50 元钱还剩多少？ 4.小峰去老师家看望老师。如果往返都骑自行车， 那么在路上要用 1 时 20 分。 如果去时骑自行车， 回来时 步行， 那么一共要用 2 时 30 分。 小峰步行回来用多少时 间？ 5.4 元钱能买西瓜 8 千克，10 元钱能买多少西瓜？解： (60×2＋30)－(60＋20)÷2＝110(分)＝1 时 50 分。 5.20 千克。解：(8÷4)×10=20(千克)。 6.3 本。解：(24-18)÷2=3(本)。 7.6 角。解：24÷(12-8)=6(角)。 8.甲 80 千米/时，乙 40 千米/时。 解：乙 360÷3÷(2＋1)=40(千米/时)， 甲 40×2=80(千米/时)。 9.甲 120 吨，乙 30 吨。 解：乙库原有(150-40＋10)÷(2＋1)-10＝30(吨)， 甲库原有 150-30=120(吨)。 第 9 讲 平均数 把一个(总)数平均分成几个相等的数，相等的数的 数值就叫做这个(总)数的平均数。例如，24 平均分成四 个数：6，6，6，6，数 6 就叫做 24 分成四份的平均数。 又如，24 平均分成六个数：4，4，4，4，4，4，数 4 就 叫做 24 分成六份的平均数。 由此可见，平均数是相对于“总数”和分成的“份 数” 而言的。 知道了被均分的 “总数” 和均分的 “份数” ， 就可以求出平均数： 总数÷份数=平均数。 “平均数”这个数学概念在我们的日常生活和工作 中经常用到。例如，某次考试全班同学的“平均成绩”， 几件货物的 “平均重量” 某辆汽车行驶某段路程的 ， “平 均速度”等等，都是我们经常碰到的求平均数的问题。 根据求平均数的一般公式可以得到它们的计算方法： 全班同学的总成绩÷全班同学人数=平均成绩， 几件货物的总重量÷货物件数=平均重量， 一辆汽车行驶的路程÷所用的时间=平均速度。 我们在上一讲的例 2 中，已经接触到求平均数的应 用题，下面再举一些例子来说明有关平均数应用问题的 解法。小学奥数基础教程（三年级） 例 1 一小组六个同学在某次数学考试中，分别为 98 分、 87 分、93 分、86 分、88 分、94 分。他们的平均成绩是 多少？ 解：总成绩=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。 这个小组有 6 个同学，平均成绩是 546÷6＝91(分)。 答：平均成绩是 91 分。 例 2 把 40 千克苹果和 80 千克梨装在 6 个筐内(可以混 装)，使每个筐装的重量一样。每筐应装多少千克？ 解：苹果和梨的总重量为 40＋80＝120(千克)。 因要装成 6 筐，所以，每筐平均应装 120÷6＝20(千克)。 答：每筐应装 20 千克。 例 3 小明家先后买了两批小猪， 养到今年 10 月。 第一批 的 3 头每头重 66 千克，第二批的 5 头每头重 42 千克。 小明家养的猪平均多重？ 解：两批猪的总重量为 66×3＋42×5＝408(千克)。 两批猪的头数为 3＋5＝8(头)，故平均每头猪重 408÷8＝51(千克)。 答：平均每头猪重 51 千克。 注意，在上例中不能这样来求每头猪的平均重量： (66＋42)÷2＝54(千克)。 上式求出的是两批猪的“平均重量的平均数”，而 不是(3＋5＝)8 头猪的平均重量。这是刚接触平均数的 同学最容易犯的错误！ 例 4 一个学生为了培养自己的数学解题能力，除了认真 读一些书外，还规定自己每周(一周为 7 天)平均每天做 4 道数学竞赛训练题。星期一至星期三每天做 3 道，星 期四不做，星期五、六两天共做了 13 道。那么，星期日 要做几道题才能达到自己规定的要求？ 分析：要先求出每周规定做的题目总数，然后求出 星期一至星期六已做的题目数。两者相减就是星期日要 完成的题目数。 每周要完成的题目总数是 4×7=28(道)。星期一至 星期六已做题目 3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完 成 28-22＝6(道)。 解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。 答：星期日要做 6 道题。 例 5 三年级二班共有 42 名同学，全班平均身高为 132 厘米，其中女生有 18 人，平均身高为 136 厘米。问：男 生平均身高是多少？ 解：全班身高的总数为 132×42＝5544(厘米)， 女生身高总数为 136×18＝2448(厘米)， 男生有 42-18＝24(人)，身高总数为 ＝3096(厘米)， 男生平均身高为 9(厘米)。 综合列式： (132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。 答：男生平均身高为 129 厘米。- 13 -例 6 小敏期末考试，数学 92 分，语文 90 分，英语成绩 比这三门的平均成绩高 4 分。问：英语得了多少分？ 分析：英语比平均成绩高的这 4 分，是“补”给了 数学和语文，所以三门功课的平均成绩为 (92＋90＋4)÷2＝93(分)， 由此可求出英语成绩。 解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。 答：英语得了 97 分。 练习 9 1.一班有 40 个学生，二班有 42 个学生，三班有 45 个学生。 开学后又转学来了 11 个学生。 怎样分才能使每 班学生人数相等？ 2.小岗计划 4 天做 15 道数学题，结果多做了 9 道。 平均每天做了多少道？ 3.一小组同学体检量身高时发现其中 2 人的身高是 123 厘米，另外 4 人的身高均为 132 厘米。这个小组同 学的平均身高是多少？ 4.小梅做跳绳练习， 第一次跳了 67 下， 第二次跳了 76 下。她要想三次平均成绩达到 80 下，第三次至少要 跳多少下？ 5.一农机站有 960 千克的柴油。 用了 6 天， 还剩 240 千克。照此用法，剩下的柴油还可用几天？ 6.小浩为培养自己的阅读能力，自己规定这一个月 (30 天)要读完共 288 页的彩图世界童话名著《伊索寓 言》。头 9 天平均每天读了 8 页，第二个 9 天平均每天 读了 10 页，第三个 9 天平均每天读了 11 页。最后三天 平均每天需要读几页才能达到自己规定的要求？ 7.五个同学期末考试的数学成绩平均 94 分， 而其中 有三个同学的平均成绩为 92 分， 另两个同学的平均成绩 是多少？ 8.小亮学游泳， 第一次游了 25 米， 第二次游的距离 比两次游的平均距离多 8 米。小亮第二次游了多少米？ 9.篮球队中四名队员的平均身高是 182 厘米，另一 名队员的身高比这五队员的平均身高矮 8 厘米，这名队 员的身高是多少？ 答案与提示 练习 9 1.一、二、三班分别转入 6，4，1 人。 提示：每班应有(40＋42＋45＋11)÷3＝46(人)。 2.6 道。解：(15＋9)÷4=6(道)。 3.129 厘米。 解：(123×2＋132×4)÷6=129(厘米)。 4.97 下。解：80×3－(67＋76)＝97(下)。小学奥数基础教程（三年级） 5.2 天。解：240÷［(960―240)÷6］＝2(天)。 6.9 页。解： ［288－(8＋10＋11)×9］÷3＝9(页)。 7.97 分。解：(94×5－92×3)÷2＝97(分)。 8.41 米。解：25＋8×2＝41(米)。 9.172 厘米。 解：这名队员比平均身高矮的这 8 厘米，是由另四名队 员给“补上”的，所以平均身高为 182－8÷4＝180(厘 米)，这名队员身高 180－8＝172(厘米)。 第 10 讲 植树问题 绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件 下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。 还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解 “植树问题”的思考方法来解。 先介绍四类最简单、最基本的植树问题。 为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表 示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为 一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线 的段数之间的关系问题。 显然，只有下面四种情形： (1)非封闭线的两端都有“点”时， “点数”＝“段数”＋1。 解。- 14 -再如， 两座楼房之间相距 30 米， 每隔 2 米栽一棵树， 一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所 以，属于第(3)种情形，能栽树 30÷2-1＝14(棵)。 再例如， 一个圆形水池的围台圈长 60 米。 如果在此 台圈上每隔 3 米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这 属于第(4)种情形，共能放花 60÷3＝20(盆)。 许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求 例 1 在一段路边每隔 50 米埋设一根路灯杆， 包括这段路 两端埋设的路灯杆， 共埋设了 10 根。 这段路长多少米？ 解：这是第(1)种情形，所以，“段数”＝10－1＝9。 这段路长为 50×(10-1)＝450(米)。 答：这段路长 450 米。 例 2 小明要到高层建筑的 11 层，他走到 5 层用了 100 秒，照此速度计算，他还需走多少秒？ 分析：因为 1 层不用走楼梯，走到 5 层走了 4 段楼 梯，由此可求出走每段楼梯用 100÷(5－1)＝25(秒)。 走到 11 层要走 10 段楼梯，还要走 6 段楼梯，所以还需 25×6＝150(秒)。 解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。 答：还需 150 秒。 例 3 一次检阅， 接受检阅的一列彩车车队共 30 辆， 每辆 车长 4 米，前后每辆车相隔 5 米。这列车队共排列了多 长？如果车队每秒行驶 2 米，那么这列车队要通过 535(2)非封闭线只有一端有“点”时， “点数”=“段数”。米长的检阅场地，需要多少时间？ 解：车队间隔共有 30-1＝29(个)， 每个间隔 5 米，所以，间隔的总长为(3)非封闭线的两端都没有“点”时， “点数”＝“段数”-1。 长为(30-1)×5＝145(米)， 而车身的总长为 30×4＝120(米)， 故这列车队的总 (30-1)×5+30×4＝265(米)。 由于车队要行 265＋535＝800(米)， 且每秒行 2 米，(4)封闭线上，“点数”=“段数”。所以，车队通过检阅场地需要 (265＋535)÷2＝400(秒)＝6 分 40 秒。 答：这列车队共长 265 米，通过检阅场地需要 6 分 40 秒。 例 4 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。 例如，一条河堤长 420 米，从头到尾每隔 3 米栽一 棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树 420÷3＋1＝141(棵)。 又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长 40 米。 肖林要在小路一旁每隔 2 米栽一棵树，一共要栽多少棵 树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属 于第(2)种情形，要栽树 40÷2＝20(棵)。长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长 6 毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一 起的“环扣”数为 5-1＝4(个)，所以重叠部分的长为 6×(5-1)＝24(毫米)， 又 4 厘米=40 毫米，所以五个铁环连在一起长 40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。小学奥数基础教程（三年级） 同理，十个铁环连在一起的长度为 40×10-6×(10-1)=346(毫米)。 答：五个铁环连在一起的长度为 176 毫米。十个铁 环连在一起的长度为 346 毫米。 例 5 父子俩一起攀登一个有 300 个台阶的山坡，父亲每 步上 3 个台阶，儿子每步上 2 个台阶。从起点处开始， 父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶 只算一个)。 解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条 件，儿子踏过的台阶数为 300÷2＝150(个)， 父亲踏过的台阶数为 300÷3＝100(个)。 由于 2×3=6， 所以父子俩每 6 个台阶要共同踏一个 台阶，共重复踏了 300÷6＝50(个)。所以父子俩共踏了 台阶 150＋100-50＝200(个)。 答：父子俩共踏了 200 个台阶。 练习 10 1.学校有一条长 60 米的走道，计划在道路一旁栽 树。每隔 3 米栽一棵。 (1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树 苗？ (2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？ (3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？ 2.一个长 100 米， 20 米的长方形游泳池， 宽 在离池 边 3 米的外围圈(仍为长方形)上每隔 2 米种一棵树。共 种了多少棵树？ 3.一根 90 厘米长的钢条，要锯成 9 厘米长的小段， 一共要锯几次？ 4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆， 然后每隔 40 米立一根标杆。当立杆 10 根时，第 1 根与 第 10 根相距多少米？ 5.学校举行运动会。 参加入场式的仪仗队共 180 人， 每 6 人一行，前后两行间隔 120 厘米。这个仪仗队共排 了多长？ 6.在一条长 1200 米的河堤边等距离植树(两端都要 植树)。已挖好每隔 6 米植一棵树的坑，后要改成每隔 4 米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？ 7.一个车队以 5 米/秒的速度缓缓地通过一座 210 米长的大桥，共用 100 秒。已知每辆车长 5 米，两车之 间相隔 10 米，那么这个车队共有多少辆车？ 答案与提示练习 10 1.(1)21 棵；(2)19 棵；(3)20 棵。 2.132 棵。 解： (100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)， 264÷2＝132(棵)。 3.9 次。 4.360 米。 所以，共有 3＋2＋1＝6(条)。 5.34 米 80 厘米。 解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480 厘米)。 6.200 个；100 个。 解：原有坑 =201(个)， 现有坑 =301(个)， 其中重复而不需要新挖的坑有 1200÷12＋- 15 -1=101(个)，需要新挖的坑有 301－101=200(个)，需要 填上的坑有 201-101=100(个)。 7.20 辆。 解：车队长 5×100-210=290(米)， 共有车(290-5)÷(5＋10)＋1=20(辆)。 第 11 讲 巧数图形 数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。由于 图形千变万化，错综复杂，所以要想准确地数出其中包 含的某种图形的个数， 还真需要动点脑筋。 要想有条理、 不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法 就是分类数。 例 1 数出下图中共有多少条线段。分析与解： 我们可以按照线段的左端点的位置分为 A， B， C 三类。如下图所示，以 A 为左端点的线段有 3 条，以 B 为左端点的线段有 2 条，以 C 为左端点的线段有 1 条。 所以共有 3＋2＋1＝6(条)。我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来 分类。如下图所示，AB，BC，CD 是最基本的小线段，由 一条线段构成的线段有 3 条，由两条小线段构成的线段 有 2 条，由三条小线段构成的线段有 1 条。由例 1 看出，数图形的分类方法可以不同，关键是 分类要科学，所分的类型要包含所有的情况，并且相互 不重叠，这样才能做到不重复、不遗漏。 例 2 下列各图形中，三角形的个数各是多少？小学奥数基础教程（三年级） 分析与解：因为底边上的任何一条线段都对应一个三角 形(以顶点及这条线段的两个端点为顶点的三角形)，所 以各图中最大的三角形的底边所包含的线段的条数就是 三角形的总个数。由前面数线段的方法知， 图(1)中有三角形 1＋2＝3(个)。 图(2)中有三角形 1＋2＋3=6(个)。 图(3)中有三角形 1＋2＋3＋4＝10(个)。 图(4)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＝15(个)。 图(5)中有三角形 1＋2＋3＋4＋5＋6=21(个)。 例 3 下列图形中各有多少个三角形？ 解：假设每一个最小三角 形的边长为 1。按边的长度来分 类计算三角形的个数。- 16 -边长为 1 的三角形，从上到下一层一层地数，有 1＋3＋5＋7=16(个)； 边长为 2 的三角形(注意，有一个尖朝下的三角形) 有 1＋2＋3＋1=7(个)； 边长为 3 的三角形有 1＋2＝3(个)； 边长为 4 的三角形有 1 个。 所以，共有三角形 16＋7＋3＋1＝27(个)。 例 5 数出下页左上图中锐角的个数。 分析与解：在图中加一条虚线，如下页右上图。容分析与解：(1)只需分别求出以 AB，ED 为底边的三角形 中各有多少个三角形。 以 AB 为底边的三角形 ABC 中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 以 ED 为底边的三角形 CDE 中，有三角形 1＋2＋3＝6(个)。 所以共有三角形 6＋6=12(个)。 这是以底边为标准来分类计算的方法。它的好处是 可以借助“求底边线段数”而得出三角形的个数。我们 也可以以小块个数作为分类的标准来计算：图中共有 6 个小块。 由 1 个小块组成的三角形有 3 个； 由 2 个小块组成的三角形有 5 个； 由 3 个小块组成的三角形有 1 个； 由 4 个小块组成的三角形有 2 个； 由 6 个小块组成的三角形有 1 个。 所以，共有三角形 3＋5＋1＋2＋1＝12(个)。 (2)如果以底边来分类计算， 各种情况较复杂， 因此我们 采用以“小块个数”为分类标准来计算： 由 1 个小块组成的三角形有 4 个； 由 2 个小块组成的三角形有 6 个； 由 3 个小块组成的三角形有 2 个； 由 4 个小块组成的三角形有 2 个； 由 6 个小块组成的三角形有 1 个。 所以，共有三角形 4＋6＋2＋2＋1＝15(个)。 例 4 右图中有多少个三角形？ 解：按包含的小块分类计数。 包含 1 小块的有 1 个；包含 2 小块的有 4 个； 包含 3 小块的有 4 个；包含 4 小块的有 7 个； 包含 5 小块的有 2 个；包含 6 小块的有 6 个； 包含 8 小块的有 4 个；包含 9 小块的有 3 个； 包含 10 小块的有 2 个；包含 12 小块的有 4 个； 包含 15 小块的有 2 个。 所以共有 1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(个)。 练习 11 1.下列图形中各有多少条线段？ 个？ 易发现， 所要数的每个角都对应一个三角形(这个角 与它所截的虚线段构成的三角形)，这就回到例 2，从而 回到例 1 的问题，即所求锐角的个数，就等于从 O 点引 出的 6 条射线将虚线截得的线段的条数。虚线上线段的 条数有 1+2+3+4+5=15(条)。 所以图中共有 15 个锐角。 例 6 在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少小学奥数基础教程（三年级） 4.(1)9 个；(2)16 个；(3)21 个。 5.(1)60 个；(2)66 个。 6.(1)12 个；(2)32 个。 7.(1)21 个；(2)62 个。- 17 -提示：4～7 题均采用按所含小块的个数分类(见下 2.下列图形中各有多少个三角形？ 表)，表中空缺的为 0。 第 12 讲 巧求周长 我们知道： 这两个计算公式看起来十分简单，但用途却十分广 泛。 用它们可以解决许多直角多边形(所有的角都是直角 的多边形)的周长问题。 这是因为直角多边形总可以分割 3.下列图形中，各有多少个小于 180°的角？ 成若干个正方形或长方形。 例如，下面的图形都可以分割成若干个正方形或长 方形，当然分割的方法不是唯一的。4.下列图形中各有多少个三角形？5.下列图形中各有多少个长方形？由此，可以演变出许多只涉及正方形、长方形周长 计算公式的题目。 例 1 一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人 行走(图中线段表示“路”)，几个小朋友在里面观赏时 发现： A 处出发， 从 在速度一样的情况下， 只要是按 “向 右”、“向上”方向走，几个人分头走不同的路线，总6.下列图形中，包含“*”号的三角形或长方形各有 多少？会同时达到 B 处。你知道其中的道理吗？分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母。由 A 处到 B 处，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六 7.下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有 几个？ 条路线： (1)A→C→D→E→B； (2)A→C→O→E→B； (3)A→C→O→F→B； (4)A→H→G→F→B； (5)A→H→O→E→B； (6)A→H→O→F→B。 因为 A→C 与 H→O，G→F 的路程一样长，所以可以 把它们都换成 A→C；同理，将 O→E，F→B 都换成 C→D； 将 A→H， C→O 都换成 D→E； H→G， 将 O→F 都换成 E→B。 答案与提示 练习 11 1.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。 3.(1)10；(2)15。 这样换过之后， 就得到六条路线的长度都与第(1)条路线 相同，而第(1)条路线的长“AD+DB”就是长方形的“长+小学奥数基础教程（三年级） 宽”，也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”。路程、 速度都相同，当然到达 B 处的时间就相同了。 例 2 计算下列图形的周长(单位：厘米)。 离均为 1 厘米，求螺线的总长度。- 18 -例 5 下图是一个方形螺线。已知两相邻平行线之间的距分析与解：如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分， 解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上、向右平行 移动到虚线处(见左下图)， 这样正好移补成一个正方形， 所以它的周长为 25×4=100(厘米)。 于是得到了三个边长分别为 3，5，7 厘米的正方形和中 间一个三边图形(见右下图)。所以螺线总长度为 (3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。(2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为 (10＋15)×2=50(厘米)。 例 3 求下面两个图形的周长(单位：厘米)。 练习 12 1.试求左下图的周长(单位：厘米)。解：(1)与例 2 类似，可以移补成一个长(15＋10＋15) 厘米、宽(12＋20)厘米的长方形，所以周长为 (15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。 (2)设想先把长 20 厘米的线段向上平移到两条长 15 厘米 的线段中间， 构成一个长 60 厘米， 宽(15＋20＋15)厘米 的长方形，此时，还有两条长 35 厘米的竖线段。所以周 长为 60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。 例 4 在一张纸上画出由四个边长为 3 厘米的正方形拼凑 或组合成的图形(重叠的线段只算画一次)。显然，这个 图形有多种多样的画法， 下列各图是其中的一部分画法。 在所有的这些画法中， (1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？ (2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？ 4.下图是由七个长 5 厘米、宽 3 厘米的相同长方形 经过竖放、横放而成的图形。求这个图形的周长。 2.上页右下图是由边长为 1 厘米的 11 个正方形堆成 的“土”字图形。试求出其周长。 3.右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图 上只标明了三条线段的长度(单位：米)。请你算出它的 周长。分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长。 反之，重叠部分越多，画的线段就越短。因此，类似图 1 那样画的线条最长，共画了 3×4×4=48(厘米)。 右图画的线条最短，共画了 (3＋3)×6=36(厘米)。5.下面两图中的小方格的大小相同。 图(1)的周长为 48 厘米，图(2)的周长等于多少？小学奥数基础教程（三年级） 6.如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长 方形。 如果其中一个长方形的周长是 16 米， 那么这个正 方形的周长是多少米？- 19 -分析与解：4 根火柴可摆出一个正方形，另 4 根火柴又 可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图 所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。 答案与提示练习 12 1.50 厘米。2.24 厘米。 3.188 米。解：(28＋16＋50)×2=188(米)。 4.76 厘米。 解：7 个长方形的周长之和，减去图中重叠(虚线)部分， (5＋3)×2×7－3×2×6＝76(厘米)。 5.60 厘米。提示：每个小方格的边长为 3 厘米。 6.24 米。 解：三个长方形的周长等于正方形的 8 个边长，即等于 正方形的两个周长，故正方形的周长为 16×3÷2＝ 24(米)。 第 13 讲 火柴棍游戏(一) 火柴除了可作火种外， 人们常用它来摆图形、 算式， 做出许多有趣的游戏。它不受场地和时间的限制，只要 有几根火柴(或几根长短一样的细小木棍)就可以进行。 火柴游戏寓知识、技巧于游戏之中，启迪你的智慧，开 阔你的思路，丰富你的课余生活。 火柴游戏大体分为两种： 一种是摆图形和变换图形； 一种是变换算式。 这一讲我们先介绍变换图形的游戏。 1.摆图形游戏 游戏 1 用 8 根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两 根， 即用 10 根火柴能摆出与这个正方形同样大小的图形 吗？ 分析与解：8 根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。 它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用 10 根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下 面的四个图形都符合题意。 解：因为只能移动 4 根火柴，所以图中较长的边(3 根或 4 根火柴的边)都不能动。 把图中最里面的 4 根火柴移补 到右上图的相关位置上即可。 游戏 5 在左下图中移动 4 根火柴棍，使它变成 3 个 三角形，并且这 3 个三角形的面积之和与原来的六边形 面积相同。 游戏 4 在左下图中移动 4 根火柴棍，使图形成为只 有三个正方形的图形。 解：如左下图所示，除虚线表示的 2 根火柴外，其余火 柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无 关，应移动虚线表示的 2 根火柴(见右下图)。 2.移动火柴，变换图形游戏 游戏 3 右图是用 10 根火柴棍摆成的一座房子。 请移 动 2 根火柴，使房子改变方向。游戏 2 用 8 根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和 两个一样大小的正方形。解：原图中有 6 个三角形，变化后剩下 3 个三角形，这 3 个三角形与原来的 6 个三角形的面积相同，必然有一 个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示 的 4 根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面 积的 4 倍。小学奥数基础教程（三年级） 3.去掉火柴，变换图形游戏 游戏 6 在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中 不存在任何正方形。- 20 -答案与提示练习 13 ?解：拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上 图，拿掉虚线处的 4 根火柴即可。拿法不唯一。 游戏 7 在左下图中，去掉 4 根火柴棍，使它变成两 个完全相同的图形组合。分析与解：左上图的面积等于七个边长为 1 根火柴棍的 小正方形的面积之和。要达到规定要求，必须去掉一个 小正方形。剩下的部分划分成两个面积等于三个小正方 形面积的图形。去掉右上图中虚线所示的火柴棍即可。 练习 13 1.用 9 根火柴棍摆出一个图形，使它含有五个等边 三角形。 2.用 9 根火柴棍摆出一个图形，使它含有三个正方 形和七个长方形(不含正方形)。 3.在左下图中移动 3 根火柴棍，使“井”字形变成 “品”字形图形。 提示：有多种拿法，但至少要拿掉 6 根火柴。 第 14 讲 火柴棍游戏(二) 火柴棍游戏的另一种形式是摆算式。4.右上图是用 24 根火柴棍摆出的两个正方形。 (1)请你移动 4 根，把它变成三个正方形； (2)再移动 8 根，把(1)中所得图形变成九个完全相 同的正方形； (3)在(2)中所得图形上拿走 8 根火柴，使它变成五 个完全相同的正方形。 5.用 13 根火柴棍摆成含有 6 个、 个和 8 个等边三 7 角形的图形。各给出一种摆法。 6.右图中共有 13 个三角形， 从中拿掉尽量少的火柴 棍，使得图中没有三角形。 移动 1 根火柴，可以得到 去掉 1 根火柴，可以得到 用火柴棍可以摆出下列数字和符号： 这些数字和符号，在去掉或添加或移动火柴棍后有 些可以相互变化。例如： 添加 1 根火柴，可以得到小学奥数基础教程（三年级） (2)左边的 2 根火柴移动后，变为正确算式。- 21 -其中“→”表示“可变为”。 做火柴棍算式游戏就是利用这些变化，改变算式， 使之符合题目要求。 下面举的几个例子，只要仔细观察答式，就可以明 白是如何按规定变化的，因此就不再进行过细说明了。 游戏 1 下面火柴棍摆的算式都是错的。请在各式中 去掉或添加 1 根火柴棍，使各式成立：游戏 4 每式移动 3 根火柴棍， 使各式都变为正确的算式：为了锻练同学们变换算式的灵活性，我们再做一个 游戏。 解：(1)去掉 1 根，可变为 游戏 5 下面是一个不正确的不等式，请移动其中 1 根火柴，使不等式成立。要求找到尽可能多的不同的移 动方法。 (2)添加 1 根，可变为 分析与解：因为右边的 21 无法通过移动一根火柴变小， (3)去掉 1 根，可变为 所以只考虑左边算式， 或使被减数变大， 或使减数变小， 或改变“-”、“＞”等符号。 将“-”号变为“+”号，有 游戏 2 在下列各式中只移动 1 根火柴棍，使错误的 式子变成正确的算式：改变“＞”号，有 解：(1)把 221 中的 1 移到等号右边使 1 变成 7。 改变被减数与减数，有 (2)把 17 前面的“+”变成“-”，这 1 根移到等号右边 使 71 变成 21。(3)移动 7 中 1 根到 4 前面去。练习 14 1.在下面各式中去掉或添加 1 根火柴棍，使各式变 成正确的算式：游戏 3 下面的两个算式都是错误的，各移动 2 根火 柴，使它们都变成正确的算式： 2.在下面各式中，只移动 1 根火柴棍，使各式变为 正确的算式： 解：(1)右边移 2 根到左边，变为正确算式。小学奥数基础教程（三年级）- 22 -分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何 剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面 的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩 3 个角”， 答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能 性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。 3.移动 2 根火柴棍，使下面的不等式反向： 解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种 不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有 5 个角、4 个角或 3 个角。 4.在下列各式中移动 2 根火柴，使它们成立：5.移动 3 根火柴棍，使下式成立：答：还剩 5 个角、4 个角或 3 个角。 例 2 37 个同学要坐船过河， 渡口处只有一只能载 5 人的 小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只6.在下面的等式中，移动 3 根火柴棍，使其成为一 个新的等式：小船渡河多少次？ 分析：如果由 37÷5=7??2，得出 7+1=8 次，那么 就错了。因为忽视了至少要有 1 个人将小船划回来这个 特定的要求。实际情况是：小船前面的每一个来回至多7.下面是一个不正确的不等式，请移动其中 1 根火 柴，使不等式成立。请找出尽量多的不同移法。只能渡 4 个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能 渡 5 个人过河。 解：因为除最后一次可以渡 5 个人外，前面若干个来回 每个来回只能渡过 4 个人，每个来回是 2 次渡河，所以答案与提示练习 14 1.(1)12-2＝10；(2)14＋1＝15。 2.(1)7＋7=7＋7；(2)12-2＋1=11； (3)14-7＋4=11。 3.4＋1＜7。 4.(1)2＋3=5；(2)19＋10＋9=38。 5.19×7＝133。 6.86-63=23。 7.93-91＜32，93-31＜92，93＋31＞32， 33＋31＜92，53＋31＜92。 第 15 讲 趣题巧解 为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题： 一张长方形的纸， 用剪刀剪掉一个角， 还剩几个角？ 把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几 段？ 一树枝上有 10 只鸟， 用汽枪打中了一只， 树枝上还 剩几只鸟？ 这类智力问题很有趣， 但回答时要小心， 稍有不慎， 就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是 要全面考虑各种情况， 二是要充分运用学过的数学知识， 再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。 例 1 一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个 角后，还剩几个角？至少渡河 [(37-5)÷4]×2+1=17(次)。 答：至少要渡河 17 次。 例 3(1)右图是 10 枚硬币，移动其中 1 枚硬币，使每一 行上都有 6 枚硬币。(2)用 12 根火柴拼出 6 个边长为 1 根火柴的正方形。 分析与解：(1)10 枚硬币摆两行，一般来说每行有 10÷ 2=5(枚)。 图中的两行却是一行 5 枚一行 6 枚， 原因是中 间有 1 枚在两行的交叉点上，所以出现了 5+6＞10。由 于题中并没有规定每个位置上只准放一枚，所以，只要 使其中 1 枚硬币在两直行的交叉点上再“重复”一下， 即在两行的交叉点上重叠地放 2 枚硬币(见右上图)，就 可达到目的。小学奥数基础教程（三年级） (2)一个正方形需要 4 根火柴才能拼出，12 根火柴只能 拼出 3 个正方形，即使如左下图所示，也只能拼出 4 个 正方形。如果我们放弃“在平面上拼”这种平常的思路， 而改为在 “立体空间中去拼” 的新思路， 那么就可能 “柳 暗花明”。 和“钟面时间”的含意。- 23 -分析与解：解决这两个问题的关键是弄清“正确时间” (1)要使闹铃 6 点钟响， 即比平常提前半小时响， 此时的 钟面时间是 6 点半，它比正确时间多半小时。所以，在 头天晚上 9 点调时针时，必须使钟面时间比正确时间多 半小时，即应调到 9 点半。 (2)以正确时间为准。小明以为他的表慢 10 分，所以， 他比钟面时间提早 10 分到达， 实际上他的钟面时间只比 正确时间慢 5 分，所以小明提前了 10-5=5(分)；小强以当思路转向立体空间后， 自然会联想到正方体图形。 因为它有六个正方形表面，而且正方体的棱恰好是 12 条，所以完全符合题意。 拼法如右上图所示。 例 3 的解法说明，“换一个角度”或“换一个方向”去 思考问题，往往能收到“奇效”！本题(2)如果把思路始 终局限在平面上那么就绝无出路。事实上，题目中并没 有这样的限制，而是习惯的思维方式把我们限制了。一 旦转到立体空间去思考，问题就迎刃而解了。 例 4 一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都 是整千克数， 其中， 最轻的重 1 千克， 最重的重 60 千克。 叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重 量。在重 1～60 千克的动物都有的情况下，它们最多能 叠几层？(叠一个动物算一层) 分析与解：由于要求叠的层数尽量多，所以应该想到： ①最上一层应是最轻的动物；②每只动物上面的总重量 尽量等于自己的重量(也满足“不超过”自己的重量要 求)。 按这两条原则叠罗汉， 能很容易找出各层的动物重 量，从上到下，它们依次为： 第1层 第6层 1 48 96 因为 96＞60，所以这群动物最多只能叠七层罗汉。 (叠法不唯一) 如果只有重 1，3，5，7，9，11，21 千克的七个动 物，按例 4 中的要求叠罗汉，那么最多能叠几层？它是 由哪些重量的动物叠出来的？(答案： 5 层； 由重 1， 3， 5， 9， 21 千克的动物叠出) 例 5(1)小丽家里的闹钟每天早晨 6 点半准时响铃， 提醒 小丽起床，准备上学。有一次，小丽第二天要 6 点钟起 床到学校去大扫除，她在头天晚上 9 点时把闹钟钟面时 间调到 8 点半还是调到 9 点半，才能使闹钟第二天早晨 6 点钟响铃？ (2)小明和小强约定 10 点钟在学校门口碰面，小明的表 慢 5 分钟， 而他却以为慢 10 分钟； 小强的表慢 10 分钟， 而他却以为快 5 分钟。他俩会面时，谁迟到了？先到者 等了多少时间才见到迟到者？ 第2层 2 第3层 3 6 第4层 12 第5层 24 第7层 第8层为他的表快 5 分，所以，他比钟面时间晚到 5 分，实际 上他的钟面时间比正确时间慢 10 分，小强迟到了 10+5=15(分)。会面时，小强迟到了，小明等了小强 5+15=20(分)。 例 6(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个 小朋友几分钟削六支铅笔？ (2)三只猫三天吃三只老鼠， 照此效率， 六只猫六天吃几 只老鼠？ 分析与解：这两个问题用来训练对倍数关系的准确理 解。 (1)中小朋友个数变成 2 倍， 削的铅笔也变成 2 倍， 所以， 完成的时间应不变，即 3 分钟。 如果具体分析，那么由已知条件推知，一个小朋友 削一支铅笔需 3 分钟，所以，六个小朋友削六支铅笔还 是需 3 分钟。 (2)中猫的只数变成 2 倍，天数也变成 2 倍，所以，吃的 老鼠只数就变成了 2×2=4(倍)，即吃了 3×4=12(只)。 具体分析，由已知条件推知，一只猫三天吃一只老 鼠，所以，当猫变成 6 倍(六只)，而天数不变时，就有 六只猫三天吃 1×6=6(只)老鼠。 进而， 当猫不变(六只)， 而天数变为 2 倍(六天)时，就有六只猫六天吃老鼠 6×2=12(只)。 练习 15 1.画三条线段，能构成几个角？ 2.用 6 根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三 角形(即三边相等的三角形)，如何拼？ 3.一只挂钟，1 点整敲 1 下，2 点整敲 2 下??12 点整敲 12 下，每半点整敲 1 下。一昼夜(24 时)一共要 敲多少下？ 4.打靶时，小林和小峰各打了三枪，环数为 1，2， 4，5，7，9 环。已知小林的总环数比小峰的总环数多 6 环。哪几环是小峰打的？ 5.五个小朋友围坐在一个大圆桌边，按顺时针方向 依次编为 1，2，3，4，5 号。老师给 1，2，3，4，5 号 小朋友分别发 1，2，3，4，5 个苹果。从 5 号小朋友开 始，依次按顺时针方向看，若邻坐的苹果比自己少，则 送给对方一个；若邻坐的苹果不比自己少就不送。照此 做下去， 到第三圈为止， 他们每人手中各有多少个苹果？小学奥数基础教程（三年级） 6.球场休息时，保管员慌忙中把甲、乙、丙三个运 动员先前交给他的水瓶都递送错了， 结果甲喝的是丙的。 乙、丙各喝的是谁的？ 7.有一个台称， 只能称 40 千克以上的重量， 乙、 甲、 丙三个小朋友的体重都在 20～39 千克之间， 他们都想知 道自己的体重。用这台称怎样才能知道他们各自的体 重？ 8.(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔， 九个小朋友六 分钟削几支铅笔？ (2)三只猫三天吃三只老鼠，六只猫几天吃 18 只老鼠？ 答案与提示 练习 15 1.能构成 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12 个角。- 24 -左上图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字， 有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于 13。右 上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每 行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对 角线上的三个数字之和都等于 15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一 些数按照一定要求排列而成的某种图形， 有时简称数阵。 要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我 们还是先从几个简单的例子开始。 例 1 把 1～5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使 得横行三数之和与竖列三数之和都等于 9。2.如右图的立体图形。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写 出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我 们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才 3.180 下。 4.2，4，5 环。 提示：［(1＋2＋4＋5＋7＋9)-6］÷2=11， 只有 2＋4＋5=11。 5.每人都是 3 个。 提示：初始及各圈结束后，每人的苹果数如下图： 可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解： 中间方格中的数很特殊， 横行的三个数有它， 竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就 是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有 重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了 一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等 于 9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例 2 把 1～5 这五个数填入下页左上图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等。 6.乙喝的是甲的，丙喝的是乙的。 7.先甲、乙、丙合称，设重量为 a 千克；再甲、乙 合称，设为 b 千克；再甲、丙合称，设为 C 千克。由此 求出： 丙=a-b，乙=a-c，甲=b＋c-a。 8.(1)18 支；(2)9 天。 第 16 讲 数阵图(一) 在神奇的数学王国中， 有一类非常有趣的数学问题， 它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座 真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大 的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究 它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么， 到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 分析与解：与例 1 不同之处是已知“重叠数”为 5，而 不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所 以，必须先求出这个“和”。根据例 1 的分析知， 两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其 余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都 等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。小学奥数基础教程（三年级） 因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等 于 10-5=5。 在剩下的四个数 1，2，3，4 中， 只有 1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。 例 3 把 1～5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线 上的三个数之和相等。 4，5。可得右上图的填法。- 25 -剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6； 如果把例 4 中“每条边上的三个数之和都等于 10” 改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那 么仿照例 3，重叠数可能等于几？怎样填？ 例 5 将 10～20 填入左下图的○内， 其中 15 已填好， 使 得每条边上的三个数字之和都相等。分析与解：例 1 是知道每条直线上的三数之和，不知道 重叠数；例 2 是知道重叠数，不知道两条直线上的三个 数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例 1、例 2 的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数 =每条直线上三数之和×2， 所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只 可能是 1，3 或 5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为 (15+1)÷2=8。 填法见左下图； 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为 (15+3)÷2=9。 填法见下中图； 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为 (15+5)÷2=10。 填法见右下图。 解：与例 2 类似，中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了 四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10+11+?+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到 右上图的填法。 例 1～5 都具有中心数是重叠数， 并且每边的数字之和都 相等的性质，这样的数阵图称为辐射型。例 4 的图中有 三条边，每边有三个数，称为辐射型 3―3 图；例 5 有五 条边每边有三个数，称为辐射型 5―3 图。 一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图 形称为辐射型 m－n 图。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线 条数”-1，即 m-1。对于辐射型数阵图，有 由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关 键。 为了进一步学会掌握这种解题方法， 我们再看两例。 例 4 将 1～7 这七个自然数填入左下图的七个○内，使 得每条边上的三个数之和都等于 10。 已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 由此得到： (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重 叠次数。 如例 1、例 4。 (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之 和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。如例 2、例 5。 分析与解：与例 1 类似，知道每条边上的三数之和，但 不知道重叠数。因为有 3 条边，所以中间的重叠数重叠 了两次。于是得到 (1+2+?+7)+重叠数×2=10×3。 由此得出重叠数为 [10×3-(1+2+?+7)]÷2=1。 练习 16 1.将 1～7 这七个数分别填入左下图中的○里， 使每 条直线上的三个数之和都等于 12。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道， 则要从 重叠数的可能取值分析讨论，如例 3。小学奥数基础教程（三年级） 如果每条直线上的三个数之和等于 10， 那么又该如 何填？- 26 -2.将 1～9 这九个数分别填入右上图中的○里(其中 9 已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。 如果中心数是 5，那么又该如何填？ 3.将 1～9 这九个数分别填入右图的小方格里， 使横 行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出两种本质上不同 的填法)4.将 3～9 这七个数分别填入左下图的○里， 使每条 直线上的三个数之和等于 20。5.提示：中心数是重叠数，并且重叠 4 次。所以每 条直线上的三数之和等于 ［(1＋2＋?＋11)＋重叠数×4］÷5 ＝(66＋重叠数×4)÷5。 为使上式能整除，重叠数只能是 1，6 或 11。显然， 重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数 是 11，每条直线上的三数之和是 22。填法见右图。5.将 1～11 这十一个数分别填入右上图的○里，使 每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 6.将 1～7 这七个数分别填入下图的○里， 使得每条 直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。 6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其 它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和 为 (1＋2＋?＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。 因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以 这个和应该是 5 的倍数，再由中心数在 1 至 7 之间，所 以中心数是 4。 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56 答案与提示 练习 16 ＋4)÷5＝12。 中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我 们可以试着先从辐射型 3-3 图开始。中心数是 4，每边 其余两数之和是 12-4=8， 两数之和是 8 的有 1， 2， 7； 6； 3，5。于是得到左下图的填法。小学奥数基础教程（三年级） 对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的 位置，便得到本题的解(见右上图)。 第 17 讲 数阵图(二) 上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵 图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭 型数阵图。 例 1 将 1～8 这八个数分别填入右图的○中，使两个大 圆上的五个数之