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改用极坐标计算：
f[x_,y_]:=Exp[-x^2-y^2];
Integrate[r*f[r*Cos[t],r*Sin[t]],{r,0,2Pi},{r,0,a}]
&（得到精确解）
f[x_,y_]:=Exp[-x^2-y^2];
Integrate[r f[r*Cos[t],r*Sin[t]],{r,0,2Pi},{r,0,a}]
f[x_,y_]:=ArcTan[y/x];
t1=0;t2=Pi/4;
r1[t_]:=1;r2[t_]:=2;
Integrate[r f[r*Cos[t],r*Sin[t]],{t,t1,t2},{r,r1[t],r2[t]}]
返回《用Mathematica做微积分》
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blogTitle:'用Mathematica求二重积分（极坐标）',
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{list wl as x}{/list}二重积分的计算与应用_参考网
二重积分的计算与应用
黄冶文【摘要】随着数学分析的理论和方法不断完善，数学在生活中的应用愈来愈广泛，二重积分作为数学分析的一个重要组成部分，也就发挥着越来越重要的作用价值.本文从二重积分相关的定义和定理、计算技巧、应用这三个方面来总结.对于二重积分的计算，其方法主要是通过在直角坐标系和极坐标系中把二重积分化为累次积分，又因为二重积分的计算与积分区域以及被积函数有关联，那就能根据区域的对称性和函数的奇偶性来化简其计算.本文还探讨了如何应用二重积分的性质来解决与积分相关的问题，以及二重积分在几何、力学、物理等方面的应用.【关键词】二重积分；极坐标；积分区域；对称性；平面一、引言数学分析的发展起源于微积分，然后推广到了函数的连续性、可微性、可积性等各种特性.我们可以将这些特性应用于对物理世界的探究，以及自然界特征的探索.微积分理论从它起源之日起就展现了它庞大的应用活力，因而，在数学分析中，应加强微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容，特别是二重积分.我们知道二重积分是定积分的推广，因此，计算二重积分的基本方法就是把它转化成二次定积分加以计算.二、二重积分的概念（一）二重积分的定义设一个定义域是在可求面积并且有界的闭区域D上的函数f（x，y），J为一个明确的数，如果对ε&0，总某个δ&0，使得对于D的分割T，再取（ξi，ηi），当细度‖T‖&δ时，属于T中所有的积分和为例2求I=D12（4-x-y）dσ，D由直线y=x与抛物线y=x2围成.解先画D的草图（图3）.经观察，D既可看成x型区域，也可看成y型区域.假如看作x型区域，就可以画一条穿过区域D且平行于y轴的直线，则穿入边为y=x2，穿出边为y=x.然而，D的最左边的点对应着x=0，最右边是x=1.从而，I可化为下述二次积分计算：（二）二重积分的变量变换1.二重积分的变量变换公式引理设T：x=x（u，v），y=y（u，v）是一个变换，它把平面uOv上按段光滑封闭曲线围成的闭区域Δ，一对一地映为xOy平面中的闭区域D，x（u，v），y（u，v）在Δ内皆具一阶连续偏导数，它们有函数行列式J=（x，y）（u，v）≠0，（u，v）∈Δ，则区域D的面积μ（D）=Δ|J（u，v）|dudv.（3.5）定理4设f（x，y）在有界闭区域D上是可积的，平面uOv上按段光滑封闭曲线所包围的闭区域Δ被变换T：x=x（u，v），y=y（u，v），一对一地映为平面xOy上的闭区域D，x（u，v），y（u，v）在Δ内皆具一阶连续偏导数，它们的函数行列式I的绝对值有显然的几何意义：即|I|是uOv上以Δu和Δv为边的小矩形通过映射到xOy上的曲边四边形的面积的一个缩放比极限，该极限是当Δu2+Δv2→0时的.还有，I的符号也有意义.假定取负方向是上述矩形和四边形的边界闭曲线的顺时针，正方向是逆时针，那么I&0时，小矩形和曲边四边形的边界方向一样，而I&0时，边界方向相反，也就是从正向变为负向或从负向变为正向[2].例4根据函数组u=y2x，v=xy把正方形S{a≤x≤a+h，b≤y≤b+h}（a&0，b&0）变换成区域S′.求S′与S的面积比.当h→0时，此比值的极限等于什么？2.用极坐标计算二重积分若被积函数的形式为f（x2+y2），fyx或fxy，或者积分区域在极坐标下表示的一些二重积分会更容易计算.这些一般来说都是很明确的，当积分区域形状是心脏线、玫瑰线、螺旋状，或者更一般的情况，对于任何曲线，如果它的等式在极坐标系下表示比在直角坐标系下表示更为简单，考虑的变量替换是极坐標变换，也就是在极坐标系中计算二重积分[3].积分区域或被积函数就能采用极坐标变换为V=4∫π20dθ∫Rcosθ0R2-r2rdr=43R3∫π20（1-sin3θ）dθ=43R3π2-23.例10重积分Dx2x2+y2dσ，曲线y=1x，直线y=3，x=3围成平面闭区域D.解因为积分区域D关于直线y=x对称，得Dx2x2+y2dσ=Dy2x2+y2dσ，故Dx2x2+y2dσ=12Dx2x2+y2dσ+Dy2x2+y2dσ=12Ddσ=4-ln3.四、总结通过以上对二重积分的计算方法的归纳总结，能够发现在这些计算之中有相当多的技巧和规律.二重积分的计算以定积分的计算为基础，它的关键是根据二重积分的性质、几何意义，以及被积函数的特征，把不同类型的题目分类以便找到相关的解题思路.我们能够利用极坐标变换、区域的对称性来达到化简积分区域或者被积函数的效果，也可以把区域的对称性与函数的奇偶性结合在一起应用到二重积分的计算中.利用二重积分的性质解决问题也是一个不可忽略的技巧，在证明定积分不等式、确定积分值符号、估算积分值中显得尤为重要.同时，二重积分的应用范围也十分广泛，可以用来解决几何、物理、力学等方面的问题，而且在物理学、天文学、经济学、几何学等学科的发展中起到了重大作用.【参考文献】[1]Courant R.Introduction to Calculus and Analysis II/1[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2007.[2]谢惠民，沐定夷.吉米多维奇数学分析习题集学习指引[M].北京：高等教育出版社，2011.[3]Howard Anton，Irl Brivens，Stephen Davis.微积分[M].北京：高等教育出版社，2008.[4]赵焕光，林长胜.数学分析[M].成都：四川大学出版社，2006.[5]徐小湛.对称性在积分计算中的应用[D].成都：四川大学，.
数学学习与研究
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§9.1&&二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。
当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积可以这样来计算:
(1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域&&,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体&。
（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(将化整为零)
(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将近似地看作,于是
(以不变之高代替变高,&求的近似值)
(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为
(积零为整,&得曲顶柱体体积之近似值)
(4)、为得到的精值,只需让这个小区域,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设个小区域直径中的最大者为,&则
(取极限让近似值向精确值转化)
2、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有&&面上的区域,&它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。
将分成个小区域&用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。
当很小时,&由于连续,&每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,&那么第小块区域的近似质量可取为
两种实际意义完全不同的问题,&最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,&给出一个更广泛、更抽象的数学概念___&二重积分。
3、二重积分的定义
设是闭区域上的有界函数,&将区域分成个小区域
其中:既表示第个小区域,&也表示它的面积,表示它的直径。
若极限&&&存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作&。
其中:&称之为被积函数,
称之为被积表达式,
称之为面积元素,
称之为积分变量,
称之为积分区域,
称之为积分和式。
4、几个事实
(1)、二重积分的存在定理
若在闭区域上连续,&则在上的二重积分存在。
在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。
由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为&。
(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1、【线性性】
其中:是常数。
2、【对区域的可加性】
若区域分为两个部分区域,则
3、若在上,,为区域的面积,则
&高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在上,,则有不等式
特别地,由于，有
5、【估值不等式】
设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则
6、【二重积分的中值定理】
设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得
【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分，并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。
解:在上连续,故二重积分存在。用平行于轴或轴的直线
将剖分成个小矩形区域,
每个小区域的面积为&,
在小区域上选取点为格点,
作积分和式
小区域的直径均为
该曲顶柱体的图形为
据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为
【例2】估计二重积分&&的值,是圆域。
解:&求被积函数在区域上可能的最值
是驻点,且&；
§9.2&&二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。
讨论中,我们假定&；
假定积分区域可用不等式&表示,
其中,&在上连续。
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(&它是的函数&)再对从到计算定积分。
这个先对,&后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的&(在上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算&
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
&&&&&&&(2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域,&用平行于轴(轴&)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分,&确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法&--&几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下&)
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。
类似地,&
【例2】计算,&其中是由抛物线及直线所围成的区域。
【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图,&并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面&,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限,&化二重积分为二次积分并作定积分计算
由,的对称性有&&
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点为中心的一族同心圆&以及从极点出发的一族射线&,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明:&包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,&因此,&这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
由于也常记作,&因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分,&同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数,&在上连续。
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式&(&即极点在积分区域的边界上&)。
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形(&极点包围在积分区域的内部&),可剖分成与,而
由上面的讨论不难发现,&将二重积分化为极坐标形式进行计算,&其关键之处在于:&将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
?据图确定极角的最大变化范围
?与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围
注:&本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分&。
而被积函数满足&,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
于是不等式可改写成下述形式
故当&时有&&,
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(&含圆弧,直线段&)；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(&含,&为实数&)。
【例6】计算
解 此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
§9.3&&二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时,&所求量相应地分成许多部分量,且)。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时,&相应的部分量可近似地表示为&,&其中,&称为所求量的元素,&并记作。
(注:&的选择标准为:&是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式&&
一、曲面的面积
设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。
在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。
以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面,&该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,
曲面在点处的法线向量(&指向朝上的那个&)为
它与轴正向所成夹角的方向余弦为
这就是曲面的面积元素,&故
【例1】求球面含在柱面&()&内部的面积。
解:所求曲面在面的投影区域&&
曲面方程应取为&&,&则
曲面在面上的投影区域为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
&&,&&&&&&&
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量&&&
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然,&这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,&因此,&习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解:&由的对称性可知:&
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点,&它们分别位于点处,&质量分别为。
设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,&假定在上连续。
现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数&)对于直线的转动惯量。
解:&转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点&&处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为
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极坐标怎么计算？
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[ 0,2cosθ]=(1/3)∫ [π/4,π/2] 8(cosθ)^3dθ=(8/3)∫ [π/4,π/2] [1-(sinθ)^2]d(sinθ)=(8/3)[sinθ-(sinθ)^3/3][π/4,π/2]=(8/3)[1-√2/2-(1/3-2√2/24)]=16/9-10√2/9.相关解答二：卡西欧计算器如何计算极坐标相加 您好，坐标相加是计算不了的，只可以直角坐标和极坐标相互转化的！望采纳！相关解答三：如何在极坐标下计算旋转体体积? 5分何必呢?计算体积直角坐标系比较方便啊V=∫π[f(x)]^2dx,转化成直角坐标就可以了。极坐标计算面积比较方便S=∫(1/2)r^2dθ，r=r(θ）。把a<=r<=sqr(2sin(2θ))转化成a^2<=x^2+y^2<=2xy就可以积分了,化个图就很直观了.相关解答四：跪求高手，怎么在给定的极坐标方程计算其曲率？ 极坐标中，曲率的公式为：K=|ρ^2+2ρ'^2-ρρ''|/(ρ^2+ρ'^2)^(3/2)然后自己代入吧。相关解答五：卡西欧计算器fx-991ES中直角坐标转换成极坐标怎样操作如8.66+j5转换成极坐标 40分我靠，猛一看还真没明白，什么时候国家教材又改了？我们上学那会儿，复数形式是Z=a+bi，大家都已深入人心了，哪个鸟人改成J了，搞得差点儿没看懂。那就简单多了，你按shift，再按“+”，就是上面有一个pol的那个键，再按8.66，再按shift，再按),就是右括号，上面有一个逗号的那个键，再按5，再按），最后按=，就出来结果，r=9.,@=30.0007，我电脑输入法打不出角度那个符号，你将就看吧。相关解答六：用极坐标法计算出方位角后需要进行象限判断 谁能告诉我怎么判断的啊？？跪求！！不清楚的勿扰！！ 化成－180到180不就行了么相关解答七：极坐标如何画啊！！！ 通俗的说，极坐标就是将一条长度不固定的线段一端点固定，然后绕龚一端点进行旋转，角度就是逆时针旋转度数，还有个数据就可以表示线段长度。相关解答八：极坐标的来源 第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用，而且用n和m来表示cosθ和sinθ。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ2=(x2+y2)极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。相关解答九：什么是极坐标 5分就和普通的X、Y坐标差不多，只是形势换了一种，同样是用来表示位置。相当于同样是糕点，禒不过一个是用小麦做的，一个使用普通面粉做的。相关解答十：cad的极坐标怎么用 极坐标，简单直接地说，就是可以用来画有角度的线条。详细来说，CAD的极坐标分两种：绝对极坐标（极长<角度）与相对极坐标(@极长<角度)，根据不同情况来应用。一般常用的是相对极坐标。希望对你有帮助。记得采纳哦！有不清楚的可以追问。百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆
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