求问。下面这一题。微积分 二重积分求导例题哪位大佬会?谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-25 10:52 标签： 二重积分例题
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
下载作业帮安装包
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
微积分,对偶微分习题：设{r,θ,φ}是3维欧式空间的球坐标,证明 *dr=(r^2sinθ)=dθ^dφ这个跟大学开始学的微积分基础中求球体积分的3重积分中有些类似,但不会证明.
╭⌒°1986____
扫二维码下载作业帮
拍照搜题，秒出答案，一键查看所有搜题记录
那第一个等号应该是乘号吧?我的理解是这样的.先说原来的Cartesian坐标系,有一个“体积元”dxdydz（外积的符号不好敲,我给省了）,它给出了三维空间的一个定向（通常所谓右手坐标系）.如果采用另一个体积元dydxdz作为定向,那就是左手坐标系.这个或许你早知道,如果你比较了解微分形式的外积运算的话.那么w=dxdydz给出一个定向的条件是w总有定义并且非0.比如说xdxdydz就不能给出一个定向,因为在x=0平面上它是0；drdθdφ也不能,因为在r=0时另两个参数无法定义.在给定定向w=dxdydz的前提下,可以看出,在dx上补上一个dydz就可以凑成w,这时说*(dx) = dydz.也就是说这个对偶算子*取决于w的.现在要证明*（dr(r^2sinθ)）=dθdφ,这要说明dr(r^2sinθ)dθdφ是一个体积元就行了,根据球坐标变换,它就是w=dxdydz,因此以w为这个空间的定向,那就有这个要证的式子.请再次注意,drdθdφ本身不能用来定向整个空间,因为它在r=0时没有定义.
哦，虽然我把题目打错了不过还是谢谢你的分析，我想到证明方法了，好像在两边取对偶，然后由叉积与楔积之间的简单关系可以证明
为您推荐：
其他类似问题
扫描下载二维码上传时间：
[Khan Academy - Calculus]double-integral-1
56官方微信
扫一扫发现精彩【图片】二重积分入门解说【微积分吧】_百度贴吧
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&签到排名：今日本吧第个签到，本吧因你更精彩，明天继续来努力！
本吧签到人数：0成为超级会员，使用一键签到本月漏签0次！成为超级会员，赠送8张补签卡连续签到：天&&累计签到：天超级会员单次开通12个月以上，赠送连续签到卡3张
关注：25,693贴子：
二重积分入门解说收藏
本帖是为没有学过二重积分的吧友们学习而准备的。本人不才，如有错误敬请指出，还望多多包涵！本帖花费了我较多精力，希望各位都能进来看看！同时恭祝各位新春快乐！
政府办学,免学费入读大专+高级工双证教育,选择医药行业,成就辉煌未来.
二重积分，顾名思义，是有两个积分号的积分。二重积分与一元积分不同，是以平面图形作为积分区域的积分，但与其类似的是它们都是求容积的，二重积分用来求曲边梯形与xOy平面构成的立体图形的体积。下面，我将用自创的理解方法来解释二重积分及其计算，如有意见欢迎补充
第一步：确定积分区域我个人认为，在二重积分计算中最难的部分就是划定积分区域。有的题目积分区域用集合表示，有的题目却用文字描述。那么怎样开始积分呢?先确定积分区域形状。比如以下区域：D=｛(x,y)|max｛|x|,|y|｝≤1｝.这个积分区域是一个以原点为中心的正方形。再确定x的范围。显然-1≤x≤1.再确定y相对于x的范围。这里指的就是区域的上下界函数y=y(x)，在本例中是常函数y=-1和y=1。于是原积分∫∫f(x,y)dxdy=∫【-1,1】dx∫【-1,1】f(x,y)dy(设被积函数是f(x,y))。接下来就是计算了。
2.如果积分区域是以y=sinx,y=cosx,y轴在[0，π/4]围成的图形呢?很明显，按照上面的方法，x∈[0,π/4],sinx≤y≤cosx.如果被积函数是f(x,y)，那么在这个区域上的二重积分是∫【0，π/4】dx∫【sinx,cosx】f(x,y)dy.
3.由此，引出了二重积分的计算。做题时，要先做出后一积分(将前一积分的变量作为常数求积分)，将答案乘在前一积分内继续做这一积分。假设上一例中f(x,y)=xy，那么先求出后一积分∫【sinx,cosx】xydy.在这里被积变量是y，所以把x，sinx，cosx全部看成常数即可。那么答案将是x(((cosx)^2)/2-((sinx)^2)/2).再将这个结果乘入前一积分中，变成∫【0，π/4】 x(((cosx)^2)/2-((sinx)^2)/2)dx.求出这个定积分的值，这个二重积分就算出来了，它的几何意义就是以上例中的区域为下底，以二元函数xy为上底的曲顶柱体的体积。
4.但是不一定每个二重积分都要先积分y再积分x。如果积分区域像下面这个例子这样：D=｛(x,y)|-1≤y≤1,-1≤x≤√(1-y^2)｝，被积函数为f(x,y)，那么积分∫∫(D)f(x,y)dxdy=∫【-1,1】dy∫【-1,√(1-y^2)】f(x,y)dx。积分顺序将变为先x后y。用通常的先y后x的方法也可以做，但是这将需要将区域划分为2块，求出两块的积分值后将其相加。显然这样做难度会增加。积分顺序应灵活使用，以方便计算。（徒手画图有点渣，见谅）
6.如同定积分，二重积分也可以换元。不过，因为二重积分的积分对象是面积微元，所以换元时步骤稍有不同，积分区域也会变化。一般二重积分换元的目的是将复杂的积分区域简单化。下面用D(以原点为圆心的单位圆)与f(x,y)=√(x^2+y^2)做例子。首先介绍换元公式：dudv=dxdy· ∂(u,v)/ ∂(x,y),其中∂(u,v)/∂(x,y)=|(∂u/∂x)·(∂v/∂y)-(∂u/∂y)·(∂v/∂x)|=1/(∂(x,y)/∂(u,v)).注意一定要加绝对值符号，因为面积总是正的。由于这个绝对值符号，所以x,y和u,v的顺序是可以随意更改的。下面来做例题。对于圆形区域，一般用极坐标换元。即x=rcosθ,y=rsinθ(r,θ就是u,v).显然∂(r,θ)/∂(x,y)不好算，∂(x,y)/∂(r,θ)反而好算些。所以使用上面的公式，∂(x,y)/∂(r,θ)=r,drdθ=dxdy/r.同时区域在极坐标下变成了r∈[0,1],θ∈[0,2π].√(x^2+y^2)=r.在极坐标中一般让θ在0到2π中变动，而r的意义就是半径，所以∫∫(D)√(x^2+y^2)dxdy=∫【0,2π】dθ∫【0,1】r·rdr=(1/3)∫【0,2π】dθ=2π/3.（###
∂u/∂x指的是函数u是多个变量包括x的函数，将其它变量当作常量后，u对x求导。这类似于du/dx。如：u=x^2+y^2，那么∂u/∂x=2x，因为y被当作了常量）
6.现在介绍一些常用的坐标变换及其换元的结果，可以免去计算难度，做题时可以直接使用。①极坐标变换：x=rcosθ,y=rsinθ,dxdy=rdrdθ②广义极坐标变换(一般用于椭圆区域)：x=arcosθ,y=brsinθ,dxdy=abrdrdθ (a,b是正常数)③菱形变换(用于每边都是斜率为±1的菱形区域)：u=x+y,v=x-y,dxdy=(1/2)dudv二重积分的坐标变换还有很多，使用时要依照题目给出的区域与函数。对于三重积分还有更多的坐标变换，在这里就不再阐述了。
7.来考察这样的区域：由xy=1,xy=4,y=x,y=4x在第一象限围成的闭区域。这种形状提示我们采用变换u=xy,v=y/x.这样的话原区域就变成了1≤u≤4,1≤v≤4的矩形区域。再计算dxdy=(1/(2v))dudv.如果要求该区域的面积，我们发现其面积等于以其为底高为1的柱体体积，所以面积S=∫∫(D)dxdy=∫【1，4】du∫【1，4】dv/2v=3ln2.这只是一种换元方法，换元要灵活运用的原因也是这个。
8.我们一定不能忽视二重积分的几何意义。类似定积分，我们把xOy平面以上的体积记为正，以下的记为负。如果函数有着原点对称的性质，我们称之为奇函数，它在对称区域上的积分为0。对于沿x轴或y轴对称的函数，也有类似的性质。还有如同上例，函数值恒为1的积分可以用来求面积，这样就可以省去定积分的麻烦的分割步骤了。
变形金刚OL 6月23日不限号狂欢
----------完----------
感觉很厉害呢
门外汉，右下角镇纸魔方高亮
顶顶身体好
楼主你还没说二重积分是什么
请问下，关于二重积分里面的坐标变换如何理解的？例如这题，圆心为（0.5
0.5），为什么图中画横线的那两个积分等于0？
lz好棒。。高数书看不下去。。看这帖懂了点。。
只想说，啥也没看明白后天就考试了啊我还啥都不会
登录百度帐号推荐应用工具类服务
编辑部专用服务
作者专用服务
微积分中的一题多解
微积分是大学数学中非常重要的一门课程,在学习的过程中很多人都倍感困难.本文主要通过在求解不定积分中的一道习题时产生的多种方法求解,由此展开对高等数学学习方法的讨论.
作者单位：
河南工业大学理学院
年，卷(期)：
机标分类号：
在线出版日期：
本文读者也读过
相关检索词
万方数据知识服务平台--国家科技支撑计划资助项目（编号：2006BAH03B01）(C)北京万方数据股份有限公司
万方数据电子出版社

我要回帖

更多关于 二重积分例题 的文章

 

随机推荐