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四年级上册数学怎么列式求出角的度数，求过程
jbAC67IP53
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来个立体好吗？又不然你听不懂
为您推荐：
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四年级下册数学教学日志
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《数图形中的学问》教学日志
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这一节的内容是通过数简单图形个数的活动，让学生初步体会有序思考的必要性，在数图形的过程中做到不重复不遗漏。我先通过预习让学生寻找数线段的方法，体会有条理数法的多样性，并能运用有序的数法数出给定图形的个数。如何引导学生有序地数角，是本节课的重点，教学时，让学生自主合作探究，小组汇报交流的学习形式，让学生亲历发现、研究、探索问题的全过程，在学生出现的问题中适时引导学生想办法有序的数，进而发现有序数图形的方法，让学生亲自体验到“有序”数学思想产生的过程，尽可能使学生全面参与到自己的认知形成的过程中。在练一练数三角形的练习中，放手学生运用知识迁移的数学思想，运用有序数角的方法，先独立思考，再进行汇报交流，培养学生独立思考的学习能力，给学生创造了表达自己见解的机会。在练习完之后，若能让学生把数三角形和长方形的方法和数角的方法进行比较，更能帮助学生加强知识间大联系，深刻掌握有序数图形的方法，让学生学会全面、有序地思考问题。
总而言之，在上课的过程中，给了我一次学习的过程，在教案设计时，该怎么样把每一个环节落实到位，怎么样说好每一句话，预设好每一个环节。在听取各位教师的评课的过程中，让我有了茅塞顿开的感觉。当然，更重要的是离不开执教者对教材的深入理解。在此，我衷心感谢全组数学教师对我中肯的评价，感谢他们对我的直言不讳，让我在今后的教学中，使我能够在一个轻松和谐的教学氛围中与学生共同去探讨，去发现，去学习。
& &&&&&&&&&&&&&&《文具店》的教学日志
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　小数乘法的意义是在学生已经学习过“元、角、分与小数”、“小数的意义”、“小数的加减法”和掌握了“整数乘法的意义”基础上进行教学的，教材通过“文具店”情境，引导学生提出数学问题。然后对“买4块橡皮多少元”展开讨论，列出算式。再让学生探索0.2&4等于多少，学生可以采用不同的方法进行计算。教材呈现的方法都是利用了乘法的意义，分别运用了连加、元角分的转化和借助直观模型得出了结果，然后引导学生对这三种方法展开讨论从而帮助学生进一步理解小数乘法的意义。
在教学设计过程中，我首先创设了贴近学生生活的具体情境，拉近数学知识与实际生活之间的距离，使学生体会到小数与日常生活的密切联系。学生对到商店购物并不陌生，所以创设一个新开张的文具店的情境让学生模拟购物，可以调动学生的学习兴趣，并根据生活经验提出有关数学问题。另外，注重学生的已有知识经验，创设开放性的课堂教学，构建生生互动的“开放式”教学空间，教学中要密切关注课堂中“生成”
和“开发”
，不拘泥于教材中的例题与形式，放开让学生大胆的探索和表达，努力使教学过程成为师生富有个性化的创造过程。教学中我先让学生说说乘法算式所表示的意思，然后用以前学习的知识解决小数乘整数这个问题。最后，放手让学生自主探索0.2&4的结果，体现算法多样化的思想。本节课中学生的思维非常活跃，他们不仅运用了已有的知识来解决实际问题，而且运用了类推迁移的思想列出了小数乘法竖式，用转化的方法把小数化成整数进行计算。
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小数点搬家教学日志&&
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——细节决定成败
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随着昨天教学的思考，今天对小数点搬家这堂课进行了二次备课。
首先，出示两组数据：200、20.0、2.00和4.00元、0.40元、0.04元。让学生观察这两组数据，看看你有什么发现？（设计意图：修改成2组数据，有了梯度，而且简洁）
学生首先出来的第一组数中的200到20.0，小数点向左移动1位，这个数缩小10倍，这时教师修正这个数缩小到原来的十分之一。
这时让学生观察第二组数据。学生出现了说4移动。教师引导学生说一说能不能说看成是小数点移动呢？这样一来不就和第一组整合在一起了？小组讨论！
通过讨论，从4.00到0.40这个小数点移动之后位数不够的难点进行解决。（设计意图：在第一次纠纷处突破难点）
再从200到2.00和4.00到0.04小数点向左移动2位，这个数缩小到原来的一百分之一。接着就让学生思考，如果是移动三位呢？结果是多少？让学生尝试！（设计意图：练习巩固）
反之，学生自由完成……（设计意图：自主探索）
完成了整个规律之后，让学生进行记忆、口答。
练习巩固：
课本练一练第一题（解读：规律正用，从小数点移动，到这个数的扩大和缩小）
课本练一练第一题（解读：规律反用，从这个数的扩大和缩小，到小数点移动）
思考：方法的提升
面对学生出现的错误，利用怎样的方法才能让学生在小数点移动的过程中不会移错。自己原先方法是，每次移动点上小小的点，最后的小数点再点得的大一点；和同事交流，同时采用的是移一位不够填一位在再移；学生方法，用波浪弧线先画好，在再填0。
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10.320.60.30.20.06
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2.60.82.40.85
312.402.400.85
爬行最慢的哺乳动物教学日志
四年级下册的学习内容以小数知识为主，其中小数的计算是本册的重难点知识，发现学生在这部分知识的学习过程当中，在计算过程中经常出错，我将生的错题进行了整理和分析，希望从中能有所发现，从而提高学生计算的正确率。
学生计算存在的主要错误有：
1、乘法口诀出错，进位数出错，有忘写或者忘算的情况。
2、计算方法错误，小数加减法和乘除法混淆，这种错误通常在混合运算中出现，计算小数加减法时没有将小数点对齐，也就是没有把相同数位上的数加减，小数乘除法没有将小数的末位对齐，从而导致计算错误。
3、得数的小数位数出错，有学生计算出的得数完全正确，但最后确定小数点位置时，却出错，有漏掉小数点的，有数错位数的，有将小数扩大（缩小小数点移错方向的）。
4、在计算中遇到有0的情况，学生也易犯错。学生在初步接触小数计算时，出现这些失误，说明学生还需要充分的练习和错误分析，学会一些好的法，避免出错，出现错误时能进行自我检查发现错误.
&1、为避免失误，应从平时的计算练习开始，着重培养学生使用草稿本的习惯，避免一些口算失误。
2、强调估算的重要性，培养学生先估后算的意识和习惯，先估算出得数的大致范围，确定小数的位数后，在进行精确计算，让估算起到检验的作用。
3、强调验算的意义和重要性，加法和减法、乘法和除法，是互逆的运算，所以可以进行验算，来提高计算的准确性。验算验算就一定要认真的再一次算，而不是作为一种形式，所以验算必须用竖式写出过程。
4、做错误分析，收集自己的错题，用笔作上记号，还可以写上错误的原因，作为下一次的计算的警示。小数在我们的日常生活中使用广泛，不要觉得小小的错误微不足道，有句古话“失之毫厘，差之千里”，哪怕仅仅是0.00……01的差错，都有可能造成很大的损失。所以提高我们计算的正确率很要。
在等量关系中完成练习三
前面在学习手拉手递等式计算的时候，遇到了简便计算，结合上个学期学生对于简便计算本身就存在有比较困难的地方，所以周一就对简便计算用进行又补充了一堂课。昨天，在学校聆听了小学数学优秀课例展示活动，学到了很多。
今天看着教学内容的又到了练习三，早上在批改昨天学生完成的家庭作业练习三的时候，让我想到了昨天听课的等量关系，今天，就让学生在等量关系中完成练习三。
先是第一题，学生基本上没有问题，所以就让学生从算式入手说一说等量关系：圈数乘以每圈的时间等于总时间。
第二题，学生主要的错误就是对于上次读书、本次读书、实际用量三者之间的关系不是很明确，有的学生是上次读数加上本次读数等于实际用量。针对这样的问题，先让学生说一说如果上次读数是146吨，现在一点也没用，那么本次读数是多少？如果用了1顿呢？2顿呢？你发现他们之间的关系了么？从而让学生发现总结：本次读数减去上次读数等于实际用量。至于实际用量乘以单价等于金额学生没有难度就一带而过。
到了第三题，改变了前面两题的方式，给学生换换口味。先出示今天学生两种错误的算式：
1、0.2乘以12等于2.4立方米。
2、0.2乘以12乘以365
让学生说一说他们求的是什么？或者是怎么想的？从而让学生理解题目的要求和算式的含义。再让学生结合刚才说的列出算式：
3、0.2乘以12乘以48
在此基础上看看还有没有不同的方法，引出
4、0.2乘以48乘以12
理解0.2乘以48的含义，比较两个算式体会，虽然只是交换了数的位置，但是含义是不同的。
最后第五题，让学生体会三种不同的估算方法，并着重理解第三种，进行简单应用。
节日礼物教学日志
---------让表象来的再具体些
最近两天在给学生上“观察物体”，在六年级的时候还有学习到，所以这里。所以自己在教学的时候有意的与六年级进行了联系，适当的进行了升华。
首先是第一课时：节日礼物。应该说学生在理解上不太有难度。课始，先让一位学生上来站到教师门口，
问他能看到**吗？让学生思考：为什么看不到？
再往前面走呢？呢看到吗？看得到！那么另外一位同学呢？
思考：现在能看到同学在什么范围内？
如果想让他看到**？应该怎么做？
独立完成例题。讨论，得出结论：站的高，看到的范围广。
完成了说一说、试一试。得出结论：走的越近，看到的房子越大，看到的数越少。走的越远，看到的房子越小，看到的数越多。
拓展：小明站在什么位置刚好看不到树，你能画一画吗？
第二课时：同时出现几个建筑物，让学生从不同的角度观察。应该说相对的变化还是很有难度的。所以今天课前自己简单的准备了一些教具。把讲座抬到上面，让学生看的更清楚。先是直奔主题的放好两个建筑物，让坐在不同位置的同学观察，说一说他们的位置关系：甲在乙的正中间；甲在乙的左边；甲在乙的右边；甲在乙的右边。
抓住时机问同学，刚才的两次右边一样吗？结合学生提到的角度板书。
接着再让学生自主完成例题。
在学生完成60页的练习的时候，我就让学生试着操作，让学生更好的表象。等学生完成之后，教师也让学生上来找找位置，采用密切关注纪念碑在什么位置来判断。从中间，到左边，到更左边。然后让学生再一次操作。在这时，数学课代表吴波航上来了，说老师，刚才的答案不对，因为C看到了两个面而D只看到了一个面。我马上自己一看，看来学生可真是善于思考的学生，马上又给小房子编了号码，看看，看到的面是怎样变化的？并让全班同学表扬了吴波航同学。意外的收获让我也有所收获，试想是否在导入的时候可以更简单些，让学生就观察面的颜色不同长方体来体会位置角度的变化。
精打细算教学日志
---------小数除以整数思考与反思
情景语言：现实化
针对课本上的情景，自己原先想直接就出来，但是总是感觉不是很好，后来又想说成是淘气去逛超市的时候看到了这样两种牛奶，但是教材中出现的甲商店和乙商店，所以结合现实情景，说成了简洁的淘气在看海报的时候也遇到了一些数学问题，让我们同学们也去看一看。
讨论的安排：两次推移
自己原先的初次设想是让学生在第一次尝试完之后，就让学生交流一下各自的算法，后来再调查几个学生之后，发现学生基本上也都会做，但是问学生为什么点上小数点的时候，学生却不知道，所以把这堂课的难点算理的理解作为一个要点进行教学，在这里让学生进行讨论。
带着这样的设计自己在班级试教的时候就是带着这样的设计进行教学的。但是在老师问道为什么要点上小数点的时候，学生出现了这样一些回答：
因为被除数有小数点，所以这里就点上小数点。
刚才估计过了是2元多，不点上小数点是不行的。
商的小数点与被除数的小数点对齐……
乘着课间的一点时间，自己再一次的思考在什么地方进行交流，从课堂上表现，学生基本上已经会用元、角、分的单位进行理解了，所以再一次的把难点落实在先后推移，落到利用小数的计数单位进行理解上。
归结算法：三种尝试
对于小数除以整数的算法是：按照整数计算法则进行计算，商的小数点与被除数的小数点对齐，如果除到余数末尾仍有余数的，在余数的末尾添上0，再继续出。
简单的算法出来主要有这样的几种方式。
方式一：在出现11.5除以5的时候，就让学生比较化成115角除以5和直接用小数计算的方法进行比较，发现小数的除法与整数的除法相同，只是商的小数点要与被除数的小数点对齐。
方式二：为了让学生有更加充分的理由发现商的小数点与被除数的小数点对齐，在完成11.5除以5之后，还安排了这样一组试一试让学生练习：87.5/5 8.75/5
这样以来学生就可以更加充分的发现商的小数点与被除数的小数点对齐。
方式三，在原先方式二的基础上，为了避免教学环节的琐碎，在原来的基础上把12.9/6当作练习也整合在其中。
整个教学下来总感觉不是很理想，现在的设想就是方式一也是足够充分的，因为在算理理解充分的基础上，对于小数点的位置也就比较明确。
课后体会：表象到抽象
课后，同时提到感觉课堂上对于元、角、分的理解过的有点快，自己回头想一想，的确是如此，那么是什么原因造成的呢？可能自已过分的注重利用计数单位理解的抽象了，把原本需要的表象给忽略了。
那么为什么需要用元、角、分进行理解呢？在元、角、分已经能够理解的基础上还需要再一次的用计数单位进行理解吗？这样的目的又是何在呢？
带着这些问题，我再次的的关注到了教材所使用的情境，它的目的就是利用元、角、分这样的生活实际来理解小数的含义。那么利用计数单位理解是否还有必要呢？回答是肯定的。因为元、角、分只是一个特例，而计数单位的理解确实最为普遍、本质的意义。
再一次看特级教师王凌《小数除以整数》：语言+方法
在自己刚开始备课的时候，自己也先浏览了王老师的实录，总觉得整个过程就是这样，但是对于算理理解的部分，在细节上到底该如何处理语言，自己总是感觉非常的难易推敲。今天上完课之后，自己再一次细细的去品尝王老师的课，原来教师课堂上的每一次语言都是这样精辟，通过自己的细细琢磨说出来的。而且在算理的理解上也是用整数部分除完之后就是整数结束了，接下来的就是小数部分，整个过程的处理就是这样通过前后的几次理解为什么点上小数点。这样的方法不正是与我们老师在运算的时候，除完整数点上小数点相吻合。
带着问题看书：小学计算教学
上完这一堂计算课，自己在这这样的问题在书籍和杂志上再一次的进行教学的认识，很好的提升了自己在计算教学的一些认识，通过后续的整理，提升自己的计算教学。
教研思考：准备+思考+提升
通过这一次的计算教学，也让我开始对如何更好的通过这样的自己一堂挂牌课来提升自己的业务水平。首先，要提早准备，给自己更多机会进行尝试，想这一次，自己的修改之后就没有再一次的机会进行尝试了。
准备二：自己可以把自己的一个班级先把这一单元的知识上的再完后一点，这样等到全部都上完之后，再来思考前面的一课，就会有蓦然回首的感觉。
提升：上完之后，自己针对自己所选择的可进行一次系统的梳理。虽然我们字基本上在日常中已经在积累认识了，但是，这样适当的时机进行一次梳理，就可以把认识再一次的运用到自己的教学当中，内化为自己的教学认识。同时选择这样的课例进行研究就可以得到更多的提升和积累。
参观博物馆教学日志
------寻找起点知识
教材分析：
参观博物馆这一课，是在学习的小数除以整数之后再一次的来学习整数除以整数出现小数点的问题。课本上的例题是两个：26除以4和12除以16，主要的知识点就是，有余数添0继续除和商不够一用0占位。针对这样的两个知识点，自己想到的是遇上一堂课出现的有余数添0问题和不够出用0占位的问题。是否可以一对一的进行练习。有了这样的想法，产生了这样一种设计想法。
复习引入：
出示练习题列竖式计算。
25.8除以4、26除以4、55.35除以27、12除以16
这样四道问题，把这一堂课的教学要点整合到这一堂课的教学要点当中。让学生进行自主建构，同时重新认识整数除以整数的问题。
不要因为规范而消灭了学生的创造力
——除数是小数的除法教学反思
今天开始教学除数是小数的除法，一开始对教材情景的解读是8.54元/0.7元可以看成85.4角/7角，也就是从意义上理解把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。所以自己今天也利用了一开始的这一情景。但是第一个班级下来，总感觉不是非常的好，学生在书写上存在有一定的困难，而且商不变的规律也运用的不理想。带着这样的想法，自己开始了第二堂课的设想。
导入、点题。
先出示情境图：国内长途每分0.7元，小红打了8.54元，引出算式：8.54/0.7，比较这个算式与以前面学习的小数除法有什么不一样？引出课题：除数是小数的除法。
解决这个除数是小数的除法，你有办法吗？
生：化成除数是整数的除法，被除数和除数都乘以10。
追问：你这样做的依据是什么？
商不变的规律。
也就是化成85.4/7，大家觉得可以吗？
试一试。从学生的书写上来看主要有这样几种
方式一：8.54/0.7=85.4/7=再列竖式
85.7 7写在8.54和0.7的上面
方式三：在列竖式的时候，写
再继续除。
面对学生出现的几种做法，自己也开始觉得学生太能干了，也就没有要求学生一定要运用课本上的书写要求进行计算。本想着学生这样可以接受的更好。
面对到底要不要采用书本上的书写格式。首先是看了一些文章，也有的老师提到了可以运用其他方式进行书写，但是对后续的学习当中遇到的余数问题就比较麻烦。
怎样的方法算作一种好的方法，方法的多样化和优化是的目的是什么？
首先是算法的多样化指的是要求在同一个思维层面上的问题。看学生出来的几种写法，应该说都是在同一个思维侧面上的，都是转化成除数是证书的除法，不同的只是书写的格式。那么怎样的方法才是好方法呢？游牧的目的何在呢？一种好的方法必须具备这样一个条件，思维层次是高的，教师容易教，学生容易掌握的，对后续的学习有帮助的才是好方法，综合以上几点，个人觉得还是要求学生利用课本上的要求，进行规范的书写还是有必要的。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。四年级数学三阶幻方
篇一：三阶幻方――四年级 三阶幻方――四年级 一、教学目标： 1、初步认识三阶幻方的起源和它的特征。 2、会根据三阶幻方的特征填写幻方。 3、学会自己构造一个三阶幻方。 *4、掌握并学会三阶幻方的另七个不同构造方法。 二、教学过程： （一）引入： 1、介绍三阶幻方的起源： 传说在很久很久以前，洛阳的洛水一带浮出一只神龟，龟背上驮着一幅图。这幅图上都用圆点来表示一组数字，后来，经过人们研究发现：图中用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15。后来人们把龟背上的那幅称为“洛书”。 “洛书”就是我国最早的一个三阶幻方。
2、揭示课题： ――三阶幻方的认识 （二）新授： 1、前言： 三阶幻方是一个蕴涵无穷知识的数学习题，又称“九宫格”或“九宫和阵”。今天我们就来仔细认真地来研究它。 2、介绍三阶幻方的特征： （1）小组交流，从图中你可以发现哪些规律？
（2）师生交流特征： 幻和=中间数×3 师：幻和是指每行或每列三个数字的和。 与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2角上的数字=对角相邻的两个数字和÷2
（3）小结： 师：要掌握三阶幻方的相关知识，首先要了解它的三个特征。?? 3、学习三阶幻方的填法： （1）出示例题1：
师：独立完成这道题目，看哪位同学能根据刚才所学的幻方的特征来填写完整这个幻方。 （2）师生交流核对： （3）练习：（4）核对交流，讨论填写的方法，运用了哪条特征。――运用了特征1、2。 （5）出示例题2：
师：这道题目在原先的基础上变化了一下，你能补充完整吗？ ――学生独立完成，然后小组交流自己的想法。 （6）师生共同交流研究： ――运用了三阶幻方的第三个特征。 （7）练习：
（8）师生核对： （9）小结： 4、用所给的数据构造一个三阶幻方： （1）出示例题3： 用1---9构造一个三阶幻方。篇二：三阶幻方练习题。 1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。 2.用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方。
1 2题 3.在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和都等于30. 4. 用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、每条对角线的和都是60
3题 5.一个三阶幻方的幻和是60.这个幻方最中间的数是 （）。组成幻方的９个数的和是（） 6.
.一个三阶幻方，最中间的数是30，这个幻方的幻和是（）。组成幻方的９个数的和是（） 7..一个三阶幻方的幻和是45.这个幻方最中间的数是 （）。组成幻方的8..一个三阶幻方，最中间的数是８，这个幻方的幻和是（）。组成幻方的９个数的和是（） 9. 用1,2,3,4,5,6,7,8,9
写一个三阶幻方。
用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方。 10.
将6,6,6,8,8,8,10,10,10这9个数填入幻方格中，
5. 用０－－－８ 这９个数，做一个三阶幻方
是每行每列对角线上三个数的 和都相等。
11.在空格里填数，使横竖对角线上三个数的和是２１. 7.
使横竖对角线上三个数的和是３０.12.填上其他８个数，使得方格中的９个数为９个连续自然数。 9. 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种昆虫共18只，共有腿118条。翅膀20对，（ 蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿，2对翅膀，蝉6条腿，1对翅膀），三种昆虫各多少只？ 10.蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿，2对翅膀，蝉6条腿，1对翅膀。这三种昆虫共有21只,有140条腿和23对翅膀.求每种昆虫各几只？
11.有一个车队以每秒行5米的速度通过一座长200米的大桥共用145秒.已知每辆车长5米.一个车队以每秒行五米的速度通过一座长200米的大桥共用一145秒.已知每辆车长5米,两车隔8米,这个车队有多少辆车？ 12.
小明步行上学，每分钟行70米，离家12分钟后，爸爸发现小明的文具盒忘记在家里，立即骑自行车以每分钟280米的速度去 小明，那么爸爸出发后几分钟追上小明？ 13. 一队中学生到某地进行军事训练，他们以每小时5千米的速度前进，走了6小时后，学校派秦老师骑自行车以每小时15千米的速度追赶学生队伍，传达学校通知。秦老师几小时可追上队伍？追上时队伍已经行了多少路？篇三：四年级奥数幻方教程
小学四年级数学提高教程――幻方与数阵图 【知识点解析】 一、幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法 1、累加法 利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。 3、比较法 利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 4、掌握好3阶幻方中的规律。 【例题】 1、如下图，将1―9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？ 第1题 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9 这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。 接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。 同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：因为A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。 「详解」 根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。 从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完成）我们可以看到，如果4个角上的偶数被确定下来，那么其余4个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有8种填法。 具体填法如下：
「评议」这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。 在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。 本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。那么我们来问一个深入一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？ 还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？ 好，那就让我们来看例2： 2、下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E 且D+F=2×E。 「分析」有了第1题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1题的一部分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。 「详解」首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。 然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3×E=4倍的“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。 所以，3×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E。 说明完毕。 「评议」同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(请大家自己说明)。 本题回答了第1题评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。 性质1：“幻和”的3倍等于这九个数之和； 性质2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。 请大家牢记。 那么，三阶幻方还有什么别的更奇妙更有趣的性质吗？ 3、下图是一个三阶幻方，请说明 「分析」这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。于是我们就想到利用性质1和2，看看能不能解决问题。 当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它：「详解」现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。 所以B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2×C。 说明完毕。 「评议」这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样A+B=2×C的性质还有另外3种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。 【习题】 1、请完成下面的三阶幻方：「分析」本题需要综合利用上面的3条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。这类题是简单的。 「详解」（1）根据性质2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105；“幻和”=100×3=300。（2） 根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质3，B=(17+29)÷2=23；根据性质2，C=(19+31) ÷2=25，“幻和”=25×3=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：
「评议」至此，本讲对于三阶幻方的深入研究告一段落，最后重申几点注意事项： I. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。 II. 这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。 2、求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方。 「详解」：由例4知中间方格中的数为267÷3＝89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178。两个质数之和为178的共有六组： 5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107。经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。
3、将1―12填入图中的12个区域内，使得每个圆圈内的4个数字之和都相等。 「分析」原则上我们是可以通过分析每个数所属于的圆圈个数（“重数”）来分析每个圆圈内4个数字之和的范围，确定其最小值和最大值，再一一筛选。具体方法大家可以参考下学期的内容。 但是这种方法在一些特殊的数阵图题目中显得非常不实用。当然，由于同学们做题时只需要找出一种可能的填法，所以上面说的这种方法在很多情况下也是可行的，只是繁琐些。 「详解」如右图，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到： A+B+2+5=B+C+7+8，则A-C=8。 因此要么A=9，C=1或者A=11，C=3（因为12和10已经有了）。 如果A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道D=E-10（为什么？大家自己思考），所以不可能。 因此A=9，C=1，那还剩下4个数字需要填：3，6，11，12。 由于10+D+A(9)=E+4+7，于是D+8=E。所以就有D=3而E=11。剩下的数就很简单了。 E 4 D C 8 2 5 4 8 2 5