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第二章 导数和微分微分学是微积分的重要组成部分， 它的基本概念是导数与微分， 其中导数反映出函数相 对于自变量的变化而变化的快慢程度， 而微分则指明当自变量有微小变化时， 函数值变化的 近似值.第一节 导数的概念在科学研究和工程技术中，常常遇到求变量的变化率的问题.例如，物体作匀速直线运 动时，其速度 v 为物体在时刻 t 0 到
t 的位移差 s ( t ) ? s ( t 0 ) 与相应的时间差 t ? t0 的商v=s (t ) ? s(t0 ) . t ? t0如果物体作变速直线运动，则上面的公式就不能用来求物体在某一时刻的瞬时速度了. 不过，我们可先求出物体从时刻 t 0 到 t 的平均速度，然后假定 t → t0 ，求平均速度的极限limt →t0s (t ) ? s(t 0 ) t ? t0并以此极限作为物体在 t 0 时刻的瞬时速度. 这样，我们就在极限的基础上建立了瞬时速度的概念，在自然科学和工程技术等领域， 还有许多其他的量也可以归结为这种类型的极限，因此，我们有必要加以抽象. 从数学角度来看，f (x ) ? f (x 0 ) 叫做函数 y = f ( x ) 在 x 0 与 x 的差商，而把 x → x 0 时， x ?x0该差商的极限值(如果存在的话)叫做函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数.一般说来，工程技术中一个变 量相对于另一个变量的变化率问题，可以化成求导数的问题进行处理. 一、导数的定义 定义 设函数 y = f ( x ) 在 U ( x 0 ) 内有定义.如果极限x →x 0limf (x ) ? f (x 0 ) x ?x0存在，则称该极限值为 f ( x ) 在点 x 0 处的导数，记为f ′(x 0 ) = limx →x 0f (x ) ? f (x 0 ) ， x ?x0(2?1?1)此时也称函数 f ( x ) 在点 x 0 可导. 函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数还可记为df (x ) dy , , y′ . dx x = x 0 dx x = x 0 x =x0导数 f ′ ( x 0 ) 可以表示为下面的增量形式f ′(x 0 ) = lim f (x 0 + ? x ) ? f (x 0 ) ?y = lim . ? x ? x →0 ?x? x →0(2?1?2)如 果 (2?1?1) 式 和 式 (2?1?2) 中 右 边 的 极 限 不 存 在 ， 则 称 f ( x ) 在 点 x 0 不 可 导 . 当x →x 0limf (x ) ? f (x 0 ) = ∞ 时，我们通常说函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处的导数为无穷大. x ?x0如果函数 y = f ( x ) 在开区间 (a,b) 内的每一点处都可导， 则称 f ( x ) 在此开区间 (a,b) 内可导.这时， ?x ∈ (a,b) ，对应着 f ( x ) 的一个确定的导数值，这是一个新的函数关系，称该 函数为原来函数 f ( x ) 的导函数，记为 f ′ ( x ) ,y ′,f ′(x ) = lim?x →0df (x ) dy , 等，此时 dx dxf (x + ?x ) ? f (x ) , x ∈ (a,b) . ?x显然， f ( x ) 在点 x 0 ∈ (a,b) 的导数 f ′ ( x 0 ) 就是导函数 f ′ ( x ) 在点 x = x 0 处的函数值，即f ′(x 0 ) = f ′(x )x =x 0.为方便起见，我们简称函数的导函数为导数. 由函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 的定义可知，它是一种极限：f ′(x 0 ) = limx →x 0f (x ) ? f (x 0 ) ， x ?x0而极限存在的充要条件是左、 右极限都存在且相等.因此 f ′ ( x 0 ) 存在 （即 f ( x ) 在点 x 0 可导） 的充要条件应是下面的左、右极限x →x 0lim?f (x ) ? f (x 0 ) , x ?x0x →x 0lim+f (x ) ? f (x 0 ) x ?x0都存在且相等 . 我们将这两个极限分别称为函数 f ( x ) 在 x 0 处的左导数和右导数，记为f ′? ( x 0 ) 和 f ′+ ( x 0 ) ，即f ?′ (x 0 ) = lim?x →x 0f (x ) ? f (x 0 ) ， x ?x0 f (x ) ? f (x 0 ) ； x ?x0f +′ (x 0 ) = lim+x →x 0或写成增量形式f ?′ (x 0 ) = lim ??x → 0f (x 0 + ?x ) ? f (x 0 ) ， ?x f (x 0 + ? x ) ? f (x 0 ) . ?xf +′ (x 0 ) = lim +?x →0存在且相等. 定理 1 函数 y = f ( x ) 在点 x 0 可导的充要条件是 f ′? ( x 0 ) 及 f ′+ ( x 0 ) 存在且相等 例 1 讨论函数 f ( x ) = x 在点 x = 0 处是否可导？ 解 因为 所以f +′ (0) = lim + sgn(?x ) = 1 ，?x → 0f (0 + ?x ) ? f (0) ?x ? 0 = = sgn(?x ) ， ?x ?xf ?′ (0) = lim ? sgn(?x ) = ?1 ，?x →0由于 f ′+ ( 0 ) ≠ f ′? ( 0 ) ，因此 f ( x ) = x 在 x = 0 处不可导. 例 2 试讨论函数x &0 ? x, f (x ) = ? ?ln(1 + x ), x ≥ 0在点 x = 0 处的可导性. 解 显然 f ( x ) 在点 x = 0 处连续，而f +′ (0) = lim+x →0f (x ) ? f (0) ln(1 + x ) ? 0 = lim+ x →0 x x1= lim+ ln(1 + x ) x = 1 ，x →0f ?′ (0) = lim?x →0f (x ) ? f (0) x ?0 = lim? = 1， x →0 x x由于 f ′+ ( 0 ) = f ′? ( 0 ) = 1 ，故 f ( x ) 在 x = 0 处可导，且 f ′ ( 0 ) = 1 .+ 例 3 求函数 f ( x ) = C，x ∈ (?∞， ∞) 的导数，其中 C 为常数.解f ′(x ) = lim?x →0f (x + ?x ) ? f (x ) C ?C = lim =0， ? x →0 ?x ?x即 ( C ) ′ = 0 .通常说成：常数的导数等于零.例 4 设 y = x n，n 为正整数，求 y′ . 解y ′ = lim (x + ?x )n ? x n ?x → 0 ?x= lim (nx n ?1 + Cn2 x n ?2 (?x ) + L + (?x )n ?1 )?x →0= nx n ?1 ，即(x ) ′ = nxnn ?1.特别地， n = 1 时，有 ( x ) ′ = 1 . 例 5 设 y = sin x ，求 y′ . 解y ′ = lim sin(x + ?x ) ? sin x ?x →0 ?x2cos 2x + ?x sin x 2 2 = lim ?x → 0 ?x 2 ? ?x cos 2x + ?x 2 2 = lim = cos x . ?x → 0 ?x即(sinx ) ′ = cosx .例 6 设 y = cosx ,x ∈ (?∞,+ ∞) ，求 y′ . 解 y ′ = limcos(x + ?x ) ? cos x ?x?x → 0?2sin(x + ?x )sin ?x 2 2 = lim ?x → 0 ?x ?2 ? ?x sin(x + ?x ) 2 2 = ? sin x ， = lim ?x → 0 ?x即(cosx ) ′ = ?sinx .例 7 设 y = a x ,x ∈ (?∞,+ ∞),a & 0 ，求 y′ . 解 注意到 u → 0 时，由式（1-6-4）得 a u ? 1 u ln a ，从而y ′ = lim a x (a ? x ? 1) ax +?x ? ax = lim ? x →0 ? x →0 ?x ?x a ?x ? 1 ? x ln a = a x lim = a x ln a ， ? x →0 ? x →0 ?x ?x (a & 0) .x= a x lim即 特别地(a ) ′ = a lnax x(e )′ = ex.例 8 设 y = loga x ,x ∈ (0,+ ∞),a & 0 且 a ≠ 1 ，求 y′ .log a (1 + ?x ) log a (x + ?x ) ? log a x x y ′ = lim = lim ?x → 0 ?x → 0 ?x ?x解= lim1 ?x ?xx 1 1 log a (1 + ) = lim log a e = ， ?x →0 x ?x →0 x x x ln a1 ( log a x )′ = x ln a . (ln x )′ = 1 . x即 特别地 例 9 设 y = x 3 ，求 y ′ x = 2 . 解 因为 所以y ′ = (x 3 )′ = 3x 3 ?1 = 3x 2 ，y ′ x = 2 = 3x 2 = 3 × 22 = 12 .x =2下面我们讨论可导与连续的关系. 可导，则 定理 2 若 y = f ( x ) 在点 x 0 可导 则 f ( x ) 在点 x 0 必连续. 证 因为 f ( x ) 在点 x 0 可导，即x →x 0limf (x ) ? f (x 0 ) = f ′(x 0 ) x ?x0存在.由无穷小量与函数极限的关系得f (x ) ? f (x 0 ) = f ′(x 0 ) + α ， x ?x0其中 α → 0 ( x → x 0 ) ，于是f (x ) ? f (x 0 ) = f ′(x 0 )(x ? x 0 ) + α(x ? x 0 ) ，故 即x →x 0lim ? f (x ) ? f (x 0 ) ? = lim ? f ′(x 0 )(x ? x 0 ) + α(x ? x 0 ) ? = 0 . ? ? x →x 0 ? ? lim f (x ) = lim ? f (x ) ? f (x 0 ) + f (x 0 ) ? = f (x 0 ) . ? x →x 0 ?x →x 0故 f ( x ) 在点 x 0 连续. 例 10 研究函数?x sin 1 , x ≠ 0, ? f (x ) = ? x ? 0, x =0 ?在点 x = 0 处的连续性和可导性.解 因为lim f (x ) = lim x sin 1 = 0 = f (0) ， x →0 x →0 x所以 f ( x ) 在点 x = 0 处连续，但是x sin 1 ? 0 f (x ) ? f (0) x lim = lim = lim sin 1 x →0 x →0 x →0 x ?0 x x不存在，故 f ( x ) 在点 x = 0 处不可导. 此例说明“连续不一定可导” ，连续只是可导的必要条件. 二、导数的几何意义 连续函数 y = f ( x ) 的图形在直角坐标系中表示一条曲线，如图 2-1 所示.设曲线y = f ( x ) 上某一点 A 的坐标是 (x 0 ,y 0 ) ，当自变量由 x 0 变到 x 0 + ?x 时，点 A 沿曲线移动到点 B (x 0 + ? x ,y 0 + ? y ) ，直线 A B 是曲线 y = f ( x ) 的割线，它的倾角记作 β .从图形可知， 在直角三角形 A B C 中，CB AC=?y ?y = tan β ，所以 的几何意义是表示割线 A B 的斜率. ?x ?x图 2-1 当 ?x → 0 时， B 点沿着曲线趋向于 A 点，这时割线 A B 将绕着 A 点转动，它的极限位 置为直线 A T ，这条直线 A T 就是曲线在 A 点的切线，它的倾角记作 α .当 ?x → 0 时，既然 割线趋近于切线，所以割线的斜率?y = tanβ 必然趋近于切线的斜率 tanα ，即 ?x f ′(x 0 ) = lim? x →0?y = tan α . ?x由此可知， 函数 y = f ( x ) 在 x 0 处的导数 f ′ ( x 0 ) 的几何意义就是曲线 y = f ( x ) 在对应点A (x 0 ,y 0 ) 处的切线的斜率.曲线 y = f ( x ) 在点 A (x 0 ,y 0 ) 的切线方程可写成：(1) f ′ ( x 0 ) 存在，切线方程为y ? f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) (x ? x 0 ) ；(2) f ( x ) 在点 x 0 处连续， f ′ ( x 0 ) = ∞ ，则切线方程为 x = x 0 . 例 11 求过点 (2， 且与曲线 y = 1 相切的直线方程. 0) x1 0) 解 显然，点 (2， 不在曲线 y = 上.由导数的几何意义可知，若设切点为 (x 0 ,y 0 ) ，则 xy0 =1 ，且所求切线的斜率 k 为 x0k = ( 1 )′ x故所求切线方程为y?x =x 0= ? 12 ， x01 1 = ? 2 (x ? x 0 ) . x0 x0又切线过点 (2， ，所以有 0)? 1 1 = ? 2 (2 ? x 0 ) . x0 x0于是得 x 0 = 1,y 0 = 1 ，从而所求切线方程为y ? 1 = ?(x ? 1) ，即 y = 2 ? x .例 12 在曲线 y = x 4 上求一点，使该点处的曲线的切线与直线 y = ?32x + 5 平行. 解 在 y = x 4 上的任一点 M (x ,y ) 处切线的斜率 k 为k = y ′ = (x 4 )′ = 4x 3 ,而已知直线 y = ?32x + 5 的斜率 k1 = ?32 . 令 k = k1 ，即 4x 3 = ?32 ，解之得 x = ?2 ，代入曲线方程得y = ( ?2) 4 = 16 .故所求点为 ( ?2,16) . 三、函数四则运算的求导法 处可导， 为常数，则下列各等式成立： 定理 3 设函数 u = u ( x ) ,v = v ( x ) 在点 x 处可导， k1 ,k2 为常数，则下列各等式成立(1) ? k1u ( x ) + k2v ( x )? ′ = k1u ′ ( x ) + k2v ′ ( x ) ； ? ?(2) ?u ( x ) v ( x ) ? ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ； ? ?? u (x ) ?′ u ′(x )v (x ) ? u (x )v ′(x ) (3) ? ? = v 2 (x ) ? v (x ) ?(v (x ) ≠ 0) .u (x ) ，且 v ( x ) ≠ 0 ，则 v (x )证 仅以(3)式为例进行证明.记 g ( x ) =? u (x + ?x ) u (x ) ? g ′(x ) = lim 1 ? ? ? ?x →0 ?x ? v (x + ?x ) v (x ) ? = lim v (x + ?x ) ? v (x ) ? ? u (x + ?x ) ? u (x ) 1 v (x ) ? u (x ) ? ? ?x →0 v (x )v (x + ?x ) ?x ?x ? ? u (x + ?x ) ? u (x ) v (x + ?x ) ? v (x ) ? ? 1 ? u (x ) lim lim ?v (x ) ?x →0 ? ?x →0 v (x )v (x + ?x ) ? ?x ?x ?= lim=?x →0u ′(x )v (x ) ? u (x )v ′(x ) . v 2 (x )定理中的(1)式和(2)式均可推广至有限多个函数的情形.读者不难自行完成. 例 13 解 设 y = 4x 5 ? 3x 2 + 4 ，求 y′ .y ′ = (4x 5 ? 3x 2 + 4)′ = (4x 5 )′ ? (3x 2 )′ + (4)′ = 20x 4 ? 6x .例 14 解设 y = x 3cosx sinx ，求 y′ .y ′ = (x 3 cos x sin x )′ = (x 3 )′ cos x sin x + x 3 (cos x )′ sin x + x 3 cos x (sin x )′ = 3x 2 cos x sin x ? x 3 sin 2 x + x 3 cos 2 x . 设 y = tanx ，求 y′ .y ′ = (t an x )′ = ( sin x )′ cos x例 15 解= =(sin x )′ cos x ? sin x (cos x )′ cos 2 x cos 2 x + sin 2 x 1 ， = cos 2 x cos 2 x即(tanx )′ =1 = sec2x = 1 + tan 2 x . cos 2 x类似地，可得 (cot x )′ = ?1 = ? csc2 x = ?(1 + cot 2 x ) . sin 2 x例 16 设 y = secx ，求 y′ . 解 在定理 3 的(3)中，取 u ( x ) ≡ 1 ，则有v ′(x ) ? 1 ?′ . ? v (x ) ? = ? 2 v (x ) ? ?于是1 y ′ = (sec x )′ ? ? ? cos x ?′ = ? (cos x )′ ? cos 2 x ?=sin x = sec x tan x ， cos 2 x即 类似可得(secx ) ′ = secx tanx . (cscx ) ′ = ?cscx cotx .第二节 求导法则一、复合函数求导法 处可导，而 处可导，则 定理 1(链导法) 若 u = φ ( x ) 在点 x 处可导 而 y = f ( u ) 在相应点 u = φ ( x ) 处可导 则 处可导，且 复合函数 y = f ( φ ( x ) ) 在点 x 处可导 且dy dy du = ? ，或记为 或记为 dx du dx (2-2-1)? f ( φ ( x ) ) ? ′ = f ′ ( φ ( x ) ) ? φ′ ( x ) . ? ?证 因为 y = f ( u ) 在 u 的导数 f ′(u ) = lim?u →0?y 存在，所以 ?x故 从而?y = f ′(u ) + α ，其中 α → 0 ( ?u → 0 ) ， ?x ?y = f ′(u )?x + α?x ，?x →0lim?y ?u ?u ? = lim ? f ′(u ) +α ? ? ?x ?x →0 ? ?x ?x ?= f ′(u ) lim ?u + lim α lim ?u . ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x → 0 ?x又 u = φ ( x ) 在点 x 处可导，故 φ ( x ) 必在点 x 处连续，因此 ?x → 0 时必有 ?u → 0 .于是lim ?y ?u = f ′(u )φ ′(x ) + lim α lim ?u → 0 ?x → 0 ?x ?x = f ′(u )φ ′(x ) = f ′(φ (x ))φ ′(x ) ，?x → 0而 lim?x → 0?y = ? f (φ (x )) ?′ ，定理证毕. ? ?x ?例 1 设 f ( x ) = x ? ,? ∈ R ,x & 0 ，求 f ′ ( x ) . 解 由于 x ? = e ?lnx ,x & 0 . 令 u = ?lnx ，则 x ? 系由 y = eu 及 u = ?lnx 复合而成，那么f ′(x ) = d(eu ) d( ? ln x ) ? du dx1 ? ? ln x = e = ?x ? ?1 ， x x? ?1= eu ?即 例 2 设 y = e? x ，求 y′ . 解 令 u = ?x ，则 y = eu ，从而(x ) ′ = ?x?,? ∈ R ,x & 0 .u dy dy du d(e ) d (?x ) = ? = ? dx du dx du dx= eu (?1) = ?e? x .即(e?x )′ = ?e ?x .对复合函数的分解熟练后，就不必再写出中间变量，而可按下列各题的方式进行计算. 例 3 设 y = sin 解21 ，求 y′ . 1+x1 1 y ′ = cos 1 ( 1 )′ = cos . 1+x 1+x 1+x (1 + x )2例 4 设 y = sin ex ，求 y′ . 解y′ =(sin ex21 )′ = 2 sin e2 2x2(sin ex )′2=1 2 sin ex2cos ex (ex )′=1 2 sin ex2cos ex ? ex (x 2 )′2 2=1 2 sin e2x2cos ex ? ex 2x2 2=x ex cos ex sin ex22.例 5 设 y = ln(x + 1 + x 2 ) ，求 y′ . 解′ 1 y ′ = ?ln(x + 1 + x 2 ) ? = (x + 1 + x 2 )′ ? ? ? ? x + 1+x 2= ? (1 + x 2 )′ ?1 + x + 1+x 2 ? 2 1+x 2 ? 1 ? 1 ?= ? x + 1+x 2 ? ? x ?1 + ? 1+x 2 ? ? ? ? ?=1 1+x 2.二、反函数求导法 互为反函数， 可导， 定理 2 设函数 y = f ( x ) 与 x = φ ( y ) 互为反函数 f ( x ) 在点 x 可导 φ ( y ) 在相应点 y 处可导，且 dx = φ ′( y ) ≠ 0 ，则 处可导 且 则 dydx = 1 ，或 f ′(x ) = 1 . φ ′( y ) dy dy dx简单地说成： 简单地说成：反函数的导数是其直接函数导数的倒数. 证 由 x ＝φ ( y ) = φ ( f ( x ) ) 及 y = f ( x )，x = φ ( y ) 的可导性，利用复合函数的求导法， 得1 = φ′ ( f ( x ) ) f ′ ( x ) = φ′ ( y ) f ′ ( x ) ，故f ′(x ) =1 , φ′( y ) ≠ 0 . φ′( y )例 6 设 y = arcsinx ，求 y′ . 解 由定理 2 及 x = siny 可知y′ = 1 1 1 1 = = = ， 2 (sin y )′ cos y y 1 ? sin y 1?x 2这里记号 (sin y )′ 表示求导是对变量 y 进行的. y 由上式得 同理可得：(arccos x )′ = ?1 1?x2(arcsin x )′ =1 1?x 2., (arct an x )′ =1 ?1 . , (arc cot x )′ = 1+x 2 1+x 2三、由参数方程确定的函数求导法 参数方程确定的函数求导法 确定的函数若方程 x = φ ( t ) 和 y = ψ ( t ) 确定 y 与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为 由参数方程?x = φ (t ), ? ? y = ψ(t ),t ∈ ( α,β)(2-2-2)所确定的函数.下面我们来讨论由参数方程所确定的函数的导数. 设 t = φ ?1 ( x ) 为 x = φ ( t ) 的反函数，在 t ∈ ( α,β) 中，函数 x = φ ( t ) ,y = ψ ( t ) 均可导，这时 由复合函数的导数和反函数的导数公式，有′ dy ? ′ = ψ φ ?1 (x ) ? = ψ′ φ ?1 (x ) φ ?1 (x ) ? dx ?()()()= ψ′ φ ?1 (x )(ψ ) φ′1t ) = φ′(tt ) ( φ′ (t ) ≠ 0 ) ( ()′.于是由参数方程(2-2-2)所确定的函数 y = y ( x ) 的导数为dy ψ′(t ) dy = dt = dx dx φ′(t ) dt?x = a cos 3 t , dy ? 求 . 例 7 设? 3 dx ? y = a sin t , ?( φ′ ( t ) ≠ 0 ) .(2-2-3)解3 dy (a cos t )′ 3a sin 2 t cos t t = = = ? tan t ( t ≠ n π ， n 为整数). dx (a sin 3 t )′ 3a cos 2 t (? sin t ) 2 t例8?x = 3at , ? ? 1 + t2 设? 2 ? y = 3at , ? 1 + t2 ??∞ & t & +∞ ，求dy . dx解? 3at ?′ ? ? 2 2 dy ? 1 + t 2 ? t 6at (1 + t ) ? 6at 2t = = = 2 2 dx 3a (1 + t ) ? 6at 1 ? t2 ? 3at 2 ?′ ? 2 ? ?1+t ? t( t ≠ ±1) .例 9 求极坐标方程 r = eaθ? 0 & θ & π ，a & 1 ? 所确定的函数 y = y x 的导数. ( ) ? ? 4 ? ?解 由极坐标与直角坐标的关系，得?x = r cos θ = eaθ cos θ, ? ? aθ ? y = r sin θ = e sin θ, ?故aθ dy (e cos θ)′ aeaθ sin θ + eaθ cos θ a sin θ + cos θ θ = aθ = = . dx (e sin θ)′ aea θ cos θ ? ea θ sin θ a cos θ ? sin θ θ例 10?x = a cos t , 求椭圆 ? 在 t = π 处的切线方程和法线方程. 4 y = b sin t ?dy (b sin t )′ b = = ? cot t ， ′ dx (a cos t ) a解? a b ? 所以在椭圆上对应于 t = π 的点 ? , ? 处的切线和法线的斜率为 4 ? 2 2? k切 = dy dx b π b = ? cot = ? ， a 4 ak法 = a . bt= π 4切线方程和法线方程分别为bx + ay = 2ab 和 ax ? by =1 2 a ? b2 2().四、隐函数求导法 如果在含变量 x 和 y 的关系式 F (x ,y ) = 0 中，当 x 取某区间 I 内的任一值时，相应地总 那么就说方程 F (x ,y ) = 0 在该区间内确定了一个隐函 有满足该方程的惟一的 y 值与之对应， 数 y = y ( x ) . 这时 y ( x ) 不一定都能用关于 x 的表达式表示 . 例如方程 e y + x y ? e?x = 0 和y = cos ( x + y ) 都能确定隐函数 y = y ( x ) . 如果 F (x ,y ) = 0 确定的隐函数 y = y ( x ) 能用关于5 x 的表达式表示，则称该隐函数可显化.例如 x 3 + y 5 ? 1 = 0 ，解出 y = 1 ? x 3 ，就把隐函数化成了显函数. 若方程 F (x ,y ) = 0 确定了隐函数 y = y ( x ) ，则将它代入方程中，得F ( x ,y ( x ) ) ≡ 0 .基于两个函数相等，则它们的导数必定相等的观点，对上式两边关于 x 求导(若可导)， 并注意运用复合函数求导法则，就可以求出 y ′ ( x ) 来. 例 11 求方程 y = cos ( x + y ) 所确定的隐函数 y = y ( x ) 的导数.解 将方程两边关于 x 求导，注意 y 是 x 的函数，得y ′ = ? sin ( x + y )(1 + y ′ ) ，即y′ =? sin(x + y ) , 1 + sin ( x + y ) ≠ 0 . 1 + sin(x + y )例 12 求由方程 e y + x y ? e? x = 0 所确定的隐函数 y = y ( x ) 的导数. 解 将方程两边关于 x 求导，得e y y ′ + y + x y ′ + e? x = 0 ，y + e ?x x + ey ≠ 0 . x + ey 隐函数的求导法也常用来求一些较复杂的显函数的导数.在计算幂指函数的导数以及某 些乘幂、连乘积、带根号函数的导数时，可以采用先取对数再求导的方法，简称对数求导法. 它的运算过程如下：故y′ = ?()在 y = f (x )( f ( x ) & 0 ) 的两边取对数，得lny = lnf ( x ) .上式两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，得y ′ = y ?lnf ( x ) ? ′ . ? ?例 13求y =(x 2 + 2)2 的导数. (x 4 + 1)(x 2 + 1)解 先在两边取对数，得ln y = 2ln(x 2 + 2) ? ln(x 4 + 1) ? ln(x 2 + 1) .上式两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数，得y′ 4x 4x 3 2x = 2 ? 4 ? ， y x +2 x +1 x 2 +1于是 即3 ? 2 ? y ′ = y ? 4x ? 4x ? 2 x ? ， 2 4 ?x + 2 x +1 x +1?y′ =(x 2 + 2)2 ? 4x 4x 3 2x ? ? 4 ? 2 ? 2 ?. 2 (x + 1)(x + 1) ? x + 2 x + 1 x + 1 ?4例 14 设 y = u (x )v (x ) , u ( x ) & 0 ，其中 u ( x ) ,v ( x ) 均可导，求 y′ . 解 两边取对数得 lny = v ( x ) lnu ( x ) ，两边对 x 求导，得u ′(x ) y′ = v ′(x )ln u (x ) + v (x ) ， y u (x )于是v (x )u ′(x ) ? ? y ′ = u (x )v (x ) ? v ′(x )ln u (x ) + ?. u (x ) ? ?特别地，当 u (x ) = v (x ) = x 时， (x x )′ = x x (1 + ln x ) . 例 15 求 y = x sin x (x & 0) 的导数.解 两边取对数得 lny = sin x lnx .两边对 x 求导，得y′ sin x = cos x ln x + . y x于是sin x ? y ′ = x sin x ? cos x ln x + ? ?. x ? ?第三节 高阶导数一般地，若函数 y = f ( x ) 的导数 f ′ ( x ) 仍然是 x 的函数，而且 f ′ ( x ) 的导数存在，即极 限? x →0limf ′(x + ?x ) ? f ′(x ) ?x存在，则称该极限值为函数 f ( x ) 在点 x 处的二阶导数，记为 f ″ ( x ) ,d2 y , y ″ 等. dx 2函数 y = f ( x ) 的二阶导数 f ″ ( x ) 仍是 x 的函数，如果它可导，则 f ″ ( x ) 的导数称为原 函数 f ( x ) 的三阶导数，记为 f ′′′(x ), d3 y , y ′′′ 等. dx 3一般说来，函数 y = f ( x ) 的 n ? 1 阶导数仍是 x 的函数，如果它可导，则它的导数称为 记为 f 原来函数 f ( x ) 的 n 阶导数，(n )(x ),dn y (n ) , y 等.通常四阶和四阶以上的导数都采用这套 dx n记号. 由以上叙述可知，求一个函数的高阶导数，原则上是没有什么困难的，只需运用求一阶 导数的法则按下列公式计算y ( n ) = ( y ( n ?1) )′ (n = 1,2, ) L或写成n-1 dn y d ?d y ? = ? n ?1 ? , n dx ? dx ? dxf(n )(x ) = ? f ?( n ?1)′ (x ) ? . ?为了名称的统一，我们称函数 y = f (x ) 在区间 I 上的导数 f ' (x ) 叫做函数 y = f (x ) 的一 阶导数，而 f (x ) 叫做它的零阶导数. 例 1 设 y = x n，n 为正整数，求它的各阶导数. 解y ′ = (x n )′ = nx n ?1 ， y ′′ = (nx n ?1 )′ = n (n ? 1)x n ?2 ， …… y ( k ) = n (n ? 1)L (n ? k + 1)x n ? k ， ……y ( n ) = n × (n ? 1) × L × 3 × 2 × 1 = n ! ， y ( n +1) = ( y ( n ) )′ = (n !)′ = 0 .显然， y = x n 的 n + 1 阶以上的各阶导数均为 0. 例 2 设 y = sinx ，求它的 n 阶导数 y (n ) . 解π y ′ = cos x = sin ? x + ? ， ? ? 2? ? π π y ′′ = ( y ′)′ = cos ? x + ? = sin ? x + 2 × ? ， ? ? ? ? 2? 2? ? ?设 则 由数学归纳法，知π y ( k ) = sin ? x + k ? ? ， ? ? 2? ? π π? ? y ( k +1) = ( y ( k ) )′ = cos ? x + k ? = sin ?x + (k + 1) ? . ? ? 2? 2? ? ? n (sin x )(n ) = sin ? x + π ? n = 1,2, . L ? ? 2 ? ? 由此式我们可得到 y = cosx 的高阶导数公式： n ?1 ? n ? (cos x )(n ) = (? sin x )(n ?1) = ? sin ? x + π ? = cos ? x + π ? ， ? ? 2 2 ? ? ? ?即n (cos x )( n ) = cos ? x + π ? n = 1,2, . L ? ? 2 ? ?例 3 设 y = ln (1 + x ) ，求 y (n ) . 解y′ = 1 ， 1+x? 1 y ′′ = ( y ′)′ = ? ?1+x?′ = ? 1 ， ? (1 + x )2 ?′ ? 1 ? 2 y ′′′ = ( y ′′)′ = ? ? = ， 2? 3 ? (1 + x ) ? (1 + x )运用数学归纳法可知y ( n ) = (?1)n ?1 (n ? 1)! , n = 1,2,3, . L (1 + x )n例 4 设 y = a x (a & 0) ，求 y (n ) . 解y ′ = (a x )′ = a x ln a ， y ′′ = (a x ln a )′ = a x ln 2 a .设y ( k ) = a x ln k a ，则 故 特别地，有y ( k +1) = a x ln k a ′ = a x ln k+1 a .()(a x )(n ) = a x ln n a n = 1,2, L (e x ) ( n ) = e x n = 1,2, L对于高阶导数，有下面的运算法则: 设 函 数 u = u (x ) 和 v = v (x ) 在 点 x 处 都 具 有 直 到 n 阶 的 导 数 ， 则 u (x ) ± v (x ) ，u ( x ) v ( x ) 在点 x 处也具有 n 阶导数，且(u ± v )(n )= u ( n ) ± v (n ) ，(2-3-1)(u ? v )( n ) = u (n ) ? v + n ? u (n ?1) ? v ′ + +n (n ? 1) (n ?2) u v ′′ +L 2!n (n ? 1)L (n ? k + 1) (n ?k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) k!n= ∑ Cin ? u ( n ?i ) ? v (i ) ，i =0(2-3-2)n (n ? 1)L (n ? i + 1) 0 0 i 其中 u ( ) = u ,v ( ) = v ,Cn = . i!式(2- 3-2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式，将它与二项展开式对比，就很容易记住. 式(2-3-1)由数学归纳法易证. 式(2-3-2)证明如下： 当 n = 1 时，由 ( uv ) ′ = u ′v + uv ′ 知公式成立. 假设当 n = k 时公式成立，即y ( k ) = ∑ Cik ? u ( k ?i ) ? v (i ) .i =0 k两边求导，得y ( k +1) = u ( k +1) v + ∑ (Cki +1 + Cki )u ( k ?i ) v (i +1) +uv ( k +1)i =0 k ?1= ∑ Cik +1 ? u ( k +1?i ) ? v (i ) ，i =0k +1即 n = k + 1 时公式(2-3-2)也成立，从而对任意正整数 n ，式(2-3-2)成立.20 例 5 设 y = x 2 ? e2x ，求 y ( ) .解 设 u = e2x ,v = x 2 ，则u ( ) = 2i ? e2x (i = 1,2, ,20) ， Liv ′ = 2x ,v ″ = 2,v ( ) = 0(i = 3,4, ,20) . Li代入莱布尼茨公式，得20 y ( ) = x 2 ? e2 x()( 20)= 220 ? e2x ? x 2 + 20 ? 219 ? e2x ? 2x + 20 ? 19 ? 218 ? e2x ? 2 2!= 220 ? e2x ? (x 2 + 20x + 95) .例6设 ex + y ? x y = 1 ，求 y ″ ( 0 ) .解 方程两边对 x 求导，得(1 + y ′) ex + y ? y ? x y ′ = 0 .上式两边再对 x 求导，得(1 + y ′)2ex + y + y ″ex + y ? 2y ′ ? x y ″ = 0 .令 x = 0 ，可得 y = 0,y ′ ( 0 ) = ?1 ，将这些值代入上式得y ″ ( 0 ) = ?2 .?x = a cos t , d2 y 求 2. 例 7 已知 ? dx ? y = b sin t ,解 注意dy (b sin t )′ b cos t b = =? = ? cot t . a sin t a dx (a cos t )′dy b = ? cot t , x = acost 仍是参数方程，所以仍须用参数方程求导法则，从而 dx a ′ d ( dy ) ? ? b cot t ? ? ? a d y dt dx ? = =? 2 dx (a cos t )′ dx dt2=b 1 b ? csc2 t ? = ? 2 ? csc3 t . a ?a sin t a第四节 函数的微分一、微分的概念 微分也是微积分中的一个重要概念， 它与导数等概念有着极为密切的关系． 如果说导数 来源于求函数增量与自变量的增量之比当自变量的增量趋近于零时的极限， 那么微分就来源 于求函数的增量的近似值．例如，例如，一块边长为 x 0 的正方形金属薄片，受热后发生膨2 胀，边长增长了 ?x ，其面积的增量为 ?y = (x 0 + ?x )2 ? x 0 = 2x 0 ?x + (?x )2 ．这个增量分成两部分，第一部分 2x 0 ?x 是 ?x 的线性函数，第二部分 ( ?x )2 是 ?x → 0 时， ?x 的高阶无穷小量，也就是说， ( ?x )2 趋近零的速度比 ?x 快得多，因此当 ?x 很小时， ?y 的表达式中， 第一部分起主导作用，第二部分可以忽略不计．因此，当给 x 以微小增量 ?x 时，由此所引 起的面积增量 ?y 可近似地用 2x 0 ?x 来代替，相差仅是一个以 ?x 为边长的正方形面积(图 2-2)，故当 ?x 愈小时相差也愈小．于是得到 ?y ≈ 2x 0 ?x ， 2x 0 ?x 称为函数 y = x 2 在 x 0 点 的微分．图 2-2 定义 1 设函数 y = f ( x ) 在点 x 0 的某个邻域内有定义， ?x 是 x 在 x 0 点的增量，x 0 + ?x 在该邻域内， 如果函数的增量 ?y = f (x 0 + ?x ) ? f (x 0 )可表示为? y = A + o( ? x )（2-4-1）其中 A 是不依赖于 ?x 的常数，则称函数 y = f ( x ) 在点 x 0 处可微分(简称可微)，线性部分A ?x 称为 f ( x ) 在 x 0 处的微分，记为 dy ， 即 dy = A ?x ， A 称为微分系数.若函数 y = f ( x ) 在 x 0 处可微，则式（2-4-1）成立，于是有o ( ?x ) f ( x) ? f ( x0 ) ? A( x ? x0 ) = lim ?x → 0 x → x0 ?x x ? x0 lim? f (x ) ? f (x 0 ) ? = lim ? ?A?=0 x →x 0 x ?x0 ? ?若函数 y = f (x ) 在 x 0 处可导，则有（2-4-2）x →x 0limf (x ) ? f (x 0 ) ?y = lim = f ' (x 0 ) ， ?x →0 ?x x ?x0则存在 x 满足?y = f ' ( x0 ) + α ， ?x其中 lim α = 0 ，于是有?x → 0?y = f ′(x 0 )?x + o ( ?x ) .即式(2-4-1)成立的充要条件为x →x 0limf (x ) ? f (x 0 ) =A. x ?x0于是便有下面的定理. 可微的充要条件是： 可导. 定理 1 函数 y = f ( x ) 在点 x 0 可微的充要条件是：函数 y = f ( x ) 在点 x 0 可导 当 y = f ( x ) 在点 x 0 处可微时，必有 dy = f ′ ( x 0 ) ?x . 该定理说明，函数的可微性与可导性是等价的. 函数 y = f ( x ) 在任意点 x 的微分，称为函数的微分，记为 dy = f ′ ( x ) ?x . 例 1 设 y = x ，求 dy . 解 因为 y ′ = ( x ) ′ = 1 ，所以 dy = 1 × ?x = ?x . 为方便起见，我们规定:自变量的增量称为自变量的微分，记为 dx = ?x . 于是式(2-4-3) 可记为 dy = f ′ ( x ) dx .π 例 2 求 y = sin x 当 x = , dx = 0.1 时的微分. 4(2-4-3)(2-4-4)解 当 x = π , dx = 0.1 时，有 4dy = (sinx ) ′dx = cosx dx .π 0.1 dy = cos × 0.1 = ≈ 0.0707 . 4 2在 几 何 上 ， y = f ( x ) 在 x 0 处 的 微 分 dy = f ′ ( x 0 ) dx 表 示 曲 线 y = f ( x ) 在 点 因此 dy = ?x tanα . M ( x 0 ,f ( x 0 ) ) 处切线 M T 的纵坐标相应于 ?x 的改变量 PQ (见图 2-2)，图 2-3 -二、微分的运算公式 1. 函数四则运算的微分 设 u = u ( x ) ,v = v ( x ) 在点 x 处均可微，则有d ( Cu ) = C du ( C 为常数)， d ( u + v ) = du + dv ， d ( uv ) = u dv + v du ，v du ? u dv ?u d? ? = , v ≠ 0. ? v? ? v2这些公式由微分的定义及相应的求导公式立即可证得. 2. 复合函数的微分 若 y = f ( u ) 及 u = φ ( x ) 均可导，则复合函数 y = f ( φ ( x ) ) 对 x 的微分为dy = f ′ ( u ) φ ′ ( x ) dx . (2-4-5)注意到 du = φ′ ( x ) dx ，则函数 y = f ( u ) 对 u 的微分为dy = f ′ ( u ) du . (2-4-6)将(2-4-6)式与(2-4-4)式比较可知，无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy = f ′ ( u ) du 保持不变.此性质称为一阶微分的形式不变性.由此性质，我们可以把导数记号dy dy , 等理解为两个变量的微分之商了，因此，导数有时也称微商.用微商来理解复合函数 dx du的导数以及求复合函数的导数就方便多了. 例 3 设 y = a 2 + x 2 ，利用微分形式不变性求 dy . 解 记 u = a 2 + x 2 ，则 y = u ，于是′ dy = y u du = 1 du . 2 u又 故dy =′ du = u x dx = 2x dx ，dx . 2 a +x a +x2 为了读者使用的方便， 我们将一些基本初等函数的导数和微分对应列表， 如表 2-1 所示.2 2 21? 2x dx =x表 2-1 一些基本初等函数的导数和微分对应表 - 一些基本初等函数的导数和微分对应表导数公式 微分公式( C )' = 0 ( x ? ) ' = ? ? x ? ?1 ( sin x ) ' = cos x ( cos x ) ' = ? sin x ( tan x ) ' = sec2 x ( cot x )' = ? csc2 x ( sec x ) ' = sec x ? tan x(csc x ) ' = ? csc x ? cot xd( C ) = 0 d ( x ? ) = ? ? x ? ?1 dx d ( sin x ) = cos x dx d ( cos x ) = ? sin x dx d ( tan x ) = sec2 x dx d ( cot x ) = ? csc2 x dx d ( sec x ) = sec x ? tan x dx d (csc x ) = ? csc x ? cot x dx d ( a x ) = a x ? ln adx d ( ex ) = ex d xd ( log a x ) = 1 dx x ? ln a( a x )' = a x ? ln a ( ex ) ' = ex( log a x ) ' = 1 x ? ln a( ln x ) ' = 1 xd ( ln x ) = 1 d x x( arcsin x ) ' =1 1?x2d ( arcsin x ) =1 1?x 2dx( arccos x ) ' = ?1 1?x2d ( arccos x ) = ?1 1?x 2dx( arctan x )' =1 1+x 2 1 1+x 2d ( arctan x ) =1 dx 1+x 2 1 dx 1+x2( arc cot x ) ' = ?d ( arc cot x ) = ?*三、高阶微分 三 对于函数 y = f ( x ) ，类似于高阶导数可以定义高阶微分.设 f ( x ) 有直至 n 阶的导数，自 变量的增量仍为 dx ，则二阶微分定义为d 2 y = d ( dy ) = d ( f ′ ( x ) dx ) = d ( f ′ ( x ) ) dx= f ″ ( x ) dx ? dx = f ″ ( x ) dx 2 ；三阶微分定义为d3 y = d d2 y = d f ″ ( x ) dx 2 = d ( f ″ ( x ) ) dx 2 = f ′′′ ( x ) dx dx 2 = f ′′′ ( x ) dx 3 ；( ) ()一般地，定义 n 阶微分为d n y = d ( d n ?1 y ) = f(n )( x ) dx n .(2-4-7)以上公式中的 x 都是自变量， dx n 表示 n 个 dx 的乘积 (n = 2,3,4, ) . L 对于复合函数来说，二阶及二阶以上的微分已不再具有公式(2-4-7)的形式了.例如，设y = f ( u ) ,u = φ ( x ) ，且都具有相应的可微性，则 dy = f ′ ( u ) du ，而d 2 y = d ( f ′ ( u ) du ) = d ( f ′ ( u ) ) du + f ′ ( u ) d ( du )= f ″ ( u ) du 2 + f ′ ( u ) d 2 u .(2-4-8)这是因为 du 不再是固定的了，它依赖于自变量 x ，即du = φ ′ ( x ) dx .式(2-4-8)说明高阶微分已不再具有形式不变性了.这是高阶微分与一阶微分的重要区别 之一. 例 4 设 y = x sin x ，求 d2 y . 解dy = ( x sin x ) ′dx = ( sin x + x cosx ) dx ，d 2 y = d ( dy ) = ( sin x + x cosx ) ′dx 2= (cosx + cosx ? x sin x )dx 2 = (2cosx ? x sin x )dx 2 .例 5 设 u = u ( x ) ,v = v ( x ) 均有二阶导数， y = u ( x ) v ( x ) ，求 d2 y . 解dy = y ′dx = ?u ( x ) v ( x )?′ dx ? ?= ?u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ? dx ， ? ?d 2 y = d ( dy ) = d ? ( u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ) dx ? ? ? = ?u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ?′ dx 2 ? ? ? ? = ?u ″ ( x ) v ( x ) + 2u ′ ( x ) v ′ ( x ) + u ( x ) v ″ ( x ) ? dx 2 .第五节 导数与微分的简单应用一、泰勒公式对于一些比较复杂的函数， 为便于进行研究， 往往希望用一些简单的函数来近似表示它 们，而多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它 的函数值.因此在实际问题中，常考虑用多项式来近似表示一个函数. 在本章前面已知道，如果 f (x ) 在点 x 0 处可微，则f (x ) = f (x 0 ) + f ' (x 0 )(x ? x 0 ) + o(x ? x 0 )此式表明：对于任何在 x 0 处有一阶导数的函数，在 U ( x 0 ) 内能用关于 (x ? x 0 ) 的一个一 次多项式来近似表示它，多项式的系数就是该函数在 x 0 处的函数值和一阶导数值，这种近 似表示的误差是 (x ? x 0 ) 的高阶无穷小量. 于是，人们猜想：如果函数 f (x ) 在点 x 0 处有 n 阶导数，则可以用一个关于 (x ? x 0 ) 的 n 次多项式来近似表示 f (x ) ， 该多项式的系数仅与函数 f (x ) 在点 x 0 的函数值和各阶导数值有 关，这种近似表示的误差是 (x ? x 0 )n 的高阶无穷小量. 泰勒(Taylor)对这个猜想进行了研究，并得到了下面的结论.泰勒中值定理) 阶导数，则 定理 1(泰勒中值定理 若 f (x ) 在 U ( x 0 ) 内具有 n + 1 阶导数 则 ?x ∈ U ( x 0 ) ，有 泰勒中值定理 有f (x ) = ∑k =0 nf(k )(x 0 ) (x ? x 0 )k + R n (x ) ， k!(2-5-1)其中 R n ( x ) = o (x ? x 0 )n ，且()R n (x ) =f (n +1) ( ξ ) (x ? x 0 )n +1 ， (n + 1)!(2-5-2)其中 ξ 是介于 x 与 x 0 之间的某个值，有时也记 ξ = x 0 + θ(x ? x 0 ), 0 & θ & 1 . 之间的某个值， 公式(2-5-1)称为 f ( x ) 在点 x 0 的 n 阶泰勒公式，式中 R n ( x ) 称为余项.式(2-5-2)表示的 余项称为拉格朗日余项，而 R n ( x ) = o (x ? x 0 )n 称为皮亚诺(Peano)余项.Pn (x ) = ∑k =0 n()f(k )(x 0 ) (x ? x 0 )k k!称为 n 阶泰勒多项式. 运用泰勒多项式近似表示函数 f ( x ) 的误差， 可由余项进行估计.例如， 若 ?x ∈U ( x 0 ) ，有 f( n +1)(x ) ≤ M ，则可得误差估计式R n (x ) = f (x ) ? Pn (x ) ≤n +1 M . x ?x0 (n + 1)!特别地，当公式(2-5-1)中的 x 0 = 0 时，通常称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即f (x ) = ∑k =0 nf(k )(0) k x + R n (x ) ， k!(2-5-3)其中R n (x ) =f( θx ) n +1 x , 0 & θ &1. (n + 1)!( n +1)很显然， 拉格朗日中值公式是带拉格朗日余项的零阶泰勒公式， 泰勒中值定理也是拉格 朗日中值定理的推广. 例 1 求 f ( x ) = ex 的 n 阶麦克劳林公式. 解k k f ( ) ( x ) = ex ，f ( ) ( 0 ) = 1 (k = 0,1,2, ) . Lex = 1 + x +x2 xn +L + + o(x n ) ， 2! n!其拉格朗日余项为R n (x ) = e θx x n +1 , θ ∈ (0,1) . (n + 1)!例 2 求 f ( x ) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式. 解k π f ( ) ( x ) = sin ? x + k ? ? (k = 0,1,2, ) ，故 L ? ? 2? ?f取 n = 2m ，得(k )? 0, ? (0) = ? j ?( ?1) , ?k = 2j k = 2j + 1( j = 0,1,2, ) . Lsin x = x ?x3 x5 x 2m ? 1 + ? L + ( ?1)m ?1 + o(x 2m ) . 3! 5! (2m ? 1)!其拉格朗日余项为(2m + 1) π ? ? sin ? θx + ? 2 ? ? x 2m +1 R 2m (x ) = (2m + 1)!= (?1)m cosθx x 2m +1 , θ ∈ (0,1) . (2m + 1)!类似地有cosx = 1 ?x2 x4 x 2m + ? L + (?1)m + o(x 2m +1 ) ， 2! 4! (2m )!cos θx x 2m + 2 , θ ∈ (0,1) . (2m + 2) !其拉格朗日余项为R 2m +1 (x ) = (?1)m +1例 3 求 f ( x ) = ln (1 + x ) 的 n 阶麦克劳林展开式. 解f(k )(x ) = ( ?1)k ?1(k ? 1)! , (k = 1,2, ) ，故 L (1 + x )kk f ( ) ( 0 ) = (?1)k ?1 (k ? 1)!( k = 1,2,L ,n ) .n! ， (1 + ξ )n +1又f ( 0 ) = 0， f( n +1)( ξ ) = ( ?1)其中 ξ 在 0 与 x 之间.于是，当 x ∈ ( ?1,+ ∞) 时，ln (1 + x ) = x ? x2 x3 x4 xn x n +1 + ? + L + (?1)n ?1 + (?1)n ， 2! 3! 4! n (n + 1)(1 + ξ )n +1其中 ξ 在 0 与 x 之间. 利用泰勒公式可以求极限.cos x ? e 例 4 求极限 lim x →0 x4?x 22.解 利用泰勒公式，有cosx = 1 ??x 22x2 x4 + + o(x 4 ) ， 2! 4!2e? x2 ? 1 ? x2 ? = 1 + ? ? ? + ? ? ? + o(x 4 ) ， ? 2! ? 2! ? 2! ?于是 所以cos x ? e?x 22=?1 4 x + o(x 4 ) . 12cos x ? e lim x →0 x4?x 22? 1 x 4 + o(x 4 ) 1 = lim 12 4 =? . x →0 12 x二、 相关变化率在微分学的实际应用中，常会遇到相互关联的两个变化率，通常称为相关变化率.我们 总是通过建立它们之间的关系式，从其中一个已知的变化率求出另一个变化率. 例 5 在汽缸内，当理想气体的体积为 100cm3 时，压强为 50kPa，如果温度不变，压 -1 强以 0.5kPa·h 的速率减小，那么体积增加的速率是多少？ 由物理学知，在温度不变的条件下，理想气体压强 p 与体积 V 之间的关系为 解 p V = k （ k 为常数）. 由题意，可知 p ,V 都是时间 t 的函数，上式对 t 求导，得p dp dV +V = 0. dt dtdp 代入 V = 100,p = 50, = ?0.5 ，得 dt dV 1 V dp =? = ?100 × ( ?0.5) = 1 . dt p dt 50答：体积增加速率是 1cm3·h . -1 例 6 设一个气球充气时，体积以 12cm3·s 的速率增大，始终保持球形不变，问半 径为 10cm 时，表面积增加的速率是多少？ 解 设 r 为半径， A 为表面积， V 为体积，则V = 4 πr 3 , 3 A = 4 πr 2 .-1显然 r ,A ,V 都是时间 t 的函数，故dV = 4πr 2 dr = A dr . dt dt dt由 V = 1 rA ，有 3dV = 1 A dr + 1 r dA dt 3 dt 3 dt = 1 dV + 1 r dA ， 3 dt 3 dt即dA = 2 ? dV . dt r dt代入 dV = 12，r = 10 ，得 dA = 2.4 . dt dt 答：表面积以 2.4cm2·s ?1的速度增长. 例 7 液体从深为 18cm、顶直径为 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入直径为 10cm 的圆柱形桶中，开始时漏斗盛满液体，已知漏斗中液面深为 12cm 时，液面下落速率为 1cm·min ?1， 求此桶中液面上升的速率？ 解 设漏斗中液面深为 H 时，桶中液面深为 h ，漏斗液面圆半径为 R ，如图 2 ?4 所示，?4 图2? 则R =1H ， 3且有 整理得 上式对 t 求导，得1 π ? 62 ? 18- 1 πR 2 H = π ? 52 ? h . 3 3 63 ? 1 H 3 = 25h . 27 ? 1 H 2 dH = 25 dh ， dt dt 9或 代入 得dh H 2 dH =? ? . dt 225 dtH = 12， dH = ?1 ， dt dh = 0.64 . dt答：此时桶中液面上升速率为 0.64cm·min ?1.曲率、 三、 曲率、曲率半径1. 弧微分 作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的概念.这里我们直观想象曲线的一段弧为一根柔 软而无弹性的细线，拉直后的长度便是其弧长. 设 f ( x ) 为 a,b］ ［ 上的连续函数， 约定： x 增大时， 当 曲线 y = f ( x ) 上的动点 M (x ,y ) 沿 曲线的移动的方向为该曲线的正方向. 在曲线 y = f ( x ) 上取一定点 M 0 为起点，对曲线上的一点 M ，记弧 M 0 M 的长度为M 0 M .规定有向弧 M 0 M 的数值 s (简称弧 s )为：当 M 0 M 的方向与曲线的正向一致时， s = M 0 M ；当 M 0 M 的方向与曲线的正向相反时， s = ? M 0 M .显然， s 是 x 的函数，设为 s = s ( x ) ，且是单调增函数，下面来求 s ( x ) 的导数和微分. 如图 2 ?5 所示，?5 图2? 记曲线上与点 M (x ,y ) 邻近的点为 M ′(x + ? x ,y + ? y ) ，对应于 x 的增量 ?x ，弧 s 的增量记 为 ?s ，则有 ?s = ± M M ′ .( ?x & 0 时取“+”号， ?x & 0 时取“ ?”号). 若记弦 M M ′ 的长度为 M M ′ ，则?± MM′ ? ?s ? = ? ? ? ? ? ?x ? ? ?x ?2 2? ? MM ′ ? =? ? ? ? ? MM ′ ? ?2? MM ′ 2 ? ? 2 ? ? ( ?x ) ? ? 2 ? ?1 + ? ?y ? ? ? ? ? ?. ? ? ? ? ?x ? ? ? ? ?222 2 ? MM ′ ? ? MM′ ? ? ? ( ?x ) + ( ?y ) = ? =? 2 ? ? ? MM ′ ? ( ?x ) ? MM′ ? ? ?当 ?x → 0 时，有 M ′ → M ，这时可以证明：MM ′M ′→ MlimMM ′=1.又 lim?x →0?y dy = ，因此 ?x dx? ds ? = lim ? ?s ? = 1 + ? dy ? ， ? ? ? ? ? dx ? ? dx ? ?x →0 ? ?x ? ? ?2 2 2或( ds ) = ( dx ) + ( dy )2 22.由于 s ( x ) 单调增，故 ds & 0 ，从而 dxds = 1 + y ′2 dx ，或写成ds =( dx ) + ( dy )22.这就是弧微分.显然弧微分的几何意义是： ds 等于 x ,x + ? x ］ ［ 上所对应的切线段长 M P ， 如图 2 ?5 所示. 若曲线方程为?x = φ (t ), ? ? y = ψ(t ),则由(2?5 ?4)及参数方程求导法则可得ds = ? φ′(t ) ? + ? ψ′(t ) ? dt . ? ? ? ?2 2(2?5 ?4)2. 曲率 一条曲线被称为光滑曲线， 如果此曲线上每一点都有切线， 且切线随切点的移动而连续 转动.设 M ,M ′ 是光滑曲线 L 上的两点，当 L 上的动点从 M 移动到 M ′ 时，切线转过了角度?α （称为转角） ，而所对应的弧增量 ? s = M M ′ ，如图 2 ?6 所示.图 2?6 不难看出，曲线的弯曲程度一是与切线转角有关，转角越大，弯曲越厉害；二是与弧的 长度有关，转角相同时，弧段长度越短弯曲越厉害.即曲线的弯曲程度与转角成正比，与弧 长成反比.于是我们用 ?α 与 ?s 的比值来表示弧段 M M ′ 的弯曲程度.我们将单位弧段上切 线转角的大小称为 M M ′ 的平均曲率，记为 k ，则k= ?α . ?s我们将上述平均曲率当 ?s → 0 （即 M ′ → M ）时的极限，即 k = lim ?α = dα ?s →0 ?s ds 称为曲线 L 在点 M 的曲率. 对于直线，倾角 α 始终不变，故 ?α = 0 ，从而 k = 0 ，即“直线不弯曲”. 对于圆，设半径为 R ，如图 2 ?7 所示.(2?5?5)?7 图2? 任意两点 M ,M ′ 处圆之切线所夹的角 ?α 等于中心角 ∠M DM ′ ，而 ∠M DM ′ = ?s ，于 R 是?α ?s R 1 = = ，故 ?s ?s R k = lim?s → 0?α 1 = . ?s R即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数.也就是说， 半径越小， 曲率越大； 反之， 半径越大，曲率越小.若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零.从这个意义上看，直线是半 径为无穷大的圆. 下面给出曲率的计算公式.设曲线方程为 y = f ( )，且 f (x ) 具有二阶导数.记曲线在点 x( x , f ( x ) ) 处切线的倾斜角度为 α ，则 y ′ = tan α ，从而y ″ = sec2 α dα ， dx即 故 dα =y ′′ y ′′ dα = = ， 2 dx 1 + t an α 1 + y ′2 y ′′ dx ，又 ds = 1 + y ′2 dx ，于是 1 + y ′2k=dα = dsy ′′(1 + y ′2)3 2.(2 ?5?6)?x = φ (t ) , 则由参数方程求导法则可得 若曲线方程为 ? ? y = ψ(t )k= φ ′(t )ψ′′(t ) ? ψ′(t )φ ′′(t ) ?( φ ′(t ) ) + ( ψ′(t ) ) ? ? ?2 2 3 2.(2 ?5 ?7)在工程技术中，有时需研究曲率问题，例如钢梁在荷载作用下会弯曲变形，在设计时就 要对其曲率有一定限制.再如铺设铁路铁轨时， 在拐弯处也要考虑曲率， 铁轨由直线到圆弧， 这中间必须用过渡曲线连接， 过渡曲线在其与直轨衔接的一端曲率应为零， 而在与圆轨衔接 的另一端应具有与圆弧相同的曲率.否则曲率的突然变化，会使高速行驶的列车产生的离心 力发生突变，从而造成列车的剧烈震动，影响车辆、铁轨的使用寿命，甚至有列车脱轨的危 险. 例 11 0 ? 铁路拐弯处常用立方抛物线作为过渡曲线.试求曲线 y = 1 x 3 在点 ( 0, ) ,? 1， ? 和 ? 3 ? 3?? 2,8 ? 处的曲率. ? ? ? 3?解y ′ = x 2 ,y ″ = 2x ，由式(2?5 ?6)可得k= 2x ?1 + x 2 2 ? ? ? ? ? = 2x( )3 2(1 + x )3 4 2，于是， 在 ( 0,0 ) 处 k0 = 0 ；1 2 ≈ 0.707 ； 在 ? 1, ? 处， k1 = ? ? 2 ? 3? 8 4 ≈ 0.057 . 在 ? 2, ? 处， k2 = ? ? ? 3? 17 17例 2 椭圆 x = acosθ,y = b sin θ (a & b & 0)上哪一点曲率最大，哪一点曲率最小. 解dx d 2x = ?asinθ， 2 = ?acosθ ， dθ dθdy d2 y = bcosθ， 2 = ?b sin θ . dθ dθ由式(2 ?5 ?7)，得k= ab(a2sin θ + b cos θ2 2 2)3 2.又3ab(a 2 ? b2 )sin θ cos θ dk =? . 5 dθ 2 2 2 2 2 a sin θ + b cos θ()由 dk = 0 ，得驻点 θ = 0,π , π, 3 π . dθ 2 2π π 3 3 因 a & b ，故 dk 在区间 ? 0, ? , ? , π ? , ? π, π ? , ? π,2π ? 中的符号依次为 ?，+， ?，+， ? ? ? ? ? ? ? ? dθ ? 2? ? 2 ? ? 2 ? ?2 ?因此易知 θ = 0,π 时， k 取最大值； θ = π , 3 π 时， k 取最小值，且 2 2kmax = a b , km in = 2 . 2 b a3、曲率圆与曲率半径 、设光滑曲线 C 上点 M 处的曲率为 k(k ≠ 0).在 C 上点 M 的邻近任取两点 M 1 ,M 2 ，过三 点 M ,M 1 ,M 2 作一个⊙ D1 .当点 M 1 ,M 2 沿 C 趋向于 M 时， D1 趋向于⊙ D ， ⊙ 我们称⊙ D 为 曲线 C 在点 M 处的曲率圆，该圆的圆心 D 称为 C 在点 M 处的曲率中心，该圆的半径 R 称 为 C 在点 M 处的曲率半径，如图 2 ?8 所示.?8 图2? 且 我们来求它在点 M (x ,y ) 处的曲率中心的坐 假设曲线方程为 y = f ( x ) ， f ″ ( x ) 存在， 标 D ( ξ,η) 和曲率半径 R . 按定义，设⊙ D1 的圆心为 D1 ( ξ1 ,η1 ) ，半径为 R1 ，其方程为(x ? ξ1 )2 + ( y ? η1 )2 = R12 ，写成F ( x ) = (x ? ξ1 )2 + ? f ( x ) ? η1 ? ? R 12 . ? ?2因为 M ,M 1 (x 1 ,y 1 ),M 2 (x 2 ,y 2 ) 都在⊙ D1 上， 所以 F ( x ) = 0,F ( x 1 ) = 0,F ( x 2 ) = 0 .不妨设x 1 & x & x 2 ，则由罗尔定理， ?x 3 ∈ (x 1 ,x ),x 4 ∈ (x ,x 2 ) ，使得 F ′ ( x 3 ) = 0 和 F ′ ( x 4 ) = 0 .再由罗尔定理， ?x 5 ∈ (x 3 ,x 4 ) ，使得 F ′′ ( x 5 ) = 0 . 当 M 1 ,M 2 趋近于 M 时， x 3 ,x 4 ,x 5 均趋近于 x ，故有F ( x ) = 0, F ′ ( x ) = 0, F ″ ( x ) = 0 ，同时， ( ξ1 ,η1 ) → ( ξ,η),R1 → R .于是曲率圆 D 的圆心 D ( ξ,η) 及半径 R 满足下列方程:?(x ? ξ )2 + ( y ? η)2 ? R 2 = 0, ? ?(x ? ξ ) + ( y ? η) y ′ = 0, ?1 + y ′2 + ( y ? η) y ′′ = 0. ?解此方程组便得? ?ξ = x ? ? ? ?η = y + ? ?y′ (1 + y ′2 ), y ′′ 1 (1 + y ′2 ), y ′′(2 ?5 ?8)及R =1. k(2 ?5 ?9)由上不难看出，曲线 y = f ( x ) 在点 M 的曲率圆有下列性质:(1)在点 M 处的曲率与曲线的相同；(2)在点 M 处与曲线相切，且在切点附近有相同凹凸性. 由性质(2)还可知道，点 M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上. 我们来看一个应用实例. 例 10 某工件内表面的型线为 y = 0.4x 2 ，现要用砂轮磨削内表面，问应选多大直径的 砂轮? 砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半 解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分， 径的最小值，如图 2?9 所示.?9 图2? 对于 y = 0.4x 2 ，有 y ′ = 0.8x ，y ″ = 0.8 .曲率半径最小，应是曲率最大，而k= 0.8 ?1 + ( 0.8x ) ? ? ?2 3 2.当 x = 0 时， k 取最大值 0.8，即顶点处曲率最大，因而有R = 1 = 1.25 ， k故砂轮直径不得超过 2.50 单位长.四、微分学在经济学中的应用举例1.边际函数 1.边际函数 “边际”是经济学中的关键术语，常常是指“新增”的意思.例如，边际效应是指消费 新增 1 单位商品时所带来的新增效应； 边际成本是在所考虑的产量水平上再增加生产 1 单位 产品所需成本； 边际收入是指在所考虑的销量水平上再增加 1 个单位产品销量所带来的收入. 经济学中此类边际问题还有很多.下面以边际成本为例，引出经济学中边际函数的数学定义. 设生产数量为 x 的某种产品的总成本为 C ( x ) ，一般而言，它是 x 的增函数.产量从 x 变 为 x + 1 时，总成本增加量为?C ( x ) = C ( x + 1) ? C (x ) = C (x + 1) ? C (x ) . (x + 1) ? x它也是产量从 x 变为 x + 1 时，成本的平均变化率.由微分学中关于导数的定义知导数即是平 均变化率当自变量的增量趋于零时的极限.当自变量从 x 变为 x + ?x 时，只要 ?x 改变不大， 则函数在 x 处的瞬时变化率与函数在 x 与 x + ?x 上的平均变化率相差不大.因此经济学家将C ( x ) 视为连续函数，把边际成本定义为成本关于产量的瞬时变化率，即边际成本 = C ′ ( x ) .类似地，若销售 x 个单位产品产生的收入为 R ( x ) ，则边际收入 = R ′ ( x ) .设利润函数用 π ( x ) 表示，则有π (x ) = R (x ) ? C (x ) .因此边际利润为π ′ ( x ) = R ′ ( x ) ? C′ ( x ) .令 π ′ ( x ) = 0 ，得 R ′ ( x ) = C ′ ( x ) .如果 π ( x ) 有极植，则在 R ′ ( x ) = C ′ ( x ) 时取得.因此当边 际成本等于边际收入时，利润取得极大(极小)值. 一般地，经济学上称某函数的导数为其边际函数. 2. 函数的弹性 我们首先来讨论需求的价格弹性.人们对于某些商品的需求量与该商品的价格有关.当商 品价格下降时，需求量将增大；当商品的价格上升时，需求量会减少.为了衡量某种商品的 价格发生变动时， 该商品的需求量变动的大小， 经济学家把需求量变动的百分比除以价格变 动的百分比定义为需求的价格弹性，简称价格弹性. 设商品的需求 Q 为价格 p 的函数，即 Q = f ( p ) ，则价格弹性为? ?Q ? ? ?p ? p ?Q . ? Q ? ? p ?= ? ? ? ? ? Q ?p 若 Q 是 p 的可微函数，则当 ?p → 0 时，有? p →0? lim ? ?Q ? Q?p ? p ?Q p dQ = lim = ? . p ? Q ?p →0 ?p Q dp ?故商品的价格弹性为 分比. 例 11p dQ ? ，记为 E Q ，其含义为价格变动百分之一所引起的需求变动百 Q dp Ep设某地区城市人口对服装的需求函数为Q = ap ?0.54 ，其中 a & 0 为常数， p 为价格，则服装的需求价格弹性为E Q p dQ p = ? = a p ?0.54 ?1 ( ?0.54 ) = ?0.54 . Ep Q dp Q说明服装价格提高(或降低)1%，则对服装的需求减少(或提高)0.54%. 需求价格弹性为负值时， 需求量的变化与价格的变化是反向的.为了方便， E = 记EQ ， Ep称 E & 1 的需求为弹性需求， 表示该需求对价格变动比较敏感； E & 1 的需求为非弹性需求， 称 表示该需求对价格变动不太敏感.一般来说，生活必需品，需求的价格弹性小，而奢侈品的 需求价格弹性通常比较大.例 2 求下列幂函数的弹性： (1) y = ax b ； (2) y = ax 2 + bx + c (a & 0，b ≠ 0) . 解 (1)(2)Ey x = ? a bx b ?1 = b ； E x ax b2 Ey x = 2 ( 2ax + b ) = 2ax + bx . 2 E x ax + bx + c ax + bx + c3. 增长率 在许多宏观经济问题的研究中， 所考察的对象一般是随时间的推移而不断变化的， 如国 民收入、人口、对外贸易额、投资总额等.我们希望了解这些量在单位时间内相对于过去的 变化率.比如，人口增长率、国民收入增长率、投资增长率等. 设某经济变量 y 是时间 t 的函数： y = f ( t ) .单位时间内 f ( t ) 的增长量占基数 f ( t ) 的百 分比f (t + ?t ) ? f (t ) f (t ) ?t称为 f ( t ) 从 t 到 t + ?t 的平均增长率. 若 f ( t ) 视为 t 的可微函数，则有?t →0f (t + ?t ) ? f (t ) ? ? 1 lim f (t + ?t ) ? f (t ) = f ′(t ) lim ? 1 ? . ? = f (t ) ?t →0 ?t ?t f (t ) ? f (t ) ?我们称f ′(t ) 为 f ( t ) 在时刻 t 的瞬时增长率，简称增长率，记为 γ f . f (t )由导数的运算法则知，函数的增长率有两条重要的运算法则: (1)积的增长率等于各因子增长率的和； (2)商的增长率等于分子与分母的增长率之差. 事实上，设 y ( t ) = u ( t ) ? v ( t ) ，则由dy dv du =u? +v ? dt dt dt可得γy = 1 dy 1 1 1 ? = ( u dv + v du ) / dt = v ? dv + u ? du y dt uv dt dt= γu +γv .同理可推出，若 y ( t ) =u (t ) ，则 γ y = γ u ? γ v . v (t )H例 13 设国民收入 Y 的增长率是 γ Y ，人口 H 的增长率是 γ，则人均国民收入 Y 的 H增长率为 γ Y ? γ 例 14H.求函数(1) y = ax + b ；(2) y = aebx 的增长率.y′ a = ； y ax + b解 (1) γ y =bx(2) γ y = abe = b . aebx 由(1)知，当 x → +∞ 时， γ y → 0 ，即线性函数的增长率随自变量的不断增大而不断减小直 至趋于零.由(2)知指数函数的增长率恒等于常数.习 题 二1.?设 s = 1 g t 2 ，求 ds 2 dt .t =22.?(1) 设 f (x ) = 1 ，求 f ′ ( x 0 ) x(x 0 ≠ 0) ;(2) 设 f ( x ) = x (x ? 1)(x ? 2)L (x ? n ) ，求 f ′ ( 0 ) . 3.?下列各题中均假定 f ′ ( x 0 ) 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 A 表示什么： (1) limf (x 0 ? ? x ) ? f (x 0 ) =A； ?x? x →0(2) f ( x 0 ) = 0 ， limx →x 0f (x ) =A； x0 ?x(3) limh →0f (x 0 + h ) ? f (x 0 ? h ) =A. h4.?讨论函数 y = 3 x 在 x = 0 点处的连续性和可导性. 5.?设函数?x 2 , ? y =? ? ax + b, ?x ≤ 1, x & 1,为了使函数 f ( x ) 在 x = 1 点处连续且可导， a , b 应取什么值？6.?讨论下列函数在指定点的连续性与可导性： (1) y = sinx ， x = 0 ；? x 2 sin 1 , ? (2) y = ? x ?0, ? x ≠ 0, x = 0,x =0；?x , (3) y = ? ?2 ? x ,x ≤ 1, x & 1,x =1.7?如果 f ( x ) 为偶函数，且 f ′ ( 0 ) 存在，证明 f ′ ( 0 ) = 0 . 8.?求下列函数在 x 0 处的左、右导数，从而证明函数在 x 0 处不可导：? sin x , ? (1) y = ? 3 ?x , ?x ≥ 0, x & 0,x0 =0；x ? , 1 ? (2) y = ? 1 + e x ? ?0,? ? x, (3) y = ? 2 ?x , ?x ≠ 0, x = 0,x ≥ 1, x & 1,x0 =0；x0 = 1.9.?求下列函数的导数： (1) y = x ； (2) y = 1 ； 3 x22 3 2 (3) y = x ? x . x5? sin x , 10.?已知 y = ? ?x ,x & 0, 求 f ′ (x ) . x ≥ 0,11.?设 f ( x ) = x ? a φ ( x ) ，其中 a 为常数， φ ( x ) 为连续函数，讨论 f ( x ) 在 x = a 处的可导性.12.?已知 f ( x ) = max x 2 , 3 ,求 f ′ ( x ) .x+ 13.?若 f ? 1 ? = e x ，求 f ′ ( x ) . ? ? ?x ?{}114.?试求过点 (3，) 且与曲线 y = x 2 相切的直线方程.? 8 15.? 证明：双曲线 x y = a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .16.?已知 f ( x ) 在 x = x 0 点可导，证明：limh →0f (x 0 + αh ) ? f (x 0 ? βh ) = ( α + β) f ′(x 0 ) . h17. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间 t 的关系式为 h ( t ) = 10t ? 1 g t 2 (m)，求： 2 (1) 物体从 t = 1 (s)到 t = 1.2 (s)的平均速度； (2) 速度函数 v ( t ) ； (3) 物体何时到达最高点. 18.?设物体绕定轴旋转，在时间间隔 ?0,t ? 内，转过角度 θ ，从而转角 θ 是 t 的函数： ? ?θ = θ ( t ) .如果旋转是匀速的，那么称 ω = θt 为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 t 0 的角速度？ 当金属从 T ℃ 19.?设 Q = Q (T ) 表示重 1 单位的金属从 0℃ 加热到 T ℃ 所吸收的热量，升温到 (T + ? T ) ℃ 时，所需热量为 ? Q = Q (T + ? T ) ? Q (T ) ， ?Q 与 ?T 之比称为 T 到T + ? T 的平均比热，试解答如下问题： (1) 如何定义在 T ℃ 时，金属的比热；(2) 当 Q (T ) = aT + bT 2 (其中 a , b 均为常数)时，求比热. 20.?求下列函数在给定点处的导数：dy (1) y = x sinx + 1 cosx ，求 2 dx(2) f (x ) =x =π 4；3 x2 + ，求 f ′ ( 0 ) 和 f ′ ( 2 ) ； 5?x 5求 f ′ (1) .? 5x ? 4, x ≤ 1, ? (3) f (x ) = ? 2 ?4x ? x , x & 1, ?21.?求下列函数的导数： (1) S = 3lnt + sin π ； 7(2) y = x ln x ；(3) y = 1 ? x 2 sin x (1 ? sin x ) ；(5) y = tanx + eπ ； (7) y = lnx ? 2lgx + 3log2x ；()(4) y = 1 ? sin x ； 1 ? cos x (6) y = secx ? 3secx ； x (8) y = 1 . 1+x +x 222.?设 P ( x ) = f 1 ( x ) f 2 ( x )L f n ( x ) ≠ 0 ,且所有的函数都可导，证明f ′ (x ) P ′(x ) f 1′ (x ) f 2′ (x ) . = + +L + n P (x ) f 1 (x ) f 2 (x ) f n (x ) 23.?求下列函数的导数： (1) y = e3x ； (3) y = e2x +1(2) y = arctanx 2 ；；(4) y = 1 + x 2 ln(x + 1 + x 2 ) ； (6) y = cos2ax 3 (a 为常数)； (8) y = (arcsin x )2 ； 2 (10) y = sinn x cosnx ；(12) y = arcsin 1 ? x ； 1+x()(5) y = x 2 ·sin1 ； x2(7) y = arccos 1 ； x (9) y = 1 + ln 2 x ； (11) y =1+x ? 1?x ； 1+x + 1?x(13)y = lncosarctan (sinhx ) ；(14) y =x a2 x a 2 ? x 2 + arcsin ( a & 0 为常数). 2 2 ax =324.? y = arccos x ? 3 ? 2 6 ? x ，求 y ′ 3 x.x =2dy π 1 25.?若 f ′ ? ? = 1 ， y = f ? arccos ? ，求 ? ? ? ? dx 3? x? ? ?.26.?试求曲线 y = e? x ? 3 x + 1 在点 (0,1) 及点 (?1, 处的切线方程和法线方程. 0)27.?设 f ( x ) 可导，求下列函数 y v 的导数 (1) y = f x 2 ； dy ： dx( )(2) y = f sin 2x + f cos2x .?()()28.?求函数 y = 1 ln 1 + x 的反函数 x = φ ( y ) 的导数. 2 1?x 29.? 已知 y = f ( x ) 的导数 f ′ ( x ) = x = φ ( y ) 的导数 φ′ (1) . 30.?求下列参数方程所确定的函数的导数 dy ： dx 2x + 1 ，且 f (?1) = 1 ，求 y = f ( x ) 的反函数 (1 + x + x 2 )2?x = a cos bt + b sin at , (1) ? ? y = a sin bt ? b cos at ,( a , b 为常数)；?x = θ(1 ? sin θ), (2) ? ? y = θ cos θ.? x = et sin t , dy ? 31.?已知 ? 求当 t = π 时 的值. t dx 3 ? y = e cos t , ?32.?求下列隐函数的导数： (1) x 3 + y 3 ? 3ax y = 0 ； (3) x ey + y ex = 10 ； (5) x y = ex + y . 33.?用对数求导法求下列函数的导数： (1) (2) x = y ln ( x y ) ； (4) ln x 2 + y 2 = 2arctan()y ； xy= y =x + 2 ? (3 ? x )4 ； (x + 1)5(2) y = (sinx )cosx；(3) y =e2x (x + 3) (x + 5)(x ? 4).34.?求自由落体运动 s ( t ) = 1 g t 2 的加速度. 2 35.?求 n 次多项式 y = a0 x n + a1x n ?1 + L + an ?1x + an 的 n 阶导数.36.?设 f ( x ) = ln (1 + x ) ，求 f (n)(x ) .37.?验证函数 y = ex sinx 满足关系式 y ″ ? 2y ′ + 2y = 0 . 38.?求下列函数的高阶导数:4 (1) y = ex sinx ，求 y ( ) ； 80 (3) 设 y = x 2sinx ，求 y ( ) . 6 (2) y = x 2e2x ，求 y ( ) ；39.?求下列函数在指定点的高阶导数： x (1) f (x ) = ，求 f ″ ( 0 ) ; 1+x 2(2) f ( x ) = e2x ?1 ,求 f ″ ( 0 ) , f ′′′(0) ;6 5 6 (3) f (x ) = ( x + 10 ) , 求 f ( ) ( 0 ) ， f ( ) ( 0 ) .40.?求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d2 y : dx 2(1) b2x 2 + a 2 y 2 = a 2b2 ； (3) y = tan ( x + y ) ； 41.?已知 f ″ ( x ) 存在，求 (1) y = f x 2 ； d2 y ： dx 2(2) y = 1 + x ey ； (4) y 2 + 2lny = x 4 .( )(2) y = lnf ( x ) . d2 y : dx 242.?求由下列参数方程所确定函数的二阶导数? x = a (t ? sin t ), (1) ? ? y = a (1 ? cos t ), ?x = f ′(t ), (2) ? ? y = tf ′(t ) ? f (t ),( a 为常数)；设 f ″ ( t ) 存在且不为零.43.?设 y = f ( x ) 是由方程组2 ? ?x = 3t + 2t + 3, ? y ? y = e sin t + 1. ?所确定的隐函数，求d2 y dx 2t =2.44.?设函数 f ( x ) 在 ?a, b ? 上连续， (a , b) 内可导， lim+ f ′(x ) = A ， 在 且 试证：f ′+ ( a ) = A . ? ?x →a45.?设 f ( x ) 具有二阶连续导数，且 f ( 0 ) = 0 ，试证? f (x ) , x ≠ 0, ? g (x ) = ? x ? f ′(0), x = 0 ?可导，且导函数连续. 46.?在括号内填入适当的函数，使等式成立： (1) d ( (3) d ( (5) d ((7) d ()=cost dt ；(2) d ( (4) d ((6) d ( (8) d () = sinωx dx ) = e?2x dx ；；1 ) = 1 + x dx ；1 dx ； x 1 ) = x lnx dx ；)=) = sec2 3x dx ；)=x 1?x 2 dx .47.?根据下面所给的值，求函数 y = x 2 + 1 的 ? y ， dy 及 ? y ? dy ： (1) 当 x = 1，? x = 0.1 时； (2) 当 x = 1，? x = 0.01 时. 48.?求下列函数的微分： (1) y = x ex ； (3) y = cos x ； (2) y = ln x ； x(4) y = 5ln tan x ； (6) y = arcsin x + (arctan x )2 .(5) y = 8x x ? 6e2x ；49.?求由下列方程确定的隐函数 y = y ( x ) 的微分 dy ： (1) y = 1 + x ey ； (3) y = x + 1 siny ； 2 50.?利用微分求下列各数的近似值： (1) (3)32 2 (2) x 2 + x 2 = 1 ； a b(4) y 2 ? x = arccosy .8.1 ；arctan1.02 .(2) ln0.99 ；51.?设 a & 0 ，且 b 与 an 相比是很小的量，证明：b . na n ?1 52.?利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中 f 和 φ 均为可微函数：nan + b ≈ a +(1) y = f x 3 + φ x 4(( )) ；(2) y = f (1 ? 2x ) + 3sinf ( x ) .53.?求下列函数的高阶微分： (1) y = 1 + x 2 ，求 d2 y ； (2) y = x x ，求 d2 y ；(3) y = x ·cos2x ，求 d10 y ；(4) y = x 3 ·lnx ，求 dn y ；(5) r 2 ·cos3 θ ? a 2sin3 θ = 0 ( a 为常数)，求 d 2 r .54.?利用麦克劳林公式，按 x 乘幂展开函数 f ( x ) = (x 2 ? 3x + 1)3 .55.?利用泰勒公式求下列极限： (1) limx ? sin x ； x →0 x3(2) limetan x ? 1 ； x →0 x(3) lim[x ? x 2 ln(1 + 1 )] . x →∞ x 56.?求下列函数在 x = x 0 处的三阶泰勒展开式： (1) y = x ( x0 = 4 ) ； (2) y = (x ? 1)lnx( x 0 = 1) .57.?求函数 f (x ) = 1 在 x 0 = ?1 处的 n 阶泰勒公式. x 58.?求函数 f ( x ) = x ex 的 n 阶麦克劳林公式. 59.?求函数 y = ex + e-x 的 2n 阶麦克劳林展开式. 260.?设 f ( x ) 在含 x 0 的某区间上存在有界的二阶导函数， 证明： x 在 x 0 处的增量 h 很 当小时，用增量比近似一阶导数 f ′ ( x 0 ) 的近似公式f ′(x 0 ) ≈ f (x 0 + h ) ? f (x 0 ) ， h其绝对误差的量级为 O ( h ) ，即不超过 h 的常数倍.61.?利用四阶泰勒公式，求 ln1.2 的近似值，并估计误差. 62.?计算 e0.2 的近似值，使误差不超过 10?3 . 63. 球的半径以速率 v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 64. 一点沿对数螺线 r = eaφ 运动，它的极径以角速度 ω 旋转，试求极径变化率.? 65. 一点沿曲线 r = 2acosφ 运动，它的极径以角速度 ω 旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.?66. 椭圆 16x 2 + 9y 2 = 400 上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？67. 一个水槽长 12m，横截面是等边三角形，其边长为 2m，水以每分钟 3m 3 min ?1 的速 度注入水槽内，当水深 0.5m 时，水面高度上升多快？ 68. 某人走过一桥的速度为 4 千米/小时，同时一船在此人底下以 8 千米/小时的速度划 过，此桥比船高 200 米，求 3 分钟后，人与船相离的速度.? 69. 一动点沿抛物线 y = x 2 运动， 它沿 x 轴方向的分速度为 3 厘米/秒， 求动点在点 (2，) 4时，沿 y 轴的分速度.?70. 设一路灯高 4 米，一人高 5 米，若人以 56 米/分的等速沿直线离开灯柱，证明:人影 3 的长度以常速增长.? 71. 计算抛物线 y = 4x ? x 2 在它顶点处的曲率.? 72. 计算曲线 y = coshx 上点 (0， 处的曲率.? 1)π 73. 计算正弦曲线 y = sinx 上点 ? ,1 ? 处的曲率.? ? ? ?2 ? 74. 求曲线 y = ln (secx ) 在点 (x , y ) 处的曲率及曲率半径.? 75. 求曲线 x = acos3t，y = asin3t 在 t = t0 处的曲率.? 76. 曲线弧 y = sinx (0 & x & π ) 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径.? 77. 求曲线 y = lnx 在与 x 轴交点处的曲率圆方程.? 78. 一飞机沿抛物线路径 y =x2 ( y 轴铅直向上，单位为米)做俯冲飞行，在坐标原点 10000O 处飞机速度 v = 200 米/秒，飞行员体重 G = 70 千克，求飞机俯冲至最低点即原点 O 处时，座椅对飞行员的反力.? 79. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：R ( q ) = 5q ? 0.003q 2 , C ( q ) = 300 + 1.1q ，其中 q 为产量， 0 ≤ q ≤ 1000 ，求(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量 使盈亏平衡?80. 设生产 q 件产品的总成本 C ( q ) 由下式给出：C ( q ) = 0.01q3 ? 0.6q 2 + 13q ，(1)设每件产品的价格为 7 元，企业的最大利润是多少？ (2)当固定生产水平为 34 件时，若每件价格每提高 1 元时少卖出 2 件，问是否应该提高 价格？如果是，价格应该提高多少？ 81. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y = ax + b ； (2) y = aebx ； (3) y = x a ，b 其中 a, ∈ R，a ≠ 0 .?82. 设某种商品的需求弹性为 0.8 ，则当价格分别提高 10% ， 20% 时，需求量将如何变 化？ 83. 国民收入的年增长率为 7.1% ，若人口的增长率为 1.2% ，则人均收入年增长率为多 少？
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