自动控制原理中一种求解传递函数的简单方法--《考试周刊》2015年56期
自动控制原理中一种求解传递函数的简单方法
【摘要】：传递函数是自动控制系统中最重要的数学模型,可以利用动态结构图的化简来求传递函数,但是此种方法比较繁琐。本文介绍了一种简单的办法来求传递函数,即采用梅森公式,利用梅森公式可以大大简化计算过程,且不容易出错。
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【分类号】：O231-4;G712
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自动控制原理c作业(第二章)答案 自动控制原理C习题答案（第二章）1第二章控制系统的数学模型21RC无源网络电路图如图2－1所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数UCS/URS。图2－1解在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即SZSISU?如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗ZS分别是R、1/CS或LS。1用复阻抗写电路方程式SCSISVRSUSUSISCSISISURSUSUSICCCCCR111111??????????2将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－1（A）。2－1（A）。3用梅逊公式直接由图2－1A写出传递函数UCS/URS。????KGGK独立回路有三个自动控制原理C习题答案（第二章）2SCRSCRL1111111?????SCRSCRL?????回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则SCRCRLLL??由上式可写出特征式为SCRCRSCRSCRSCRLLLLL???????????通向前路只有一条111SCCRRSCRSCRG?????由于G1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为Δ11代入梅逊公式得传递函数1?????????????SCRCRCRSCCRRSCRCRSCRSCRSCRSCRCRGG22已知系统结构图如图22所示，试用化简法求传递函数CS/RS。图2－2解（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图22（A）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图22（B）。（3）最后将两个方框串联相乘得图22（C）。SCRRSCL?????自动控制原理C习题答案（第二章）3图22系统结构图的简化23化简动态结构图,求CS/RS图2－3解单独回路1个，即3211GGGL??两个互不接触的回路没有于是，得特征式为32111GGGLA??????从输入R到输出C的前向通路共有2条，其前向通路传递函数以及余因子式分别为211GGP?11??422GGP?12??因此，传递函数为?????2211PPSRSCGGGGGGG???自动控制原理C习题答案（第二章）424用梅森公式求系统传递函数。_＋－－____RSCSG2SG1S___RSCSG2SG1SRSCSG2SG1S图2－4解单独回路5个，即11GL??212GGL?23GL??214GGL??215GGL??两个互不接触的回路没有于是，得特征式为212111GGGGLA????????从输入R到输出C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为11GP?11??22GP?12??213GGP?13??214GGP??14??因此，传递函数为?????????PPPPSRSC2121211GGGGGG?????自动控制原理C习题答案（第二章）525试简化图25中的系统结构图，并求传递函数CS/RS和CS/NS。图25解仅考虑输入R（S）作用系统时，单独回路2个，即211GGL??1212HGGL??两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为1212111HGGGGLA???????从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为211GGP?11??因此，传递函数为???11PSRSCHGGGGGG???仅考虑输入N（S）作用系统时，单独回路2个，即211GGL??1212HGGL??两个互不接触的回路没有,于是，得特征式为1212111HGGGGLA???????从输入N到输出C的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为11??P12111HGG???322GGP?12??因此，传递函数为?????2211PPSNSCHGGGGGGHGG??????自动控制原理C习题答案（第二章）626用梅逊增益公式求传递函数CS/RS和ES/RS。图26解CS/RS单独回路3个，即111HGL??232HGL??213213HHGGGL??两个互不接触的回路,于是，得特征式为1L2L111HHGGHHGGGHGHGLLLCBA???????????从输入R到输出C的前向通路共有1条，其前向通路总增益以及余因子式分别为3211GGGP?11??432GGP????1211HG因此，传递函数为?????2211PPSRSCHHGGHHGGGHGHGHGGGGGG???????ES/RS单独回路3个，即111HGL??232HGL??213213HHGGGL??两个互不接触的回路,于是，得特征式为1L2L111HHGGHHGGGHGHGLLLCBA???????????从输入R到输出E的前向通路共有2条，其前向通路总增益以及余因子式分别为11?P2311HG???自动控制原理C习题答案（第二章）721432HHGGP??12??因此，传递函数为?????2211PPSRSEHHGGHHGGGHGHGHHGGHG???????第三章线性系统的时域分析法31设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图31所示。试确定系统的传递函数。图31二阶控制系统的单位阶跃响应解在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为22223NNNSSS????????然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。P?PT?N?33334???????CCTCPP?（S）10?PT由公式得3321/????????EP1012??????NPT换算求解得、330??233?N?3401自动控制原理C习题答案（第二章）32222??????SSSSSNNNN?????32设系统如图32所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于08S，试确定15增益K1和速度反馈系数KT。同时，确定在此K1和KT数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。图32解由图示得闭环特征方程为01112????KSKKST即，21NK??NNTTK???212??由已知条件???????TNPPTETT???????解得???SNT??于是01???KKNTT??STNTTD???????STTNTTNR53801ARCCOS122???????????????RSCS1KTSK/SS1自动控制原理C习题答案（第二章）9STNTS476153????33已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。?????SSSS解劳斯表为S02S????580158????1S????00S????由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。34已知系统特征方程为试判断系统稳定性。??????SSSSS解本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数Ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为5S??2?2S??22?51S225442???????0S5自动控制原理C习题答案（第二章）10由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数Ε来代替；第四行第一列系数为（2Ε2/Ε，当Ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4Ε－4－5Ε2）/（2Ε2），当Ε趋于零时为。由于第一列变号两次，故有两个根在右半S平面，所以系统是不稳定的。2?35解在求解系统的稳态误差前必须判定系统是否稳定；系统特征方程为由劳斯判据判断????SSS劳斯行列式为3SS350S50由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。可知V1，K1050??????SSSSSSSG当，当?????????????????????????????型系统,01KKKKEAVPSS????TTR2?222TTTR???20102????????KKEVSS???????????????????????????????型系统,10201AVPSSKKKE???自动控制原理C习题答案（第二章）11第五章线性系统的频域分析法51已知系统的开环传函，用奈氏判据（画出奈氏曲线）1201210???SSSSHSG判别闭环系统的稳定性。解1确定起点和终点，故初始相角为90?，1,20????????????JK初始相角为???0???JK模值为终点，0??????MNJK模值为0027090??????????MNJKMN??终止相角为2求幅相曲线与负实轴的交点，????????JJGP0，N1，N0，R2（NN）2，ZP2N2由奈氏判据知，闭环系统是不稳定的。52已知系统的开环传函用奈氏判据（画出奈氏曲线）判别闭环系统的稳定性。解1确定起点和终点，故初始相角为180?，2,20????????????JK初始相角为???0???JK模值为121142????SSSSSHSG1201210???????JJJJG04012???522??02????????JG曲线如右图需补做虚线圆弧，奈氏1???????????JJJJG自动控制原理C习题答案（第二章）12终点，0??????MNJK模值为????????????MNJK终止相角为2求幅相曲线与负实轴的交点，??J8??????????）（JGP0，N1，N0，R2（NN）2，ZP2N2由奈氏判据知，闭环系统是不稳定的。53已知一单位负反馈系统开环传递函数110202???SSSSHSG作系统开环对数幅频L?，有简要的计算说明画图过程，并确定系统的截止频率C?和相角裕度?。2??????SSSSSSSHSG，02，1010K1V??，1?2?低频段，斜率20DB/DEC，延长线过1,2LOG10点，过02后，斜率为40DB/DEC，S101?过10后，斜率为60DB/DEC2?083???12502????0222222??????????曲线如右图需补做虚线圆弧，奈氏2??REIM01Ω0Ω∞107Ω0自动控制原理C习题答案（第二章）13??/S/S11LL??/DB/DB伯德图伯德图20DB/DEC40DB/DEC60DB/DEC2??????SSSSSSSHSG10?K1?V201??102??20DBΩΩCC确定系统的截止频率C和相角裕度?。?确定系统的截止频率C?????CCCCCJJJJHJG?????通过作图可以看出截止频率在1和2之间，在通过试根的方法确定稍精确的值为14确定系统的相角裕度??ARCTAN5ARCTAN700150C??C?C?54某位置控制系统的结构如图1。试绘制系统开环的伯德图，并确定系统的相位稳定裕量?。RSCS－101S125010??SS图1自动控制原理C习题答案（第二章）14??/S/S11LL??/DB/DB404000伯德图伯德图20DB/DEC40DB/DEC60DB/DEC10?K1?V41??102??20DB101S125010??SSΩΩCC，4，1010K1V??，1?2?低频段，斜率20DB/DEC，过1,2LOG10点，过4后，斜率为40DB/DEC，过10S101?2?后，斜率为60DB/DEC自动控制原理C习题答案（第二章）15??/S/S11ΨΨ??/?/?伯德图伯德图027044ΩΩCC相位从900变化到2700，?C处的相位。C??确定系统的截止频率C和相角裕度?。?确定系统的截止频率C?????CCCCCJJJJHJG?????通过作图可以看出截止频率在5和6之间，在通过试根的方法确定稍精确的值为535确定系统的相角裕度??ARCTAN025ARCTAN1508640C??C?C?5．5最小相位系统对数幅频渐近特性如图52所示，请确定系统的传递函数。100自动控制原理C习题答案（第二章）16图52解由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在?01处，斜率从0DB/DEC变为20DB/DEC，属于一阶微分环节。在??1处，斜率从20DB/DEC变为0DB/DEC，属于惯性环节。在??2处，斜率从0DB/DEC变为?20DB/DEC，属于惯性环节。在??3处，斜率从?20DB/DEC变为?40DB/DEC，属于惯性环节。在??4处，斜率从?40DB/DEC变为?60DB/DEC，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式1/1/1/1/110/4321??????????SSSSSKSG）式中K，?1，?2，?3，?4待定。由20LGK30得K3162。确定?1所以?1031610LGLG3040201????确定?4所以?0LG0560??????确定?3所以?3348134LGLG20540??????确定?2所以?2348123LGLG402020??????于是，所求的传递函数为//110/6231??????SSSSSSG）56某最小相位系统的开环对数幅频特性如图53所示。要求1写出系统开环传递函数；2利用相角裕度判断系统稳定性；自动控制原理C习题答案（第二章）17解1由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率01和20，故120/110/???SSSKSG）且010LG20?K得K10所以120/110/10???SSSSG）2系统开环对数幅频特性为??????????LG2010LG20????）L???????从而解得?C1系统开环对数相频特性为20ARCTAN10ARCTAN90???????????C?1????C285?故系统稳定。也可以通过试根的方法确定确定系统的截止频率C?C为????CCCCCJJJJHJG??????确定系统的相角裕度??ARCTAN005ARCTANC??C?C?第六章线性系统的校正方法自动控制原理C习题答案（第二章）1861下图中ABCD为校正前的系统的BODE图，ABEFL为加入串联校正后的BODE图，写出校正环节的传递函数，说明它对系统性能的影响。ACBDEF20DB/DEC40DB/DEC60DB/DEC60DB/DEC20DB/DECL?G1087100校正环节的传递函数串联超前校正1001871SSSGC???增加了开环频率特性在截止频率附近的正相角,可提高系统的相角裕度减小对数幅频特性在幅值穿越频率上的负斜率,提高了系统的稳定性提高了系统的频带宽度,可提高系统的响应速度。62．下图中ABCD为校正前的系统的BODE图，GHKL为加入串联校正后的BODE图，写出校正环节的传递函数，说明它对系统性能的影响校正环节的传递函数串联滞后校正013011SSSGC???在保持系统开环放大系数不变的情况下，减小截止频率，从而增加了相角裕度，提高了系统相对稳定性；由于降低了幅值穿越频率,系统宽带变小，从而降低了系统的响应速度，但提高了系统抗干扰的能力。63设开环传递函数单位斜坡输入RTT，输入产生稳态误差10101???SSSKSGACBDH20DB/DEC40DB/DEC60DB/DEC60DB/DEC20DB/DECL?G40DB/DECGK40DB/DEC自动控制原理C习题答案（第二章）19E?00625。若使校正后相位裕度?不低于45?，截止频率?C2RAD/S，试设计校正系统。解062501??KE16?K????????????????????LG10011???????令L?0，可得?C4??????????4512010ARCTANARCTAN90180CC???不满足性能要求，需加以校正。系统中频段以斜率?40DB/DEC穿越0DB线，故选用超前网络校正。设超前网络相角为?M，则125???????M???????????????M5SIN1SIN1????MM???中频段0LG10??????????CCLL所以95???C?验算180CM????????????010ARCTANARCTAN9043180CC??????????????48?45?/1??TC???0760/1??????CT所以超前校正网络后开环传递函数为SSSSSSG0116??????64设单位反馈系统的开环传递函数自动控制原理C习题答案（第二章）201201???SSSKSG试设计串联校正装置，满足KV8RAD/S，相位裕度?40?。解KV8Ν1K8????????????????????208LG208LG208LG20L5511???????令L?0，可得?C28?180??90??ARCTAN?C?ARCTAN02?C?95?40?不满足性能要求，需加以校正。选用滞后网络校正。令???????466???C得??????????4620ARCTANARCTAN90CC?????????4420ARCTANARCTANCC??所以?C?072根据0LG20????CLB?得B009再由CBT????101得T1543故选用的串联滞后校正网络为SSTSBTSSGC??????验算180CCC???????????????20ARCTANARCTAN903154ARCTAN913ARCTAN180CCCC????????????????????409??40?
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自动控制原理第2章习题解邵世凡
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