墨西哥是美洲大陆上的文明古国，以阳光与热情著称，墨西哥气候宜人，风光秀丽，尤其是名胜古迹非常多。所以当您选择去墨西哥旅游时，首先要去的就是举世闻名的旅游圣地——墨西哥城。
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信号与系统周期计算方法
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&span class=&c&&%
-------数据平滑处理-------&/span&
&span class=&c&&%
y = smoothdata(R,x,option)&/span&
&span class=&c&&%
输出参数 y
:处理完的数据 &/span&
&span class=&c&&%
输入参数 R
&span class=&c&&%
输入参数 x :需要处理的数据
&span class=&c&&%
输入参数 option 窗函数类型：&/span&
&span class=&c&&%
rectangle：矩形
&span class=&c&&%
triangle ：三角
&span class=&c&&%
&span class=&c&&%
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&/span&
&span class=&n&&y&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&n&&Nx&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&length&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&c&&% 窗宽,以点数计
&span class=&n&&Nh&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&R&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&n&&sizeofx&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&size&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&c&&% 如果输入数据是行向量&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&sizeofx&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&o&&==&/span& &span class=&mi&&1&/span&
&span class=&c&&% 窗序列下标(行向量)&/span&
&span class=&n&&NewK&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&R&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&n&&R&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&c&&% 如果输入数据是列向量&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&sizeofx&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&o&&==&/span& &span class=&mi&&1&/span&
&span class=&c&&% 窗序列下标(列向量)&/span&
&span class=&n&&NewK&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&R&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&n&&R&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&'&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&c&&%% 参数选择&/span&
&span class=&c&&% 输入变量个数为2，即默认矩形窗&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&nargin&/span& &span class=&o&&==&/span& &span class=&mi&&2&/span&
&span class=&n&&h&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&ones&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&size&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&NewK&/span&&span class=&p&&));&/span&
&span class=&c&&% 输入变量个数为3，即窗类型由用户指定&/span&
&span class=&k&&elseif&/span& &span class=&n&&nargin&/span& &span class=&o&&==&/span& &span class=&mi&&3&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&strcmp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&option&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'rectangle'&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&==&/span&&span class=&mi&&1&/span&
&span class=&c&&% 权重窗函数,矩形窗&/span&
&span class=&n&&h&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&ones&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&size&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&NewK&/span&&span class=&p&&));&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&strcmp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&option&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'triangle'&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&==&/span&&span class=&mi&&1&/span&
&span class=&c&&% 权重窗函数,三角窗&/span&
&span class=&n&&h&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&abs&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&abs&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&NewK&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&n&&R&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&k&&if&/span& &span class=&n&&strcmp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&option&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'gauss'&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&==&/span&&span class=&mi&&1&/span&
&span class=&c&&% 权重窗函数，高斯窗&/span&
&span class=&n&&h&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&exp&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&NewK&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&.^&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&k&&else&/span&
&span class=&k&&return&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&c&&%% 左边缘数据，中间数据，右边缘数据&/span&
&span class=&k&&for&/span& &span class=&nb&&i&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&
&span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&))&/span&&span class=&o&&.*&/span& &span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&((&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&):&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&p&&))&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&((&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&):&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&p&&));&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&k&&for&/span& &span class=&nb&&i&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&n&&Nx&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&
&span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&.*&/span&&span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&span class=&k&&for&/span& &span class=&nb&&i&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&Nx&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&n&&Nx&/span&
&span class=&nb&&j&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&i&/span& &span class=&o&&-&/span& &span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nx&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&nb&&i&/span&&span class=&p&&)&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nx&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&nb&&j&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&+&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&n&&Nx&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&.*&/span&&span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&nb&&j&/span&&span class=&p&&))&/span&&span class=&o&&/&/span&&span class=&n&&sum&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&h&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&1&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&n&&Nh&/span&&span class=&o&&-&/span&&span class=&nb&&j&/span&&span class=&p&&));&/span&
&span class=&k&&end&/span&
&/code&&/pre&&/div&&p&&b&脚本测试 & 结果&/b&&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-matlab&&&span&&/span&&span class=&n&&x&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&o&&-&/span&&span class=&mf&&1.9&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&mf&&0.001&/span&&span class=&p&&:&/span&&span class=&mf&&2.5&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&n&&y&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&nb&&cos&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&nb&&pi&/span&&span class=&o&&*&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&)&/span&&span class=&o&&-&/span& &span class=&n&&x&/span&&span class=&o&&.^&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&;&/span&
&span class=&n&&yn&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&awgn&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&y&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&mi&&10&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&n&&ys&/span& &span class=&p&&=&/span& &span class=&n&&smoothdata&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&mi&&50&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&n&&yn&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'gauss'&/span&&span class=&p&&);&/span&
&span class=&n&&plot&/span&&span class=&p&&(&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&n&&yn&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&n&&x&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&n&&ys&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'R'&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&s&&'linewidth'&/span&&span class=&p&&,&/span&&span class=&mi&&2&/span&&span class=&p&&);&/span&
&/code&&/pre&&/div&&img src=&/ff5ec64e0b5_b.png& data-rawwidth=&808& data-rawheight=&619& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&808& data-original=&/ff5ec64e0b5_r.png&&&p&&b&好像效果还不错的样子 。。。&/b&&/p&
function y = smoothdata(R,x,option)
% -------数据平滑处理-------
% y = smoothdata(R,x,option)
% 输出参数 y :处理完的数据
% 输入参数 R :窗半径
% 输入参数 x :需要处理的数据
% 输入参数 option 窗函数类型：
% | rectangle：矩形 |
% | triangl…
&img src=&/50/v2-e1c3cdfcd3e_b.jpg& data-rawwidth=&846& data-rawheight=&674& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&846& data-original=&/50/v2-e1c3cdfcd3e_r.jpg&&&p&&/p&&p&&i&&b&转自我的公众号: 『数据挖掘机养成记』&/b&&/i&&/p&&p&&br&&/p&&h2&引子&/h2&&p&因研究兴趣不在图像处理，所以对图像中的『卷积』操作未做深入思考，直到某天，灵光一闪，我突然意识到&/p&&blockquote&图像『卷积』应该可以和『信号处理』联系起来&/blockquote&&p&更进一步&/p&&blockquote&图像卷积的本质，是提取图像不同『频段』的特征&/blockquote&&p&然而放眼望去，市面上大谈特谈『卷积』的文章，各种雷同，互相『借鉴』，都是在讲解&b&卷积的不同方式、卷积的参数共享、卷积的具体操作、卷积在图像上的效果&/b&，竟鲜有一篇像样的文章，真正触及『卷积』的本质、探索『卷积』和『信号处理』的联系！&/p&&p&作为一个EE科班出生、当年『信号系统』『数字信号处理』课程接近满分的人，我决定剖析卷积本质，弥补市场空白！&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-cca5e44d5970fbe79c333e7_b.jpg& data-rawwidth=&682& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&682& data-original=&/50/v2-cca5e44d5970fbe79c333e7_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&所以本文的目的是&/p&&blockquote&从信号系统角度，通俗讲解图像卷积的本质 (&b&&i&不涉及公式&/i&&/b&)&br&&br&&删除线&让你在面试时从容应对诸如『卷积层作用』之类的套路问题，甚至对弱鸡面试官实现反杀！&删除线&&/blockquote&&h2&前言&/h2&&p&因本文偏科普性质，会有失严谨性，所以在这里先补充一些信号处理的基本概念，后面章节为简化起见，将省略这些关键概念。有兴趣的读者可以深究，其他读者请&b&&i&直接跳过本节&/i&&/b&&/p&&p&一般来讲，我们涉及到的系统都是『时不变系统』(time invariant system)，即 输入响应不随激励时间的改变而变化，并且是『线性系统』(linear system)。而我们所处理的时间信号一般分为四种情形：&/p&&ol&&li&连续非周期&/li&&li&连续周期&/li&&li&离散非周期&/li&&li&离散周期&/li&&/ol&&p&这四种信号对应的频谱也是各有特点，时域的『周期』性质对应到频域是频谱『离散』，『非周期』对应『连续』，而时域的『连续』和『离散』对应到频域则是『非周期』和『周期』。图像可以看做是『离散非周期信号』(因为图像的像素点是离散的且大多没有周期性)，更严谨地说，是『有限长离散非周期序列』，其频谱是连续周期性的，且z变换和傅里叶变换都存在。&/p&&p&说到『傅里叶变换』，其实傅里叶变换的本质是实频域分析，但对于某些信号(比如不稳定信号)并不存在这样的变换，所以更通用的做法是『z变换』，映射到复频域进行分析。更多内容，见参考资料[1]和[2]&/p&&h2&一维信号&/h2&&p&我们最常接触到的『信号』是一维时间信号，比如人的声音、乐曲、无线电波等，横坐标是时间t，纵坐标是信号的幅度，代表不同时刻的信号强度。而在教科书上，最常见的是如下正弦波&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-842ce78f3d12e2ebaf133eb8dabb5d72_b.jpg& data-rawwidth=&508& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&508& data-original=&/50/v2-842ce78f3d12e2ebaf133eb8dabb5d72_r.jpg&&&p&&br&&/p&&h2&时域频域&/h2&&p&以声音信号为例，女生的声音比男生『尖』，说白了就是『频率』更高，也就是声音信号在t轴上的『震荡』更快。而一个复杂的声音信号，通常包括很多『频段』，最直观的就是录音棚里调节各个分量的旋钮，把低频分量旋钮调高，声音更『浑厚』，有重低音的效果，而把高频分量旋钮调高，则变得尖细。&/p&&p&如果我们把一个信号各个频段的成分也画出来，横坐标是频段的『大小』，纵坐标是对应频段成分的『幅度』，这样一个坐标系，我们把它叫做『频域』。把信号从『时域』映射到『频域』的手段，就是大家耳熟能详的『傅里叶变换』。&/p&&blockquote&不严谨地说，任意信号都可以由一组不同频率不同幅度的正弦信号叠加而成&/blockquote&&p&而这组正弦波，就是我们上面说的，一个信号不同『频段』的成分。更形象的图，如下所示(转载出处见水印)&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_b.jpg& data-rawwidth=&1324& data-rawheight=&816& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&/50/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&给大家简单解释下这幅图，时域图像是一个典型的一维信号——一个近似的方形波，它是由一系列正弦信号叠加而成(余弦信号是正弦信号相移产生，所以是广泛意义上的正弦信号)。&/p&&h2&卷积&/h2&&p&卷积的概念我就不多说了，已有大把平庸的博文给大家做铺垫了。这里我只给大家提一个&b&&i&最最最核心的概念&/i&&/b&(也是这么多年过去了，我对信号系统留下的最最最深刻的概念)&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&重要的概念说三遍&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&br&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&这个概念的背后是一个严谨的推导过程，但这里我们略过(有兴趣的读者一定不要错过这个推导，可以阅读参考资料[1])，这里给大家通俗解释一下，假设两个时域信号f1和f2『卷积』的结果是f3，则f3的频谱，是f1的频谱函数和f2的频谱函数，对应频率『相乘』的结果&/p&&p&&i&小小地拓展一下，与本文无关&/i& 这种频域相乘的特性可以用于快速求一些特定函数的积分，因为『卷积』的本质是积分，而很多特定函数存在傅里叶变换和反变换，所以与其直接求解积分函数，不如把他们变换到频域，直接进行频谱函数『相乘』，然后再反变换回来，就得到积分结果了&/p&&h2&滤波器&/h2&&p&滤波器这个名词想必大家也不陌生，比如带有『降噪』功能的麦克风，说白了就是把高频的噪音信号给过滤掉。更专业一点，滤波器是能过滤某些特定频段，留下需要信号的部件，比如低通滤波器(只留下低频分量)、高通滤波器(只留下高频分量)、带通滤波器(只留下特定范围内的分量)。这里就不展开讲了，免得大家回忆起那些年被『电子电路』『信号系统』等专业课所支配的恐惧。&/p&&p&那滤波跟卷积的有什么关系么？别忘了我们刚刚特别强调的概念&/p&&blockquote&时域卷积=频域相乘&/blockquote&&p&假设时域信号f1和f2做卷积，从f1的角度看，它的频谱函数要跟f2对应的频谱函数相乘，而如果f1的某些频率分量，在f2上是没有的，那么相乘之后的结果是0，所以得到的f3信号，在这些频率上值为0，于是对f1而言，f2把它的某些分量『过滤』掉了，所以f2是『滤波器』，f1是原始信号，f3是过滤之后的信号。&/p&&p&一个理想的低通滤波器如下所示&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-c76d2c7ce11d38d76addf847face35d2_b.jpg& data-rawwidth=&482& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&482& data-original=&/50/v2-c76d2c7ce11d38d76addf847face35d2_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&它的横坐标是频率，幅值为1，这是典型的『低通滤波器』，如果有信号跟它做卷积，那这个信号只会留下在0附近的低频信号，其他高频分量都被过滤掉了。&/p&&p&更形象一点，我们再回顾下刚刚的方波信号(注意，这里的方波信号横坐标是时间t，不是上面的低通滤波器)&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_b.jpg& data-rawwidth=&1324& data-rawheight=&816& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&/50/v2-abe4cbeeba1b315bbf620d_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&它是由不同频率、相位、幅度的正弦信号组成。如果我们现在通过某种『低通滤波器』，过滤掉一些高频的正弦信号，则这个方波信号将变成下面的形状&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-3fcaaeb3c4f23b6538840fe_b.jpg& data-rawwidth=&1212& data-rawheight=&656& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1212& data-original=&/50/v2-3fcaaeb3c4f23b6538840fe_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&我们发现，这个方形信号没那么『方』了，两边尖锐的『棱角』变缓和了，也没有棱角附近小幅度高频振动的波形了。我们继续加大滤波力度，将得到下面结果&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-387fe282ad5db81499d62_b.jpg& data-rawwidth=&1232& data-rawheight=&746& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1232& data-original=&/50/v2-387fe282ad5db81499d62_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&我们可以看到，方形波的『棱角』基本被磨平了。所以&/p&&blockquote&波形里的『棱角』其实是一种突变信号，它里面包含了很多高频分量&/blockquote&&p&上面这个发现非常重要，将有助于我们后面理解图像的『卷积』和『滤波』。&/p&&h2&二维空间&/h2&&p&虽然我们一直在强调『时间信号』，但不知大家注意到没有，其实这里的时间t，完全可以换成其他符号比如x，从而所谓的时间信号f(t)，可以写成f(x)，进而，图像可以看成一个离散的二维函数f(x,y)，x 和 y 决定了图像的像素点，f是像素点在该处的取值。更形象地理解，图像就仿佛是一个『水池』，像素点就是『水分子』，像素点的取值大小，从视觉上看代表图像亮度的强弱，而类比到水池里，就是不同位置水分子的运动幅度，在水池里泛起涟漪。&/p&&p&进而，我们很自然地想到，一维函数的『傅里叶变换』，能否扩展到二维呢？&/p&&p&答案是肯定的。不过二维空间的傅里叶变换公式我们就不贴出来了，大家有兴趣可以详细阅读参考资料[3]。一维函数f(x)的频谱函数F(w)，是一维信号的不同频率分量，而二维函数f(x,y)的频谱函数，是一个二维函数F(w,v)，也反应了二维函数的频率特性(不过理解起来不那么直观，这里略过，有兴趣的同学请阅读参考资料[2])。这里我们直接结合前面说的『滤波器』来理解卷积过程&/p&&blockquote&卷积核本质上是一个二维函数，有对应的频谱函数，因而可以看成某种『滤波器』&/blockquote&&p&下面是几种常见卷积核的频谱图像(摘自参考资料[4])&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-a30d021f90d53ced517e6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/50/v2-a30d021f90d53ced517e6_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&这是一个低通滤波器，频率接近原点附近的幅值很大(频率低的通过)，越往两边越小(频率高的过滤)。下面这个高通滤波器恰恰相反&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-b00f391d3ba69f1c8bda4_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/50/v2-b00f391d3ba69f1c8bda4_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&滤波器的概念有了，那么问题来了，我们该如何理解『图像卷积』和『滤波』的关系呢？&/p&&p&回顾下我们上节的发现——『波形里的「棱角」其实是一种突变信号，它里面包含了很多高频分量』。我们沿用上面『水池』的类比，图像像素值变化陡峭的地方，反映在图像上，就是那块区域明暗变化明显，而类比到『水池』里，就是水波在该区域快速振动，『棱角』分明。所以&/p&&blockquote&当我们将图像跟『高通滤波器』做卷积时，明暗变化会被保留，而缓和的变化会被过滤&/blockquote&&p&反映到图像上，就是『锐化』效果，即图像的边缘被加强，大色块的背景被过滤。同理，跟低通滤波器做卷积，效果相反。我们看看直观的效果(摘自参考资料[3])&/p&&p&&br&&/p&&img src=&/50/v2-1ccbb5bcb91ca8ac52ec_b.jpg& data-rawwidth=&1874& data-rawheight=&608& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1874& data-original=&/50/v2-1ccbb5bcb91ca8ac52ec_r.jpg&&&p&&br&&/p&&p&当我们把图像跟多种卷积核作用时，就能得到不同频段的信号，这也就是卷积神经网络中，『卷积层』的本质作用。&/p&&p&至此，我们完美阐释了开篇提到的结论&/p&&blockquote&图像卷积的本质，是提取图像不同『频段』的特征&/blockquote&&h2&参考资料&/h2&&ol&&li&&信号与系统& 郑君里 等&/li&&li&&数字信号处理& 奥本海默&/li&&li&&a href=&/?target=http%3A//www.robots.ox.ac.uk/%7Eaz/lectures/ia/lect2.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&robots.ox.ac.uk/~az/lec&/span&&span class=&invisible&&tures/ia/lect2.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/li&&li&10句话读懂图像频域滤波--不能不知道的信号与系统基本理论 - iracer的博客 - CSDN博客&/li&&/ol&
转自我的公众号: 『数据挖掘机养成记』 引子因研究兴趣不在图像处理，所以对图像中的『卷积』操作未做深入思考，直到某天，灵光一闪，我突然意识到图像『卷积』应该可以和『信号处理』联系起来更进一步图像卷积的本质，是提取图像不同『频段』的特征然而放…
&img src=&/50/v2-3e9044558beb37a8e39f509bd4a50ec8_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/50/v2-3e9044558beb37a8e39f509bd4a50ec8_r.jpg&&&p&一般来说，我们可以认为图像、文字、音频等数据是分布在低维流形空间上的。&/p&&p&GANs通过generator将隐空间的点映射到数据空间中，那么，隐空间的维数怎么选择呢？这是一个值得研究的问题。这里以图像为例进行分析。&/p&&p&首先，隐空间维数不能太低，太低了容易丢失mode，也会产生mode collapse。也就是说，隐空间的维数有个下界，高于这个下界才有可能避免mode丢失的问题。这个下界就是流形的内在维数（intrinsic dimension）。&/p&&p&什么叫流形的内在维数呢？下面给出的定义来自于文献[1]。&/p&&blockquote&&b&(流形定义)&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&\mathbb{R}^n& eeimg=&1&&的子集&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7D& alt=&\mathcal{M}& eeimg=&1&&称为一个内在维数为&img src=&/equation?tex=m%3Dm%28%5Cmathcal%7BM%7D%29& alt=&m=m(\mathcal{M})& eeimg=&1&&，具有p-光滑结构的流形，如果存在一个常数&img src=&/equation?tex=c_p%28%5Cmathcal%7BM%7D%29& alt=&c_p(\mathcal{M})& eeimg=&1&&，使得对于任意给定的&img src=&/equation?tex=x+%5Cin+%5Cmathcal%7BM%7D& alt=&x \in \mathcal{M}& eeimg=&1&&，存在一组&img src=&/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&个向量&img src=&/equation?tex=v_1%28x%29%2C+v_2%28x%29%2C+%5Ccdots%2C+v_m%28x%29+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&v_1(x), v_2(x), \cdots, v_m(x) \in \mathbb{R}^n& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5Cinf_%7B%5Cgamma+%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5Em%7D+%5C%7Cx%27+-+x+-+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Em+%5Cgamma_j+v_j%28x%29%5C%7C+%5Cleq+c_p%28%5Cmathcal%7BM%7D%29%7B%5C%7Cx%27+-+x%5C%7C%7D%5E%7B1%2Bp%7D& alt=&\inf_{\gamma \in \mathbb{R}^m} \|x' - x - \sum_{j=1}^m \gamma_j v_j(x)\| \leq c_p(\mathcal{M}){\|x' - x\|}^{1+p}& eeimg=&1&&对任意的&img src=&/equation?tex=x%27+%5Cin+%5Cmathcal%7BM%7D& alt=&x' \in \mathcal{M}& eeimg=&1&&都成立。&/b&&/blockquote&&p&简而言之，流形上的点可以用它周围的点逼近。如果对任意点，都可以用&img src=&/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&个周围的点进行逼近，那么流形的内在维数就是&img src=&/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&。请注意，与向量空间的维数定义不同，向量空间要求基底是固定的，而流形的基底是局部的，因点而异。&/p&&p&那么，怎么估算内在维数&img src=&/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&呢？很多学者提出了数值估算方法，这里介绍一种极大似然估计的方法，详细的推导参看文献[2]。&/p&&p&设我们有一些来自流形&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BM%7D& alt=&\mathcal{M}& eeimg=&1&&的样本点&img src=&/equation?tex=%5C%7BX_i%5C%7D_%7Bi%3D1%7D%5EN& alt=&\{X_i\}_{i=1}^N& eeimg=&1&&，&/p&&img src=&/equation?tex=%5Chat%7Bm%7D_k%28X_i%29+%26%3D%26+%7B%5Cleft%5B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bk-1%7D+%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7Bk-1%7D+%5Clog+%5Cfrac%7BT_k%28X_i%29%7D%7BT_j%28X_i%29%7D+%5Cright%5D%7D%5E%7B-1%7D%2C+%5Cquad+X_i+%5Cin+%5Cmathcal%7BM%7D%2C+%5C+i%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2CN+%5C%5C%0A%5Chat+m_k+%26%3D%26+%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EN+%5Chat+m_k%28X_i%29& alt=&\hat{m}_k(X_i) &=& {\left[ \frac{1}{k-1} \sum_{j=1}^{k-1} \log \frac{T_k(X_i)}{T_j(X_i)} \right]}^{-1}, \quad X_i \in \mathcal{M}, \ i=1,2,\cdots,N \\
\hat m_k &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \hat m_k(X_i)& eeimg=&1&&&br&&p&其中，&img src=&/equation?tex=T_k%28X_i%29& alt=&T_k(X_i)& eeimg=&1&&表示&img src=&/equation?tex=X_i& alt=&X_i& eeimg=&1&&的k近邻与&img src=&/equation?tex=X_i& alt=&X_i& eeimg=&1&&之间的距离。&/p&&p&利用这个方法，我们可以估算数据集的内在维数。为了节省内存，以下实验结果均为随机采样10000个样本点的计算结果。实验发现，MNIST数据集的内在维数大约为6.5，动漫数据集的内在维数大约为21，而CelebA数据集的大约为20。需要注意的是，数据集的样本点可能远不止这么低内在维数，但是由于某些mode样本很少，例如动漫数据集的背景几乎每张图像都不一样，这些mode会被忽略，对内在维数没有贡献。&/p&&img src=&/v2-511bcdcfd42e37b49af16_b.png& data-rawwidth=&1883& data-rawheight=&1432& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1883& data-original=&/v2-511bcdcfd42e37b49af16_r.png&&&p&实验中我们对隐空间的选择不应低于这些下界。以MNIST为例，选择隐空间维数为10，能得到不错的效果。可以看到，生成的图像具有数字类型、倾斜角度等变化，它们都是隐空间内在维度的一部分。&/p&&p&&img src=&/v2-f4e3b5896464bbcbc4ca814bd16823db_b.png& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&499& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-f4e3b5896464bbcbc4ca814bd16823db_r.png&&如果选择隐空间维数低于内在维数6.5，如选择1，我们得到如下的结果。可以看到，一维的隐空间控制的是生成的数字类型，在同一个epoch内，生成的相同的数字只会有一种形态。不同的epoch之间，相同数字形态可以不同。&/p&&img src=&/v2-d3d87db80caba8_b.png& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&490& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-d3d87db80caba8_r.png&&PS：隐空间设置为1维，生成的图像质量不行，原因在于隐空间的这个维度编码的不只是数字类型，它应该还有包含其他信息。数字类型是离散的，测度为0，不会充满整一维的空间，而其他信息一般是连续的，测度大于0，多种信息交织不完整地编码在一维空间中，导致生成图像与真实图像有一定差距。&p&其次，隐空间维数也不能太高，太高了占用太多显存，模型更强，搜索空间更大，存在更多的鞍点，学的越慢。&/p&&p&下图为MNIST数据集隐空间选择为2048维()的结果。可以看到，epoch 25时，学得差不多了，每个数字的形态比隐空间为10的情况要丰富很多。隐空间维数越高，更多罕见的mode会对内在维度做出贡献。隐空间的选择是否有一个合理的上界，还需要进一步研究。&/p&&img src=&/v2-60e164e6f1ecc97b0b40a_b.png& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&498& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-60e164e6f1ecc97b0b40a_r.png&&&h2&参考文献&/h2&&p&1. Yu K, Zhang T, Gong Y. Nonlinear learning using local coordinate coding[C]//Advances in neural information processing systems. -2231.&br&&/p&&p&2. Levina E, Bickel P J. Maximum likelihood estimation of intrinsic dimension[J]. Ann Arbor MI, : 1092.&/p&
一般来说，我们可以认为图像、文字、音频等数据是分布在低维流形空间上的。GANs通过generator将隐空间的点映射到数据空间中，那么，隐空间的维数怎么选择呢？这是一个值得研究的问题。这里以图像为例进行分析。首先，隐空间维数不能太低，太低了容易丢失mod…
&p&【多图流量预警】&/p&&p&感谢栗总邀请：）&/p&&p&只在很久之前水过一篇ECG方面的BioCAS，所以具体在EEG信号处理领域就不班门弄斧了哈哈，不过从问题描述上看答主可能也想了解一下深度学习在数字信号处理领域的应用，或是具体到生医电子的数字信号处理领域的应用，所以分享一些看到的研究，抛砖引玉一下：）&/p&&ul&&li&首先从直觉上，比如对采集到的较高质量的ExG(EEG脑电、ECG心电、EMG肌电、EOG眼动等)信号，都需要经过各种信号处理技术进行识别和分析，根据不同的信号特点和应用场景，深度学习都存在一些机会。&/li&&li&目前来看，在生物医学领域，处理图像和处理信号会是深度学习主要的两个应用点。&/li&&/ul&&p&前几天，吴恩达在从百度离开后的发表的第一篇论文就是关于应用深度学习对ECG信号进行处理，进而实现对心律不齐的检测目的。他们构建了34层神经网络，包括33个卷积层、一个全连接层和softmax，从心电图中识别14类心律不齐。&/p&&img src=&/v2-4ae740d744e08ad1fabf80d_b.png& data-rawwidth=&944& data-rawheight=&740& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&944& data-original=&/v2-4ae740d744e08ad1fabf80d_r.png&&&img src=&/v2-91ddacac5b1ddf9d25f3_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-91ddacac5b1ddf9d25f3_r.jpg&&&p&&a href=&///?target=https%3A//stanfordmlgroup.github.io/projects/ecg/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Cardiologist-Level Arrhythmia Detection With Convolutional Neural Networks&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A//arxiv.org/abs/%23& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Cardiologist-Level Arrhythmia Detection with Convolutional Neural Networks&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&a href=&/p/& class=&internal&&吴恩达带斯坦福ML组发了篇新论文：深度学习识别14类心律不齐准确率超人类专家 - 知乎专栏&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&在EEG方面，题主提到的应用思路和关键步骤，推荐一下最近看到的两篇这方面的综述：&/p&&ul&&li&&a href=&///?target=https%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Deep learning with convolutional neural networks for EEG decoding and visualization&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
（下图如果文字显示太小的话点开大图，绝对干货）&/li&&/ul&&img src=&/v2-4a8e9d4de471c0ad32803_b.jpg& data-rawwidth=&1324& data-rawheight=&599& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1324& data-original=&/v2-4a8e9d4de471c0ad32803_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-56b1ec3b63cd715e4fbb6_b.jpg& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&219& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-56b1ec3b63cd715e4fbb6_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-fae81adfed1f281d8c4fe7f_b.jpg& data-rawwidth=&1319& data-rawheight=&672& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1319& data-original=&/v2-fae81adfed1f281d8c4fe7f_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-db1334662cd_b.jpg& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&265& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-db1334662cd_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-db1334662cd_b.jpg& data-rawwidth=&1318& data-rawheight=&265& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1318& data-original=&/v2-db1334662cd_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-d61ebeec17ed_b.jpg& data-rawwidth=&1320& data-rawheight=&664& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1320& data-original=&/v2-d61ebeec17ed_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-ce65bda94e1e3e5ae7e41_b.jpg& data-rawwidth=&1326& data-rawheight=&166& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1326& data-original=&/v2-ce65bda94e1e3e5ae7e41_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-fdd58ef131f600cd9abd5864_b.jpg& data-rawwidth=&1322& data-rawheight=&661& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1322& data-original=&/v2-fdd58ef131f600cd9abd5864_r.jpg&&&ul&&li&&a href=&///?target=https%3A//arxiv.org/abs/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[] Deep Learning in Bioinformatics&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/li&&/ul&&img src=&/v2-020cb83ed882e666ee1f_b.jpg& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/v2-020cb83ed882e666ee1f_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-ab5a212f650e4c0c16ccd_b.jpg& data-rawwidth=&768& data-rawheight=&224& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&768& data-original=&/v2-ab5a212f650e4c0c16ccd_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-bfef42bbf3d_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&107& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&/v2-bfef42bbf3d_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-a54cf5ae380caabbf228f9_b.jpg& data-rawwidth=&765& data-rawheight=&248& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&765& data-original=&/v2-a54cf5ae380caabbf228f9_r.jpg&&&p&这篇文章里还提到了深度学习在包括等生物组学（比如基因组学）、医学图像、生医信号等生物信息领域的应用：&/p&&img src=&/v2-7bac32e8_b.jpg& data-rawwidth=&758& data-rawheight=&709& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&758& data-original=&/v2-7bac32e8_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-5ef4cdcd1afea55d17fb_b.jpg& data-rawwidth=&830& data-rawheight=&657& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&830& data-original=&/v2-5ef4cdcd1afea55d17fb_r.jpg&&&p&IEEE系统中检索也可以找到一些相关的研究工作：&/p&&img src=&/v2-966bee4ceb814ae24bfb3d_b.jpg& data-rawwidth=&540& data-rawheight=&632& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&540& data-original=&/v2-966bee4ceb814ae24bfb3d_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-dad93d702bf5c6f1cf91a85042afda96_b.jpg& data-rawwidth=&550& data-rawheight=&632& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&550& data-original=&/v2-dad93d702bf5c6f1cf91a85042afda96_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-0fb712b1f02_b.jpg& data-rawwidth=&591& data-rawheight=&626& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&591& data-original=&/v2-0fb712b1f02_r.jpg&&&p&ECG方面也有一些&/p&&img src=&/v2-2ca20febe1022cbd10583b2_b.jpg& data-rawwidth=&552& data-rawheight=&620& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&552& data-original=&/v2-2ca20febe1022cbd10583b2_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-ceddc6ab17c6d61c2173_b.jpg& data-rawwidth=&527& data-rawheight=&627& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&527& data-original=&/v2-ceddc6ab17c6d61c2173_r.jpg&&&p&还有不少学校的project都有涉及相关的工作：&/p&&p&比如这个 Princeton的一个final report：Decoding EEG Signals Using Deep Neural Networks: A Basis for Sleep Analysis
&a href=&///?target=http%3A//www.cs.princeton.edu/sites/default/files/uploads/alana_jaskir.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&cs.princeton.edu/sites/&/span&&span class=&invisible&&default/files/uploads/alana_jaskir.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&知乎上也有浙大的知友 &a class=&member_mention& href=&///people/af6e959feae7bc3d13ef9f& data-hash=&af6e959feae7bc3d13ef9f& data-hovercard=&p$b$af6e959feae7bc3d13ef9f&&@丁00&/a& 在提问相关的毕设：&a href=&/question/& class=&internal&&deep bidirectional RNN +LSTM 用于癫痫检测的疑问？&/a&&/p&&p&github上也有相关的工作可参考：&a href=&///?target=https%3A///EderSantana/DeepEEG& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&EderSantana/DeepEEG&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上大多是从对已经采集到的“可用”的生医信号应用深度学习的一些研究探索，其实从整个生医电子的系统角度来看，我个人觉得还有比如以下的两个方向：&/p&&ol&&li&深度学习的处理过程有机会移到离采集侧更近的传感器Sensor端，由Mixed-signal电路、memory部分来帮助实现，比如ISSCC 2015就有这样的一篇文章（文章的一作张学长就在知乎哈哈，已邀请看看学长有没有空来答题分享观点：）
）：&/li&&/ol&&img src=&/v2-002e5a4a2ac8ebfbbb7c950_b.jpg& data-rawwidth=&712& data-rawheight=&608& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&712& data-original=&/v2-002e5a4a2ac8ebfbbb7c950_r.jpg&&&p&&br&&/p&&img src=&/v2-b06f47c9f3d_b.jpg& data-rawwidth=&878& data-rawheight=&636& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&878& data-original=&/v2-b06f47c9f3d_r.jpg&&&p&
2. 更靠近皮肤端的话，比如干电极的设计和信号采集处理（比如消除各种noise、运动伪影(motion artifact)）等等，也许也都有深度学习的应用可能。&/p&
【多图流量预警】感谢栗总邀请：）只在很久之前水过一篇ECG方面的BioCAS，所以具体在EEG信号处理领域就不班门弄斧了哈哈，不过从问题描述上看答主可能也想了解一下深度学习在数字信号处理领域的应用，或是具体到生医电子的数字信号处理领域的应用，所以分享…
&p&&strong&量子雷达不是对经典雷达的颠覆&/strong&&/p&&p&
雷达最早在二战期间得到大规模应用，特别是在不列颠空战中，英国皇家空军依靠雷达的辅助对德国空军造成较大杀伤。当时的雷达单纯利用发射的电磁波信号，经
过目标表面散射后，通过判断接收信号的能量，来识别、判断目标。不过，这种雷达的信息载体只能通过信号的绝对幅度或幅度的变化来体现，检测机理就是简单的
能量检测，无法区分杂波和目标，分不清在空中飞舞的锡箔条和真正的战机，信息利用方式单一，因此，应用领域受到较大的限制。
随着技术的发展，雷达也不断发生变化，从单纯利用信号的强度信息，演化为综合利用电磁信号的频率和相位信息，即电磁场的二阶特性。通过发射电磁波二阶特性
的应用，在调制方式上，出现了线性调频、相位编码和捷变频等复杂信号形式，这些信号形式有效解决了传统雷达时宽与带宽的矛盾，并提升雷达抗干扰、抗杂波的
能力。在检测技术上，催生了动目标检测技术、空时自适应处理技术和脉冲多普勒体制，这些技术利用目标和杂波在多普勒域上的差异，实现杂波中运动目标的有效
检测，提升雷达抗杂波能力。
量子雷达则是将量子信息技术引入经典雷达探测领域，解决经典雷达在探测、测量和成像等方面的技术瓶颈，提升雷达的综合性能。量子雷达属于一种新概念雷达，
首要应用是实现目标有无的探测，在此基础上可以进一步扩展应用领域，包括量子成像雷达、量子测距雷达和量子导航雷达等，从本质上来说，量子雷达并没有脱离
经典雷达探测的框架体系，只是在利用量子理论进行系统分析时，对雷达中一些概念和物理现象，如接收机噪声等，具有全新的、更准确的理解。在此基础上，量子
雷达从信息调制载体和检测处理等方面入手，提升雷达的性能。总体而言，量子雷达是对经典雷达理论的更新和补充，而不是颠覆和取代。
&/p&&p&&strong&量子雷达的分类&/strong&&/p&&p&
根据利用量子现象和光子发射机制的不同，量子雷达主要可以分为以下3个类别：
一是量子雷达发射非纠缠的量子态电磁波。发射机发射单光子脉冲探询目标可能存在的区域，如果目标存在，则信号光子将会以一定的概率返回至接收机处，通过对返回光子状态的测量可以提取出目标信息。
二是量子雷达发射纠缠的量子态电磁波。其探测过程为利用泵浦光子穿过（ＢＢＯ）晶体，通过参量下转换产生大量纠缠光子对，各纠缠光子对之间的偏振态彼此正
交，将纠缠的光子对分为探测光子和成像光子，成像光子保留在量子存储器中，探测光子由发射机发射经目标反射后，被量子雷达接收，根据探测光子和成像光子的
纠缠关联可提高雷达的探测性能。与不采用纠缠的量子雷达相比，采用纠缠的量子雷达分辨率以二次方速率提高。
三是雷达发射经典态的电磁波。在接收机处使用量子增强检测技术以提升雷达系统的性能，目前，该技术在激光雷达技术中有着广泛的应用。&/p&&img data-rawheight=&391& data-rawwidth=&600& src=&/c51f5752dfdf502a2f596_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/c51f5752dfdf502a2f596_r.jpg&&&br&&p&中电14所实际上应用的是上述三种模式中的一种。&/p&&p&&strong&量子雷达的技术优势&/strong&&/p&&p&
目前，经典雷达存在一些缺点，一是发射功率大（几十千瓦），电磁泄漏大；二是反隐身能力相对较差；三是成像能力相对较弱；四是信号处理复杂，实时性弱。针对经典雷达存在的技术难点，量子信息技术均存在一定的技术优势，可以通过与经典雷达相结合，提升雷达的探测性能。
首先，量子信息技术中的信息载体为单个量子，信号的产生、调制和接收、检测的对象均为单个量子，因此整个接收系统具有极高的灵敏度，即量子接收系统的噪声
基底极低，相比经典雷达的接收机，噪声基底能够降低若干个数量级。再忽略工作频段、杂波和动态范围等实现因素，则雷达作用距离可以大幅提升数倍甚至数十
倍。从而大大提升雷达对于微弱目标，甚至隐身目标的探测能力。
其次，量子信息技术中的调制对象为量子态，相比较经典雷达的信息调制对象，量子态可以表征量子“涨落变化”等微观信息，具有比经典时、频、极化等更加高阶
的信息，即调制信息维度更高。从信息论角度出发，通过对高维信息的操作，可以获取更多的性能。对于目标探测而言，通过高阶信息调制，可以在不影响积累得益
的前提下，进一步压低噪声基底，从而提升噪声中微弱目标检测的能力；从信号分析角度出发，通过对信号进行量子高阶微观调制，使得传统信号分析方法难以准确
提取征收信号中调制的信息，从而提升在电子对抗环境下的抗侦听能力。综合而言，通过量子信息技术的引入，通过量子化接收，原理上可以有效降低接收信号中的
噪声基底功率；通过量子态调制，原理上可以增加信息处理的维度，一方面可以提升信噪比得益，另一方面可以降低发射信号被准确分析和复制的可能性，从而在目
标探测和电子对抗领域具有广阔的应用潜力。
量子雷达不是对经典雷达的颠覆
雷达最早在二战期间得到大规模应用，特别是在不列颠空战中，英国皇家空军依靠雷达的辅助对德国空军造成较大杀伤。当时的雷达单纯利用发射的电磁波信号，经
过目标表面散射后，通过判断接收信号的能量，来识别、判断目标。不…
&p&&b&WiFi作为移动互联网时代的马斯洛需求层次理论的最底层，WiFi的重要性不言而喻，但是除了上网，WiFi还有其它黑科技。&/b&&/p&&img src=&/v2-df1ba49e03d2_b.png& data-rawwidth=&980& data-rawheight=&735& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&980& data-original=&/v2-df1ba49e03d2_r.png&&&p&&i&（英国纽卡斯尔大学（Newcastle University’s School of Architecture）建筑学院博士生路易斯-赫南（Luis Hernan绘制的在人类周围出现的无线网络WiFi信号）&/i&&/p&&p&是不是发现周围隐藏着一个魔法世界，让我们再看看它的魔法般的黑科技&i&。&/i&&/p&&br&&p&&b&室内定位&/b&&/p&&p&相信在大型商场定位过的同学会很熟悉手机这个功能。 &/p&&p&Wi-Fi定位技术目前主要有两种，一种是通过移动设备和三个无线网络接入点的无线信号强度计算出移动设备距与各接入点的距离，然后便可对移动设备进行三角定位。另一种是事先记录巨量的确定位置点的信号强度，通过用新加入的设备的信号强度对比拥有巨量数据的数据库，来确定位置。&/p&&br&&img src=&/v2-a8a90b427e0d28930ece_b.png& data-rawwidth=&670& data-rawheight=&457& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&670& data-original=&/v2-a8a90b427e0d28930ece_r.png&&&br&&p&&b&隔墙透视&/b&&/p&&p&2015年，麻省理工技术学院的科学家们发明的RF-Capture系统，已经可以透过一堵墙，穿过过衣服观察人体轮廓，识别被遮住者的身份了，而且最多还能认出15个人，准确率达到88%。在当时，就已经可以达到隔墙识别人体动作变化，甚至检测心率效果。 &/p&&br&&img src=&/v2-ac57e316f164a0625e6e_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-ac57e316f164a0625e6e_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&367& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-6_r.jpg&&&p&这样一个系统可以识别个体在特定的位置，可以用来安全监测和智能家居,还可以帮助改善VR动作捕捉的视频游戏。&/p&&p&&a href=&///?target=https%3A//youtu.be/7LTr02cJkiAhttps%3A//youtu.be/7LTr02cJkiA& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&youtu.be/7LTr02cJkiAhtt&/span&&span class=&invisible&&ps://youtu.be/7LTr02cJkiA&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
&/p&&p&&b&3D测绘&/b&&/p&&br&&p&近日，美国加州大学圣芭芭拉分校实验团队仅仅利用了日常使用的WiFi信号，只有两架无人机、WiFi接发器，平板便完成了对物体的3D测绘。&/p&&br&&img src=&/v2-81230dd1acdd18bbba429fa_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/v2-81230dd1acdd18bbba429fa_r.jpg&&&br&&p&试验中，两架无人机围绕方形小屋飞行。其中一架无人机负责WiFi信号的稳定输出，另一架则利用这WiFi信号进行3D测绘工作。方法虽然简单，但实验结果却毫不含糊，测绘输出的高分辨率3D透视图像显示，最右边4%的WiFi信号快速测绘，虽然边缘有些失真，但是误差仅仅只有3.84%&/p&&p&值得警惕的是，通过简单常见的小物件，别人就能够轻而易举地把我们的屋内信息看个一清二楚。
实验中砖墙的场景很简单,在大规模应用前还有很多问题待解决，如来自其他无线网络的干扰等问题或需要更好的图像处理方法。&/p&&p&今后，利用无人机便携性，该系统可以用于更复杂的情况像搜救行动监控建筑和桥梁的结构状态,或者检查潜在的考古遗址。&/p&&br&&p&信息时代，隐私无处可藏，可见的未来，你开着WiFi，就等于告诉别人你在xxx地方开生活写实直播，时不时收到“双击666，礼物走一波”。&/p&&img src=&/v2-35e3cb174009fdb24e12_b.png& data-rawwidth=&322& data-rawheight=&259& class=&content_image& width=&322&&&br&&p&以上资料来源网络，仅供交流，侵删。&/p&&p&参考资料：&/p&&a href=&///?target=https%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI2MjY3ODYzNw%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Da0f7a880d63eb9c13ab5eed907be907f%26chksm%3Dea46302fdd31bac7e8bd6c0f527c44ace2b7d01c52a31%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&WiFi的黑科技&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a href=&///?target=http%3A//www.news.ucsb.edu//x-ray-eyes-sky& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&X-Ray Eyes in the Sky&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
先前的回答有部分错误，感谢评论区知友指正，已做修改，有知友提出没写关于wifi充电，估计是最近吵得火热的“iPhone8要用WiFi充电”,大家笑笑就好啦，有兴趣点传送门&a href=&///?target=http%3A//mp./s%3F__biz%3DMzI2MjY3ODYzNw%3D%3D%26mid%3Didx%3D1%26sn%3Ddfcbdb76dc%26chksm%3D6ab93a5c121dcda7e4fb5fb35b6c65bac4e332bdb1becc49fe0ec3431%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&iPhone8能用WiFi充电？别逗了&i class=&icon-external&&&/i&&/a& &/p&&p&&b&WiFi充电，理论上是可行，但是目前功率太小太小了（国无线局域网产品的发射功率不大于10mW）。&/b&要满足手机充功率，必然要提高空间能量密度高，而能量密度高又必然会带来辐射，而且功率随距离是平方关系递减的，短时间内还是一个很难破解的难题。&/p&&p&2015年，华盛顿大学一项研究称研究者们制作了一个叫做 PoWiFi 的装置，通过一个 WiFi 接入点（路由器）和一个传感器，可以在约8.5米的距离内为设备无线充电。研人员对&b&对路由器经过了一些改造（加大功率）&/b&，使得它能同时传递良好的电流和 WiFi 信号，传感器的主要作用是收获电磁波的能量，转换成直流电。其原理类似于利用太阳电池板将光能转化为电能。&/p&&br&&img src=&/v2-eda4c381b590fb2f2988e01d_b.png& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&/v2-eda4c381b590fb2f2988e01d_r.png&&&p&虽然目前的Wi-Fi充电技术，暂时还只能以“细水长流”而不是“如潮洪水”的方式给设备充电，但这仍然是一个了不起的成就。随着技术成熟，未来的电子设备，或许可以将充电接口、充电线等概念遗忘，只需要利用Wi-Fi网络来充电。&/p&&a href=&///?target=http%3A//www.telegraph.co.uk/technology//apple-patents-way-charge-iphone-wi-fi/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Apple patents way to charge iPhone over Wi-Fi &i class=&icon-external&&&/i&&/a&&a href=&///?target=https%3A///2015/06/power-over-wi-fi/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wi-Fi That Charges Your Gadgets Is Closer Than You Think&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&p&&b&----------------------------------------------------------------------------------------------------------&/b&&/p&&p&欢迎点赞，你们的鼓励是我持续分享的动力！想看看最新最酷好玩的科技，欢迎大家关注我的公众号：酷炫挖掘机。&/p&
WiFi作为移动互联网时代的马斯洛需求层次理论的最底层，WiFi的重要性不言而喻，但是除了上网，WiFi还有其它黑科技。（英国纽卡斯尔大学（Newcastle University’s School of Architecture）建筑学院博士生路易斯-赫南（Luis Hernan绘制的在人类周围出现的无…
&img src=&/50/v2-aa0c4c3d518b9bb0b2f1f1_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&898& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&/50/v2-aa0c4c3d518b9bb0b2f1f1_r.jpg&&&p&(updated on June 27, 2017: 循环卷积和SVD，正交性，ICI和ISI的关系)&/p&&p&正交频分复用（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_frequency-division_multiplexing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&orthogonal frequency-division multiplexing&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, OFDM）广泛应用于数字通信系统中。如许多人所知，OFDM用基于傅里叶变换（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fourier transform&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）的数字信号处理实现频域子载波之间互相正交，不需要子载波间放置保护频带（guard band），因而比频分复用（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Frequency-division_multiplexing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&frequency-division multiplexing&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, FDM）具有更好的频谱利用效率。同时，OFDM可以有效对抗多径（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Multipath_propagation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&multipath&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），以及符号间干扰（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Intersymbol_interference& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&inter-symbol interference&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, ISI）。&/p&&p&随着OFDM的广泛使用，许多从事通信、网络方面的研究或开发的人都直接或间接地用到了OFDM。但是，据我观察，很多人对OFDM的理解是并不全面或者是有一些错误的。比如说，很多人是无法正确且全面地回答下面这些问题的：&/p&&p&1）OFDM的频域的数字信号如何映射到模拟信号里的频率？为什么？为什么需要把高频子载波作为保护频带？&/p&&p&2）OFDM为何可以减小ISI？&/p&&p&3）OFDM里面的循环前缀（cyclic prefix, CP）或者保护间隔（guard interval, GI）有什么用？它们的长度如何确定？是否只要比多径长就可以了？&/p&&p&4a）OFDM里，时域的连续信号延迟&img src=&/equation?tex=%5CDelta+t& alt=&\Delta t& eeimg=&1&&时间，对频域子载波上承载的离散序列有什么影响？4b）离散的频域信道与连续的频域信道之间有什么关系？&/p&&p&5）子载波间干扰（inter-subcarrier interference, ICI）是如何产生的？ICI和ISI有什么关系？CP是否可以帮助对抗ICI？&/p&&p&6）离散时域的信道模型中的multitap 与多径以及频率选择性（frequency selectiveness）这三者之间有什么关系？&/p&&p&7）如何理解正交性？&/p&&p&8）是否可以让发射机做DFT、让接收机做IDFT？为什么？&/p&&p&9）一种常见的分析OFDM的正交性的方法是对信道矩阵（循环矩阵）进行&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SVD分解&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，如何理解这种方式？&/p&&p&本文将介绍OFDM的基本原理，并解答上述问题。&/p&&p&OFDM中最为人们所熟知的是，接收机通过离散傅里叶变换（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&discrete Fourier transform&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, DFT）把时域序列转换到频域，而发射机通过离散傅里叶反变换（inverse DFT, IDFT）把频域序列转换到时域，如图1所示，上方是频域序列的实部&img src=&/equation?tex=%5Cmathfrak%7BR%7D%5Cleft%5BX%5Cleft%5Bk%5Cright%5D%5Cright%5D& alt=&\mathfrak{R}\left[X\left[k\right]\right]& eeimg=&1&&，下方是时域序列的实部&img src=&/equation?tex=%5Cmathfrak%7BR%7D%5Cleft%5Bx%5Cleft%5Bn%5Cright%5D%5Cright%5D& alt=&\mathfrak{R}\left[x\left[n\right]\right]& eeimg=&1&&。为了展示方便，本文中的DFT长度设为较短的&img src=&/equation?tex=N%3D16& alt=&N=16& eeimg=&1&&，频域采用16&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Quadrature_amplitude_modulation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&QAM&i class=&icon-external&&&/i&&/a&调制，时域和频域均只画实部。OFDM发射机和接收机的QAM调制/解调以及DFT/IDFT的过程在此就不画框图了，可参考&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_frequency-division_multiplexing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wikipedia&i class=&icon-external&&&/i&&/a&。&/p&&img src=&/v2-3872ff8dbfc9da5710fed7_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-3872ff8dbfc9da5710fed7_r.png&&&p&连续傅里叶变换（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fourier transform&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）[2]&/p&&p&&img src=&/equation?tex=x%5Cleft%28t%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7DX%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29e%5E%7Bj%5COmega+t%7Dd%5COmega& alt=&x\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X\left(j\Omega\right)e^{j\Omega t}d\Omega& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=X%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5Cleft%28t%5Cright%29e%5E%7B-j%5COmega+t%7Ddt& alt=&X\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}x\left(t\right)e^{-j\Omega t}dt& eeimg=&1&&&/p&&p&具有很明确的物理意义：连续时间信号与其频谱之间的转换关系。但是离散傅里叶变换（DFT）&/p&&p&&img src=&/equation?tex=x%5Cleft%5Bn%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7DX%5Cleft%5Bk%5Cright%5De%5E%7Bj%5Cleft%282%5Cpi%2FN%5Cright%29kn%7D& alt=&x\left[n\right]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X\left[k\right]e^{j\left(2\pi/N\right)kn}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=X%5Cleft%5Bk%5Cright%5D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7BN-1%7Dx%5Cleft%5Bn%5Cright%5De%5E%7B-j%5Cleft%282%5Cpi%2FN%5Cright%29kn%7D& alt=&X\left[k\right]=\sum_{n=0}^{N-1}x\left[n\right]e^{-j\left(2\pi/N\right)kn}& eeimg=&1&&&/p&&p&却无法拥有类似的物理意义，最基本的一个问题是：根据不确定性原理（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle%23Signal_processing& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&uncertainty principle&i class=&icon-external&&&/i&&/a&），时限（time-limited, or duration-limited）的信号的频率一定是无限的，而带限（band-limited）的信号的时间一定是无限的。DFT变换的两边均是有限长度的序列，所以一定无法用任何信号的连续傅里叶变换来表示。但是我们可以考虑离散傅里叶序列（discrete Fourier series, DFS）&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5De%5E%7Bj%5Cleft%282%5Cpi%2FN%5Cright%29kn%7D& alt=&\tilde{x}\left[n\right]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}\left[k\right]e^{j\left(2\pi/N\right)kn}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7BN-1%7D%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5De%5E%7B-j%5Cleft%282%5Cpi%2FN%5Cright%29kn%7D& alt=&\tilde{X}\left[k\right]=\sum_{n=0}^{N-1}\tilde{x}\left[n\right]e^{-j\left(2\pi/N\right)kn}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D& alt=&\tilde{x}\left[n\right]& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&\tilde{X}\left[k\right]& eeimg=&1&&都是周期为&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&的序列。如图2所示，时域序列和频域序列均只画出三个周期。DFS可以看作是DFT在时域和频域上均作周期为&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&的无限扩展。&/p&&img src=&/v2-ef50b58a3bc7_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-ef50b58a3bc7_r.png&&&p&DFS是可以用连续傅里叶变换来表示的。具体地，令&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29%3DT%5Csum_%7Bn%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D%5Cdelta%5Cleft%28t-nT_%7B0%7D%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)=T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\tilde{x}\left[n\right]\delta\left(t-nT_{0}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)& eeimg=&1&&的连续傅里叶变换结果是&/p&&p&&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D2%5Cpi%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D%5Cdelta%5Cleft%28%5COmega-k%5Cleft%282%5Cpi%2FT%5Cright%29%5Cright%29& alt=&\tilde{X}\left(j\Omega\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi\tilde{X}\left[k\right]\delta\left(\Omega-k\left(2\pi/T\right)\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&img src=&/equation?tex=T%3DNT_%7B0%7D& alt=&T=NT_{0}& eeimg=&1&&。由此可见，&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D%5Coverset%7BDFS%7D%7B%5Clongleftrightarrow%7D%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&\tilde{x}\left[n\right]\overset{DFS}{\longleftrightarrow}\tilde{X}\left[k\right]& eeimg=&1&&可以用&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29%5Coverset%7BFT%7D%7B%5Clongleftrightarrow%7D%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)\overset{FT}{\longleftrightarrow}\tilde{X}\left(j\Omega\right)& eeimg=&1&&来表示。因为&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D& alt=&\tilde{x}\left[n\right]& eeimg=&1&&以&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&为周期，所以&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)& eeimg=&1&&以&img src=&/equation?tex=T%3DNT_0%5Ctriangleq+N%2FW& alt=&T=NT_0\triangleq N/W& eeimg=&1&&为周期；因为&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&\tilde{X}\left[k\right]& eeimg=&1&&以&img src=&/equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&&为周期，所以&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29& alt=&\tilde{X}\left(j\Omega\right)& eeimg=&1&&以&img src=&/equation?tex=N%5COmega_%7B0%7D%5Ctriangleq+N%5Cleft%282%5Cpi%2FT%5Cright%29%3D2%5Cpi+W& alt=&N\Omega_{0}\triangleq N\left(2\pi/T\right)=2\pi W& eeimg=&1&&为周期。在后面的讨论中会看到，这里的&img src=&/equation?tex=W& alt=&W& eeimg=&1&&在OFDM里的物理意义是带宽，而&img src=&/equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&&的物理意义是一个OFDM符号（symbol）的时间长度，它们的关系是&img src=&/equation?tex=WT%3DN& alt=&WT=N& eeimg=&1&&。图3画出了&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29%5Coverset%7BFT%7D%7B%5Clongleftrightarrow%7D%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)\overset{FT}{\longleftrightarrow}\tilde{X}\left(j\Omega\right)& eeimg=&1&&的结果。请留意到本文的图中用星号标记符来表示&img src=&/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&函数的脉冲，而在这些有&img src=&/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&函数的图里，纵坐标只表示乘在&img src=&/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&函数之上的系数的大小，比如&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%28j%5COmega%5Cright%29& alt=&\tilde{X}\left(j\Omega\right)& eeimg=&1&&中的&img src=&/equation?tex=2%5Cpi%5Ctilde%7BX%7D%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&2\pi\tilde{X}\left[k\right]& eeimg=&1&&，以及&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)& eeimg=&1&&中的&img src=&/equation?tex=T%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%5Bn%5Cright%5D& alt=&T\tilde{x}\left[n\right]& eeimg=&1&&。&/p&&img src=&/v2-a44df19d4384_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-a44df19d4384_r.png&&&p&现在我们把离散序列跟连续时间的信号用图2和图3联系起来了。虽然图3里面的信号是“连续”的，但是很显然我们依然无法发送这样的信号，因为这里面包含了&img src=&/equation?tex=%5Cdelta& alt=&\delta& eeimg=&1&&函数。于是下一步是把图3里面的信号处理成真正可以发送的信号。&/p&&p&对图3里的信号进行&img src=&/equation?tex=%5B0-%5Cepsilon%2CT-%5Cepsilon%29& alt=&[0-\epsilon,T-\epsilon)& eeimg=&1&&时间上的截断（&img src=&/equation?tex=%5Cepsilon%3E0& alt=&\epsilon&0& eeimg=&1&&是个无穷小量），即对时域信号&img src=&/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%5Cleft%28t%5Cright%29& alt=&\tilde{x}\left(t\right)& eeimg=&1&&乘以&img src=&/equation?tex=rect%5Cleft%28%5Cfrac%7Bt%2B%5Cepsilon-%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D%7BT%7D%5Cright%29& alt=&rect\left(\frac{t+\epsilon-\frac{T}{2}}{T}\right)& eeimg=&1&&，其中窗函数&img src=&/equation?tex=rect%5Cleft%28t%5Cright%29& alt=&rect\left(t\right)& eeimg=&1&&定义为&img src=&/equation?tex=rect%5Cleft%28t%5Cright%29%3D%5Cbegin%7Bcases%7D+0+%26+if%5Cthinspace%5Cleft%7Ct%5Cright%7C%3E%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%26+if%5Cthinspace%5Cleft%7Ct%5Cright%7C%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5C%5C+1+%26+if%5Cthinspace%5Cleft%7Ct%5Cright%7C%3C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cend%7Bcases%7D& alt=&rect\left(t\right)=\begin{cases} 0 & if\thinspace\left|t\right|&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & if\thinspace\left|t\right|=\frac{1}{2}\\ 1 & if\thinspace\left|t\right|&\frac{1}{2} \end{cases}& eeimg=&1&& （即使不针对间断点定义也可以）。这相当于在频域上卷积以&img src=&/equation?tex=Tsinc%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5COmega+N%7D%7B2%5Cpi+W%7D%5Cright%29e%5E%7B-j%5COmega%5Cfrac%7BT%7D%7B2%7D%7D& alt=&Tsinc\left(\frac{\Omega N}{2\pi W}\right)e^{-j\Omega\frac{T}{2}}& eeimg=&1&&，其中sinc函数定义为归一化的sinc函数&img src=&/equation?tex=sinc%5Cleft%28x%5Cright%29%3D%5Cfrac%7Bsin%5Cleft%28%5Cpi+x%5Cright%29%7D%7B%5Cpi+x%7D& alt=&sinc\left(x\right)=\frac{sin\left(\pi x\right)}{\pi x}& eeimg=&1&&。这个过程如图4所示。注意到图4的上方的图里，在对应每个子载波的位置（&img src=&/equation?tex=%5COmega%3Dk%5Cleft%282%5Cpi%2FT%5Cright%29%3D2%5Cpi+k%5Cfrac%7BW%7D%7BN%7D%2C%5Cforall+k%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D& alt=&\Omega=k\left(2\pi/T\right)=2\pi k\frac{W}{N},\forall k\in\mathbb{Z}& eeimg=&1&&）上，其他子载波的信号的幅度均为0，即各子载波是正交的。注：图4中的红色方框代表的是窗函数，其实际幅度是1，但为了展示方便在本文的图中会根据需要去画窗函数的幅度，而画出来的红色框的幅度并不是实际的窗函数的幅度。&/p&&img src=&/v2-c37f1c18ed4_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-c37f1c18ed4_r.png&&&p&然后我们再让图4的信号经过一个低通滤波器（low-pass filter, LPF），即把图4中的频域信号乘以&img src=&/equation?tex=rect%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5COmega%7D%7B2%5Cpi+W%7D%5Cright%29& alt=&rect\left(\frac{\Omega}{2\pi W}\right)& eeimg=&1&&。这相当于在时域上卷积以&img src=&/equation?tex=Wsinc%5Cleft%28Wt%5Cright%29& alt=&Wsinc\left(Wt\right)& eeimg=&1&&。这个过程如图5所示。图5最上方的图（去除红色方框外的部分）是信号频谱的各个部分（截断的sinc函数）重叠地画在一起。在对应每个子载波的位置（&img src=&/equation?tex=%5COmega%3Dk%5Cleft%282%5Cpi%2FT%5Cright%29%3D2%5Cpi+k%5Cfrac%7BW%7D%7BN%7D%2C%5Cforall+k%3D-N%2F2%2C%5Cldots%2CN%2F2-1& alt=&\Omega=k\left(2\pi/T\right)=2\pi k\frac{W}{N},\forall k=-N/2,\ldots,N/2-1& eeimg=&1&&）上，其他子载波的信号的幅度均为0，即各子载波是正交的。图5最下方的图是中间的图的各个sinc信号叠加起来的结果，这个信号相对适合作为用于发射的基带信号，因为它是带限的，且时间上没有重复（没有浪费时间）。&/p&&img src=&/v2-1e8b0d66ef1_b.png& data-rawwidth=&650& data-rawheight=&900& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&650& data-original=&/v2-1e8b0d66ef1_r.png&&&p&要注意，低通滤波是在&img src=&/equation?tex=%5B-%5Cpi+W%2C%5Cpi+W%29& alt=&[-\pi W,\pi W)& eeimg=&1&&上，从图5的上方的图可以看到，当&img src=&/equation?tex=0%3C+k%3C%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D& alt=&0& k&\frac{N}{2}& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=X%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&X\left[k\right]& eeimg=&1&&对应的是正频率，&img src=&/equation?tex=%5COmega+%3E0& alt=&\Omega &0& eeimg=&1&&；而当&img src=&/equation?tex=%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%5Cleq+k%3CN& alt=&\frac{N}{2}\leq k&N& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=X%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&X\left[k\right]& eeimg=&1&&对应的是负频率，&img src=&/equation?tex=%5COmega+%3C0& alt=&\Omega &0& eeimg=&1&&。不妨定义&img src=&/equation?tex=k%5E%7B%5Cprime%7D%3D%5Cbegin%7Bcases%7D+k+%26+0%5Cleq+k%3C%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%5C%5C+k-N+%26+%5Cfrac%7BN%7D%7B2%7D%5Cleq+k%3CN+%5Cend%7Bcases%7D& alt=&k^{\prime}=\begin{cases} k & 0\leq k&\frac{N}{2}\\ k-N & \frac{N}{2}\leq k&N \end{cases}& eeimg=&1&&。这样，&img src=&/equation?tex=X%5Cleft%5Bk%5Cright%5D& alt=&X\left[k\right]& eeimg=&1&&对应的频率是&img src=&/equation?tex=2%5Cpi+W%5Cfrac%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7BN%7D& alt=&2\pi W\frac{k^{\prime}}{N}& eeimg=&1&&。请留意到图1中的频域序列中对应高频（比较大的&img src=&/equation?tex=%5Cleft%7C%5COmega%5Cright%7C& alt=&\left|\Omega\right|& eeimg=&1&&）的部分是0，即用作保护频带。需要用保护频带的原因是：实际中发射机接收机的低通滤波器并不是理想低通滤波器，在&img src=&/equation?tex=%5B-W%2F2%2CW%2F2%29& alt=&[-W/2,W/2)& eeimg=&1&&之外的一个小范围（对应使用旁边的频带的用户的高频）之内也会有一些不可忽略的能量；并且，实际低通滤波器在高频子载波上的幅度也会比较小。所以每对发射机/接收机都应避免使用这些高频子载波，否则相邻频带的发射机之间的信号会在高频子载波上面互相干扰。这回答了问题1）。另外，序列中的0号位置对应直流（DC），也是设置为0，这是因为接收机会有DC偏置的问题，使得对应DC的0号子载波不适合用来传数据。&/p&&p&在上文中，我们先对图3进行时间上的截断，然后再进行低通滤波。这样的顺序是比较符合实际中的做法的，因为在实际中，发射机的数字处理部分只会把一个周期的序列（可能包括CP）送出去给数模转换器（&a href=&/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Digital-to-analog_converter& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&digital-to-analog converter&i class=&icon-external&&&/i&&/a&, DAC）转换成模拟信号然后滤波成基带信号，这相当于先进行时间上的截断然后再低通滤波。把离散序列进行DAC并滤波的过程与理论上的把冲击序列低通滤波成连续信号是类似的，但是不太一样；详见[1]中第4章。&/p&&p&但是“先对图3进行时间上的截断然后再进行低通滤波得到图5”这样的方式不太方便说明一些问题，比如循环前缀（CP）的作用和时间偏