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高数2(X)考试复习资料.docx 17页
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高数2（工科）考试复习资料虽然下面内容很少，但我又不是专门弄这些的每天只能抽出一点时间来做，花了一个月才弄好，希望这些东西还是有些用吧偏导数例1.求z2=x2+3xy+y2例2，求z=x2sin2y2x2cos2y例3，求z=xylnx=yxy-1全微分dz=例6，设计算z=x2y+y2的全微分dz=2xydx+*(x2+2y)dy例4，设w=f(x+y+x,xyz),求及解令u=x+y+z,v=xyz,则w=f(u,v)注1代表第一变量u，2代表第二变量f'1=f'2同上f''12==f'1+yzf'2===因故=隐函数多元函数极值求法有偏导数的函数极值必为驻点函数的驻点不一定是极值点二重积分无穷级数常用的幂级数展开式求的和函数令则;//*的极限是缺少幂的项不能用用定理求出例4，求幂级数的收敛半径当时，级数收敛当时，级数发散交错级数收敛例6（P-214）求幂级数的和函数解：1，求收敛域由有收敛半径R=当x=1时，幂级数是发散函数，当x=-1时，幂级数是收敛函数，故其收敛域为I=[-1，1)2，设和函数为s(x)求幂级数s(x)=,故xs(x)=将xs(x)逐项求导得xs(x)'=因故3,对上式从0到x项积分当当x=0时，故函数展开成幂级数1，求各阶导数2，求各阶导数在x=0时的值3，写出幂级数。并求出收敛半径4，验证余项极限是否为0例1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数f(0)=1,f(0)'=1,f(0)''=1幂级数ex=s(x)即ex=例2将函数f(x)=sinx展开成x的幂级数则有f(n)无限循环的取0,1,0,-1,0...幂级数余项......(略)例4将展开成x的幂级数因将x替换成x2有函数展成幂级数需要进行一次函数的多阶求导例5将函数解：因又因为将上式从0到x逐项积分得//*因关于x的幂级数为例7将sinx展开成x-傅里叶级数不同的两个函数的乘积在[-π，π]上的积分为0例如其中，n为整数1,2,3...相同函数再区间[-π，π]上的积分不为0例如微分方程一阶微分方程解微分方程实为对微分方程进行积分直至阶数为0例1求微分方程的通解两端积分有令=c,有齐次方程如果一阶方程中函数f(x,y)可写成的函数，,则此方程称为齐次方程例1解方程解：原方程可写成//*此方程为齐次方程令,即y=ux则一阶线性微分方程一阶线性微分方程若则为齐次方程若则为非齐次方程例P-277设//*先求齐次方程的通解,非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解例1求方程的通解//*求齐次方程的通解；第一次积分//*常数变易，将c替换为u//*第二次积分=y伯努利方程例求方程解：令z=y-1将y-1=z代入上式得方程通解求的通解,当一般情况下y为因变量，但有时以x为因变量更方便解题例4解方程解原式为令u=x+y,y=u-x,分离变量有求方程在的特解令代入原方程得变为可分离变量方程全微分方程例求解解：//*因在对x积分时已含对y积分的项，故此为解之，通解为全微分通解为为方便，一般取x0,y0为0可降阶高阶微分方程例1求微分方程的通解解：例3求微分方程=2xy'满足初始条件解：此方程为y''=f(x,y')型，设y'=p分离变量后因为因c2=1特解为例5求微分方程的通解解设代入原式全微分例5P-22计算的全微分解：例2P-22计算在（2,1）的全微分例3计算的全微分极限例因为所以例例例===0是y=f(x)的反函数，则有二.三重积分计算其中D为圆域求D:求例3利用柱面坐标计算三重积分,由双抛物面xy=z,及平面x+y-1=0,z=0所围成（,积分上限中的未知数从右往左依次减少，积分上下限尽量用题目所给出的已知条件）例其中是,z=2所围成的闭区域绝对收敛绝对是条件收敛，条件收敛不一定是绝对收敛幂级数若不缺级，系数比为收敛半径的倒数，若缺级，项式之比为收敛半径的倒数。不定积分积分号与微分号相抵消换元积分法例令......分部积分法反函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数与dx的结合依次减弱例拉格朗日函数例求内接于半径a的球且有最大体积的长方体解设球方程为长方体在第一卦限的体积为xyz则长方体体积为v=8xyz令联立FX=0;FY=0;FZ=0解之例将周长为2p的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，矩形边长各为多少时，圆柱体体积最大解设矩形长宽分别为x，y，则x+y=p,令联立解之某次考试题目求z=f(xy,y)的微分方程是全微分的充要条件（）级数是条件收敛下列方程是二阶微分方程的是...已知,dz=(......)改变二次积分的次序.....切线方程......由二重积分的几何意义得到=（12π）已知Q为长方体，则设求求幂级数将函数展开成正弦级数f(x)在kπ（）收敛于将函数展开成余弦级数解：偶延拓范围为（）余弦级数求的通解解：令(此为一阶线性微
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高等数学复习题及答案
高等数学考试复习题及参考答案一、填空题： 1.设f ( x) ?a x ? a ?x 2，则函数的图形关于对称。2.若?sin x - 2 ? x ? 0 ? y?? 2 ，则 y ( ) ? 2 ?x ? 1 0 ? x ?
2.x 2 sin3.极限 limx ?0sin x1 x ?。4.已知 limx?2x 2 ? ax ? b ? 2 ，则 a ? x2 ? x ? 21,b ?。5.已知x ? 0 时， (1 ? ax 2 ) 3 ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小，则常数 a =。6.设z ?z x 2 ? z 2 ? y? ( ) ，其中 ? 可微，则 = y ?y7.设 u? e x yz 2 ，其中 z ? z ( x, y) 由 x ? y ? z ? xyz ? 0 确定的隐函数，则?u ?x( 0,1)?。8.设z??2z 1 ? f ( xy) ? y? ( x ? y ), f , ? 具有二阶连续导数，则 ?x?y x。9.函数f ( x, y) ? xy ? xy 2 ? x 2 y 的可能极值点为和。10.设f ( x, y ) ? x 2 sin y ? ( x 2 ? 1) | xy | 则 f ' y(1,0) ?2。11.?xsin 2 xdx ?? cos x, y ? sin x之间所围图形的面积为。 。12. 在区间 ? ]上曲线y [0,13.若??? 0e ?kx dx ?21 ，则 k ? 214.设Ｄ： x? y 2 ? 1 ，则由估值不等式得y ? x , y ? 2 x , y ? 1, y ? 22 2? ?? ( x 2 ? 4 y 2 ? 1)dxdy ?D15. 设D由围成（x?0） 则 ，?? f ? x, y ? d?D在直角坐标系下的两种积分次序为和 16.设 D 为 0 ?。y ? 1 ? x,0 ? x ? 1 ，则 ?? fD?x 2 ? y 2 dxdy 的极坐标形式的二次积分为?。17.设级数?nn ?1?12? p收敛，则常数p 的最大取值范围是。18.?1 0x(1 ?x2 x4 x6 ? ? ? ?)dx ? 1! 2! 3!? dy 1? y2 ? 0 的通解为。。19.方程dx 1? x220．微分方程 4 y ?? ? 20 y ? ? 25 21.当 n= 22.若 4 ? 4 阶矩阵? 0 的通解为。 为一阶线性微分方程。时，方程y'? p( x) y ? q( x) y nA 的行列式为 | A |? 3, A* 是 A 的伴随矩阵,则 | A* |??A 0? ?1 ? 也可逆，且 C ＝ ?0 B?。 。。23.设 A n? n 与 B m?m 均可逆，则 C= ? 24.设 A ? ?31? ，且 AX ? E ? 3 X ，则 X = ?2 3 ? ? ??2 -1 2? 25.矩阵 ?4 0 2? 的秩为 ?0 -3 3? ? ?26.向量。? =(-1,0,3,-5),? =(4,-2,0,1),其内积为。。27.n 阶方阵 A 的列向量组线性无关的充要条件是28. 给 定 向 量 组 式? 1 ? ?1 1 1?,? 2 ? ?a 0 b?,? 3 ? ?1 3 2?, ， 若 ? 1 ,? 2 ,? 3。 。线性相关，则 a，b 满足关系29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则 r(I)与 r(II)之间向量个数的大小关系是30.向量?=(2,1)T 可以用? =(0,1)T与? =(1,3)T 线性表示为。31.方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的条件。32.设 A 为 m×n 矩阵,非齐次线性方程组 33.已知Ax ? b 有唯一解的充要条件是 r(A)r(A|b )=。n 元线性方程组 AX ? b 有解，且 r ( A) ? n ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为 。 34.设 ? 0 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 ??0 E ? A?x ? 0 的 都是 A 的属于 ? 0 的特征向量.35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则 A 的特征值为 36.设 A 是 n 阶方阵，|A|≠0,?1A* 为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵，若 A 有特征值 ? 0 ,则 ?A * ? ? 2 E 必有特征值 ? ? . 37.?，?分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 ?1 , ? 2 所对应的特征向量,则?与? 的内积（?,?）= 。 38.二次型 f ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) ? x1 x 4 ? x 2 x3 的秩为 。3?4 2 0? ? ? 39.矩阵 A = 2 4 λ 为正定矩阵,则 ? 的取值范围是 ? ? ?0 λ 1? ? ?40.二次型。2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3x2 ? tx3 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 是正定的,则 t 的取值范围是。41.A、B、C 代表三事件，事件“A、B、C 至少有二个发生”可表示为。42.事件 A、B 相互独立，且知 P? A? ? 0.2, P ? B ? ? 0.5 则 P ? A ? B ? ?。。43.若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为44.在相同条件下，对目标独立地进行 5 次射击，如果每次射击命中率为 0.6，那么击中目标 k 次的概率为 45.设随机变量 X 服从泊松分布，且 P(0 ?k ? 5 )。?X = 1? = P ?X = 2? ，则 P ?X = 3? =。。46.设随机变量 X 的分布密度为? x ?? 0 ? x ? 1 ? f ( x) ? ? a ? x ? 1 ? x ? 2 ，则 a = ? 0 ? 其它 ?47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 且 X，Y 相互独立，则常数 1/16 3/16 b ,b = 。 2a a=48.设 X 的分布密度为f ( x) ，则 Y ? X 3 的分布密度为。49.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 2?0.2 0.3?则? 与 ? 应满足的条件是，当 X，Y 相互独立时，?＝。50.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X?N(1,2),Y? N(0, 。令 Z=-Y+2X+3，则 D( Z ) = 1)。。51.已知随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 二、单项选择题： 1.设? 1, E ( X 2 ) ? 4 .令 Y＝2X－3，则 D(Y ) =f ( x) ? x ? 1 ，则 f ( f ( x) ? 1) =[]A.xB.x + 1C.x + 2D.x + 3 [ ]2.下列函数中， ）不是基本初等函数。 （ A.1 y ? ( )x eB.y ? ln x 2C.y?sin x cos xD.y ? 3 x5[ ]3.下列各对函数中， ）中的两个函数相等。 （ A.y?x ln(1 ? x) ln(1 ? x) 与g ? 2 x x与gB.y ? ln x 2 与 g ? 2 ln xy? x( x ? 1) 与 y ? x ( x ? 1)[ ]C.y ? 1 ? sin 2 x? cos xD.4.设f (x) 在 x ? x0 处间断，则有 f (x) 在 x ? x0 处一定没有意义；f ( x0 ? 0) ? f ( x ? 0) ;x? x0A.B.(即? x ? x0lim f ( x ) ? lim? f ( x ) )；x ? x0C.lim f ( x ) 不存在，或 lim f ( x) ? ? ；x ? x0D.若f (x) 在 x ? x0 处有定义，则 x ? x0 时， f ( x) ? f ( x0 ) 不是无穷小?1 ? 1 ? 2 x , x?0 ? f ( x) ? ? x ?k , x?0 ?B.-15.函数在 x = 0 处连续，则 k =[]A.-2C.1D.26.若ex ? a f ( x) ? x ( x ? 1)B.0，x ? 0 为无穷间断点， x ? 1 为可去间断点，则 a ?C.e D.e-1[]A.17.函数 z? R + y - 2)? (x224?x ?y22的定义域为[]A.x2 ? y 2 ? 2B.x2 ? y 2 ? 4C.x2 ? y 2 ? 2D. 2? x2 ? y 2 ? 48.二重极限xyx ?0 y ?02 4limx ?y2[]A.等于 0B.等于 1C.等于1 2D.不存在9.利用变量替换 u? x, v ??z ?z y ?y ? z 化为新的方程 ，一定可以把方程 x ?x ?y x[]A. u?z ?z ?uB. v?z ?z ?vC. u?z ?z ?vD. v?z ?z ?u[ ]10．若f ( x) ? ? f (? x) ，在 (0,??) 内 f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0, 则 f (x) 在 (??,0) 内f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0 f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0B.A.f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0 f '( x) ? 0, f ''( x) ? 0C.D.11.设f ( x)在x ? 0 的某个邻域内连续,且 f (0) ? 0 , limf ( x) 2 sin2 x 2x ?0? 1 ,则在点 x ? 0 处 f (x )[]A.不可导 12.设函数 A.B.可导,且f ?(0) ? 0C.取得极大值D.取得极小值 [ ]f ( x), g ( x) 是大于零的可导函数，且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ，则当 a ? x ? b 时，有B.f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) f ( x) g ( x) ? f (b) g (b)f ( x) g ( a ) ? f ( a ) g ( x ) f ( x) g ( x ) ? f ( a ) g ( a )[ ]C.D.e? x x13. 设f A. ?( x)是连续函数, 且F ( x) ? ?f (t )dt, 则F ?( x) ?B. ?e ? x f (e ? x ) ? f ( x ) f (e ? x ) ? f ( x )e ? x f (e ? x ) ? f ( x ) f (e ? x ) ? f ( x )2 2C. e?xD. e?x14.设 A.2 15.设f ( x)在?1,2?上具有连续导数，且 f (1) ? 1, f (2) ? 1, ? f ( x)dx ? ?1 ，则 ? xf ?( x)dx ?1 1[]B.1C.-1D.-2f ( x)在?a, b? 上二阶可导，且 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 记S1 ? ? f ( x)dx ， S2 ? f (b)(b ? a) ， S3 ?abf (a) ? f (b) (b ? a) ，则有 2? S1 ? S2D. S1[]A. S1? S 2 ? S3B. S 2? S3 ? S1C. S3? S3 ? S 2[ ]16.设幂级数?an ?1?n( x ? 1) n在x? ?1 处收敛，则此级数在 x ? 2 处C.发散 D.收敛性不能确定 [? ?A.绝对收敛 17.下列命题中,正确的是?B.条件收敛]A.若级数? un与? vn 的一般项有 un ? vn (n ? 1,2?), 则有 ? un ? ? vnn ?1 n ?1 n ?1 n ?1?B.若正项级数? unn ?1?满足? un ?1 ? 1(n ? 1,2,?), 则? un un n ?1发散C.若正项级数?un ?1 n?n 收敛，则limun ?1 ?1 n ?? u nD.若幂级数?a xn ?1?n的收敛半径为 R(0? R ? ??) ，则 liman an ?1n??? R.18.设级数? (?1)n an 2n 收敛，则级数 ? ann ?1 n ?1??[]A.绝对收敛 19.微分方程B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定 [ ]?x ? y ??dx ? dy? ? dx ? dy 的通解是B.A.x ? y ? ln ? x ? y ? ? c x ? y ? ln ? x ? y ? ? cx ? y ? ln ? x ? y ? ? c x ? y ? ln ? x ? y ? ? cC.D.20.设y ? f ( x ) 满足微分方程 y?? ? 5 y? ? 5 y ? 0 ，若 f x0 ? 0, f ? x0 ? 0 ，则函数 f ? x ? 在点 x 0B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少.? ?? ?[]A.取极大值 21.函数y ? y?x ? 在点 x 处的增量满足 ?y ?B.y?x ? o ? ?x ?? ?x ? 0 ? 且 y ? 0 ? ? ? ，则 y ?1? ? （D）[ 1 ? x2?]A. 2?;?;C. e 4 ; C.r=s+1D.?e 4 .[ ]?22.若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有 A.r=s 23.已知向量组 A. ?1 24.向量组 A. B.r&s D.r&s?1 ? (1,1,1, 0),? 2 ? (0, k , 0,1),?3 ? (2, 2, 0,1),? 4 ? (0, 0, 2,1) 线性相关,则 k =B. ?2 C. 0 D.[]1[ ]?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关的充分必要条件是?1 ,? 2 ,?,? s 中含有零向量 B. ?1 , ? 2 ,? , ? s 中有两个向量的对应分量成比例 C. ?1 , ? 2 ,? , ? s 中每一个向量都可由其余 s ? 1 个向量线性表示 D. ?1 , ? 2 ,? , ? s 中至少有一个向量可由其余 s ? 1 个向量线性表示25.对于向量组 (α1 , α 2 ,? , α r ), ，因为 0α1 A.全为零向量 B.线性相关? 0α 2 ? ? ? 0α r ? 0 ，所以 α1 , α 2 ,?, α r 是D.任意 [ ][]C.线性无关26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=O，则必有 A.A=O 或 B=O B.|A|=0 或|B|=0 C.A+B=O D.|A|+|B|=027.若非齐次线性方程组 Am×n X = b 的( )，那么该方程组无解 A.秩(A) ＝ n B.秩(A)＝m C.秩(A）?秩([]A)D.秩(A）=秩(A)]28.若线性方程组的增广矩阵为A ???1 ? 2? ? ，则当 ? ＝（ ? 2 1 4?）时线性方程组有无穷多解。 [A.1B.4C.2D.1 2[ ]29.设λ =2 是非奇异矩阵 A 的特征值,则 (1 2 ?1 A ) 有一个特征值是 3C. 3 D.A.4 3? ?1TB.1 22 ? 1) x130.若二次型 A. kf ( x1, x2 , x3 ) ? (k? (k2 ? 2) x24 2 ? (k ? 3) x3 正定，则C. k1 4[ D. k ]B. k?1?2?3?2 1 1? ? ? 31.已知 ? ? (1, k ,1) 是矩阵 A = 1 2 1 的特征向量,则 k = ? ? ?1 1 2 ? ? ?A.1 或 2 B.-1 或-2 C.1 或-2 D.-1 或 2 ] 32.在随机事件 A，B，C 中，A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表示为[[]A. AC ? BCB. ABCC. ABC ? ABC ? ABCD. A ? B ? C ]33.袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为[A.3 8?3? 1 B. ? ? ?8? 854 ?3? 1 C. C8 ? ? ?8? 83D.5 4 C8[ ]34.设 A、B 互为对立事件，且 P? A? ? 0, P ? B ? ? 0, 则下列各式中错误的是 ? A | B? ? 0C. PA. P? B | A? ? 0B. P? AB ? ? 0a?D.0.25D. P? A ? B? ? 1[ ]35.离散型随机变量 X 的分布列为 P{ X = k } = ak , k = 1,2,3,4.则 A.0.05 B.0.1 C.0.236.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x)?a?1?arctan x( ?? ? x ? ?, a为常数) 则 P ?-?3? 3& X & 3? =? ?[]A.1 6B.1 3C.1 2D.2 3[ ]37.设随机变量 X 服从 A.随N ? ? , 4 ? ,则P ? X ? 2 ? ?? ，的值B.随2? 增大而减小? 增大而增大C.随? 增大而不变D.随? 减少而增大.[ ]38.设随机变量X ~ N ( ? , ? ) ，则 Y ? aX ? b 服从A.N (? ,? 2 )B.N (0,1)C.?? ? ? N? , ( )2 ? ?a b ?D.N (a? ? b, a 2? 2 )39.对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，则每次 射击的命中率等于 [ ]A.0.1B.0.2C.0.3D.0.440.设随机变量 X 的概率密度为1 ? ? f ( x) ? ? ? a 2 ? x 2 ? 0 ?C.1| x |? a | x |? a, a ? 0 ，则 E ( X ) =[]A.-1B.0D.以上结论均不正确三、解答题：1.设?a ? x 2 ? f ( x) ? ?1 ?ln(b ? x 2 ) ?f ?( x)x?0 x ? 0 ，已知 f ( x) 在 x ? 0 处连续可导， x?0试确立 a, b 并求2.设z ? f (2 x ? y, y sin x) ，其中 f (u, v) 具有二阶连续偏导数，求? xy ,x2 ? y 2 ? 0 讨论 f(x,y)在（0，0） ? f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 2 ?0, x ? y ? 0?2z 。 ?x ?y3.设（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 4.在过点 P(1,3,6) 的所有平面中,求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。?5.?2 0x cos 2 xdx26.?? | x? y 2 ? 4 |d?，其中 D 为圆域 x2? y2 ? 9 。1 2 R ?0 R7.设f ( x, y ) 在 x 2 ? y 2 ? 1 上连续，求证： lim? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? R 2 }?x ? y ?R2 2??f ( x, y )d? ? ? f (0, 0) 。2证明： D8.求幂级数?(?1) n ?1 ( x ? 4) n n n ?1收敛区间及和函数 S (x ) ：9.求解y? ?1 ? y2 ,y (1) ? 0 。 xy ? x3 y10.求解xy ? ? x tany ? ? y ? 0, y (1) ? x 2。? 11.求解 4 y ? ? 4 y ? ?y ? 0 满足 y ? 0 ? ? 2, y? ? 0 ? ? 0 。12.求解y?? ? 3 y ? ? 2 y ? 2e x 满足 y ? 0 ? ? 1, y? ? 0 ? ? ?1 。 y?? ? ?y ? ? ?y ? ?e x 的一个特解为 y ? e 2 x ? ?1 ? x ?e x ，试确定 ? , ? , ?。 ，并求该方程的通解。13.设二阶常系数线性微分方程14.计算下列行列式cos ? sin ?2 1 2 0- sin ? cos ?4 2 3 61 1 2 2。3 -115.计算下列行列式1 5116.证明：1 b31 c =(a + b + c)(b - a)(c - a)(c - b) c3a ab3?1 0 1? ? ? 17.设 AX+E=A2+X，且 A= 0 2 0 ，求 X ? ?1 0 1? ? ? ?18.已知矩阵。? a 1 ? ?b 1 ? ?6 7 ? ? a 0 ? ? ?0 b 2 ? ? ?6 3? ，求常数 a，b。 ? ? ? ? ? ?19.将向量? 表示成 ?1 , ? 2 , ? 3 的线性组合： ?1 ? (1,1,?1),? 2 ? (1,2,1),? 3 ? (0,0,1), ? ? (1,0,?2) （1）20.问? ， ? 取何值时，齐次方程组? ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x 1 ? ?x 2 ? x 3 ? 0 ?x ? 2?x ? x ? 0 2 3 ? 1有非零解？21.设线性方程组?2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 1 ? x ? 3x ? 2 x ? c 2 3 ? 1试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。 22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：2 2 f ? 2x 1 ? 3x 2 ? 3x 3 ? 4x 2 x 3 2（1）23.某工人看管甲、乙、丙 3 台机器，在 1 小时内，这 3 台机器不需照管的概率分别为 0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的， 求在 1 小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率？24.设随机变量 X 的分布密度为f ( x) ?A 1 ? x2(?? ? x ? ??) 求：(1)常数 A；(2) X 的分布函数；25.设二维随机变量（X，Y）在区域 0 (1)（X，Y）的联合分布密度；? x ? 1, y 2 ? x 内服从均匀分布。求：(2)X 与 Y 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 26.设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为0 ? x ?1 ?1, f X ( x) ? ? ? 0, 其它求随机变量 Z＝X＋Y 的概率密度函数。?e ? y , y ? 0 fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 027.某工厂生产的一种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，密度函数为? 1 ?1 x ? e 4 f ( x) ? ? 4 ? 0 ?0? x x?0为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元.求工 厂出售一台设备赢利的数学期望。28.设随机变量 Y） （X， 服从正态分布， X 和 Y 分别服从正态分布 且1 X Y N (1,32 ) 和N (0, 42 ) ， 与 Y 的相关系数 ? XY ? ? , Z ? ? , X 2 3 2求 Z 的数学期望 E ( Z ) 和方差 D( Z ) ；参考答案 一、填空题：1.设f ( x) ?a x ? a ?x 2，则函数的图形关于对称。解：f (x) 的定义域为 (??,??)，且有f (? x) ?即a ? x ? a ?( ? x) a ? x ? a x a x ? a ? x ? ? ? f ( x) 2 2 2f (x) 是偶函数，故图形关于 y 轴对称。2.若?sin x ? 2 ? x ? 0 ? y?? 2 ，则 y ( ) ? 2 ?x ? 1 0 ? x ? 2解： 1 ??24。x 2 sin3.极限 limx ?0sin xx 2 sin1 x ?。1 x ? lim ( x sin 1 x ) ? lim x sin 1 ? lim x ? 0 ? 1 ? 0 解： lim x ?0 x ?0 x ?0 sin x x sin x x x?0 sin x 1 注意： lim x sin ? 0 （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） x ?0 xlimx ?0x 1 1 1 sin x ? lim ? ? ? 1 ，其中 lim =1 是第一个重要极限。 x ?0 sin x x ?0 sin x 1 sin x x lim x ?0 x xx 2 ? ax ? b ? 2 ，则 a ? _____, b ? _____。 x2 ? x ? 24.已知 limx?2由所给极限存在知, 4? 2a ? b ? 0 ,得 b ? ?2a ? 4 ,又由知alimx ?2x 2 ? ax ? b x?a?2 a?4 ? lim ? ?2, 2 3 x ? x ? 2 x ?2 x ? 11 2 3? 2, b ? ?85.已知x ? 0 时， (1 ? ax ) ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小，则常数 a =解：?1 ? ax ? ? limx ?0?1 ? lim x ?0 cos x ? 11 2 32ax 2 ? ? x 2 ??1 ? ax ?2 2 3? ? ?1 ? ax ?1 2 32 3 ? ? a ? 1,? a ? ? . 3 2 ? ? 1? ?6.设z ?z x 2 ? z 2 ? y? ( ) ，其中 ? 可微，则 = y ?y。?z ? y ? z ?1 ?z ?y 解： 2 z ? ? ? y? ? ? ?y y2 z ? ? ?? ?z y ? ?y 2 z ? ? ?7.设 u? e x yz 2 ，其中 z ? z ( x, y) 由 x ? y ? z ? xyz ? 0 确定的隐函数，则?u ?z ? e x yz 2 ? 2 ze x y ? ?x ?x?u ?x( 0,1)?。解：1? 0 ??z ?1 ? yz ?z ?z ? ? yz ? xy ? 0 ， ?x 1 ? xy ?x ?x?u ?1 ? yz ? e x yz 2 ? 2 ze x ? y ?x 1 ? xyx ? 0, y ? 1 时， z ? ?1?z ?1 ?x (0,1)8.设z??2z 1 ? f ( xy) ? y? ( x ? y ), f , ? 具有二阶连续导数，则 ?x?y x?1 y ' ' f ( xy ) ? f ( xy ) ? y? ( x ? y ) 2 x x ? ?1 ' 1 ' '' ' '' f ( xy ) ? f ( xy ) ? yf ( xy ) ? ? ( x ? y ) ? y? ( x ? y ) x x。?z解：?x 2 ? z??x?y'' '' ' ? y[ f ( xy ) ? ? ( x ? y )] ? ? ( x ? y )9.函数f ( x, y) ? xy ? xy 2 ? x 2 y 的可能极值点为和。? f x ? y ? y 2 ? 2 xy ? y (1 ? 2 x ? y ) ? 0 ? x ? 0 ? 解： ? ? 2 ? f y ? x ? 2 xy ? x ? x(1 ? x ? 2 y ) ? 0 ? y ? 0 ??x ? 0 ? ?y ?1?x ? 1 ? ?y ? 01 ? ?x ? 3 ? ? ?y ? 1 ? 3 ?fxx ? ?2 y ， fxy ? 1 ? 2 y ? 2 x ， fyy ? ?2 x ， H ? ??0 1? H ?? ? 不 是 ?1 0? ? ?2 / ?3 ? 1 H ?? ? ? ?1/ 3 ?2 / 3 ?1 ? 2 y ? 2x ? ? ?2 y ? ?2 x ?1 ? 2 y ? 2 x ?不 是(0, 0) 1 1 ( , ) 3 3，(0,1) 3? ?2 ?1? H ?? ? ? ?1 0 ?(1, 0)? 0 ?1 ? H ?? ? ? ?1 ?2 ?不是/负定，极大值（1 1 ， ） 3 3。10.设f ( x, y ) ? x 2 sin y ? ( x 2 ? 1) | xy | 则 f ' y (1, 0) ?f (1, y) ? sin y ，故 f y? (1, 0) ? cos y y ? 0 ? 1。解：因为11.?x2sin 2 xdx ?解：原式 ?1 1 d (? cos 2 x) ? ? x 2 cos 2 x ? ? x cos 2 xdx 2 2 1 2 1 1 1 1 ? ? x cos 2 x ? ? xd ( sin 2 x) ? ? x 2 cos 2 x ? x sin 2 x ? ? sin 2 xdx 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ? ? x cos 2 x ? x sin 2 x ? cos 2 x ? C . 2 2 4?x212. 在区间 ? ]上曲线y [0,? cos x, y ? sin x之间所围图形的面积为? ?。解： A ? ? cos x ? sin x dx ? ? 4 (cos x ? sin x)dx ? ?? (sin x ? cos x)dx0 0 4??4 ? (sin x ? cos x) 0 ? (? cos x ? sin x) ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 . 4?13.若??? 0e ?kx dx ?1 ，则 k ? 2。b 0?? 1 1 b 1 ? ? e ?kx dx ? lim ? ? e ?kx d(?kx) ? lim ? e ?kx 0 b ??? k 0 b??? k 2 ∴k ? 2答案：∵?1 1 1 ? lim e ?kb ? k b??? k k14.设Ｄ：x 2 ? y 2 ? 1 ,则由估值不等式得? ?? ( x 2 ? 4 y 2 ? 1)dxdy ?D解：f ( x, y) ? x 2 ? 4 y 2 ? 1 ? 4( x2 ? y 2 ) ? 1 ，又 D : x 2 ? y 2 ? 1? max { f ( x, y )} ? 4 ? 1 ? 1 ? 5 ， min { f ( x, y )} ? 1( x , y )?D ( x , y )?D由 m?? ?? f ( x, y )d? ? M ?D，?? S D ? ? ?1 ? ?∴ 15. 设? ? I ? 5?） 则 ，D 由 y ? x 2 , y ? 2 x 2 , y ? 1, y ? 2 围 成 （ x ? 0。?? f ? x, y ? d?D在直角坐标系下的两种积分次序为和解：D： （X―型）=D1+D2? 1 ? x ?1 ? ， D1 ? 2 ?1 ? y ? 2 x 2 ?，?1 ? x ? 2 ? D2 ? 2 ?x ? y ? 2 ?I ? ? dx ?111 22 2xf ( x, y )dy ? ?1 dx ? x f ( x, y )dy2 22?1 ? y ? 2 ? D： （Y―型） ? y ?x? ? ? 216.设 D 为 0 ?I ?y?1 d y?2y y 2f ( x y) d x ,y ? 1 ? x,0 ? x ? 1 ，则 ?? fD?1x 2 ? y 2 dxdy 的极坐标形式的二次积分为?。? ? ?0 ? ? ? 2 ? 解：D： ? 1 ?0 ? r ? ? sin ? ? cos ? ?17.设级数，I? ?02 d? ?0sin ? ?cos? f (r )rdr??nn ?1?12? p收敛，则常数p 的最大取值范围是?。解：由p 级数的敛散性知，仅当 2 ? p ? 1 即 p ? ?1 时，级数 ?n ?11 n2? p收敛，其他情形均发散.18.?1 0x(1 ?x2 x4 x6 ? ? ? ?)dx ? 1! 2! 3!2 x2 x4 x6 ? ? ? ? ? e ?x ， 1! 2! 3!。解：因为 1 ??x 所以原积分 xe ? dx ? ?2101 ? x2 1 2 e d (? x 2 ) ? ? e ? x 2? 2 011 01 ? ? (e ?1 ? 1) 219.方程dx 1? x2?dy 1? y2? 0 的通解为 arcsinx ? arcsiny ?? 20.微分方程 4 y ? ? 20 y ? ? 2521.当 n=_________时，方程 解? 0 的通解为 y ? ?c1 ? c2 x ?e 25x.y'? p( x) y ? q( x) y n为一阶线性微分方程。n ? 0 或 1.22.若 4 ? 4 阶矩阵 答案：27A 的行列式为 | A |? 3, A* 是 A 的伴随矩阵,则 | A* |? __________。23.设 A n? n 与 B m?m 均可逆，则 C = ??A 0? ?1 ? 也可逆，且 C ＝ 0 B? ?。答案：? A ?1 ? ? 00 ? ?; B ?1 ?。24.设 A?3 1? ，且 AX ? E ? 3 X ，则 X = ?? ? ?2 3?? 0 答案： ? ? ?11?? 0?2??2 ? 1 2? ? 0 2? 的秩为 25.矩阵 4 ? ? ?0 ? 3 3? ? ?解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。 26.向量。? ? (?1,0,3, ?5), ? ? (4, ?2,0,1) ,其内积为____________。 答案： ?9。27.n 阶方阵 A 的列向量组线性无关的充要条件是答案：r=n,或|A|≠0;28.给定向量组? 1 ? ?1 1 1?,? 2 ? ?a 0 b?,? 3 ? ?1 3 2?, ， ? 1 ,? 2 ,? 3 线性相关， a， 满足关系式 若 则 b。。答案：a-2b=0 29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则 r(I)与 r(II)之间向量个数的大小关系是答案：相等30.向量?=(2,1)T 可以用? =(0,1);T与? =(1,3)T 线性表示为。答案： ?? ?5? ? 2?31.方程组 Ax=0 有非零解是非齐次方程组 AB=b 有无穷组解的条件。答案：必要不充分;32.设 A 为 m×n 矩阵,非齐次线性方程组Ax ? b 有唯一解的充要条件是 r(A)r(A|b )=。答案：r ( A) ? r ( A?b) ?。33.已知n 元线性方程组 AX ? b 有解，且 r ( A) ? n ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为解答： n ? r (A) 34.设? 0 是方阵 A 的一个特征值，则齐次线性方程组 ??0 E ? A?x ? 0 的都是 A 的属于? 0 的特征向量。答案：非零解;35.若 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，-3，则 A 的特征值为 答案： 1,?1。1 1 ,? 2 3; 若 A* 为 A 的伴随矩阵,E 为 n 阶单位矩阵， A 有特征值 ? 0 ,则 ?A * ? ? 2 E 必有特征值 ? ? .336.设 A 是 n 阶方阵， |A|≠0, 答案： (。A?0)3 ? 2 .37.?，?分别为实对称矩阵 A 的两个不同特征值 答案： 0 38.二次型?1 , ? 2 所对应的特征向量,则?与?。的内积（?,?）=.f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ? x1 x4 ? x2 x3 的秩为答案：4.?4 2 0 ? ? ? 39.矩阵 A ? 2 4 ? 为正定矩阵,则 ? 的取值范围是_________。 ? ? ?0 ? 1? ? ?答案： ?3??? 340.二次型2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3x2 ? tx3 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 是正定的,则 t 的取值范围是_____。答案：t?3 5。41.A、B、C 代表三事件，事件“A、B、C 至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC 42.事件 A、B 相互独立，且知 P 解：∵A、B 相互独立，? A? ? 0.2, P ? B ? ? 0.5 则 P ? A ? B ? ?。∴P(AB)=P(A)P(B)∴P(A∪B)=P(A)+P(B)CP(AB)=0.2+0.5C0.1=0.6 43.若随机事件 A 和 B 都不发生的概率为 p，则 A 和 B 至少有一个发生的概率为 解：P(A+B)=1CP ( A ? 。B) ? 1 ? P( A B ) ? 1 ? p(0 ?44.在相同条件下，对目标独立地进行 5 次射击，如果每次射击命中率为 0.6，那么击中目标 k 次的概率为 解：设 X 表示击中目标的次数，则 X 服从二项分布，其分布律为： 45.设随机变量 X 服从泊松分布，且 Pk ? 5 )。? X =1? ? P ? X =2? , 则 P ? X =3? =e ? ? ?k k!（k=0, 1, 2，。解：∵X 服从泊松分布，其分布律为 P{X=k}=?, ? &0）由已知得：e ? ? ?1 e ? ? ?2 ? 1! 2!，求得? =2∴ P{X=3}=e ?2 2 3 4e ?2 ? 3! 346.设随机变量 X 的分布密度为0 ? x ?1 ? x ? f ( x) ? ?a ? x 1 ? x ? 2 ，则 a = ? 0 其它 ?.解：由性质?????f ( x)dx ? 11 2 ??即? 0dx ? ? xdx ? ? (a ? x)dx ? ??? 0 102x2 0dx ? 0 ? 21 0? x2 ? ?? ax ? ? ? 0 ? 2 ?1 ? ?2?解得：a=2 47.若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为： Y 1 X 1 2 且 X，Y 相互独立，则常数 解：∵ X，Y 相互独立 ∴ P(X=1，Y=1)=P(X=1) ? P(Y=1) 1/161 1 ? 2a ? 2 ? a ? ? a ? 1 ? 1 2 223/16 b ,b = .aa=即：1 ?1 3 ?? 1 ? ? ? ? ?? ? a ? 16 ? 16 16 ?? 16 ?∴ a= 又 ∵?? pi j3 16ij?1∴1 3 ? ? a ?b ?1 16 16 9 ∴ b= 16f ( x) ，则 Y ? X 3 的分布密度为y)=Fx( 3 .48.设 X 的分布密度为解：∵P{Y≤y}=P(X3≤y)=P(X≤ 3 ∴Y=X3 的分布密度为y)1 ? ? ? (y)= FX ( y ) ? y 3 f ( y 3 ) ，y≠0 332149.二维随机变量（X，Y）的联合分布律为：Y 1 X 1 2 2?0.2 0.3?则? 与 ? 应满足的条件是，当 X，Y 相互独立时，?＝? ? ? =0.5。解：∵?? Pl ji j =1∴? ? ? ? 0.2 ? 0.3 =1即有当 X，Y 相互独立∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) ∴a =( a +0.2)( a + ? )∴a =0.2= -Y + 2X +3，则 D( Z ) = 。50.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且X ~ N (1, 2), Y ~ N (0,1). 令 Z=(C1)2D(Y)+4D(X)=1+4× 2=9。解：∵ X 与 Y 相互独立，∴ D(Z)=D(CY+2X+3)=D(CY)+D(2X+3)51.已知随机变量 X 的数学期望 E ( X )? 1, E ( X 2 ) ? 4 .令 Y＝2X－3，则 D(Y ) =。解：D(Y)=D(2XC3)=4D(X)=4{E(X2)C[E(X)]2}=4(4C12)=12。二、单项选择题： 1.设 A.f ( x) ? x ? 1，则f ( f ( x) ? 1) =（C.） ．xB.x ?1x?2D.x?3解:由于f ( x) ? x ? 1 ，得 f ( f ( x) ? 1) ? ( f ( x) ? 1) ? 1 ＝ f ( x) ? 2将f ( x) ? x ? 1 代入，得 f ( f ( x) ? 1) = ( x ? 1) ? 2 ? x ? 3正确答案：D 2.下列函数中， ）不是基本初等函数。 （A.1 y ? ( )x eB.y ? ln x 2C.y?sin x cos xD.y ? 3 x5解：因为y ? ln x 2 是由 y ? ln u ， u ? x 2 复合组成的，所以它不是基本初等函数。正确答案：B 3.下列各对函数中， ）中的两个函数相等。 （ A.y?x ln(1 ? x) ln(1 ? x) 与g ? 2 x x与gB.y ? ln x 2 与 g ? 2 ln xx( x ? 1) 与 y ? x ( x ? 1)C.y ? 1 ? sin 2 x? cos xD.y?解： A 4.设f (x) 在 x ? x0 处间断，则有（）A.f (x) 在 x ? x0 处一定没有意义；f ( x0 ? 0) ? f ( x ? 0) ;x? x0B.(即? x ? x0lim f ( x ) ? lim? f ( x ) )；x ? x0C.lim f ( x ) 不存在，或 lim f ( x) ? ? ；x ? x0D.若f (x) 在 x ? x0 处有定义，则 x ? x0 时， f ( x) ? f ( x0 ) 不是无穷小?1 ? 1 ? 2 x , x?0 ? f ( x) ? ? x ?k , x?0 ?B.-1 C.1答案：D5.函数在 x = 0 处连续，则 k =。A.-2 答案：BD.26.若f ( x) ?B.0ex ? a x ( x ? 1)C.e，x ? 0 为无穷间断点， x ? 1 为可去间断点，则 a ? （-1）.A.1C.e解：由于 点得x ? 0 为无穷间断点,所以 (ex? a)x ?0?0,故a? 1.若a? 0,则x? 1也是无穷间断点.由x? 1为可去间断a ? e .故选(C).7.函数z ? ln( x 2 ? y 2 ? 2) ? 4 ? x 2 ? y 2的定义域为（）。A．x2 ? y2 ? 2B．x2 ? y2 ? 4C．x2 ? y2 ? 2D．2 ? x2 ? y2 ? 4解：z 的定义域为： ?2 ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0?4 ? x 2 ? y 2 ? 0 ?（ ）? 2 ? x2 ? y2 ? 4(选 D)8.二重极限 limx?0 y ?0xy 2 x2 ? y4A.等于 0B.等于 1C.等于1 2D.不存在解：x ? ky 2 y ?0limxy 2 k ? 2 4 x ?y 1? k2与 k 相关，因此该极限不存在(选 D)9.利用变量替换 u? x, v ??z ?z y ?y ? z 化为新的方程( ，一定可以把方程 x ?x ?y x)A. u?z ?z ?uB. v?z ?z ?vC. u?z ?z ?vD. v?z ?z ?u解：z 是 x，y 的函数，从 u? x，v ?y y 可得 x ? u ， y ? uv ，故 z 是 u，v 的函数，又 u ? x ， v ? 故 z 是 x,y 的复合函数，故 x x，从而?z 1 ?z ?z ?z ? y ?z ?z ? ?0 ? ? ? ?1 ? ? 2 ， ?y ?u ?v x ?x ?u ?v x左边=x?z ?z ?z y ?z y ?z ?z ?z ?y ?x ? ? ?x ?u ?x ?y ?u x ?v x ?v ?u ?u因此方程变为：u?z ?z ?u(选 A)10.若f ( x) ? ? f (? x) ，在 (0,??) 内 f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0, 则 f (x) 在 (??,0) 内（ f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0; f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0,B.）.A.f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0; f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0,C.D.解：(选 C) 11.设f ( x)在x ? 0 的某个邻域内连续，且 f (0) ? 0 ， limf ( x) x 2 sin 22x ?0? 1 ，则在点 x ? 0 处f (x ) （A.不可导） 。B.可导,且f ?(0) ? 0C.取得极大值D.取得极小值解：因为 limf ( x) x 2 sin 22x ?0? 1 ,则 f ( x) ? 0 ? f (0) 在 x ? 0 的邻域内成立,所以f (0) 为 f (x) 的极小值,故选 D。12.设函数f ( x), g ( x) 是大于零的可导函数，且 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ，则当 a ? x ? b 时，有（B.） 。A.f ( x) g (b) ? f (b) g ( x) f ( x) g ( x) ? f (b) g (b)?f ( x) g ( a ) ? f ( a ) g ( x ) f ( x) g ( x ) ? f ( a ) g ( a )C.D.解：考虑辅助函数 F ( x)f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , 则F ?( x) ? ? 0, g ( x) g 2 ( x)则F ( x)严格单调减少函数 。 当x ? b时,f ( x) f (b) ? , g ( x) g (b)即有f ( x) g (b) ? g ( x) f (b).应选( A).13. 设fe? x ( x )是连续函数, 且F ( x ) ? ? x f (t ) dt , 则F ?( x ) ? ()。A. ?e ? x f (e ? x ) ? f ( x ) f (e ? x ) ? f ( x )B. ?e ? x f (e ? x ) ? f ( x ) f (e ? x ) ? f ( x )C. e?xD. e?x解：由积分上限函数的导数可得 F ?( x)? ?e ? x f (e ? x ) ? f ( x) ，故选（A）.2 214.设 A.2f ( x)在?1,2?上具有连续导数，且 f (1) ? 1, f (2) ? 1, ? f ( x)dx ? ?1 ，则 ? xf ?( x)dx ? （1 1） 。B.1C.-12 2 2D.-22解：因为?21xf ?( x)dx ? ? xdf ( x) ? xf ( x) 1 ? ? f ( x)dx ? 2 f (2) ? f (1) ? ? f ( x)dx1 1 1? 2 ? 1 ? (?1) ? 2 ，故应选（A）15.设f ( x)在?a, b? 上二阶可导，且 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 记bS1 ? ? f ( x)dxaS2 ? f (b)(b ? a) ， S3 ?B. S 2f (a) ? f (b) (b ? a) ，则有（ 2? S1 ? S2D. S1）.A. S1? S 2 ? S3? S3 ? S1C. S3? S3 ? S 2 ? S3 ? S1 ，故选 B。解：依题意，函数在上严格单调减少，且其图形是向上凸的曲线。依据几何图形可得 S 2?16.设幂级数?an ?1n( x ? 1) n在x? ?1 处收敛。则此级数在 x ? 2 处(C.发散).A.绝对收敛 解：选 A。B.条件收敛C.收敛性不能确定17.下列命题中,正确的是（? ?） 。? ?A.若级数? un与? vn 的一般项有 un ? vn (n ? 1,2?), 则有 ? un ? ? vnn ?1 n ?1 n ?1 n ?1B.若正项级数? unn ?1 ??满足? un ?1 ? 1(n ? 1,2,?), 则? un un n ?1发散C.若正项级数?un ?1 nn 收敛，则limn ??un ?1 ?1 unD.若幂级数?a xn ?1?n的收敛半径为 R(0? R ? ??) ，则 liman an ?1n??? R.解：由? u n ?1 ? 1(n ? 1,2, ?) 有 u n ? u1 ? 0(n ? 1,2,?) ，因此 lim u n ? 0 ，从而 ? un n ?? un n ?1 ? ?发散。故选（B）.18.设级数? (?1)n an 2n 收敛，则级数 ? ann ?1 n ?1（）.A.绝对收敛?B.条件收敛C.发散?D.敛散性不确定解：因为? (?1)n an 2n 收敛，即幂级数 ? a n x nn ?1 n ?1在x? ?2 处收敛，由 Able 定理知，幂级数在 x ? 1处绝对收敛，亦即 ? ann ?1?绝对收敛.故选（A）. 19.微分方程?x ? y ??dx ? dy? ? dx ? dy 的通解是（B.）A.x ? y ? ln ?x ? y ? ? x ? y ? ln ?x ? y ? ?解：Dx ? y ? ln ?x ? y ? ? x ? y ? ln ?x ? y ? ? c.C.D.20.设y ? f (x) 满足微分方程 y?? ? 5 y? ? 5 y ? 0 ,若 f ?x0 ? ? 0, f ??x0 ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 在点 x 0 （B.取极小值 C.附近单调增加 D.附近单调减少. 解：B） 。A.取极大值21.函数y ? y?x ? 在点 x 处的增量满足 ?y ?（B）y?x ? o??x ? 1? x2（D）??x ? 0? 且 y?0? ? ? ，则 y?1? ? （D）（A） 2?;?;?（C） e4;?e 4 .??解：令 ?x? 0 ，得dy dx 。 ? ? y ? Ce arctan x ， C ? ? ， y?1? ? ?e 4 ，故选（D） 2 y 1? x). (C) r=s+1 (D) r&s22.若含有 s 个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为 r，则必有( (A) r=s 答案：D; 23.已知向量组 (A) (B) r&s?1 ? (1,1,1, 0),? 2 ? (0, k , 0,1),?3 ? (2, 2, 0,1),? 4 ? (0, 0, 2,1) 线性相关,则 k =((B))?1?2(C)0(D)1答案：(C) 24.向量组?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关的充分必要条件是( ) (A) ?1 , ? 2 ,? , ? s 中含有零向量 (B) ?1 , ? 2 ,? , ? s 中有两个向量的对应分量成比例 (C) ?1 , ? 2 ,? , ? s 中每一个向量都可由其余 s ? 1 个向量线性表示 (D) ?1 , ? 2 ,? , ? s 中至少有一个向量可由其余 s ? 1 个向量线性表示? 0α 2 ? ? ? 0α r ? 0 ，所以 α1 , α 2 ,?, α r 是[].答案：(D) 25.对于向量组 (α1 , α 2 ,? , α r ), ，因为 0α1 ( A )全为零向量; ( C )线性无关; 答案： D; 26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=O，则必有 (A) A=O 或 B=O 答案：B (B)|A|=0 或|B|=0 ( C) A+B=O （ (D) |A|+|B|=0 ）( B )线性相关; ( D )任意.27.若非齐次线性方程组 Am×n X = b 的( A．秩(A) ＝ n C．秩(A）? 秩 ()，那么该方程组无解．B．秩(A)＝mA)D．秩(A）= 秩(A)解：根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Am×n X = b 无解 正确答案：C? 秩(A) ?秩(A)28.若线性方程组的增广矩阵为?1 ? A ?? ?2 1 ?2? ? ，则当 ? ＝（ 4? ?D．）时线性方程组有无穷多解。A．1B．4C．21 2? 2? 2? ?1 ? ?? ? 0 1 ? 2? 0 ? ? ? 4? ? ?解：将增广矩阵化为阶梯形矩阵，?1 ? A ?? ?2 1 ?此线性方程组未知量的个数是 2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于 2，即 1 ? 2?? 0 ，从而 ? ＝）1 2，即正确的选项是 D。29.设λ =2 是非奇异矩阵 A 的特征值,则 (1 2 ?1 A ) 有一个特征值是 3( C)（(A)4 3? ?1(B)1 2?13 4(D)1 4）答案：C 30.若二次型 （A） k 答案：(D)2 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) ? (k ? 1) x1 ? (k ? 2) x2 ? (k ? 3) x3 正定，则（（B） k（C） k?2（D） k?3?2 1 1? ? ? 31.已知 ? ? (1, k ,1) 是矩阵 A ? 1 2 1 的特征向量,则 k =( ) ? ? ?1 1 2 ? ? ? (A) 1 或 2 (B) ?1 或 ?2 (C) 1 或 ?2 (D) ?1 或 2T答案：(C) 32.在随机事件 A，B，C 中，A 和 B 两事件至少有一个发生而 C 事件不发生的随机事件可表示为（ ）（A） AC ? BC（B） ABC（C） ABC ? ABC ? ABC（D） A ? B ? C解：由事件间的关系及运算知，可选（A） 33.袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为（ ）3 （A） 8?3? 1 （B） ? ? ?8? 845?3? 1 （C） C ? ? ?8? 84 83（D）5 4 C81解：基本事件总数为 C 8 ，设 A 表示“恰有 3 个白球”的事件，A 所包含的基本事件数为 C 5 =5，故 P(A)=5 C84，故应选（D） 。34.设 A、B 互为对立事件，且 P? A? ? 0, P ? B ? ? 0, 则下列各式中错误的是（）（A） P? B | A? ? 0（B） P? A | B? ? 0（C） P? AB ? ? 0（D） P? A ? B? ? 1解：因为 A、B 互为对立事件，所以 P(A+B)=1，P(AB)=0，又 P(A) ? 所以 B =A，因而 P( B |A)=P(A|A)=1，故选（A）0 ，P(B)&0，35.离散型随机变量 X 的分布列为 P{ X = k } = ak , k = 1,2,3,4.则 （A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.254a ?()解：由概率分布性质可知，常数 a 应满足。 ? P( X ? k ) ? 1 ，∴ a+2a+3a+4a=1，即有 a=0.1，故应选（B）k ?136.设随机变量 X 的分布函数为 F ( x)?a?1?arctan x(?? ? x ? ?, a为常数) 则? 3 ? ? ? P ?? ? X ? 3 ? ＝（ ? 3 ? ? ?（A））1 6（B）1 3（C）1 2（D）2 3解：∵? ? ? 3 3? ? P ?? ? x ? 3? ? F ( 3) ? F ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?? 3? ? ?1 ? ?1 ? ? ? arctan 3 ? a ? ? ? arctan? ? ? 3 ? ? a? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? 1???3?1 ? ?? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ，故应选（C） 。 ? ? 6? 3 6 2）37.设随机变量 X 服从 （A）随 （C）随N ? ? , 4 ? ,则P ? X ? 2 ? ?? ，的值（（B）随 （D）随? 增大而减小； ? 增大而不变；X～N(? 增大而增大； ? 减少而增大. ? ]=P ??X ?? 2?? ?? ? ? ? 1? ? ? (1) ，而 ? (1) 值不随 ? 的变化而变化， 2 ? 2 ?∴ P{X≤解：∵?,4)∴P[X≤2+2+。 ? }值随 ? 增大而不变，故应选（C）38.设随机变量X ~ N ( ? , ? 2 ) ，则 Y ? aX ? b 服从(（B） N (0,1) （C） N ?)（A） N (?,? 2 )?? ? 2? ,( ) ? ?a b ?（D） N (a? ? b, a 2? 2 )解选（D） ，∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2? +b?2∴ Y～N(a? +b，a ? 2 )。239.对目标进行 3 次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为 0.72，则每次射击的命中率等于（ ） （A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解：选（D） ；由题意知：X～B(3, p)，而 D(X)=3 ? ? p (1Cp)=0.72 ∴ p=0.4。40.设随机变量 X 的概率密度为1 ? ? f ( x) ? ? ? a 2 ? x 2 ? 0 ?（C）1??| x |? a | x |? a, a ? 0 ，则 E ( X ) =().（A）-1（B）0（D）以上结论均不正确解：选（B） ；∵E(X)=???xf ( x)dx ? ?ax?a? a ? x22dx ，而被积函数为对称区间上的奇函数，∴E(X)=0。三、解答题：1.设?a ? x 2 ? f ( x) ? ?1 ?ln(b ? x 2 ) ?f ?( x)x ?0x?0 x ? 0 ，已知 f ( x) 在 x ? 0 处连续可导， x?0试确立 a, b 并求解：x ?0lim? f ? x ? ? lim? ln b ? x 2 ? ln b ， lim? f ? x ? ? lim? a ? x 2 ? a ，? f ?x ? 在 x ? 0 处连续，x ?0 x ?0????∴ ln b? a ? 1 ，即 a ? 1, b ? e 。当? 2x x ? 0 时， f ??x ? ? ln ?e ? x 2 ? ? e ? x2??，当x ? 0 时， f ??x ? ? 2 x ， x ? 0 时，f ?? ?0? ? lim?x ?0当f ?0 ? x ? ? f ?0? ln e ? x 2 ? 1 ? lim? ? 0， x ?0 x x??f ?? ?0? ? lim?x ?0f ?0 ? x ? ? f ?0? 1? x2 ?1 ? lim? ? 0 ，故 x ?0 x x? 2 x, x ? 0 ? 。 f ??x ? ? ? 2 x ,x?0 ?e ? x2 ?2.设z ? f (2 x ? y, y sin x) ,其中f (u, v) 具有二阶连续偏导数，求?2z . ?x ?y解：?z ? 2 f1 ? y cos xf 2 , ?x?2z ? 2(? f11 ? sin xf12 ) ? cos xf 2 ? y cos x(? f 21 ? sin xf 22 ) ?x?y? ?2 f11 ? (2 sin x ? y cos x) f12 ? cos xf 2 ? y sin x cos xf 22 .3.设xy ? , x 2 ? y 2 ? 0 讨论 f(x,y)在（0，0） ? f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 2 ?0, x ? y ? 0（1）偏导数是否存在。 （2）是否可微。 解： （1）fx(0,0) ? lim同理可得f (?x,0) ? f (0,0) 0?0 ? lim ?0 ?x ?0 ?x ?x fy(0,0) ? 0 ，偏导数存在。?x ?0（2）若函数 f 在原点可微，则?z ? dz ? f (0 ? ?x,0 ? ?y ) ? f (0,0) ? fx ?(0,0)?x ? fy ?(0,0)?y ?? 高阶的无穷小量，为此，考察极限 lim?z ? dz ? ?x?y ?x 2 ? ?y 2?x?y ?x 2 ? ?y 2，由前面所知，此极限不存在，因而函应是较? ?0?( ?x , ?y ) ?( 0,0)lim数 f 在原点不可微。 4.在过点 P(1,3,6) 的所有平面中,求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。解：设平面方程为Ax ? By ? Cz ? 1 ,其中A, B, C 均为正,则它与三坐标平面围成四面体的体积为 V?1 1 6 ABC,且A ? 3B ? 6C ? 1 ,令 F ( A, B, C, ? ) ? ABC ? ? ( A ? 3B ? 6C ? 1) ,则由? ?F ? ?A ? BC ? ? ? 0 ? ? ?F ? AC ? 3? ? 0 ? ，求得 ? ?A ? ?F ? AB ? 6? ? 0 ? ? ?A ? A ? 3B ? 6C ? 1 ?由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为?1 ? ?A ? 3 ? 1 ? ?B ? 9 ? 1 ? ?C ? 18 ?x y z 1 ? ? ? 1 , 且 Vmin ? ? 3 ? 9 ? 18 ? 81 . 3 9 18 65.?2 0x cos 2 xdx??2 1 1 解： 2 x cos 2 xdx = x sin 2 x ? ? 2 sin 2 xdx ?0 2 0 2 0??2 1 1 1 ? 0 ? cos 2 x ? (?1 ? 1) ? ? 4 4 2 06.?? | x2? y 2 ? 4 |d?，其中 D 为圆域 x2? y2 ? 9 。解：将区域 D 分为 D1 , D2 ，其中 D1? ?( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 4? , D2 ? ?( x, y ) | 4 ? x 2 ? y 2 ? 9? 。于是?? | xD 2?2? y 2 ? 4 |d? ? ?? (4 ? x 2 ? y 2 )d? ? ?? ( x 2 ? y 2 ? 4)d?D1 D2 3 2 2? 2 ? d? ? (r ? 4)rdr 0 2 3 2?2 ? d? ? (4 ? r )rdr ? 0 01 1 2 ? 2? (2r 2 ? r 4 ) 0 ? 2? ( r 4 ? 2r 2 ) 4 4 41 ? ? 27.设f ( x, y ) 在 x 2 ? y 2 ? 1 上连续，求证： limR ?01 R2x2 ? y2 ?R2?? f ( x, y)d? ? ?f (0,0) 。证明： D? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? R 2 }f ( x, y )d? ? f (? , y )? ? ? R 2 f (? , y ) ，当 R ? 0 时， (? , y) ? (0,0)由重积分中值定理， ?(? , y) ? D ，使得 ??D由 f 的连续性，知 limk ?0f (? , y ) ? f (0, 0) ，从而有：limr ?01 R2x2 ? y2?? f ( x, y)d?? lim? limk ?0r ?01 ?R 2 f (? , y ) ? ? lim f (? , y ) 2 r ?0 R1 ? R2 f (? , y) ? ? lim f (? , y) R ?0 R2 ? ? f (0,0)8.求幂级数(?1) n ?1 ? n ( x ? 4) n n ?1?收敛区间及和函数 S (x ) ：解： R? liman n ?1 ? lim ? 1 ，所以， ? 1 ? x ? 4 ? 1 ， 3 ? x ? 5 . n ?? a n ?? n n ?1当? 1 x ? 3 时，级数成为 ? (? ) ，由调和级数知发散； n n ?1当x ? 5 时，级数成为 ?(?1) n n n ?1?，由交错级数的 Leibniz 判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为 (?3,5] 。设 S ( x)??? (?1) n ?1 1 1 ， ( x ? 4) n ，则 S ?( x) ? ? (?1) n ?1 ( x ? 4) n ?1 ? ? n 1 ? ( x ? 4) x ? 3 n ?1 n ?1?所以， S ( x)? ln( x ? 3),(3 ? x ? 5) .9.求解 y ? ?1? y2 , y (1) ? 0; xy ? x 3 y解：原方程可化为ydy dx ? 2 2 1? y x 1? x2??，两边积分得1 1 x2 ln 1 ? y 2 ? ln ? ln c1 2 2 1? x2??，即?1 ? y ??1 ? x ? ? cx , ?c ? c ?2 2 2 2 1。由y ?1? ? 0 得 c ? 1 ， 故?1 ? y ??1 ? x ? ? x2 22即为所求。10.求解y ? ? y ? 0, y (1) ? 。 x 2 y y cosudu dx y 解 ： 原 式 可 化 为 y? ? t a n ? ? 0 ， 令 ? u ， 得 xu? ? ? t a n ， 即 ?? u x x sin u x x c y c ? ln sin u ? ? ln x ? ln c ，即 sin u ? ， sin ? ，由 y (1) ? 得 c ? 1 ， x x x 2 y 1 故所求特解为 s i n ? 。 x x xy ? ? x tany ? 0 满足 y?0? ? 2, y??0? ? 0., 两边积分得? 11.求解 4 y ? ? 4 y ? ?解：特征方程为4?2 ? 4? ? 1 ? 0 ， ?1, 2 ? ?? x 1 ， 故 通 解 为 y ? ?C1 ? C 2 x ?e 2 ， 由 y ?0? ? 2, y ??0? ? 0 21得C1 ? 2, C 2 ? 1 ，故 y ? ?2 ? x ?e12.求解1 ? x 2 为所求特解。y?? ? 3 y ? ? 2 y ? 2e x 满足 y?0? ? 1, y??0? ? ?1; ? C1e x ? C 2 e 2 x ， 设 特 解 为 y * ? Axe x 代 入 原 方 程 得 A ? ?2 ， 故 原 方 程 通 解 为解：对应的齐次方程的通解为 Yy ? C1e x ? C 2 e 2 x ? 2 xe x ，由 y?0? ? 1, y ??0? ? ?1 得 C1 ? 1, C 2 ? 0 ，∴y ? ?1 ? 2 x ? e x 。13.设二阶常系数线性微分方程y?? ? ?y ? ? ?y ? ?e x 的一个特解为 y ? e 2 x ? ?1 ? x ?e x ，试确定 ? , ? , ?，，并求该方程的通解.解：将y ? e 2 x ? ?1 ? x ?e xy ? ? 2e 2 x ? e x ? ?1 ? x ?e x，y ?? ? 4e 2 x ? 2e x ? ?1 ? x ?e x ， 代 入 原 方 程 得?4 ? 2? ? ? ?e2x?4 ? 2? ? ? ? 0 ? ? ?3 ? 2? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?x ?e ? ?e ，故 ?3 ? 2? ? ? ? ? ? 1?? ? ? ? 0 ?x x?? ? ?3, ? ? 2, ? ? ?1，方程为 y ?? ? 3 y ? ? 2 y ? ?e x ，故通解为y ? C1e x ? C 2 e 2 x ? e 2 x ? ?1 ? x ?e x 。14.计算下列行列式cos ? sin ?- sin ? cos ?。解：cos ? ? - sin ? sin ? cos ?2 1= cos 2 ? + sin 2 ? =14 2 3 6 1 1 2 23 -115.计算下列行列式1 52 02解：1 2 04 2 3 61 1 2 2 =2 5 -3 51 0 04 6 61 2 0 23 -1 1 55 56 62 0 =0 20 -5= -3 - 51 a16.证明： 证：1 b b31 c ? (a ? b ? c)(b ? a )(c ? a )( c ? b) c3a31 a a31 b b31 c311 b?a1 c?a ? (b ? a )(c ? a )c ?0110 b(b 2 ? a 2 ) c(c 2 ? a 2 )1 1b(b ? a ) c(c ? a )? (b ? a)(c ? a)0 c(c ? a) ? b(b ? a)? (a ? b ? c)(b ? a)(c ? a)(c ? b)17.设 AX+E=A2+X，且 A= ? 0?1 0 1? 2 0 ? ，求 X ? ? ?1 0 1?。?2 0 1? 解：由 AX+E=A +X，得(ACE)X=A CE，而 ACE 可逆，故 X=A+E= ? 0 3 0 ? 。 ? ? ?1 0 2?2 218.已知矩阵? a 1 ? ?b 1 ? ?6 7 ? ?a 0? ? ? 0 b 2 ? ? ?6 3 ? ，求常数 a，b ? ? ? ? ? ?．? a 1 ? ?b 1 ? ? ab a ? b 2 ? ?6 7? ?? 解：因为 ? ??? ??? ? 2? a ? ?6 3? ? a 0 ? ? 0 b ? ? ab所以a ? 3, ab ? 6 ，得 b = 2．19.将向量? 表示成 ?1 , ? 2 , ? 3 的线性组合：（1）?1 ? (1,1,?1), ? 2 ? (1,2,1), ? 3 ? (0,0,1), ? ? (1,0,?2)? ? k1?1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 ，按分量展开得到k1 ? k 2 ? 1 ? ? ? k1 ? 2 k 2 ? 0 ? ? k ? k ? k ? ?2 2 3 ? 1解：设求解得到k 2 ? ?1, k1 ? 2, k 3 ? 1 ，即 ? ? 2?1 ? ? 2 ? ? 320.问? ， ? 取何值时，齐次方程组? ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x 1 ? ?x 2 ? x 3 ? 0 ?x ? 2?x ? x ? 0 2 3 ? 1有非零解？解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故?1110 1 ? ?? 1 ? ?? 1?1 1 2? 1 0即? ?1 0?1 ? ?? 1 ? ??0? ? ? (1 ? ? )? ? 0 或 ? ? 1 齐次方程组有非零解。?2 x1 ? x 2 ? x 3 ? 1 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? x 3 ? ? 1 ? x ? 3x ? 2 x ? c 2 3 ? 121.设线性方程组试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。? 2 ?1 1 1 ? ?? 1 ? 2 1 ? 1 ? ?1 2 ? 1 1 ? ?? 1 ? 2 1 ? 1? ? ? 0 ? 5 3 ? 1 ? ? ?0 ? 5 3 ? 1? 解： A ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?3 2 c ? ? 0 ? 5 3 c ? 1? 0 c? ?0 0 ? ? ? ? ? ?可见，当 c = 0 时，方程组有解。且1 ? ?1 0 5 ? 3 A ? ?0 1 ? 5 ? 0 0 0 ? ? ?原方程组的一般解为3? 5? 1? ? 5? 0? ? ?3 1 ? x1 ? ? x3 ? ? 5 5 （x3 是自由未知量） ? 1 3 ?x ? ? x ? 2 5 5 3 ?22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：2 2 f ? 2x 1 ? 3x 2 ? 3x 3 ? 4x 2 x 3 2（1）解：对应的矩阵为2?? 0 0 ? 2 0 0? ? ? A ? ? 0 3 2 ? A ? ?E ? 0 3?? 2 ? (2 ? ? )(5 ? ? )(1 ? ? ) ? 0 ? 0 2 3? 0 2 3?? ? ?，特征值为?1 ? 2, ?2 ? 5, ?3 ? 1? ? 0 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 2 2 ? 2 ? ，标准型为 f ? 2 y1 ? 5 y 2 ? y3? ? ?1 ? P ? ?0 ? ?0 ? ? 正交矩阵为0 1 2 1 223.某工人看管甲、乙、丙 3 台机器，在 1 小时内，这 3 台机器不需照管的概率分别为 0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的， 求在 1 小时内：(1)有机床需要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率.解：(1)设 Ai 表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的事件为A1 A2 A3 ，因而P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? 1 ? 0.8 ? 0.9 ? 0.6 =0.568(2)以 B 表示“机床因无人照看而停工”P( B) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 )=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.124 24.设随机变量 X 的分布密度为f ( x) ?A 1 ? x2(?? ? x ? ??) 求：(1)常数 A；(2)X 的分布函数；.解： (1)由性质?????f ( x)dx ? 1A ? dx ? A ? arctan x ?? ? A? ? 1 ? ?? 1 ? x 2 1 ∴ A= ? 1 1 (2)由(1)知 f(x)= ? 1? x2 x x 1 1 ∴ F(x)= ??? f ( x)dx ? ??? ? ? 1 ? x 2 dx 1 1 1 ? x ? arctan x ?? ? arctan x ? ? ? ? ? 2 1 1 (C∞&x&+∞) ? ? arctan x 2 ?即：???25.设二维随机变量（X，Y）在区域 0 (1)（X，Y）的联合分布密度；? x ? 1, y 2 ? x 内服从均匀分布.求(2)X 与 Y 的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 解：(1)区域 0≤x≤1，y2≤x 的面积 A 由图如示： 则：A ? 2?10xd x ? 4/3依题意有：?1 2 2 ? , 0 ? x ? 1, y ? x ?3 / 4, 0 ? x ? 1, y ? x f ( x, y ) ? ? A ?? 其它 ?0, ?0, 其它 ???(2)∵f X ( x) ? ???3 ? x 3 x, 0 ? x ? 1 ??? x d y ? f ( x, y ) d y ? ? 4 2 ?0, 其它 ?f Y ( y) ? ?????3 ? 1 3 2 ??y 2 d x ? (1 ? y ), ? 1 ? y ? 1 f ( x, y ) d y ? ? 4 4 ?0, 其它 ? ?3 2 ? (1 ? y ), ? 1 ? y ? 1 f Y ( y) ? ? 4 ?0, 其它 ?∴?3 x, 0 ? x ? 1 ? f X ( x) ? ? 2 ?0, 其它 ?又∵f X ( x) ? f Y ( y) ? f ( x, y)∴X, Y 不相互独立. 26.设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为0 ? x ?1 ?1, f X ( x) ? ? ? 0, 其它求随机变量 Z＝X＋Y 的概率密度函数. 解：设 Z 的密度函数为 fZ(z)，则由卷积公式得?e ? y , y ? 0 fY ( y ) ? ? ? 0, y ? 0f Z ( z ) ? ? f Y ( z ? x)d x ????? ?01令z ? x ?tzz ?1f Y (t ) d ta)当 z&0 时，f Y (t)=0，∴f Z (z)=0 b)当 0≤z&1 时，z-1&0，z≥0f z ( z) ? ?0z ?10d t ? ? e ?t d t ? 1 ? e ? z0zc)当 z≥1 时，z-1≥0f Z ( z) ? ? e ?t d t ? e1? z ? e ? z ? (e ? 1)e ? zz ?1z综述：0, z?0 ? ? ?z f Z ( z) ? ? 1 ? e , 0 ? z ?1 ?(e ? 1)e ? z , z ?1 ?27.某工厂生产的一种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，密度函数为? 1 ?1 x ? e 4 f ( x) ? ? 4 ? 0 ?0? x x?0为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元.求工 厂出售一台设备赢利的数学期望.x 1解：法一：P{X≥1}=?1 4??1f ( x)dx ? ?－200??1? 1 ?4 e dx ? e 4 ，设 Y 表示厂方出售一台设备的赢利数，则 Y 的分布律为 4Y100?P?e11? e?1 4? 1 ? 1 4∴ E(Y)= 100 ? e 41? (?200 )(1 ? e 4 ) ? 300 ex? 200 ? 33.64。x法二：E(Y)=?? 1 ? 1 ? ?0 (?200 ) ? 4 e 4 dx ? ?1 100 ? 4 e 4 dx1 ?? = 200 e 4 0 ?100 e 4 1?x?x? 300 e?1 4? 200 ? 33.64。N (1,32 )28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且 X 和 Y 分别服从正态分布1 X Y 和N (0, 42 ) ，X 与 Y 的相关系数 ? XY ? ? , Z ? ? ,求 Z 的数学期望 E ( Z ) 和方差 D( Z ) ； 2 3 2解：E(Z)= E ?1 1 1 1 ?X Y? 1 ? ? ? E ( X ) ? E (Y ) ? ? 1 ? ? 0 ? ； 2 3 2 3 ? 3 2? 3D(Z)= D??X Y? ?X? ?Y ? ?X Y? ? ? ? D? ? ? D? ? ? 2 cov? , ? ? 3 2? ?3? ?2? ? 3 2?1 1 1 1 D( X ) ? D(Y ) ? 2 ? ? cov(X , Y ) 9 4 3 2 1 1 1 1 ? 1? ? ? 3 2 ? ? 4 2 ? ? ? XY ? D( X ) ? D(Y ) ? 1 ? 4 ? ? ? ? ? ? 3 ? 4 ? 3 9 4 3 3 ? 2? ?
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