当直线和圆相切时.求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径.求切线长一般要用切线.半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形,与圆相交时.弦长的计算也要用弦心距.半径及弦长的一半构成的直角三角形.——精英家教网——
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当直线和圆相切时.求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径.求切线长一般要用切线.半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形,与圆相交时.弦长的计算也要用弦心距.半径及弦长的一半构成的直角三角形. 【】
题目列表(包括答案和解析)
已知函数(1)当时，把已知函数的图像与直线的交点的横坐标依次为求证：（2）对于每一个的值，设为已知函数的图上与轴距离为1的两点，求证：取任意一个正数时，以为直径的圆都与一条定直线相切，求这条定直线的方程和切点的坐标。
在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M．（1）如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点，求直线l的方程；（2）如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一三角形；（3）如果l的方程为，P为⊙M上任一点，求PA2+PB2+PO2的最值．
在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为⊙M．（1）如果⊙M半径为1，l与⊙M切于点，求直线l的方程；（2）如果⊙M半径为1，证明当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一三角形；（3）如果l的方程为，P为⊙M上任一点，求PA2+PB2+PO2的最值．
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；(1-4班做)（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.&（5-7班做）（Ⅱ）设P(-4,1)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值. &
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设P(x0,y0)（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值.&
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快速计算铁路曲线之切线长及外距长新法
优质期刊推荐58数学通报????????2011年?第50卷?第8期
点焦距与焦半径的一个关系式
(河南省周口市川汇区教体局教研室?466001)
引子?如图1,在平面直角坐标系中,过点Pm,作圆x+y=R的切线PA、PB,A、B为切点,设O为圆心.则PO2=m2+n2,AO?BO222
式进行计算.
证明?如图2,
由椭圆的方程易知点
Pm,的切点弦AB方程为+=1.
根据圆与圆锥曲线的相关性,可将这一结论
拓展到一般圆锥曲线.
定理1?由椭圆外一点Pm,n向椭圆+
a=1(a&b&0)引切线PA、PB,A、B为切点,设b
F为椭圆的一个焦点.求证:
=+.AF?BFab分析?利用点Pm,n的切点弦方程和椭圆
2,消去y,得方程2
221-2=1-2.
aa22整理成关于的方程2+2
方程求出切点坐标满足的方程,利用韦达定理求出切点横坐标的关系,然后利用椭圆的焦半径公
,所以et&t+1,从e-1
设此方程的两根为aa.由韦达定理
2212+=2/+;aaaaba+
线的一支相交,故t&
MB=0,即?AMB恒为直角;
反之,若?AMB恒为直角,则MA?=0恒成立,即e2-1e2t2-t2-1=0恒成立?e2-2t2=e2-1恒成立?e=1,从而?为抛物线.故?为抛物线的充要条件为?AMB恒为直角.
而MA?0,即?AMB恒为钝角;
反之,若?AMB恒为钝角,则MA?M&0恒成立,即e2-1
e2t2-t2-1&0恒成立?
e-t&e-1恒成立,显然必有e&1,从而?为双曲线.
故?为双曲线的充要条件是?AMB恒为钝角.(3)若?为抛物线,则e=1,此时显然MA?
2011年?第50卷?第8期??12a?a=
??????数学通报
x1、x2是点A、B的横坐标,若焦点F坐标为
c,0,则AF?BF=
为了把三种曲线统一起来,我们变换一下角度,在极坐标系中进行了探究,发现PF、AF、BF之间具有下列美妙关系.
定理4?已知圆锥曲线的离心率为e,焦点为F,焦准距为p,由点P向圆锥曲线引切线PA、PB,A、B为切点.
(1)当A、B在椭圆、2
2-=sin时,;
PFAF?BFep2
(2)当A、B分别在双曲线两支上时,2=22cos
+-+e1-2a2b2ab
aem+ae-b2abb===
+PF+m-+/bab2222
证明?设圆锥曲线的方程为?=
(1)当A、B在双曲线同支,或其它曲线上时,设点A、B的坐标分别为?1,?1?2,?2.
则?1=,?2=.
1-ecos?11-ecos?2
1-ecos?过点A的切线方程为
过点B的切线方程为
2-ecos?=cos?-?
=+.AF?BFab22
定理2?由点Pm,n向双曲线2-2=1(a
ab&0,b&0)引切线PA、PB,A、B为切点,设F为双曲线的一个焦点.求证:
222=-.AF?BFab对于双曲线的这个结论证明和定理1方法相同.定理3?由抛物线外一点P向抛物线引切线PA、PB,A、B为切点,设F为抛物线的焦点.求证:PF2=AF?BF.
证明?设抛物线方程为y=2px(p&0),则F,02
1,2pt1,点B的坐.设点A的坐标为2pt2
标为2pt22,2pt2,则P的坐标为2pt1t2,pt1+t2
由抛物线的定义得AF=2pt21+2
所以PF==4ptt+p
?代入?得cos?-?1=cos?-?2,所以?=122
12?代入?得=cos-?1-2?1+?2
所以,点P的坐标为cos
数学通报????????2011年?第50卷?第8期
=-cos?+?2-??-?2=
过点B的切线方程为ecos?
?代入?得cos
令?1=?-?,?2=?+?,则?AFB=?2-?1=2?.则?=,?1=,
cos?-ecos?1-ecos?-.
1-ecos?+所以,=
cos?-?+?2,所以?=+
=cos12+-?1-ecos22
=sin2?=2epep2
ep2B的坐标分别为?1,?1-?2,?+?2.
所以,点P的坐标为esin
令?1=?-?,?2=?+?,则?AFB=?2-?1=2?.则?=?2=
esin?-sin?1-ecos?-.
1+ecos?+所以2=
(2)当A、B分别在双曲线两支上时,设点A、p
2+12222=22
2ep22=2e图4
1-ecos?11+ecos?2
1-ecos?过点A的切线方程为=cos?-?
==cos2?2eep22=cos.
1?唐秀颍?数学解题词典(平面解析几何)[M]?上海:上海辞书
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