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判断级数敛散性∑((1+n²)/(1+n³))²n ：
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除以1/n的平方，极限是1，所以敛散性相同，因为1/n方收敛，所以收敛
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２０１３年４月大　学　数　学ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏｌ．２９，№．２Ａｒ．２０１３ｐ
含有ｌｎｎ的正项级数敛散性的若干个判定方法
（）炮兵学院南京分院基础部，江苏南京２１１１３２
摘　要］研究了含有ｌ首先探讨研究此类级数敛散性的ｎｎ的正项级数的敛散性判定的常见六种方法．　　［
意义，然后通过举例说明判定含有ｌ重点探讨利用比较法判定级数的ｎｎ的正项级数的常见的六种方法，
［关键词］正项级数；收敛与发散；比较法
［（）中图分类号］Ｏ文献标识码］Ｃ　　［文章编号］１１７２．２　　［６７２１４５４２０１３０２０１１３０４－－－
１　引　　言
正项级数尤其含有ｌ例如对于级数ｎｎ的敛散性的判定是数学分析比较困难的内容之一，
以及的敛散性，许多同学无从下手．为了学生更好地掌握判断其敛散性的技ｌｎｎｌｎｌｎｎ　∑∑ｎｎｌｎｌｎ　　））ｎ＝２（ｎ＝ｅ（
巧，我们简单对此类问题作一探讨．数学分析课程告诉我们，要判断正项级数是否收敛，可以判断它的部分和是否有界，也可以采用比较判别法及其极限形式，比式判别法，根式判别法，积分判别法，可以参见［］当然可以采用上述方法进行判断，但是由于ｌ它又有１，２．对于含有ｌｎｎ的级数，ｎｎ的一些特殊性质，一些特殊的判定技巧．下面就此作简单的探讨．∞∞
２　判定方法举例
在这部分，我们通过列举各个典型的例子来阐述判定此类级数的办法与技巧．
２．１　利用部分和是否有界．
例１　判定级数ｌｎｎｎｎ）与∑（＋１）－ｌ　　ｎｎ＋１）ｎｎ）的敛散性．（－　（∑（ｎ＝１ｎ＝１
ｎｎ１＋）该级数部分和解　（ｉ
ｎ→∞ｋ＝１ｌｎｋ＋１）ｎｋ）ｎｎｎ１＝ｌｎｎ－ｌ＝ｌ＋１）－ｌ＋１），　　　　　（（（∑（所以ｌ故该级数发散．ｉｍＳｎ＝∞，
（）该级数部分和ｉｉ
→∞ｋ１ｋ＋ｎｎ＋１）ｎ１＝ｎｎ＋１）．＝－ｌ　　ｎｋ１ｎｋ）（（＋－　（）（∑ｋ＝１ｎ１＋ｎ＋ｎ１＋１，１因为ｌ所以ｌ故该级数收敛．ｉｍｎｎ＋１）＝ｌｉｍｉｍＳ＝　ｎ＝１，（ｎｎｎ→∞→∞
２．２　利用等价无穷小．
例２　判定级数ｌｎｎ＋１）ｎｎ）与－ｌ　（∑（ｎ＝１ｌｎｎｎｎ）的敛散性．＋１）－ｌ　　（∑（ｎ＝１２
收稿日期］２０１１０１０４　［－－
大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第２９卷
，）因为当ｎ→∞时，解　（而１＋ｉａｎｎ＋１）ｎｎ＝ｌｎ－ｌ　　ｎ＝ｌ～（ｎｎ
ｌｎｎ＋１）ｎｎ）发散．－ｌ　（∑（
（）因为当ｎ→∞时，ｉｉａｌｎｎｎｎｎ＋１）－ｌ　　　　１＋ｎ＝（（）＝ｌｎ
收敛，故２
ｌｎｎ＋１）ｎｎ）收敛．－ｌ　（∑（
注　该方法实际是比较判别法的极限形式的特殊情形，它是判定级数敛散性的最为有效的方法之一．
２．３　直接对通项恒等变形．与例３　判定级数ｌｎｎ∑ｎ＝１３
收敛，故ｌｎ３∑ｎ＝１ｎ
，）解　（而ｌ所以ｉａｎ３＞１，ｎ＝ｌｎｎ＝ｌｎｎｌｎ３＝ｌ３
ｎｎ３ｅ，（）而ｌ所以ｉｉａｎ２＜１，ｎ＝ｌｎｎ＝ｌｎｎｌｎ２＝ｌ２
．ｌｎｎ∑ｎ＝１３
发散，故ｌｎ２∑ｎｎ＝１发散．ｌｎｎ∑２ｎ＝１
利用上述的方法进一步可以推出：对于级数当０＜ａ≤ｅ时，级数发散．数收敛；
２．４　利用根式判别法．
例４　判定级数ａ＞１）与（ｎ∑ｎ＝１２
）由于解　（ｉ
，，由于所以当ａ＞ｅ时，级ｌｎｎｌｎｎ＝ｌｎａｌｎｎ＝ｌａ
的敛散性．
ｌｎｎ　（）
ｌｎｎｌｎａ
ｎｉｍ＝ｌ＝＜１，ｎ
ｎ→∞２２２
ｌｉｍｉｍｉｍｎ＝ｌｎ＝ｌｎ→∞ｎ→∞ｎ→∞２
所以级数ａ＞１）收敛．（ｎ∑ｎ＝１２
ｌｎｎ又因为（）由于ｌｉｉｉｍｌｉｍｉｍ，＝ｌｎ＝ｎ
ｎ→∞ｎ→∞ｎ→∞ｌｎｎｌｎｎ）（
ｉｍｉｍ＋＝ｌ　ｌ　　　　
ｘ→＋∞ｘ→＋∞ｘ＋１ｘｘ
ｉｍｉｍｉｍ＋ｌ＝ｌ＋ｌ＝０，ｘ→＋∞ｘ→＋∞ｘ＋１ｘ→＋∞ｘ＋１ｘ→＋∞ｘｘ
ｌｎ１ｌｎｎｎ
ｌｎｎｎｎ，，所以ｌ因此所以收敛．ｉｍ（１ｉｍ＝１ｌｉｍｉｍ＋ｎ＝ｌ＝０＜１　ｎ＝ｌｎ∑ｎ→∞ｎ→∞ｎ→∞ｎ→∞ｌｎｎｌｎｎ　（）ｎ＝２
２．５　利用比较判别法．利用比较判别法，寻找合适的比较函数，需要高度的技巧，不等式的放缩要恰当．若要判定原级数收
需要寻找一个较大的收敛正项级数；反之，需要寻找一个较小的发散正项级数．对于ｌ有其特殊敛，ｎｎ，的性质，我们把它作为一个引理：
σ引理　ｌ因此?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有ｌｉｍσ＝０（ｎｎ＜ｎ．σ＞０），
，证　考虑式子ｌ所以ｌ因此由极限的保号ｉｍσ＝ｌｉｍｉｍｉｍσ＝０＜１，１＝ｌ－σσ＝０ｘ→＋∞ｘｘ→＋∞ｘｘ→＋∞σｎ→∞ｎｘσｘ
性得到：?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有ｌｎｎ＜ｎ．
例５　判定级数
ｌｎｎ　（）
ｌｎｎ　（）
第２期　　　　　　　　周杰荣：含有ｌｎｎ的正项级数敛散性的若干个判定方法
）当ｎ＞ｅ时，解　（所以ｎ＜而ｉｌｎｎ＞２，ｎ．ｌｎｎ　（）２
ｌｎｎ　（）
收敛，故ｎ∑ｎ＝２２
（）由引理，?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有ｌ即（所以２＞．而ｉｉｎｎ＜，ｌｎｎ　）＜ｎ，ｎｌｎｎ　（）
∑ｎ发散，
ｎｌｎ　（）
的敛散性的结论可以推广实际上，ｋ，，，，，由引理当时当有．ｋ０ＮｎＮｌｎｎ?＞＞＜２
ｌｎｎ　（）
即（所以ｋ＞．而ｌｎｎ　）＜ｎ，
ｎｎｌｎ　（）
ｎｌｎ　（）
例６　判定级数
以及ｌｎｎ
ｌｎｎ　（）
的敛散性．ｌｎｌｎｎ　
ｌｎｎ　（）
）当ｌ解　（ｉｎｎ＞ｅ时，（ｌｎｎ　）＝ｅ
ｎ）ｌｎｎｌｎｌｎ　（
而级数所以＝ｎ，ｌｎｎ＜２．ｎｎｌｎ　（）
收敛．ｌｎｎ∑ｌｎｎ　）ｎ＝２（
（）由引理容易得到：?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有（所以ｉｉｌｎｌｎｎｎｎ，　　）＜ｌ
ｎ）ｌｎｌｎｎｌｎｌｎｌｎｎ　　（（）
ｌｎｎ　　＜ｅ＝ｎ，（）＝ｅ
而因此．ｌｎｌｎｎ＞　
ｎｎｌｎ　（）
发散．ｌｎｌｎｎ　
ｎｌｎ　（）
例７　判定级数
以及３　２
ｌｎｎ（　）
．２∑ｎ＝１ｎ
，发散，）由引理，解　（当ｎ＞Ｎ，有ｌ即（所以ｉｎｎ＜，ｌｎｎ?Ｎ，　１＞）＜，３　ｎ∑ｎ＝１ｎｌｎｎ　（）
发散．３　２
ｌｎｎ　（）
而（）由引理，?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有ｌ所以ｉｉｎｎ＜，３．２＜ｎ∞
收敛，故级数３
∑ｎ＝１∞∞
利用该题的判定方法进一步可以推出：对于级数
∑（ｌｎｎｎ　）
，其中ｐ＞０，当ｑ＜１时，该ｑ＞０，
对于级数级数发散；
，其中ｐ＞０，当ｑ＞１时，该级数收敛．简单证明如下：ｑ＞０，ｑｎ
λｐ）证　（由引理，?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有（其中λ＞０．因为ｑ＜１，所以取λ，使得ｑ＋λｉｌｎｎ　）＜ｎ，
而级数≤１，因此λ．ｐｑ＞ｑ
ｌｎｎｎｎ＋　（）
＜．而级数，因此－λｑｑｎｎ
发散，故级数＋λｑ∑ｎ＝１ｎ
发散．ｐｑ
ｌｎｎｎ　（）
λｐ（）由引理，?Ｎ，当ｎ＞Ｎ，有（其中λ＞０．因为ｑ＞１，所以取λ，使得ｑ－λ＞１ｉｉｌｎｎ　）＜ｎ，
收敛，故级数－λｑ∑ｎ＝１ｎ
收敛．ｑｎ
２．６　利用积分判别法．与例８　判定级数
∑ｌｎｎｎ＝２ｎ
∑ｎ　ｌｎｎ　（）
ｐ＞０）的敛散性．（
，）令ｆ（解　（则ｆ（由于ｉｘ）ｘ）在（２，＝＋∞）上非负单调减少．ｘｌｎｘ
ｘ＝ｌｎｌｎｘ　ｘｌｎｘ
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