高等数学（一）:正项级数收敛性判别方法之比较判别法例题
正项级数收敛性判别方法之比较判别法例题
题目：判断级数的收敛性来源：高等数学（一）第四单元 第十二讲 正项级数收敛性判别方法 测验解析：（先放张截图，有空再来编辑吧）函数项级数不一致收敛的判别_文档库
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函数项级数不一致收敛的判别
2007年4月第10卷第1期
山/西/财/经/大/学/学/报(高等教育版)
Apr.,2007Vol.10No.1
JournalofShanXiFinanceandEconomicsUniversity(highereducationedition)
函数项级数不一致收敛的判别
(山西省综合职业技术学院,山西太原030006)
[摘 要]利用一致收敛函数列的一个性质,给出判别函数项级数(包括函数列)不一致收敛的一种方法,这种方法为教科书所忽视,然而它对于一类函数与函数项级数来说,却十分有用,特别对于一类函数项级数,判别的方法和技巧都有它们的特点,有一定启发性。
[关键词]函数项级数;不等式;收敛
一、一致收敛函数列的一个性质
一致收敛函数列有一个不为人注意的性质:
命题1 设各项连续的函数列{Sn(x)}在区间I上一致收敛于S(x),则对I中任何以X0(x0II)为极限的数列{Xn},都有
limSn(Xn)=S(X0)(1)
=1,2,,,),则liman=1,且limSn(an)=lim(1-1)=0.
(n=1,2,,,),则lim bn=1 且lim2ny]ny]111
Sn(bn)=lim(-)=
由于(2)式和(3)式的极限不相同,所以根据推论2,{Sn
(x)}在[0,1]上不一致收敛。
[注]此例也可根据命题1判别:设极限函数为S(X),则
S(1)=limSn(1)=0,从而由limSn(Bn)=XS(1),
ny]ny]4即知{Sn(x)}在[0,1]上不一致收敛。二、性质在函数项级数中的运用
由命题1可得相应于函数项级数的如下命题:
命题2 设各项连续的函数项级数EUn(x)在区间I上
这个性质仅在某些数学分析教科书中作为习题来安排,它的证明并不难,只需注意{Sn(X)}在I上一致收敛时,有
limsup|Sn(x)-S(x)|=0从而由|Sn(Xn)-S(Xn)|[SUP
|Sn(x)-S(x)|
即得:lim[Sn(xn)-S(xn)]=0,再注意连续函数列{Sn
(X)}一致收敛时极限函数S(X)在I上也连续,便能导出(1)式。
命题1给出了连续函数列一致收敛的必要条件。据此,对于一个在区间I上逐点收敛于S(X)的连续函数列{Sn(X)},如果在I中存在一个以X0(X0II)为极限的数列{Xn},使得(1)式不成立,则可断言:{Sn(X)}在I上不一致收敛,特别地有如下两个推论:
推论1:设连续函数列{Sn(X)}在区间I上逐点收敛,且在I中存在一个以X0(X0II)为极限的数列{Xn}使得{Sn(Xn)}发散,则{Sn(X)}在I上不一致收敛。
推论2:设连续函数列{Sn(X)}在区间I上逐点收敛,且在I中存在数列{an}和{bn},满足条件:
10 liman=limbn=X0(X0II)
一致收敛于S(X),则对I中任何以X0(X0II)为极限的数列{Xn},都有
2 limSn(an)=A,limSn(bn)=B,而AXB
则{Sn(X)}在I上不致收敛。
例1 讨论函数列Sn(X)=nx(1-X2)n(n=1,2,,,)在[0,1]上的一致收敛性。
解 这个函数列在[0,1]上逐点收敛,且它的各项都是连续函数,现取Xn=(u=1,2,,,),则Xny0 (ny])
limSn(Xn)=lim1-)=],即{Sn(Xn)}发散,所以nny]ny]
根据推论1,{Sn(X)}在[0,1]上不一致收敛。
例2 讨论函数列Sn(X)=Xn-X2n(n=1,2,,,)在[0,1]上的一致收敛性。
解 这个连续函数列在[0,1]上逐点收敛,先取an=1(n
lim U(X)=S(x0)(4)ny]k=1kn
这个命题也有相应的两个推论,不再赘述,它们对于部分和函数容易求出的级数来说,可像命题1那样地使用;当部分和函数不易求出理,在理解过程中要重在不等式的技巧运用。另外,由于(4)式涉及的和式结构,往往能使数列级限与定积分联系起来,从而可把复杂的数列极限计算转化为定积分,使问题巧妙的得到解决。
例3 讨论函数项级数E2n在(-]+])上的一n=11+nX致收敛性。
解 这个级数在(-]+])上逐点收敛,且每一项都是
连续函数。设和函数为S(X),则S(0)=0,现取Xn=(n=
1,2,,),则Xny0(ny]),又设Uk(x)=,于是利用
定积分概念可得lim EUk(Xn)=lim E =
nk=1k2ny]k=1ny]
Q1=XS(0)0=arctanx1+x04
所以本题讨论的级数在(-]+])上不一致收敛,解毕。
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正向级数收敛的判定 学年论文.doc 15页
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目录摘要 2引言 21正项级数的定义 22正项级数收敛性的一般判别原则 33比式判别法和根式判别法 54积分判别法 95拉贝判别法 9结束语 12参考文献 13致谢 14摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍级数理论的功能并不仅仅在于引进非初等函数，更重要的是给出了研究这些函数的有效方法，而且即使是初等函数，给出了它们的级数形式，有时会更便于研究它们的性质。级数级数级数收敛性判断级数收敛性判断的方法1正项级数的定义若级中各项都是非负的(即)，则称该级数为正项级数.由正数和零构成的级数称为正项级数.2正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正项级数.如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性.定理1如果的部分和数列的极限存在，即：则称级数收敛，S为级数的和.记为：.如果不存在，则称级数发散.定理2正项级数收敛的充要条件正项级数部分和数列有界，即存在某正数M，对，有.证明：由于对，，故是递增的，因此，有收敛收敛有界.定理3（比较原则）设和均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对都有，(1)则（i）若级数收敛，则级数也收敛；（ii）若级数发散，则级数也发散．证因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛散性，因此不妨设不等式(1)对一切正数都成立．现分别以和记级数和的部分和．由（1）式推得，对于一切正整数,都有（2）若收敛，即存在，则由（2）式对于一切有，即正项级数的部分和数列有界，由定理2级数收敛．这就证明了（i）；（ii）为（i）的逆否命题，自然成立．例1　考察的收敛性．解由于当时，有.因为正项级数收敛，故此定理成立，级数收敛.推论设，（3）（4）是两个正项级数，若，（5）则（i）当时，级数（3）、（4）同时收敛或者同时发散；（ii）当且级数（1）收敛时，级数（3）也收敛；（iii）当且级数（4）发散时，级数（3)也是发散的.证由（5），对于给的正数，存在某正数，当时，恒有或.（6）由定理比较原则及（6)式推得，当（这里的），级数（3）与（4）同时收敛或同时发散.这就证得（i）.对于（ii），当时，由（6）式有半部分及比较原则可得：若级数（4）收敛，则级数（3）也收敛.对于（iii），若，即对任给的正数，存在相应的正数，当时，都有或.于是由比较原则知道，若级数（4）发散，则级数（3）也发散.例2级数是收敛的，因为以及等比级数收敛，所以根据推论，级数也是收敛.3比式判别法和根式判别法根据比较原则，可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的.只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法。至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及级数等.要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式。但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难。下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性.比式判别法（达朗贝尔判别法）：适合与有公因式且存在或等于无穷大的情形.定理4设为正项级数，且存在某正整数及常数q().（i）若对于一切,成立不等式，（7）则级数收敛.（ii）若对于一切，成立不等式，（8）则级数发散.推论1（比式判别法的极限形式）若为正项级数，且，则（i）当时，级数收敛；（ii）当或，级数发散.例4级数，由于，根据推论1级数是收敛的.根式判别法（柯西判别法）设为正项级数，且存在某个正整数及正常数，（1）若对，有，则级数收敛；（2）若对，有，则级数发散.证明：由比较判别法即可得.推论1（根式判别法的极限形式）设为正项级数，且，则（1）当时，级数收敛；（2）当（可为）时，级数发散；（3）当时，级数可能收敛，也可能发散。如：，.例5讨论级数的敛散性.解：由于所以级数是收敛的。　　若在(13)式中=1，则根式判别法仍无法对级数的敛散性作出判断．例如，对都有　　　但是收敛的，而却是发散的。若(13)式的极限不存在，则可根据根式的上极限来判断。推论2设为正项级数
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根据级数收敛与发散的定义判别此题级数的收敛性.&
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用定义可知级数是收敛的.
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