焦点相同 离心率互为倒数的椭圆和双曲线的离心率有什么相关性

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-24 07:41 标签： 相同离心率椭圆的设法
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我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1 、F 2 是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F 1 PF 2 =60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）
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设F 1 P=m，F 2 P=n，F 1 F 2 =2c，由余弦定理得（2c） 2 =m 2 +n 2 -2mncos60°，即4c 2 =m 2 +n 2 -mn，设a 1 是椭圆的实半轴，a 2 是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a 1 ，m-n=2a 2 ，∴m=a 1 +a 2 ，n=a 1 -a 2 ，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a 1
2 -4a 1 a 2 +
=0，a 1 =3a 2 ，e 1 oe 2 =
=1，解得e 2 =
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我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是3．
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设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2-2mncos60°，即4c2=m2+n2-mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1-a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22-4c2+a12=0，a1=3a2，e1oe2=1oca2=(ca2)23=1，解得e2=．故答案为：．
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设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2-mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，由此能求出结果．
本题考点：
双曲线的简单性质．
考点点评：
本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“黄金搭档”的含义．
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备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编9：圆锥曲线
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1 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 、 是一对相关曲线的焦点， 是它们在第一象限的交点，当 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）
【答案】A【解析】设椭圆的半长轴为 ，椭圆的离心率为 ，则 .双曲线的实半轴为 ，双曲线的离心率为 ， . ，则由余弦定理得 ，当点 看做是椭圆上的点时,有 ，当点 看做是双曲线上的点时,有 ，两式联立消去 得 ，即 ，所以 ，又因为 ，所以 ，整理得 ，解得 ，所以 ，即双曲线的离心率为 ，选A.
2 ．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试 数学（理）试题）若P点是以A（-3，0）、B（3，0）为焦点，实轴长为 的双曲线与圆 的一个交点，则 =
审核人：LUJUNQA
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我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°，则这&一对相关曲线中椭圆的离心率是______．
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设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2-2mncos60°，即4c2=m2+n2-mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1-a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22-4c2+a12=0，a1=3a2，e1oe2=1oca2=1o3ca1＝1即12＝1∴1＝33故答案为
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设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2-mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m-n=2a1，由此能求出结果．
本题考点：
椭圆的简单性质．
考点点评：
本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．
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