为什么分解法那里可以用等价无穷小代换公式？ 这不是局部的式子吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-05-08 13:42 标签： 等价无穷小
怎么求一个式子的等价无穷小?
怎么求一个式子的等价无穷小?
给了一个式子　我怎么能知道它的等价无穷小是谁?　
例如怎么求:[(1+x^2)^1/3]-1的等价无穷小?
依次求该函数和其各阶导数在某一点的值即可。
由Taylor公式易证:
如果函数f(x)满足:
f(a)=f'(a)=f''(a)=......=f(n-1)(a)=0,f(n)(a)≠0,则当x→a时,f(x)是(x-a)^n(即x-a的差的n次方)的同阶无穷小量。这里f(n)(x)表示f(x)的n阶导数。
判定这一点之后,再由洛必达法则不难证,在前述条件下,n!(x-a)^n/f(n)(a)和f(x)是x→a时的等价无穷小量。
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相关问答：
①记住x→0时的一些常用的等价无穷小关系式：
sinx～x，tanx～x，e^x-1～x，
arcsinx～x，arctanx～x，ln(1+x)～x，
1-cosx～(x^2)/2，(1+x)^a-1～ax，
②上述关系式具有形式不变性，即
若 x→0时，有 u→0，那么有sinu～u，tanu～u，e^u-1～u，……
③记住无穷小等价关系具有传递性，即
若 p(x)～q(x)，q(x)～r(x)，则 p(x)～r(x)；
④记住 x→a 时，先作换元 t=x-a，转化为 t→0 的情况，再套①中的公式。
【举例】①x→0时，有 x^2→0，那么有:[(1+x^2)^(1/3)]-1～(1/3)x^2；
②x→0时，ln(cosx)=ln[1+(cosx-1)]～cosx-1～(-1/2)x^2；
③x→π时，求A,k，使sin(3x)～A(x-π)^k，
解：令t=x-π，即x=π+t，则
=sin(3π+3t)
=-3(x-π)，
即A= -3，k=1。
④x→1时，求A,k，使(x^3-3x^2+3x)^(2x-2)-1～A(x-1)^k.
解：令t=x-1，即x=1+t，则
(x^3-3x^2+3x)^(2x-2)-1
=(1+t^3)^(2t)-1
=e^[2tln(1+t^3)]-1
～2tln(1+t^3)
=2(x-1)^4.
即A=2，k=4.

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