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502 Bad Gateway　　 仔细理解角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理，能运用角平分线 的性质定理
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仔细理解角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理，能运用角平分线
的性质定理
　　
和线段垂直平分线的性质定理进行作图。
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圆周律是什么??急急急!!!!
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【圆周率简介】&&圆周率是指平面上圆的周长与直径之比。用希腊字母&&&(读&P&i&）表示。中国古代有圆率、周率、周等名称。（在一般计算时&人们都把&这无限不循环小数化成3.14）编辑本段【圆周率的历史】&&古希腊欧几里得《几何原本》（约公元前3世纪初）中提到圆周率是常数，中国古算书《周髀算经》（&约公元前2世纪）中有&径一而周三&的记载，也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值，早期大都是通过实验而得到的结果，如古埃及纸草书（约公元前1700）中取&=（4/3）^4&3.1604&。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到(3+(10/71))&&&(3+(1/7))&，开创了圆周率计算的几何方法（亦称古典方法，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的&值。&&中国数学家刘徽在注释《九章算术》（263年）时只用圆内接正多边形就求得&的近似值，也得出精确到两位小数的&值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。&&南北朝时代数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的&值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22／7。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。&&阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。&&德国数学家柯伦于1596年将&值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。&&&无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种&值表达式纷纷出现，&值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算&值突破100位小数大关。1873&年另一位英国数学家尚可斯将&值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了&的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。&&&电子计算机的出现使&值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机（ENIAC）计算&值，一下子就算到2037位小数，突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和IBM－VF型巨型电子计算机计算出&值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下新的纪录。至今，最新纪录是小数点后12411亿位。&&除&的数值计算外，它的性质探讨也吸引了众多数学家。1761年瑞士数学家兰伯特第一个证明&是无理数。1794年法国数学家勒让德又证明了&2也是无理数。到1882年德国数学家林德曼首次证明了&是超越数，由此否定了困惑人们两千多年的&化圆为方&尺规作图问题。还有人对&的特征及与其它数字的联系进行研究。如1929年苏联数学家格尔丰德证明了e&&是超越数等等。编辑本段【圆周率的计算】&&古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。&&十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢，十九世纪后，计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪，可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。&&进入二十世纪，随着计算机的发明，圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机，人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。&&历史上最马拉松式的计算，其一是德国的Ludolph&Van&Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉&山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。&&把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。&&现在的人计算圆周率,&多数是为了验证计算机的计算能力，还有，就是为了兴趣。编辑本段【圆周率的计算方法】&&古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。&&1、马青公式&&&=16arctan1/5-4arctan1/239&&这个公式由英国天文学教授约翰&马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。&&还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。&&2、拉马努金公式&&1914年，印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。&&1989年，大卫&丘德诺夫斯基和格雷高里&丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是：&&3、AGM（Arithmetic-Geometric&Mean）算法&&高斯-勒让德公式：&&这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。&&4、波尔文四次迭代式：&&这个公式由乔纳森&波尔文和彼得&波尔文于1985年发表，它四次收敛于圆周率。&&5、bailey-borwein-plouffe算法&&这个公式简称BBP公式，由David&Bailey,&Peter&Borwein和Simon&Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。&&6、丘德诺夫斯基公式&&这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的，十分适合计算机编程，是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本：&&丘德诺夫斯基公式编辑本段【圆周率的计算历史】&&时间&纪录创造者&小数点后位数&所用方法&&前2000&古埃及人&0&&前1200&中国&0&&前500&《圣经》&0（周三径一）&&前250&阿基米德&3&&263&刘徽&5&古典割圆术&&480&祖冲之&7&&1429&Al-Kashi&14&&1593&Romanus&15&&1596&鲁道夫&20&古典割圆术&&1609&鲁道夫&35&&1699&夏普&71&夏普无穷级数&&1706&马青&100&马青公式&&1719&（法）德&拉尼&127（112位正确）夏普无穷级数&&1794（奥地利）乔治&威加&140&欧拉公式&&1824&（英）威廉&卢瑟福&208（152位正确）勒让德公式&&1844&Strassnitzky&&&Dase&200&&1847&Clausen&248&&1853&Lehmann&261&&1853&Rutherford&440&&1874&威廉&山克斯&707(527位正确)&&20世纪后&&年&月&纪录创造者&所用机器&小数点后位数&&1946&（英）弗格森&620&&1947&1&（英）弗格森&710&&1947&9&Ferguson&&&Wrench&808&&1949&Smith&&&Wrench&1,120&&1949&Reitwiesner&et&al&ENIAC&2,037&&1954&Nicholson&&&Jeenel&NORC&3,092&&1957&Felton&Pegasus&7,480&&1958&1&Genuys&IBM704&10,000&&1958&5&Felton&Pegasus&10,021&&1959&Guilloud&IBM&704&16,167&&1961&Shanks&&&Wrench&IBM&&&1966&Guilloud&&&Filliatre&IBM&&&1967&Guilloud&&&Dichampt&CDC&&&1973&Guilloud&&&Bouyer&CDC&,250&&1981&Miyoshi&&&Kanada&FACOM&M-200&2,000,036&&1982&Guilloud&2,000,050&&1982&Tamura&MELCOM&900II&2,097,144&&1982&Tamura&&&Kanada&HITACHI&M-280H&4,194,288&&1982&Tamura&&&Kanada&HITACHI&M-280H&8,388,576&&1983&Kanada,&Yoshino&&&Tamura&HITACHI&M-280H&16,777,206&&1985&10&Gosper&Symbolics&,200&&1986&1&Bailey&CRAY-2&29,360,111&&1986&9&Kanada&&&Tamura&HITACHI&S-810/20&33,554,414&&1986&10&Kanada&&&Tamura&HITACHI&S-810/20&67,108,839&&1987&1&Kanada,&Tamura&&&Kubo&et&al&NEC&SX-2&134,217,700&&1988&1&Kanada&&&Tamura&HITACHI&S-820/80&201,326,551&&1989&5&Chudnovskys&CRAY-2&&&IBM-3090/VF&480,000,000&&1989&6&Chudnovskys&IBM&,270&&1989&7&Kanada&&&Tamura&HITACHI&S-820/80&536,870,898&&1989&8&Chudnovskys&IBM&,196,691&&1989&11&Kanada&&&Tamura&HITACHI&S-820/80&1,073,741,799&&1991&8&Chudnovskys&2,260,000,000&&1994&5&Chudnovskys&4,044,000,000&&1995&8&Takahashi&&&Kanada&HITACHI&S-,294,967,286&&1995&10&Takahashi&&&Kanada&6,442,450,938&&1997&7&Takahashi&&&Kanada&51,539,600,000&&1999&4&Takahashi&&&Kanada&68,719,470,000&&1999&9&Takahashi&&&Kanada&HITACHI&SR,430,000&&2002&Takahashi&Team&1,241,100,000,000编辑本段【圆周率的最新计算纪录】&&1、新世界纪录&&&圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的队伍所创造。他们于2002年算出&值1,241,100,000,000&位小数，这一结果打破了他们于日创造的206,000,000,000位小数的世界纪录。&&2、个人计算圆周率的世界纪录&&在一个现场解说验证活动中，一名59岁日本老人Akira&Haraguchi将圆周率&算到了小数点后的83431位，这名孜孜不倦的59岁老人向观众讲解了长达13个小时，最终获得认同。这一纪录已经被收入了Guinness世界大全中。据报道，此前的纪录是由一名日本学生于1995年计算出的，当时的精度是小数点后的42000位。&&【一些有趣的数字序列在&小数点后出现的位置】数字序列&出现的位置&&&26,852,899,245&41,952,536,161&99,972,955,571&102,081,851,717&171,257,652,369&&&53,217,681,704&148,425,641,592&&&149,589,314,822&&&197,954,994,289&&&123,040,860,473&133,601,569,485&150,339,161,883&183,859,550,237&&&42,321,758,803&57,402,068,394&83,358,197,954&&&89,634,825,550&137,803,268,208&152,752,201,245&&&45,111,908,393编辑本段【PC机上的计算】&&1、PiFast&&目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率，还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用磁盘缓存，突破物理内存的限制进行超高精度的计算，最高计算位数可达240亿位，并提供基于Fabrice&Bellard公式的验算功能。&&2、PC机上的最高计算记录&&最高记录：12,884,901,372位&&时间：日&&记录创造者：Shigeru&Kondo&&所用程序：PiFast&ver3.3&&机器配置：Pentium&III&1G,&1792M&RAM，WindowsNT4.0，40GBx2(IDE,FastTrak66)&&计算时间：1,884,375秒&(21.333333天)&&验算时间：29小时编辑本段【圆周率小数点后21500位】&
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502 Bad Gateway初中数学课上，我们把一元二次方程的解分为三种情况：有两个不同的解、有两个相同的解、无解。&br&&br&具体来说，我们推导出了求根公式：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm+%5Csqrt%7Bb%5E2-4ac%7D+%7D%7B2a%7D+& alt=&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} & eeimg=&1&&&br&&br&求根公式中根号的存在正是出现『无解』情况的原因：当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b%5E2-4ac%3C0& alt=&b^2-4ac&0& eeimg=&1&&时，根号下是负数，（在实数域内）无法计算，所以方程无解。&br&&br&十六世纪的人们也是这么想的。对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E2%2B1%3D0& alt=&x^2+1=0& eeimg=&1&&这样的方程，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&x=\sqrt{-1}& eeimg=&1&&在当时的人们眼中就是&b&方程无解的标识&/b&，因为对负数开根号没有数学意义。&br&&br&那三次方程是什么情况呢？&br&&br&十六世纪意大利数学家Tartaglia给出了形如&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E3%3Dpx%2Bq& alt=&x^3=px+q& eeimg=&1&&的三次方程的公式（然而人们却称之为Cardano公式，他俩也因此结怨）：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%2B%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2-%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D++%7D+%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D-%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%29%5E2-%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%29%5E3%7D++%7D+& alt=&x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2-(\frac{p}{3})^3}
} +\sqrt[3]{\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2-(\frac{p}{3})^3}
} & eeimg=&1&&&br&&br&（推导过程以及一般形式的解见Wikipedia：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E4%25B8%%25AC%25A1%25E6%%25E7%25A8%258B& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&三次方程&/a&）&br&&br&于是，方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E3%3D15x%2B4& alt=&x^3=15x+4& eeimg=&1&&的解就是：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B%5Csqrt%7B2%5E2-5%5E3%7D++%7D+%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B2-%5Csqrt%7B2%5E2-5%5E3%7D++%7D+%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B11i%7D%2B+%5Csqrt%5B3%5D%7B2-11i%7D& alt=&x=\sqrt[3]{2+\sqrt{2^2-5^3}
} +\sqrt[3]{2-\sqrt{2^2-5^3}
} =\sqrt[3]{2+11i}+ \sqrt[3]{2-11i}& eeimg=&1&&&br&&br&按照之前的想法，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i%3D%5Csqrt%7B-1%7D& alt=&i=\sqrt{-1}& eeimg=&1&&根本没有意义，所以意味着方程无解。可是……&br&&br&可是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D4& alt=&x=4& eeimg=&1&&就满足这个方程呀！那&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B11i%7D%2B+%5Csqrt%5B3%5D%7B2-11i%7D& alt=&\sqrt[3]{2+11i}+ \sqrt[3]{2-11i}& eeimg=&1&&又是什么情况？&br&&br&1572年，意大利数学家Bombelli做了一个尝试——如果把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&当作一个平方是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=-1& alt=&-1& eeimg=&1&&的数来计算，我们就有：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%282%2Bi%29%5E3%3D2%2B11i%2C%7E%282-i%29%5E3%3D2-11i& alt=&(2+i)^3=2+11i,~(2-i)^3=2-11i& eeimg=&1&&&br&&br&于是，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csqrt%5B3%5D%7B2%2B11i%7D%2B+%5Csqrt%5B3%5D%7B2-11i%7D%3D%282%2Bi%29%2B%282-i%29%3D4& alt=&\sqrt[3]{2+11i}+ \sqrt[3]{2-11i}=(2+i)+(2-i)=4& eeimg=&1&&. &br&&br&问题解决啦！&br&&br&不过话说回来，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&参与运算之后这个问题得到了解决，所以我们再不认真对待它真是说不过去了。&br&&br&然而复数直到十九世纪才被严格定义，这归功于爱尔兰数学家Hamilton。&br&&br&Hamilton把复数定义为有序实数对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=z%3D%28a%2Cb%29%5Cin+%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&z=(a,b)\in \mathbb{R}^2& eeimg=&1&&，并把复数的加法与乘法定义为：&br&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28a_1%2Cb_1%29%2B%28a_2%2Cb_2%29%3D%28a_1%2Ba_2%2Cb_1%2Bb_2%29& alt=&(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)& eeimg=&1&&&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28a_1%2Cb_1%29%28a_2%2Cb_2%29%3D%28a_1a_2-b_1b_2%2Ca_1b_2%2Bb_1a_2%29& alt=&(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+b_1a_2)& eeimg=&1&&&br&&br&如此定义的动机就是之前我们把复数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28a%2Cb%29& alt=&(a,b)& eeimg=&1&&写成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Bib& alt=&a+ib& eeimg=&1&&时的计算。&br&&br&定义了复数之后，Hamilton就把目光转向了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D%5En& alt=&\mathbb{R}^n& eeimg=&1&&，试图把复数继续推广到高维空间当中。&br&&br&于是，Hamilton开始试图构造『三元数』。&b&十三年&/b&之后，他承认了自己的失败。&br&&br&为了挽救自己这么多年的努力，他开始尝试『四元数』。日，他成功了。（关于四元数的介绍请看：&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&为什么实际旋转角度是四元数里面的角度的两倍?有什么数学上的原因吗? - 匡世珉的回答&/a&）&br&&br&同年12月，Hamilton的好朋友Graves构造出了八元数。当然，这些就是另外的故事了。&br&&br&那么就这样=w=
初中数学课上，我们把一元二次方程的解分为三种情况：有两个不同的解、有两个相同的解、无解。 具体来说，我们推导出了求根公式： x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} 求根公式中根号的存在正是出现『无解』情况的原因：当b^2-4ac&0时，根号下是负数，（在…
谢谢题主把这个有意义的问题提出来，我认为题主问的是为什么对初等函数积分比微分要难的问题。这是一个我一直想弄明白的问题，于是借这个机会读了几篇文章，下面是一点见解：&br&1. 做初等函数微分的时候我们在做什么：&br&这一段是我自己教课的时候意识到的一点理解，虽然也许是很多人的常识，不过仍然值得简单介绍一下。&br&回想我们在求一个函数微分的解析表达式的时候，参考的是如下的规则：&br&&ul&&li&幂函数（主要是多项式和求方根）、指数函数（包括三角函数）、对数函数的导数公式表；&/li&&li&函数加法、乘法、除法求导的法则（写的方式非常奇怪，但是很有必要，ADD(a,b)意思是a+b，MULT(a,b)意思是a*b，SQRT意思是平方根，以此类推）：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BADD%7D%28f%2Cg%29%27%3D%5Cmathrm%7BADD%7D%28f%27%2Cg%27%29& alt=&\mathrm{ADD}(f,g)'=\mathrm{ADD}(f',g')& eeimg=&1&&, &br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BMULT%7D%28f%2Cg%29%27%3D%5Cmathrm%7BMULT%7D%28f%27%2Cg%29%2B%5Cmathrm%7BMULT%7D%28f%2Cg%27%29& alt=&\mathrm{MULT}(f,g)'=\mathrm{MULT}(f',g)+\mathrm{MULT}(f,g')& eeimg=&1&&, &br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BDIV%7D%28f%2Cg%29%27%3D%5Cmathrm%7BDIV%7D%28%5Cmathrm%7BMULT%7D%28f%27%2Cg%29-%5Cmathrm%7BMULT%7D%28f%2Cg%27%29%2C+%5Cmathrm%7BSQR%7D%28g%29%29& alt=&\mathrm{DIV}(f,g)'=\mathrm{DIV}(\mathrm{MULT}(f',g)-\mathrm{MULT}(f,g'), \mathrm{SQR}(g))& eeimg=&1&&&/li&&li&链式法则：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbf%7BOUT%7D%28%5Cmathbf%7BIN%7D%28x%29%29%27%3D%5Cmathbf%7BOUT%27%7D%28%5Cmathbf%7BIN%7D%28x%29%29+%5Cmathbf%7BIN%27%7D%28x%29& alt=&\mathbf{OUT}(\mathbf{IN}(x))'=\mathbf{OUT'}(\mathbf{IN}(x)) \mathbf{IN'}(x)& eeimg=&1&&&/li&&/ul&导数公式表里面大致说来只有方根、多项式、指数函数和对数函数，所以通常我们所说的初等函数即是把这三种函数用加法、乘除法，以及函数的复合，像俄罗斯套娃一样组合成一个复杂的函数。比如：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Csqrt%7B%5Csin%287x%2B%5Cln%285x%29%29%7D& alt=&f(x)=\sqrt{\sin(7x+\ln(5x))}& eeimg=&1&&&br&这个函数的构成方式可以理解成：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cmathrm%7BSQRT%7D%5Ccdot%5Csin%5Ccdot%5Cmathrm%7BADD%7D%287x%2C+%5Cln%5Ccdot%285x%29%29& alt=&f(x)=\mathrm{SQRT}\cdot\sin\cdot\mathrm{ADD}(7x, \ln\cdot(5x))& eeimg=&1&&&br&像剥洋葱一样把这个函数层层剥开，这里面递归的味道就很浓了。如果想要求这个函数的导数，那么第一步是严格按照我上面写的古怪格式，用链式法则对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BSQRT%7D& alt=&\mathrm{SQRT}& eeimg=&1&&求导，得到&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BMULT%7D%28%5Cmathrm%7BSQRT%7D%27%28%5Cmathrm%7BIN_1%28x%29%7D%29%2C+%5Cmathrm%7BIN_1%27%28x%29%7D%29& alt=&\mathrm{MULT}(\mathrm{SQRT}'(\mathrm{IN_1(x)}), \mathrm{IN_1'(x)})& eeimg=&1&&&br&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BIN_1%28x%29%7D%3D%5Csin%5Ccdot%5Cmathrm%7BADD%7D%287x%2C+%5Cln%5Ccdot%285x%29%29& alt=&\mathrm{IN_1(x)}=\sin\cdot\mathrm{ADD}(7x, \ln\cdot(5x))& eeimg=&1&&。第一步完成之后SQRT的导数查表就可以得到；而&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BIN_1%28x%29%7D& alt=&\mathrm{IN_1(x)}& eeimg=&1&&的导数用同样的方法，&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BIN_1%27%28x%29%7D%3D%5Cmathrm%7BMULT%7D%28%5Cmathrm%7Bsin%7D%27%28%5Cmathrm%7BIN_2%28x%29%7D%29%2C+%5Cmathrm%7BIN_2%27%28x%29%7D%29& alt=&\mathrm{IN_1'(x)}=\mathrm{MULT}(\mathrm{sin}'(\mathrm{IN_2(x)}), \mathrm{IN_2'(x)})& eeimg=&1&&, 其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BIN_2%28x%29%7D%3D%5Cmathrm%7BADD%7D%287x%2C+%5Cln%5Ccdot%285x%29%29& alt=&\mathrm{IN_2(x)}=\mathrm{ADD}(7x, \ln\cdot(5x))& eeimg=&1&&。接下来再重复上面的剥洋葱－使用法则－查表过程，将计算逐渐向深层进行，最后把所有的计算结果收集到一起，于是就得到了f的导数。&br&以上过程总结起来主要有以下三点值得注意的地方：&br&&ul&&li&一个初等函数的导数仍然是初等函数&/li&&li&求导过程与具体待求导的函数毫无关系：也就是说，我们可以编写一个统一的程序来解决所有初等函数的求导问题。&/li&&li&以上程序仅仅是一个机械的递归过程&/li&&/ul&但是以上这三个现象，在积分的问题中都是不存在的。&br&&br&2. 第一个困难：初等函数的不定积分（原函数）通常不是初等函数&br&一般来说，如果一个初等函数有一个不定积分也是某种形式的初等函数，这会对它本身的形式带来非常大的限制。比如：&br&&ul&&li&观察到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28f+e%5Eg%29%27%3Df%28%5Cfrac%7Bf%27%7D%7Bf%7D%2Bg%27%29e%5Eg& alt=&(f e^g)'=f(\frac{f'}{f}+g')e^g& eeimg=&1&&，也就是说如果一个函数的原函数由因子&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5Eg& alt=&e^g& eeimg=&1&&构成，那么它必须由&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%5Cln+f%29%27%2Bg%27& alt=&(\ln f)'+g'& eeimg=&1&&, &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5Eg& alt=&e^g& eeimg=&1&&三个因子构成。这是个比较强的条件，因为第一个和第三个因子可以完全决定第二个因子。&br&&/li&&li&观察到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28f+%28%5Cln+g%29%5En%29%27%3Df%27+%28%5Cln+g%29%5En%2Bf+n%5Cfrac%7Bg%27%7D%7Bg%7D%28%5Cln+g%29%5E%7Bn-1%7D& alt=&(f (\ln g)^n)'=f' (\ln g)^n+f n\frac{g'}{g}(\ln g)^{n-1}& eeimg=&1&&，也就是说，如果一个函数的原函数是右边的形状，那么它必须有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln+g& alt=&\ln g& eeimg=&1&&的n次和n-1次方同时出现。&br&&/li&&/ul&&br&诸如此类现象，我们做分部积分或者变量替换的时候多多少少都有点感觉，但是实际上归纳起来并不是很容易。严格的描述需要使用 域扩张 之类的代数语言，但是一个粗略的描述倒也是可能的：&br&在研究微分操作的代数中，把上面观察到的现象描述为一个Liouville定理：&br&如果f是某一个在某个&i&微分域 K&/i&里的初等函数，假如我们允许f表达式中的“数字”是复数（这个并不是一个特别重要的要求），而且它有一个也是初等函数的不定积分g，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%27%3Df& alt=&g'=f& eeimg=&1&&，g可能比f要更为“复杂”，即g在&i&K&/i&的某个添加了&i&K&/i&中函数的求根、对数、指数运算的&i&扩域 E中&/i&。那么f可以写成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3Dv%27%2B%5Csum%5En+c_i%5Cfrac%7Bu_i%27%7D%7Bu_i%7D& alt=&f=v'+\sum^n c_i\frac{u_i'}{u_i}& eeimg=&1&&的形式, 其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c_i& alt=&c_i& eeimg=&1&&是数，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%2C+u_i& alt=&v, u_i& eeimg=&1&&是某些在&i&K&/i&中的初等函数。&br&&br&举两个非常经典的例子来说明如何使用这个定理（为了可读性牺牲了一些严谨，并且一定有计算错误，请指正）：&br&&ul&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3De%5E%7Bx%5E2%7D& alt=&f(x)=e^{x^2}& eeimg=&1&&，我们想要说明他不存在一个初等的不定积分。（证明预警）&br&&br&我们可以看到&i&f&/i&属于微分域&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%28x%2Ce%5E%7Bx%5E2%7D%29& alt=&\mathbb{C}(x,e^{x^2})& eeimg=&1&&中，那么我们可以把f写成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3Dv%27%2B%5Csum%5En+c_i%5Cfrac%7Bu_i%27%7D%7Bu_i%7D& alt=&f=v'+\sum^n c_i\frac{u_i'}{u_i}& eeimg=&1&&，其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%2C+u_i& alt=&v, u_i& eeimg=&1&&在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%28x%2Ce%5E%7Bx%5E2%7D%29& alt=&\mathbb{C}(x,e^{x^2})& eeimg=&1&&中的初等函数。它们的一般形式是&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BA_0%28x%29%2BA_1%28x%29e%5E%7Bx%5E2%7D%2B%5Cldots%2BA_m%28x%29e%5E%7Bmx%5E2%7D%7D%7BB_0%28x%29%2BB_1%28x%29e%5E%7Bx%5E2%7D%2B%5Cldots%2BB_n%28x%29e%5E%7Bnx%5E2%7D%7D& alt=&\frac{A_0(x)+A_1(x)e^{x^2}+\ldots+A_m(x)e^{mx^2}}{B_0(x)+B_1(x)e^{x^2}+\ldots+B_n(x)e^{nx^2}}& eeimg=&1&&&br&其中所有的A和B都是关于x的有理函数，每一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bu_i%27%7D%7Bu_i%7D& alt=&\frac{u_i'}{u_i}& eeimg=&1&&的形式将会是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csum+%28A_k%27%2B2kxA_k%29e%5E%7Bkx%5E2%7D%7D%7B%5Csum+A_ke%5E%7Bkx%5E2%7D%7D& alt=&\frac{\sum (A_k'+2kxA_k)e^{kx^2}}{\sum A_ke^{kx^2}}& eeimg=&1&&。把它们写在一起，比较各项的次数（&b&注意！注意！&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bx%5E2%7D& alt=&e^{x^2}& eeimg=&1&&代数无关&/b&），惟一可能存在的是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bx%5E2%7D& alt=&e^{x^2}& eeimg=&1&&项。于是存在某个有理函数&i&A，&/i&使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3D%28A%27%2B2xA%29e%5E%7Bx%5E2%7D& alt=&f=(A'+2xA)e^{x^2}& eeimg=&1&&，这说明&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27%2B2xA%3D1& alt=&A'+2xA=1& eeimg=&1&&。但是如果把A写成既约分式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bp%28x%29%7D%7Bq%28x%29%7D& alt=&\frac{p(x)}{q(x)}& eeimg=&1&&，就有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=qp%27-pq%27%2B2xq%3Dq& alt=&qp'-pq'+2xq=q& eeimg=&1&&，于是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&能整除&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q%27& alt=&q'& eeimg=&1&&，从而&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&是常数。但是如果我们比较p的最高次项，会意识到从来不会有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&能让&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p%27%2B2xp& alt=&p'+2xp& eeimg=&1&&是常数。所以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3De%5E%7Bx%5E2%7D& alt=&f(x)=e^{x^2}& eeimg=&1&&不存在初等不定积分。&br&&br&&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{\sin x}{x}& eeimg=&1&&，我们可以把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&\frac{\sin x}{x}& eeimg=&1&&表达成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Be%5E%7Bix%7D-e%5E%7B-ix%7D%7D%7B2ix%7D& alt=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}& eeimg=&1&&，做一个变量替换让&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t%3De%5E%7Bix%7D& alt=&t=e^{ix}& eeimg=&1&&，于是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%3D%5Cfrac%7Bt%5E2-1%7D%7Btx%7D& alt=&f=\frac{t^2-1}{tx}& eeimg=&1&&（扔掉了那个无所谓的2i）。这里f是位于域&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathbb%7BC%7D%28t%2Cx%29& alt=&\mathbb{C}(t,x)& eeimg=&1&&中。假如f有一个初等的不定积分，用跟上面的例子完全类似的方法，我们可以看到每一个&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bu_i%27%7D%7Bu_i%7D& alt=&\frac{u_i'}{u_i}& eeimg=&1&&的形式将会是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Csum+%28A_k%27t%2BkA_k%29t%5E%7Bk-1%7D%7D%7B%5Csum+A_kt%5Ek%7D& alt=&\frac{\sum (A_k't+kA_k)t^{k-1}}{\sum A_kt^k}& eeimg=&1&&，然后比较分子分母次数，得到惟一可能的形式是：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7Bt%7D& alt=&\frac{1}{t}& eeimg=&1&&&br&而&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&惟一可能的分母也是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&&。如果&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Csum_%7B-1%7D+B_kt%5Ek& alt=&v=\sum_{-1} B_kt^k& eeimg=&1&&，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%27%3D%5Csum_%7B-1%7D%28B_k%27t%2BB_k%29t%5E%7Bk-1%7D& alt=&v'=\sum_{-1}(B_k't+B_k)t^{k-1}& eeimg=&1&&。展开最初几项：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%27%3D%5Cfrac%7BB_%7B-1%7D%27%7D%7Bt%7D%2BB_%7B-1%7Dt%5E%7B-2%7D%2BB_%7B0%7D%27%2B%5Cfrac%7BB_0%7D%7Bt%7D%2BB_1%27t%2BB_1%2BB%27_2t%5E2%2BB_2t%2B%5Cldots& alt=&v'=\frac{B_{-1}'}{t}+B_{-1}t^{-2}+B_{0}'+\frac{B_0}{t}+B_1't+B_1+B'_2t^2+B_2t+\ldots& eeimg=&1&&&br&可以发现无论如何，都是无法选择合适的B系数，让右边和左边相等的。所以&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D& alt=&f(x)=\frac{\sin x}{x}& eeimg=&1&&不存在一个初等函数的不定积分。&/li&&/ul&&br&3. 第二个困难：求函数的不定积分与具体的函数有关&br&限于篇幅，在这里仅仅简单提一两句。其他的回答都有说明，很多时候，即使某个被积函数的某种代数性质会带来它的某个不定积分的某些性质，比如说：&br&第一类椭圆积分的加法公式：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5Eu%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%281-x%5E2%29%281-k%5E2x%5E2%29%7D%7D%2B%5Cint_0%5Ev%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%281-x%5E2%29%281-k%5E2x%5E2%29%7D%7D%3D%5Cint_0%5E%7BT%28u%2Cv%29%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%281-x%5E2%29%281-k%5E2x%5E2%29%7D%7D& alt=&\int_0^u\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}+\int_0^v\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=\int_0^{T(u,v)}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}& eeimg=&1&&&br&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28u%2Cv%29%3D%5Cfrac%7Bu%5Csqrt%7B%281-v%5E2%29%281-k%5E2v%5E2%29%7D%2Bv%5Csqrt%7B%281-u%5E2%29%281-k%5E2u%5E2%29%7D%7D%7B1-k%5E2u%5E2v%5E2%7D& alt=&T(u,v)=\frac{u\sqrt{(1-v^2)(1-k^2v^2)}+v\sqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}{1-k^2u^2v^2}& eeimg=&1&&&br&这个古怪的公式如果按照现在的观点来看，是由于和它被积函数有关的代数曲线&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%5E2%3D%281-x%5E2%29%281-k%5E2x%5E2%29& alt=&y^2=(1-x^2)(1-k^2x^2)& eeimg=&1&&的几何结构造成的。由此观之，积分在很多情况下，是远比求导深刻得多的一个问题。&br&&br&4. 第四个困难：某些问题在算法上的不可判定性&br&这个问题看起来很简单，但是实际上可能非常复杂。比如，我有一个初等函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7Bx%7D%2B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%7B3%5Csqrt%7Bx%7D%7D-1& alt=&\frac{2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{3\sqrt{x}}-1& eeimg=&1&&，初中生应该都知道它大多数情况下等于0（就当作它是恒为0好了）。但是如果我有一个复杂的初等函数表达式，它是否恒为0是一个很难判断的问题。有一个Richardson定理，大致说，如果用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%2C+%5Clog+2%2C+%5Cpi%2C+e%5Ex%2C+%5Csin+x%2C+%7Cx%7C& alt=&x, \log 2, \pi, e^x, \sin x, |x|& eeimg=&1&&以及全部有理数通过加减乘除和函数复合构成的一个函数，是不存在一个算法来判定它是否恒为0的。以下有两个道听途说的事情不知是否正确：&br&&ul&&li&据说它与希尔伯特第10问题有关？&br&&/li&&li&据说如果去掉绝对值函数，这个问题是未解决的？&/li&&/ul&&br&参考文献：&br&Bronstein, Manuel: Symbolic Integration I &i&Transcendental Functions&/i&&br&Risch, Robert H.: THE PROBLEM OF INTEGRATION IN FINITE TERMS&br&Rosenlicht, Maxwell: Integration in Finite Terms
谢谢题主把这个有意义的问题提出来，我认为题主问的是为什么对初等函数积分比微分要难的问题。这是一个我一直想弄明白的问题，于是借这个机会读了几篇文章，下面是一点见解： 1. 做初等函数微分的时候我们在做什么： 这一段是我自己教课的时候意识到的一点…
首先，我们不妨把题目理解为，数列中为连续n项n的列举，即数列的第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%28n-1%29n%7D%7B2%7D%2B1& alt=&\frac{(n-1)n}{2}+1& eeimg=&1&&项到第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&项都是n，这样更符合大多数人的认知。&br&我们可以考虑将第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%28n-1%29n%7D%7B2%7D%2B1& alt=&\frac{(n-1)n}{2}+1& eeimg=&1&&项找出一个单调递增的函数（二次函数的反函数）插值，然后第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%28n-1%29n%7D%7B2%7D%2B2& alt=&\frac{(n-1)n}{2}+2& eeimg=&1&&项到第&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bn%28n%2B1%29%7D%7B2%7D& alt=&\frac{n(n+1)}{2}& eeimg=&1&&项就必然介于n和n+1之间，故可以用高斯函数来解决。&br&求出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28n%29%3D%5Cfrac%7B%28n-1%29n%7D%7B2%7D%2B1& alt=&f(n)=\frac{(n-1)n}{2}+1& eeimg=&1&&在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%5Cgeq%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&n\geq\frac{1}{2}& eeimg=&1&&的反函数，用初中学过的求根公式即可：&br&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%7B-1%7D%28m%29%3D%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8m-7%7D%7D%7B2%7D& alt=&f^{-1}(m)=\frac{1+\sqrt{8m-7}}{2}& eeimg=&1&&&br&故数列通项公式为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_m%3D%5Clfloor%5Cfrac%7B1%2B%5Csqrt%7B8m-7%7D%7D%7B2%7D%5Crfloor& alt=&a_m=\lfloor\frac{1+\sqrt{8m-7}}{2}\rfloor& eeimg=&1&&。&br&在excel上试一下：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/66c4f98e933b5fc10bec3_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&734& class=&content_image& width=&300&&&/figure&看起来是没问题的。
首先，我们不妨把题目理解为，数列中为连续n项n的列举，即数列的第\frac{(n-1)n}{2}+1项到第\frac{n(n+1)}{2}项都是n，这样更符合大多数人的认知。 我们可以考虑将第\frac{(n-1)n}{2}+1项找出一个单调递增的函数（二次函数的反函数）插值，然后第\frac{(n-1…
Chern-Simons 这个名词涉及的领域繁多。我能接触到的内容大致隶属于（超对称）场论；它的其他方面性质就不是很清楚了；多次听说在拓扑绝缘体中有重要应用，但是一直苦于太懒没翻看过任何一本文献。&br&&br&### Chern-Simons&br&1) 陈省身教授和 James Simons 教授的传世工作。谣传当年二人之一并不想发表这个相关文章，觉得无聊，另一人坚持投稿，结果业界叫好又叫座。&br&2) Simons 曾经是 SB 大学的数学系院长；后弃学从商，到华尔街开了著名的文艺复兴对冲基金公司。一直对学术界捐资建设（比如扶植 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//arxiv.org& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&，每年举办数学物理趴体月 Simons workshop）。但同时也怂恿数学家和物理学家去下海。&br&&br&### Chern-Simons 项本身&br&1) &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CS%28A%29& alt=&CS(A)& eeimg=&1&& 的外微分为 Chern character；后者是一类特殊的示性类。当考虑更一般的示性类&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&时，可以考虑 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=P+%3D+dQ& alt=&P = dQ& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&&俗称 &b&Transgression&/b&。Chern-Simons 项只是一族特殊的 Transgression 而已&br&2) &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CS%28A%29& alt=&CS(A)& eeimg=&1&& 在规范变换下会改变，不像示性类。其在闭合流形积分自然也是规范可变的，但是变化差整数的若干倍&br&3) 当流形有边界，那么情况更糟。要想在规范变换下仍有类似 2) 的良好性质，需要添加 2d 边界上的项（在场论中对应 2维边界上的 WZW 模型）&br&4) 最常见的 Chern-Simons 项是 3维的那个&br&&br&### 3d &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=SU%28N_c%29& alt=&SU(N_c)& eeimg=&1&& Chern-Simons 理论&br&0) Chern-Simons 理论要自洽，要求整个作用量在规范变换下只变化整数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2+%5Cpi+N& alt=&2 \pi N& eeimg=&1&&，因此 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CS%28A%29& alt=&CS(A)& eeimg=&1&& 系数（俗称 &b&CS level&/b&）很讲究：通常是整数；但当有费米子时，会要求是半整数，因为费米子的量子效应会偷偷篡改 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=CS%28A%29& alt=&CS(A)& eeimg=&1&&的 CS level，而修改量是半整数。&br&&br&1) 在3维的 Chern-Simons 理论中 Wilson loop(s) 的真空平均值给出相应的扭结、链结不变多项式。Witten 最早为“规范群为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=SU%282%29& alt=&SU(2)& eeimg=&1&&，Wilson loops 属于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=SU%282%29& alt=&SU(2)& eeimg=&1&&基本表示”的情况给出这个结果。现在这方面已经发展到天上去了。&br&&br&2) 3 维球面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%5E3& alt=&S^3& eeimg=&1&&、&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%5E2+%5Ctimes+S%5E1& alt=&S^2 \times S^1& eeimg=&1&&上 (supsersymmetric) Chern-Simons-matter 理论的配分函数已经通过 &b&Localization&/b& 严格算出来（结果写成一个亚纯函数的多重实积分，或者一个无穷级数），并证明可以因式分解为两个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%5E1+%5Ctimes+%5Cmathbb%7BR%7D%5E2& alt=&S^1 \times \mathbb{R}^2& eeimg=&1&& 上的&b&涡旋配分函数&/b&的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=SL%282%2C+%5Cmathbb%7BZ%7D%29& alt=&SL(2, \mathbb{Z})& eeimg=&1&&乘积。&br&&br&3) 闭合三维流形&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上的 Chern-Simons 理论的自由能可以写成一个二重无穷级数（关于 CS level 以及 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=N_c& alt=&N_c& eeimg=&1&&）。每一项的系数刚好对应到 &b&Topological A model&/b& 的配分函数：&br&3a) 这个 A-model 的 source manifold 是个亏格为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&&，带 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&个洞的二维曲面 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma_%7Bg%2C+h%7D& alt=&\Sigma_{g, h}& eeimg=&1&&&br&3b) 这个 A-model 的 target manifold 是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 的余切丛 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%5E%2AM& alt=&T^*M& eeimg=&1&&（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%5E%2AM& alt=&T^*M& eeimg=&1&&是一个 Calabi-Yau 流形）&br&3c) &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&& 本身是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%5E%2AM& alt=&T^*M& eeimg=&1&&的一类特别的子流形；强制要求&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CSigma_%7Bg%2C+h%7D& alt=&\Sigma_{g, h}& eeimg=&1&&的所有洞都必须落在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上&br&3d) 遵循上面这奇怪设定的 A-model 有它自己的配分函数；这个配分函数作为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g& alt=&g& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h& alt=&h& eeimg=&1&&的函数刚好等于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&上的 Chern-Simons 理论的自由能的每一项。&br&&br&4) Chern-Simons 作用量可以超对称化，并且新增加的费米子都是辅助场，没有动能项。在3维超对称 Localization 工业中，Chern-Simons 作用量是用得最多的作用量，因为 Yang-Mills 和 Chiral kinetic 作用量都是 Q-exact 的（即相当于0），而 Chern-Simons 作用量则是实打实的作用量。
Chern-Simons 这个名词涉及的领域繁多。我能接触到的内容大致隶属于（超对称）场论；它的其他方面性质就不是很清楚了；多次听说在拓扑绝缘体中有重要应用，但是一直苦于太懒没翻看过任何一本文献。 ### Chern-Simons 1) 陈省身教授和 James Simons 教授的传…
布劳威尔不动点定理&br&&br&布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理&br&&br&&br&柯朗《什么是数学》里的相关处截图&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/758dfdda1accb51a7a2e50e9d5e12274_b.jpg& data-rawheight=&1800& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/758dfdda1accb51a7a2e50e9d5e12274_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/fbdd7d609b9ce80f239062_b.jpg& data-rawheight=&1800& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/fbdd7d609b9ce80f239062_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/ffb99cdb0dfaaa05ac8554_b.jpg& data-rawheight=&1800& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/ffb99cdb0dfaaa05ac8554_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/fbdd41da0d525f178be95_b.jpg& data-rawheight=&1800& data-rawwidth=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/fbdd41da0d525f178be95_r.jpg&&&/figure&
布劳威尔不动点定理 布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前…
&p&&b&&u&这是一个巨大的宝藏。&/u&&/b&&/p&&p&[证明相当一部分内容在&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//paramanands.blogspot.com/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&paramanands.blogspot.com&/span&&span class=&invisible&&/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&，其实就是Borwein兄弟的证明，Ramanujan给出了公式但没有详细证明]&/p&&p&[补注: n=37和n=58均得到不同于Borwein兄弟的证明。[移除图片]读者可翻阅Ramanujan的笔记 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.math.tifr.res.in/%7Epubl/nsrBook3.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.tifr.res.in/~publ/&/span&&span class=&invisible&&nsrBook3.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& 最后一页。]&/p&&p&&br&&/p&&p&Ramanujan1914年的论文&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&ramanujan.sirinudi.org/&/span&&span class=&invisible&&Volumes/published/ram06.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&中对于这个等式的说明实在太短，估计referee们看着也很抓狂。他本人的思路已经不可考，下面的答案2/3(就篇幅而言)是Borwein兄弟给出的解答。&/p&&p&[ 注: Hardy 在写给Ramanujan的悼词中提到了Ramanujan刚到英国时写的一些paper。Hardy列出了其中他认为非常重要的几篇，Ramanujan这篇文章正在Hardy的列表之中。这篇文章虽然是在英国发表的，但是内容早在Ramanujan来到英国之前就已经完成。]&/p&&hr&&hr&&p&&br&&/p&&p&&i&It took them only an instant to cut off this head, and one hundred years might not suffice to reproduce its like.(Lagrange)&/i&&br&&b&&i&PART A &/i&符号推演部分&/b&&/p&&p&&b&1.&/b& 依照 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//dlmf.nist.gov/15.8%23iii& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&DLMF: §15.8 Transformations of Variable&/a& 中给出的(15.8.15)(15.8.18)以及&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Clausen%2527s_formula& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Clausen's formula&/a&，可以得到下面这个复杂的式子：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28%7B1%2Bk%5E2%7D%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%3D%7B%7D_3+F_2%5Cleft%28%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2F4%26+3%2F4%26+1%2F2%5C%5C1%26+1%5Cend%7Bmatrix%7D%3B%5Cfrac%7B16k%5E2%281-k%5E2%29%5E2%7D%7B%281%2Bk%5E2%29%5E4%7D%5Cright%29& alt=&({1+k^2})\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2={}_3 F_2\left(\begin{matrix}1/4& 3/4& 1/2\\1& 1\end{matrix};\frac{16k^2(1-k^2)^2}{(1+k^2)^4}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&&与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=_3F_2& alt=&_3F_2& eeimg=&1&&分别代表的是&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&第一类完全椭圆积分&/a&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B1-k%5E2%5Csin%5E2%7B%5Ctheta%7D%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta& alt=&\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,\mathrm{d}\theta& eeimg=&1&&&/p&&p&和&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Generalized_hypergeometric_function& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&广义超几何函数&/a&。注意这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=0%5Cleq+k%5Cleq%5Csqrt%7B2%7D-1& alt=&0\leq k\leq\sqrt{2}-1& eeimg=&1&&。&/p&&p&[,
补注: 上面的式子有着对应的代数几何的解释。等式右边的广义超几何函数，是K3曲面&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_0%5E4%2Bx_1%5E4%2Bx_2%5E4%2Bx_3%5E4%3D4%5Clambda%5E%7B-1%7Dx_0x_1x_2x_3& alt=&x_0^4+x_1^4+x_2^4+x_3^4=4\lambda^{-1}x_0x_1x_2x_3& eeimg=&1&& 对应的Picard-Fuchs方程的解。这一类曲面&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5En%7Bx_k%5En%7D%3Dn%5Clambda%5Cprod_%7Bk%3D1%7D%5En%7Bx_k%7D& alt=&\sum_{k=1}^n{x_k^n}=n\lambda\prod_{k=1}^n{x_k}& eeimg=&1&&&/p&&p&的具体研究首先是由&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Bernard_Dwork& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Bernard Dwork&/a&开展的，近几十年它们又成为数学好几个分支的重要研究对象。]&/p&&p&记&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=K%5E%7B%5Cprime%7D%28k%29%3DK%28k%5E%5Cprime%29%2C+%28k%5E%5Cprime%29%5E2%2Bk%5E2%3D1& alt=&K^{\prime}(k)=K(k^\prime), (k^\prime)^2+k^2=1& eeimg=&1&&备用。&/p&&p&&b&2.&/b& Ramanujan本人的出发点就是上面这个等式。等式左边的椭圆积分可以说吸引了十九世纪从高斯到黎曼等最著名数学家的注意，可以说，椭圆积分以及与其关联的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&-函数衍生出了一片公式之海。在Felix Klein等人还是学生的时候，这类函数研究的热度大约相当于今日代数几何的热度吧。&/p&&p&&b&3.&/b& 从广义超几何函数的级数表示，可以得到椭圆积分平方的级数展开：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%3Da%28k%29%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_nc%5En%28k%29& alt=&\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2=a(k)\sum_{n=0}^{\infty}b_nc^n(k)& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%28k%29%2C+c%28k%29& alt=&a(k), c(k)& eeimg=&1&&都是关于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&的有理函数。&/p&&p&&b&4.&/b& 下面的内容就进入&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数的范畴了。依照传统记号，定义几个函数：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D%5Cbegin%7Bsplit%7D%26%5Ctheta_2%28q%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dq%5E%7B%28n%2B1%2F2%29%5E2%7D%5C%5C+%26%5Ctheta_3%28q%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7Dq%5E%7Bn%5E2%7D%5C%5C%26%5Ctheta_4%28q%29%3D%5Csum_%7Bn%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%7D%28-1%29%5Enq%5E%7Bn%5E2%7D+%5Cend%7Bsplit%7D%5Cend%7Bequation%7D& alt=&\begin{equation}\begin{split}&\theta_2(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{(n+1/2)^2}\\ &\theta_3(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}q^{n^2}\\&\theta_4(q)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^nq^{n^2} \end{split}\end{equation}& eeimg=&1&&&/p&&p&高斯本人在1794年已经发现了这些&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数。这些函数满足这样的关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D%5Cbegin%7Bsplit%7D%26%5Cfrac%7B%5Ctheta_3%5E2%28q%29%2B%5Ctheta_4%5E2%28q%29%7D%7B2%7D%3D%5Ctheta_3%5E2%28q%5E2%29+%5C%5C%26%5Ctheta_%7B3%7D%28q%29%5Ctheta_%7B4%7D%28q%29%3D%5Ctheta_4%5E2%28q%5E2%29%5C%5C%26%5Ctheta_3%5E4%28q%29-%5Ctheta_4%5E4%28q%29%3D%5Ctheta_2%5E4%28q%29%5Cend%7Bsplit%7D%5Cend%7Bequation%7D& alt=&\begin{equation}\begin{split}&\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3^2(q^2) \\&\theta_{3}(q)\theta_{4}(q)=\theta_4^2(q^2)\\&\theta_3^4(q)-\theta_4^4(q)=\theta_2^4(q)\end{split}\end{equation}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&5.&/b& 高斯在号的神奇发现(&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/AGM_method& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&AGM method&/a&)告诉我们：&/p&&p&给定正实数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2C+b& alt=&a, b& eeimg=&1&&。定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_0%3Da%2C+b_0%3Db%2C+a_%7Bi%2B1%7D%3D%28a_i%2Bb_i%29%2F2%2C+b_%7Bi%2B1%7D%3D%5Csqrt%7Ba_ib_i%7D& alt=&a_0=a, b_0=b, a_{i+1}=(a_i+b_i)/2, b_{i+1}=\sqrt{a_ib_i}& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Da_n%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7Db_n%3DM%28a%2Cb%29& alt=&\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=M(a,b)& eeimg=&1&&&/p&&p&且&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=M%28a%2Cb%29%5Cint_0%5E%7B%5Cpi%2F2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Ba%5E2%5Csin%5E2%5Ctheta%2Bb%5E2%5Ccos%5E2%5Ctheta%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%7Bd%7D+%5Ctheta%3D%5Cpi%2F2& alt=&M(a,b)\int_0^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{a^2\sin^2\theta+b^2\cos^2\theta}}\,\mathrm{d} \theta=\pi/2& eeimg=&1&&&/p&&p&高斯本人是通过数值计算&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3D1%2C+b%3D%5Csqrt%7B2%7D& alt=&a=1, b=\sqrt{2}& eeimg=&1&&到小数点后11位归纳出上面的关系式的，计算功力真是令人叹为观止。为此高斯写下了密文“Vicimus GEGAN”，直到&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mathoverflow.net/questions/86657/a-couple-of-questions-on-gausss-mathematical-diary& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&1997年&/a&才确认这句密文描述的就是这个发现。可以说证明&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_n%2C+b_n& alt=&a_n, b_n& eeimg=&1&&极限相等是一道略有难度的高中题目，但是这个极限与椭圆积分之间的关系非天才的洞见是不能现身于世的。不过高斯并非第一个发现这个关系的人，最早发现这个关系的人是Lagrange。&/p&&p&[. 注：引用的Biermann的结论仍然有若干矛盾之处无法解释。Gauss在1796年10月写下的Vicimus GEGAN具体指的是什么样的研究内容仍然不清楚。]&/p&&p&从这里可以推理出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28M%281%2Ck%5E%7B%5Cprime%7D%29%29%5E%7B-1%7D%3D%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%3D%5Ctheta_3%5E2%28q%29& alt=&(M(1,k^{\prime}))^{-1}=\frac{2K(k)}{\pi}=\theta_3^2(q)& eeimg=&1&&&/p&&p&这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5E2%3D1-%5Cfrac%7B%5Ctheta_4%5E4%28q%29%7D%7B%5Ctheta_3%5E4%28q%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctheta_2%5E4%28q%29%7D%7B%5Ctheta_3%5E4%28q%29%7D& alt=&k^2=1-\frac{\theta_4^4(q)}{\theta_3^4(q)}=\frac{\theta_2^4(q)}{\theta_3^4(q)}& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%28q%29%3D%5Cfrac%7B%5Ctheta_2%5E2%28q%29%7D%7B%5Ctheta_3%5E2%28q%29%7D%2C+k%5E%7B%5Cprime%7D%28q%29%3D%5Cfrac%7B%5Ctheta_4%5E2%28q%29%7D%7B%5Ctheta_3%5E2%28q%29%7D& alt=&k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}, k^{\prime}(q)=\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&6.&/b& 高斯的发现打开了通向椭圆模函数的大门。所谓模函数，就是这些函数在某些变换(&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Modular_group& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Modular group&/a&)之下保持不变。从&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Poisson求和公式&/a&可知，如果令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q%3D%5Cexp%7B%28-%5Cpi%5Ctau%29%7D& alt=&q=\exp{(-\pi\tau)}& eeimg=&1&&，那么，&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau%5Ctheta_3%5E2%28q%28%5Ctau%29%29%3D%5Ctheta_3%5E2%28q%281%2F%5Ctau%29%29%5C%5C%5Ctau%5Ctheta_2%5E2%28q%28%5Ctau%29%29%3D%5Ctheta_4%5E2%28q%281%2F%5Ctau%29%29& alt=&\tau\theta_3^2(q(\tau))=\theta_3^2(q(1/\tau))\\\tau\theta_2^2(q(\tau))=\theta_4^2(q(1/\tau))& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%28q%28%5Ctau%29%29%3Dk%5E%7B%5Cprime%7D%28q%281%2F%5Ctau%29%29& alt=&k(q(\tau))=k^{\prime}(q(1/\tau))& eeimg=&1&&&/p&&p&因此&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5E%5Cprime%7D%7BK%7D%28k%28q%28%5Ctau%29%29%29%3D%5Cfrac%7BM%281%2Ck%5E%5Cprime%28q%29%29%7D%7BM%281%2Ck%28q%29%29%7D%3D%5Cfrac%7BM%281%2Ck%5E%5Cprime%28q%28%5Ctau%29%29%29%7D%7BM%281%2Ck%5E%7B%5Cprime%7D%28q%281%2F%5Ctau%29%29%29%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ctheta_3%5E2%281%2F%5Ctau%29%7D%7B%5Ctheta_3%5E2%28%5Ctau%29%7D%3D%5Ctau& alt=&\frac{K^\prime}{K}(k(q(\tau)))=\frac{M(1,k^\prime(q))}{M(1,k(q))}=\frac{M(1,k^\prime(q(\tau)))}{M(1,k^{\prime}(q(1/\tau)))}=\frac{\theta_3^2(1/\tau)}{\theta_3^2(\tau)}=\tau& eeimg=&1&&&/p&&p&亦即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28-%5Cpi+K%5E%7B%5Cprime%7D%28k%29%2FK%28k%29%29%3Dq& alt=&\exp(-\pi K^{\prime}(k)/K(k))=q& eeimg=&1&&&/p&&p&这就是Jacobi在1829年前后发现的重要公式。&/p&&p&&b&7.&/b& Abel与Jacobi在19世纪20年代关于椭圆积分的竞争可谓是棋逢对手，将遇良才。他们之前研究椭圆积分的只有高斯，欧拉和Legendre比较有影响。Legendre曾发现一个极重要的关系式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%28k%5E%5Cprime%29K%28k%29%2BK%28k%5E%5Cprime%29E%28k%29-K%28k%29K%28k%5E%5Cprime%29%3D%5Cpi%2F2& alt=&E(k^\prime)K(k)+K(k^\prime)E(k)-K(k)K(k^\prime)=\pi/2& eeimg=&1&&&/p&&p&根据这个公式以及wiki &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Elliptic integral&/a&中的公式&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DK%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dk%7D%3D%5Cfrac%7BE%7D%7Bk%281-k%5E2%29%7D-%5Cfrac%7BK%7D%7Bk%7D& alt=&\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}k}=\frac{E}{k(1-k^2)}-\frac{K}{k}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E& alt=&E& eeimg=&1&&代表第二类完全椭圆积分，可以推导出&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7B%5Crm+d%7D%28K%5E%5Cprime%2FK%29%7D%7B%7B%5Crm+%7Bd%7D%7D+k%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2k+%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D%5E2K%5E2%7D& alt=&\frac{{\rm d}(K^\prime/K)}{{\rm {d}} k}=-\frac{\pi}{2k {k^{\prime}}^2K^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&利用一下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28-%5Cpi+K%5E%7B%5Cprime%7D%28k%29%2FK%28k%29%29%3Dq& alt=&\exp(-\pi K^{\prime}(k)/K(k))=q& eeimg=&1&&，也可以得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+q%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+k%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi+%5E2q%7D%7B2k+%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D%5E2K%5E2%7D& alt=&\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} k}=\frac{\pi ^2q}{2k {k^{\prime}}^2K^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&8.&/b& 还有一味证明的佐料必须在这里提及。Jacobi在19世纪20年代的发现不止是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数与椭圆积分之间的关系，他还把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数写成了无穷级数乘积的形式，这便是著名的&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_triple_product& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Jacobi triple product&/a&：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D%5Cbegin%7Bsplit%7D%26%5Ctheta_2%28q%29%3D2q%5E%7B1%2F4%7D%5Cprod_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%281-q%5E%7B2m%7D%29%281%2Bq%5E%7B2m%7D%29%5E2%5C%5C%26%5Ctheta_3%28q%29%3D%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%281-q%5E%7B2m%7D%29%281%2Bq%5E%7B2m-1%7D%29%5E2%5C%5C%26%5Ctheta_4%28q%29%3D%5Cprod_%7Bm%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%281-q%5E%7B2m%7D%29%281-q%5E%7B2m-1%7D%29%5E2%5Cend%7Bsplit%7D%5Cend%7Bequation%7D& alt=&\begin{equation}\begin{split}&\theta_2(q)=2q^{1/4}\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1+q^{2m})^2\\&\theta_3(q)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1+q^{2m-1})^2\\&\theta_4(q)=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1-q^{2m-1})^2\end{split}\end{equation}& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta_2%28q%29%5Ctheta_3%28q%29%5Ctheta_4%28q%29%3D2q%5E%7B1%2F4%7D%5Cprod_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%281-q%5E%7B2m%7D%29%5E3%3D2q%5E%7B1%2F4%7D%28P%28q%5E2%29%29%5E3& alt=&\theta_2(q)\theta_3(q)\theta_4(q)=2q^{1/4}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{2m})^3=2q^{1/4}(P(q^2))^3& eeimg=&1&&&/p&&p&利用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%2C+k%5E%7B%5Cprime%7D%2CK& alt=&k, k^{\prime},K& eeimg=&1&&与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数的关系，可以写出&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E%7B12%7D%5Ccdot%28kk%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E4%3D4%5E4q%5E%7B2%7D%5Cprod%281-q%5E%7B2m%7D%29%5E%7B24%7D%3D4%5E4%5Ceta%28q%5E2%29& alt=&\left(\frac{2K}{\pi}\right)^{12}\cdot(kk^{\prime})^4=4^4q^{2}\prod(1-q^{2m})^{24}=4^4\eta(q^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&右边正是著名的&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_eta_function& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Dedekind eta function&/a&！&/p&&p&&b&以上连乘积表达式高斯在1800年之前就知道了.&/b&&/p&&p&&b&9.&/b& 回到(3). 将(8)中最后一个表达式与(3)式结合，就有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%3D2%5E%7B4%2F3%7D%5Ceta%5E%7B1%2F6%7D%28q%5E2%29%28kk%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E%7B-2%2F3%7D%3Da%28k%29%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Db_nc%5En%28k%29& alt=&\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2=2^{4/3}\eta^{1/6}(q^2)(kk^{\prime})^{-2/3}=a(k)\sum_{n=0}^{\infty}b_nc^n(k)& eeimg=&1&&&/p&&p&作关于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&的对数微分，即有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7DE%28q%5E2%292q%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+q%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+k%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cfrac%7B%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2-k%5E2%7D%7Bk%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%7D%2B%5Cfrac%7Ba%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7Ba%7D%2B%5Cfrac%7Bac%5E%7B%5Cprime%7D%7D%7Bc%282K%2F%5Cpi%29%5E2%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dnb_nc%5En%28k%29& alt=&\frac{1}{6}E(q^2)2q\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} k}=\frac{2}{3}\frac{(k^{\prime})^2-k^2}{k(k^{\prime})^2}+\frac{a^{\prime}}{a}+\frac{ac^{\prime}}{c(2K/\pi)^2}\sum_{n=0}^{\infty}nb_nc^n(k)& eeimg=&1&&&/p&&p&其中&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%28q%29%3D%5Cfrac%7B%5Ceta%5E%5Cprime%7D%7B%5Ceta%7D%28q%29& alt=&E(q)=\frac{\eta^\prime}{\eta}(q)& eeimg=&1&&&/p&&p&注意&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+q%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+k%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpi+%5E2q%7D%7B2k+%7Bk%5E%7B%5Cprime%7D%7D%5E2K%5E2%7D& alt=&\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{d} k}=\frac{\pi ^2q}{2k {k^{\prime}}^2K^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&因此&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dq%5E2E%28q%5E2%29%3Du%28k%29%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%2Bv%28k%29%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dnb_nc%5En%28k%29& alt=&\frac{1}{6}q^2E(q^2)=u(k)\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2+v(k)\sum_{n=0}^{\infty}nb_nc^n(k)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=u%2C+v%2C+c& alt=&u, v, c& eeimg=&1&&均为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&的有理函数。&/p&&p&&b&10.&/b& 证明中最难的是如何消去上面式子中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2& alt=&\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2& eeimg=&1&&一项。这就要涉及到关于&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Modular_equation& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Modular equation&/a&的知识。&/p&&p&注意到从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%28-%5Cpi+K%5E%7B%5Cprime%7D%28k%29%2FK%28k%29%29%3Dq& alt=&\exp(-\pi K^{\prime}(k)/K(k))=q& eeimg=&1&&可以得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k%28q%5En%29%29%7D%7BK%28k%28q%5En%29%29%7D%3Dn%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k%28q%29%29%7D%7BK%28k%28q%29%29%7D& alt=&\frac{K^{\prime}(k(q^n))}{K(k(q^n))}=n\frac{K^{\prime}(k(q))}{K(k(q))}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&是有理数。19世纪的数学家们发现，若&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k_1%29%7D%7BK%28k_1%29%7D%3Dn%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k_2%29%7D%7BK%28k_2%29%7D& alt=&\frac{K^{\prime}(k_1)}{K(k_1)}=n\frac{K^{\prime}(k_2)}{K(k_2)}& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28k_1%2Ck_2%29%3D0& alt=&f(k_1,k_2)=0& eeimg=&1&&,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%2Ck_2& alt=&k_1,k_2& eeimg=&1&&的代数函数(&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_function& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Algebraic function&/a&)！&/p&&p&&b&11.&/b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta_2%5E8%28q%29%5Ctheta_3%5E8%28q%29%5Ctheta_4%5E8%28q%29%3D2%5E8%5Ceta%28q%5E2%29& alt=&\theta_2^8(q)\theta_3^8(q)\theta_4^8(q)=2^8\eta(q^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q%3D%5Cexp%7B%28-%5Cpi%5Ctau%29%7D& alt=&q=\exp{(-\pi\tau)}& eeimg=&1&&，从(6)中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数的变换公式不难得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ceta%28q%5E2%281%2F%5Ctau%29%29%3D%5Ctau%5E%7B12%7D%5Ceta%28q%5E2%28%5Ctau%29%29& alt=&\eta(q^2(1/\tau))=\tau^{12}\eta(q^2(\tau))& eeimg=&1&&。&/p&&p&两边取对数微分，得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau%5E2+q%5E2%28%5Ctau%29E%28q%5E2%28%5Ctau%29%29%2Bq%5E2%281%2F%5Ctau%29E%28q%5E2%281%2F%5Ctau%29%29%3D6%5Ctau%2F%5Cpi& alt=&\tau^2 q^2(\tau)E(q^2(\tau))+q^2(1/\tau)E(q^2(1/\tau))=6\tau/\pi& eeimg=&1&&&/p&&p&这是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D& alt=&\frac{1}{\pi}& eeimg=&1&&在推理中首次独立出现。&/p&&p&&b&12.&/b& 为了利用Modular Equation的有关知识，令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctau%3D%5Csqrt%7Bn%7D& alt=&\tau=\sqrt{n}& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&为正整数，并记&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_1%28q%29%3Dq%5E2E%28q%5E2%29& alt=&E_1(q)=q^2E(q^2)& eeimg=&1&&&/p&&p&那么&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=nE_1%28e%5E%7B-%5Cpi%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29%2BE_1%28e%5E%7B-%5Cpi%2F%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29%3D6%5Csqrt%7Bn%7D%2F%5Cpi& alt=&nE_1(e^{-\pi\sqrt{n}})+E_1(e^{-\pi/\sqrt{n}})=6\sqrt{n}/\pi& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_1%28e%5E%7B-%5Cpi%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29& alt=&E_1(e^{-\pi\sqrt{n}})& eeimg=&1&&与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E_1%28e%5E%7B-%5Cpi%2F%5Csqrt%7Bn%7D%7D%29& alt=&E_1(e^{-\pi/\sqrt{n}})& eeimg=&1&&的另一关系式须从Modular Equation的知识导出。&/p&&p&&b&13.&/b& 回到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k_1%29%7D%7BK%28k_1%29%7D%3Dn%5Cfrac%7BK%5E%7B%5Cprime%7D%28k_2%29%7D%7BK%28k_2%29%7D& alt=&\frac{K^{\prime}(k_1)}{K(k_1)}=n\frac{K^{\prime}(k_2)}{K(k_2)}& eeimg=&1&&。&/p&&p&对这个式子进行微分，有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+k_1%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+k_2%7D%3Dn%5Cfrac%7Bk_1%28k_1%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2K%5E2%28k_1%29%7D%7Bk_2%28k_2%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2K%5E2%28k_2%29%7D& alt=&\frac{\mathrm{d} k_1}{\mathrm{d} k_2}=n\frac{k_1(k_1^{\prime})^2K^2(k_1)}{k_2(k_2^{\prime})^2K^2(k_2)}& eeimg=&1&&&/p&&p&因此&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BK%5E2%28k_1%29%7D%7BK%5E2%28k_2%29%7D& alt=&\frac{K^2(k_1)}{K^2(k_2)}& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%2Ck_2& alt=&k_1,k_2& eeimg=&1&&的代数函数。&/p&&p&记&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%3Dk%28q%5En%29& alt=&k_1=k(q^n)& eeimg=&1&&，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_2%3Dk%28q%29& alt=&k_2=k(q)& eeimg=&1&&&/p&&p&借用一下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2%3D2%5E%7B4%2F3%7D%5Ceta%5E%7B1%2F6%7D%28q%5E2%29%28kk%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E%7B-2%2F3%7D& alt=&\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2=2^{4/3}\eta^{1/6}(q^2)(kk^{\prime})^{-2/3}& eeimg=&1&&&/p&&p&可以得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Ceta%28q%5E%7B2n%7D%29%7D%7B%5Ceta%28q%5E2%29%7D%3DG%28k_1%2Ck_2%29& alt=&\frac{\eta(q^{2n})}{\eta(q^2)}=G(k_1,k_2)& eeimg=&1&&,&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%2Ck_2& alt=&k_1,k_2& eeimg=&1&&的代数函数。在等式两边对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_2%3Dk& alt=&k_2=k& eeimg=&1&&作对数微分，&/p&&p&得到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=nE_1%28q%5En%29-E_1%28q%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2K%28k%29%7D%7B%5Cpi%7D%5Cright%29%5E2G_1%28k_1%2Ck%29& alt=&nE_1(q^n)-E_1(q)=\left(\frac{2K(k)}{\pi}\right)^2G_1(k_1,k)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_1& alt=&G_1& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%2Ck_2& alt=&k_1,k_2& eeimg=&1&&的代数函数。&/p&&p&联合此式、(3)及(12)最后一式(令&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q%3De%5E%7B-%5Cpi%2F%5Csqrt%7Bn%7D%7D& alt=&q=e^{-\pi/\sqrt{n}}& eeimg=&1&&)，得到了[这里有一处可以补救的Gap, 请问是什么?]&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B%5Cpi%5Csqrt%7Bn%7D%7D%3D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%286v%28k%29m%2B%5Cbar%7BG%7D%28k_1%2Ck%29%29b_mc%5Em%28k%29& alt=&\frac{3}{\pi\sqrt{n}}=\sum_{m=0}^{\infty}(6v(k)m+\bar{G}(k_1,k))b_mc^m(k)& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbar%7BG%7D& alt=&\bar{G}& eeimg=&1&&是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k_1%2Ck_2& alt=&k_1,k_2& eeimg=&1&&的代数函数。所以说题主所问的Ramanujan的公式形式上就是这么来的。但是数值上是怎样得到那么漂亮的公式呢？PART B主要叙述的就是相关的计算过程。&/p&&p&--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&/p&&p&&b&&i&PART B &/i&数值计算部分&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&1.&/b& 我们一点点地来计算各部分系数的值。&/p&&p&从广义超几何函数的定义可以得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b_m%3D%5Cfrac%7B%284m%29%21%7D%7B4%5E%7B4m%7D%28m%21%29%5E4%7D& alt=&b_m=\frac{(4m)!}{4^{4m}(m!)^4}& eeimg=&1&&&/p&&p&这是题主所给等式中最容易计算的部分。&/p&&p&&b&2.&/b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c%28k%28q%29%29& alt=&c(k(q))& eeimg=&1&&及&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=6v%28k%28q%29%29& alt=&6v(k(q))& eeimg=&1&&的计算，与Hilbert大加称赞的椭圆曲线的&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Complex_multiplication& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Complex multiplication&/a&理论紧密相连。&/p&&p&不难得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c%28k%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B2%7D%7B2k%2F%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%2B%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%2F%282k%29%7D%5Cright%29%5E2%5C%5C6v%28k%29%3D3%5Cleft%281-%5Cfrac%7B2%7D%7B%28%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%2F%282k%29%29%5E2%2B1%7D%5Cright%29& alt=&c(k)=\left(\frac{2}{2k/(k^{\prime})^2+(k^{\prime})^2/(2k)}\right)^2\\6v(k)=3\left(1-\frac{2}{((k^{\prime})^2/(2k))^2+1}\right)& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&3.&/b& Ramanujan取上节(12)中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&为58，即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=q%3De%5E%7B-%5Cpi%5Csqrt%7B58%7D%7D& alt=&q=e^{-\pi\sqrt{58}}& eeimg=&1&&&/p&&p&在Ramanujan之前H. M. Weber已经给出此时的&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2k%7D%7B%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%7D& alt=&\frac{2k}{(k^{\prime})^2}& eeimg=&1&&=&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B29%7D-5%7D%7B2%7D%5Cright%29%5E6& alt=&\left(\frac{\sqrt{29}-5}{2}\right)^6& eeimg=&1&&&/p&&p&代入&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c%28k%29%2Cv%28k%29& alt=&c(k),v(k)& eeimg=&1&&的公式，得&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c%28k%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B99%5E4%7D%5C%5C2v%28k%29%3D%5Cfrac%7B1820%5Csqrt%7B29%7D%7D%7B99%5E2%7D& alt=&c(k)=\frac{1}{9801^2}=\frac{1}{99^4}\\2v(k)=\frac{1820\sqrt{29}}{99^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&代回上节(13)最后一式，整理一下即有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B99%5E2%7D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%Bc_0%29%5Cfrac%7B%284m%29%21%7D%7B396%5E%7B4m%7D%28m%21%29%5E4%7D& alt=&\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{m=0}^{\infty}(26390m+c_0)\frac{(4m)!}{396^{4m}(m!)^4}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c_0& alt=&c_0& eeimg=&1&&是某个未知的常数。&/p&&p&&b&4.&/b& 没有确实的证据表明Ramanujan能从理论上推测出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c_0& alt=&c_0& eeimg=&1&&的值。但是数值计算来推测一下&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c_0& alt=&c_0& eeimg=&1&&还是没问题的。&/p&&p&取级数前&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&&项，用Mathematica反解&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=c_0& alt=&c_0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m%3D0%2C+c_0%3DCm%3D1%2C+c_0%3D0000& alt=&m=0, c_0=3197 \\m=1, c_0=0000& eeimg=&1&&&/p&&p&这就足以让Ramanujan给出他的著名级数：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B99%5E2%7D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%BCfrac%7B%284m%29%21%7D%7B396%5E%7B4m%7D%28m%21%29%5E4%7D& alt=&\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{m=0}^{\infty}(2)\frac{(4m)!}{396^{4m}(m!)^4}& eeimg=&1&&&/p&&p&----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&Appendix 残留的问题&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&预警: &/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&-这是全部证明中最困难也是最有价值的部分-&/b&&br&&br&残留的问题有两个：a)&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B2k%7D%7B%28k%5E%7B%5Cprime%7D%29%5E2%7D& alt=&\frac{2k}{(k^{\prime})^2}& eeimg=&1&&的值是如何计算出来的？b)反解出的数1103确实可以使等号成立吗？&/p&&p&&b&a)&/b&从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta& alt=&\theta& eeimg=&1&&函数连乘积表达式及其与&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%2Ck%5E%7B%5Cprime%7D& alt=&k,k^{\prime}& eeimg=&1&&的关系，可得&/p&&p&&img src=&