导读：概率论与数理统计，（1）只击中第一枪，Solution（1）事件“只击中第一枪”，三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，Exercise1.2设事件A,B的概率分别为，求取出的两球都是黑色球的概率，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率，概率为，（１）每个盒子最多有一个球的概率，（２）某指定的盒
概率论与数理统计
(Probability Theory and Mathematical Statistics)
Exercise 1.1
向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用A1、A2、
，试用A1、A2、A3表示以下各A3分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”
（1）只击中第一枪；
（2）只击中一枪；
（3）三枪都没击中；
（4）至少击中一枪。
Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成
（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成
A1A2A+1A2A3+A1A2A3. 3A（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 A1A2A3.
（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 A1?A2?A3
或 A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3+ A1A2A3.
Exercise 1.2
设事件A,B的概率分别为
别求P(BA)的值：
（１）A与B互斥；
（２）A?B； （３）P(AB)?．
由性质（5），P(BA)=P(B)?P(AB).
（1） 因为A与B互斥，所以AB??，P(BA)=P(B)?P(AB)=P(B)=
（2） 因为A?B；所以P(BA)=P(B)?P(AB)=P(B)?P(A)=
11,32 .在下列三种情况下分1812111?? 236
（3） P(BA)=P(B)?P(AB)=113?? 288
Exercise 1.3
一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。
Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有C82种。若以A表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A发生的取法为C52种，从而
P(A)?C52/C82=5/14
Exercise 1.4
在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。
从100个产品中任意抽取5个产品，共有C100种抽取方法，
14事件A={有1个次品，4个正品}的取法共有C3C97种取法，故得事件A的
14C3C97P(A)??0.138 5C100
Exercise 1.5
将N个球随机地放入n个盒子中(n?N)，求：
（１）每个盒子最多有一个球的概率；
（２）某指定的盒子中恰有m（m?N）个球的概率。
Solution 这显然也是等可能问题。
先求N个球随机地放入n个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入n个盒子中的任何一个，有n种不同的放法，所以N个球放入n个盒子共有n?n????n?nN
种不同的放法。
（1）事件A={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进n个盒子之一，有n种放法；第二个球只能放进余下的n?1个盒子之一，有n?1种放法；．．．第N个球只能放进余下的n?N?1个盒子之一，有n?N?1种放法；所以共有n(n?1)?(n?N?1)种不同的放法。故得事件A的概率为
P(A)?n(n?1)?(n?N?1) Nn
（2）事件B={某指定的盒子中恰有m个球}的放法。先从N个球中
m任选m个分配到指定的某个盒子中，共有CN种选法；再将剩下的N?m个
球任意分配到剩下的n?1个盒子中，共有(n?1)N?m种放法。所以，得事件B
mCN(n?1)N?m
Exercise 1.6
在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：
（１）６个数完全不同；
（２）６个数不含奇数；
（３）６个数中５恰好出现4次。
Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有96种排列方法。
（1）事件A={６个数完全不同}的取法有9?8?7?6?5?4种取法，故
P(A)?9?8?7?6?5?4?0.11 96
（2）事件B={６个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有46取法。故
（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的方式有C64种，剩下的两
种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有82种取法。故
Exercise 1.7
在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。
Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷多个，故
区间[0.5,1]的长度1P(A)???. 区间[0，4]的长度48
Exercise 1.8
甲乙两人相约8?12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。
Y分别表示甲、Solution
以X，乙二人到达的时刻，那末 8?X?12 ，
8?Y?12 ；若以(X,Y)表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这
平面上的边长为4的一个正方形：8?X?12 ，8?Y?12 内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是
X?Y?2（图中阴影部分）；所以所求的概率为：
?）]阴影部分的面积15. P???正方形ABCD的面积1664
Exercise1.9
设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？
设事件A={能活20岁以上}；事件B={能活25岁以上}。按题意，P(A)?0.8，由于B?A，因此P(AB)?P(B)?0.4.由条件概率定义
P(B|A)?P(AB)0.4??0.5 P(A)0.8
Exercise1.10
在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。
设事件A={第一件取正品}；事件B={第二件取次品}。按题意，P(A)=903，P(B|A)=.由乘法公式 9392
P(AB)?P(A)P(B|A)?903??0.
Exercise1.11
七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？
设Ai={第i人抓到参观票}(i?1,2)，于是
P(A1)?161,P(A1)?,P(A2|A1)?0,P(A2|A1)? 776
611??. 767由全概率公式
P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?0?
从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理”。
Exercise 1.12
设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？
以A1、A2、A3表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙
厂生产”；以B表示事件“取得的产品为正品”，于是：
111,,，101520
包含总结汇报、外语学习、办公文档、教程攻略、专业文献、行业论文、文档下载、考试资料、IT计算机、教学教材、旅游景点以及第一章概率论习题解答附件等内容。本文共2页
相关内容搜索&>&&>&概率论与数理统计答案(2-5章)
概率论与数理统计答案(2-5章) 投稿：姜儒儓
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示所得球上的数字，求?的分布律。解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、…
高 职 单 招 生 有 效 英 语 课 堂 管 理 模 式 探 索　李 再侠 （ 承德 石 油高 等 专 科 学 校 外语 与旅 游 系 ， 河北 承德 摘 要 ： 本 文 分析 了 高 职单 招 生 英语 课 堂表 现 特 点 ． 探索 出一整 套…
西安黄河中学八年级数学期中考试卷（满分120分 时间90分钟）一、选择题：（本大题共12小题，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．）请把正确答案的序号…
离散型随机变量及其分布律
一维离散型随机变量及其分布律习题
1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示
所得球上的数字，求?的分布律。
解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以?的分布律为：
2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用?表示其中的次品数，
问?的分布律是什么？
解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数?为k时，即有k个次品时，则有10-k个正品。所以：
?的分布律为：P{??k}?,k?0,1,?,10。
3、 一个盒子中有m个白球，n?m个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球
才停止。设此时取到的白球数为?，求?的分布律。
解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0?m中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数?等于k，则第
k?1次取到是黑球，以Ai表示第i次取到的是白球；Ai表示第i次取到的是黑球。则?的
分布律为：
P{??k}?P(A1A2?AkAk?1)?P(A1)P(A2|A1)?P(Ak?1|A1?Ak)mm?1m?k?1n?m??????,k?0,1,?,mnn?1n?k?1n?k
4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿
灯显示时间相等。以?表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求?的分布律。 解答：因为只有3个路口，因此?只可能取0、1、2、3，其中{??3}表示没有碰到红灯。以Ai表示第i个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以P(Ai)?1/2，又因信号灯出现
什么信号相互独立，所以A1,A2,A3相互独立。因此?的分布律为：
P{??0}?P(A1)?
P{??1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2)?
P{??2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?
P{??3}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?1/8。
5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为
。用,(i?1,2,3)?表示3个零件合格品的个数，求?的分布律。
解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以Ai表示第i个零件是合格的，则P(Ai)?1/(1?i)。因?表示零件的合格数，因此?的分布律为：
P{??0}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?(1?
)(1?1124624
P{??1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?
P{??2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P{??3}?P(A1A2A3)?
6、 设随机变量?的分布律为P{??k}?c
确定常数c的值。 解答：因P{??k}?c
,k?0,1,2,?，式中?为大于0的常数。试
,k?0,1,2,?如果是随机变量?的分布律，则应该满足如下两个
条件：1、对任意的k，P{??k}?0，因此可得c?0；2、1?
所以可得c?e
7、 设在每一次试验中，事件A发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3时，指示灯发出
信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，
求指示灯发出信号的概率。
解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的次数?服从参数为n和p?P(A)?0.3的二项分布。因为当A在n次试验中发生次数不少于3时，
指示灯发出信号。因此，P{发出信号}?P{??3}?
一小题中的n等于5，第二小题中的n等于7。计算即可。
8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？
解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于P{??3}?1?P{??0}?P{??1}
?P{??2}?1?0.9
9、 把一个试验独立重复地做n次，设在每次试验中事件A出现的概率为p，求在这n次试
验中A至少出现一次的概率是多少。
解答：同上一题，n次试验中A出现的次数服从参数为n和p的二项分布。因此，所要求的概率等于P{??1}?1?P{??0}?1?(1?p)n。 10、
甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，
如果甲首先射击，求：
（1） 两人射击总次数?的分布律； （2） 甲射击次数?1的分布律； （3） 乙射击次数?2的分布律。
解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai)?0.6（i?1,2,?）；令Bi表示乙第i次射击时射中，则
P(Bi)?0.7(i?1,2,?)。由此可知：
（1）P{??2k?1}?P(A1B1?AkBkAk?1)?P(A1)P(B1)P(A1)?0.12*0.6，
P{??2k}?P(A1B1?AkBk)?P(A1)P(B1)
P(B1)?0.12
*0.28，k?1,2,?
(1B?AkBk?)PA(B?Bk?Ak?)PA(P)B(P)B (1)（2）
P{?1?k}?PA11111
P(A1)?0.88*0.12
P{?2?k}?P(A1B?AkBk?)PA(B?BkAk?
?)PA(P)B11
?P(A1)P(B1)kP(A1)?0.352*0.12k?1,k?1,2?
P{?2?0}?P(A1)?0.6。
11、 一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从??4的泊松分布。求（1）一分钟内恰好
有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。 解答：因每分钟受到的呼叫数???(4)，因此P{??8}?
，而P{??9}1?{?P9}??
=0.008132。（查表得到）
12、 某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。
解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数
??B(500,0.001)，因n?500较大，而p?0.001较小，因此可利用泊松定理近似计算，
则令??500*0.001，即近似认为???(0.5)。即P{??2}?1?P{??1}?
查表可得等于0.090204。 13、 设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零件
多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？
解答：因每月耗用零件的数量???(3)，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量?小
于等于月初所备的零件数x，也就是P{??x}?1??
?0.999，查表可得x?10。
14、 设?服从泊松分布，且P{??1}?P{??2}，求P{??4}。
解答：因???(?)，即P{??1}?
，由此可得??2，所以
15、 设?服从参数为?的泊松分布，即P{??k}?e
,k?0,1,2,?，求使得
P{??k}达到极大值的k，并证明你的结论。
P{??k?1}P{??k}
,因此如果??k?1，则
P{??k?1?}??k?1，则P{??k?1}?P{??k}。所以，若存在正整，而若k
数l使得l???l?1，则P{??l}取得最大；而若存在正整数l??，则P{??l?1}与
P{??l}同时达到最大。
16、 设随机变量??B(2,p),??B(3,p)，若P{??1}?5/9，求P{??1}。
?P{??1}?1?P{??0}?1?(1?p)，由此可
解答：因??B(2,p),??B(3,p)，所以得p?17、
。所以P{??1}?1?P{??0}?1?(1?
设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则
扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次
品数的分布？
解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数?只可能取0、1、2，因此?的分布律为P{??0}?
18?。 1098?2
二维离散型随机变量及其分布律习题
1、 设二维随机变量(?,?)可能取的值为(0,0),(?1,1),(?1,1/3),(2,0),(2,1/3)，相应的概率
为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。 （1） （2） （3） （4）
列表表示其联合分布律； 分别求出?和?的边缘分布律；
分别求?在??0和??1/3条件下的条件分布律； 求P{?1?????1}。
解答：由题意可得二维随机变量(?,?)的联合分布律及?和?的边缘分布律为：
（3） 条件概率的定义得：P(???1|??0)?
P(??2|??0)?P(??2|??
1/45/121/61/4
?0，P(??0|??0)?13)?
；P(???1|??，P(??0|??)?0，
（4） P{?1?????1}?P(???1,??0)?P{???1,??}?P{???1,??1}
?P(??0,??0)?P?{?0?,3
}P??{??0,?
2、 在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只球，
用?和?分别表示第一个与第二个球的号码。 （1） 求(?,?)的联合分布律；
（2） 求?在??2条件下的条件分布律； （3） 问?与?是否独立？为什么？
（4） 把摸球从不放回改成放回抽样，问此时?与?是否独立？ 解答：（1）(?,?)的联合分布律为：
注：P{??2,??2}?P{??2}P{??2|??2}?
（2）P{??2}?P{??1,??2}?P{??2,??3}?P{??3,??2}
?条件下的条件分布律为：
，因此，?在??2
注：P{??2|??2}?
P{??2,??2}P{??2}
?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}?
，所以?与?并不独立。 ?
（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即可得知这两个随机变量是相互独立的。
3、 用?和?分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设?和?的联合分
布律为P{??n,??m}?
,n?0,1,2,?,m?0,1,?,n。
（1） 试求?与?的边缘分布律；
（2） 求条件分布律P{??n|??m}和P{??m|??n} 解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：
（1）P{??n}?
?(7.14?6.86)?
,n?0,1,2?，
,m?0,1,?2；
（2）P{??n|??m}?
P{??n,??m}P{??m}
m!(n?m)!7.14m!
P{??m|??n}?
P{??n,??m}
m!(n?m)!14
m?0,1,?n。
4、 设二维随机变量(?,?)的联合分布律如下表所示，问表中x,y取什么值时，?和?独立。
解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：
x?y?1?????x?????6918339
，得：?，验证可知正确。 ?
?1?P{??1,??2}?P{??1}P{??2}?1?(1?x)?y?1??399?9?
5、 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。今各投3次，求 （1） 两人投中次数相等的概率； （2） 甲比乙投中次数多的概率； （3） 写出它们的联合分布律。
解答：以?表示甲投中的次数、?表示乙投中的次数。由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得(?,?)的联合分布律为：
ii3?ijj3?j
其中：P{??i,??i}?C30.6?0.4C30.7?0.3,i,j?0,1,2,3。由此可得：
P{???}?0.....32076
离散型随机变量函数的分布律习题
1、 设?的分布律如下表所示，试求（1）?+2；（2）??；（3）(??1)的分布律。
由此得到：（1）??
2的分布律为：
（2）??2的分布律为：
（3）(??1)2的分布律为：
2、 设?与?独立，??B(m,p),??B(n,p),求?+?的分布律。
解答：因?与?独立，则P{????k}?
?i,??k?i}?
?i}P{??k?i}
?Cn?mp(1?p)
，k?0,1,?,(m?n)，即????B(m?n,p)。
3、 ?1,?2,?,?n相互独立，都服从0-1分布，其分布律为P{?i?1}?p，P{?i?0}?1?p，
i?1,2,?,n，求证：???1??2????n?B(n,p)。
解答：因为?1,?2,?,?n相互独立，都服从0-1分布，因此??
的可能取的值为0,1,?n，
事件{??k}={?1到?n中有k个取1，n?k个取0}，由此对任意k(0?k?n)，P{??k}
?CnP(?1?1)P(?1?0)
，即??B(n,p)。
4、 设(?,?)的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）（2）2?；（3）???2????；
的分布律。
解答：因为(?,?)的联合分布律如下表：
（1）???的分布律为：
注：P{????3}?P{??1,??2}
?P{??2,??1}?
（2）2?的分布律为：
注：P{2??4}?P{??2}?
P{??2,??j}????。
（3）???2?的分布律为：
注：P{???2??0}?P{??2}?
P{??2,??j}????。
?,?)的联合分布律如下表所示，
（1） 求?在??1条件下的条件分布律； （2） 求V?max(?,?)的分布律； （3） 求U?min(?,?)的分布律； （4） 求(U,V)的联合分布律； （5） 求W????的分布律。
解答：（1）P
?1,??j}?0.01?0.02?0.04?0.05?0.06?0.08?0.26，
P{??1,??j}P{??1}
注：P{??j|?
?1}?,j?0,1,?,5。
（2）V?max(?,?)的分布律为：
注：P{V?3}?P{max(?,?)?3}?
（3）U?min(?,?)的分布律为：
注：P{U?2}?P{min(?,?)?2}?
?2,??j}?P{??3,??2}?0.25。
（4）(U,V)的联合分布律为：
注：P{U?1,V?3}?P{min(?,?)?1,max(?,
?)?3}?P{??1,??3}?P{??3,??1}
（5）W????的分布律为：
注：P{W?5}?P{????5}?
?i,??5?i}?0.09?0.06?0.05?0.04?0.24。
6、 设随机变量?1,?2独立，分别服从参数为?1与?2的泊松分布，试证：
P{?1?k|?1??2?n}?Cn(
,k?0,1,2,?,n
??1??(?1),?2??(?2)，?1????1(?2??)。解答：且?1与?2相互独立，所以（例2.13）：2
因此：P{?1?k|?1??2?n}?
P{?1?k,?1??2?n}
P{?1??2?n}
P{?1?k,?2?n?k}P{?1??2?n}
P{?1?k}P{?2?n?k}
P{?1??2?n}
??1???1?k?Cn?1????
???????12??12?
k?0,1,?n。
1、 掷两粒骰子，用?表示两粒骰子点数之和，?表示第一粒与第二粒点数之差，试求?和
?的联合分布律，并讨论?与?是否独立。
解答：以U表示第一粒骰子的点数、V表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U和V相互独立，且P{U?i}?P{V?j}?
,i,j?1,2,?,6。则?和?的联合分布律为：
P{??k,??l}?PU{?V?kU,?V?l?}PU{?
l,?1?2;??5,。4 ,
它们的联合分布表如下表：
由随机变量独立性的定义可知，?和?相互不独立。
2、 设?,?相互独立，P{??i}?pi,P{??j}?qj,i,j可取任意非负整数值，试求：
P{???}和P{???}。
解答：因?,?相互独立，则P{???}?
?i}P{??i}?
3、 在盒子中有N只球，分别标上号码1,2,?,N，现有放回地随机摸n次球，设?是n次
中得到的最大号码，试求?的分布律。
解答：令?i(i?1,2,?,n)表示第i次摸到球的号码，则可得P{?i?k}?
(k?1,?,N)。
由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。而事件{??k}?{?1?k,?2?k,??n?k} 即P{??k}?P{?1?{?1?k?1,??n?k?1}。?k,???k}n
?P{?1?k?1,??n?k1}?
?k??k?1?nn
?(P{?1?k})?(P{?1?k?1})??????,k?1,2,?,N。
4、 设在贝努里试验中（成功的概率为p），直到第k次成功出现就停止试验，到此时为止
所进行的试验次数为?，求证：P{??n}?Cnk??11pk(1?p)n?k,n?k,k?1,k?2,?。 解答：假设到第k次成功时已进行的试验次数为n，则我们可以知道，在第n次试验是成功
的，并且在前n?1试验中有k?1次试验是成功的、有n?k次试验是不成功的，但显然的是：这k?1次成功的试验可以发生在前n?1试验中的任意k?1次。并且由于每次试验是相互独立的，因此，我们可得P{??n}?Cnk??11pk(1?p)n?k,n?k,k?1,k?2,?。
5、 作5次独立重复试验，设P(A)?1/3，已知5次中A至少有一次不发生。求A发生次
数与A不发生次数之比的分布律。
解答：以?表示A在5次独立重复试验中发生的次数，则??B(5,)。已知A至少有一次
不发生，令?表示A发生次数与A不发生次数之比，则可知?的概率分布律为：
|??4}?P{??2|??4}?
P{??2}P{??4}
6、 设?,?相互独立，且服从相同分布P{??n}?P{??n}?1/2,n?1,2,3,?。
（1） 求?1?2?的分布律； （2） 求?2????的分布律。
解答：（1）P{?1?2k}?P{2??2k}?P{??k}?
（2）P{?2?k}?P{????k}?
,k?1,2,?；
P{??i,??j}?
P{??i}P{??k?i}?
，k?2,3,?。
7、 设随机变量?,?相互独立，下表列出了二维随机变量(?,?)的联合分布律及关于?和关
于?的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
解答：因随机变量?,?相互独立，因此
?P{??x2}??12418
?P{??x2,??y1}?P{??x2}P{??y1}
，即得：P{??x2}?
，继而得到P{??x1}?，P{??x1,??y1}?
，P{??x1,??y3}?P{??x1}?P{??x1,??y1}?P{??x1,??y2}?
?P{??x1,??y2}?P{??x1}P{??y2}?P{??y2}，得到P{??y2}?38
P{??x2,??y2}?P{??y2}?P{??x1,??y2}??P{??y2}?
P{??y3}?1?P{??y1}
，P{??x2,??y3}?P{??y3}?P{??x1,??y3}?
连续型随机变量及其分布
习题3.1（p.86）
1、 设随机变量?的分布律如下表所示，
试求?的分布函数，并利用分布函数求P?0???2?。
?0?1?3?11?
解：F?x???24
x?00?x?11?x?33?x?x?
P?0???2??P???0??P?0???2??F?2??F?0??F?0??F?0???2、 函数sinx在下列范围内取值
⑴ ?0,π/2?；⑵ ?0,π?；⑶ ?0,3π/2?；
它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？
解：作为连续型随机变量的密度函数，f?x?在定义范围内满足
①f?x??0；
sinx?0，⑴ ?sinxdx?1且当x??0,π/2?时，故可作为连续型随机变量的密度函数；
⑵ ?sinxdx??cosx
?2?1，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；
⑶?sinxdx??cosx
?1，但当x??π,3π/2?时，sinx?0，故不可以作为连续型
随机变量的密度函数。
3、 要使下列函数成为密度函数，问式中的参数a,b,c应满足什么条件（l1,l2是已知数）？ ?aeb?x?c?
?b?0,? ⑵ g?x??
?1,c任意。
?g?x?dx??ax?bdx
①b?l1，1?
?a?x?b?dx?a?
?a?l2?b???l1?b?
②l1?b?l2，1?a???b?x?dx?
???x?b?dx??a??
?a?l2?b???l1?b?
③b?l2，1?
?a?b?x?dx?a?
?a?b?l1???b?l2?
4、 设连续型随机变量?的分布函数为
F?x???Ax3,
x?00?x?1 x?1
⑴求常数A； ⑵求?的密度函数； ⑶求P???0.5?，P?0.3???1?，P?34?。 解：⑴ F?x?连续，A?F?1???F?1???1，?A?1
⑵ f?x??F??x???
⑶ P???0.5?＝?3xdx?x
P?0.3???1??
P?34??P???34??P????34??
5、 设随机变量?的密度函数为
⑴求未知常数K； ⑵求P??1???1?。
?d???4???2K?e
⑵ P??1???1??
6、设随机变量?的密度函数为
?1?x?00?x?1 其它
求?的分布函数F?x?，并画出f?x?和F?x?的图形。
0???1???Fx?
⑵ x??1，F?x??
?1?x?0，F?x??
0?x?1，F?x??
??1?t?dt???1?t?dt
x?1，F?x??
?f?t?dt??0dt???1?t?dt???1?t?dt??0dt?1
x??1?1?x?0
7、 设随机变量?的密度函数为
f?x???2?x,
0?x?11?x?2 其它
3?3?1??1?，，P???P???????。 4?222????
解：⑴ P?????
⑵ P??????
?xdx???2-x?dx?
?? ??2x??2?4??1
?? ??2x??2?8??1
8、 设k在?0,5?上服从均匀分布，求方程4x?4kx?k?2?0有实根的概率。
解：f?x???5
倘若方程有实根，则??b?4ac?16k?16?k?2??16?k?2??k?1??0
k?2或k??1?舍去?
9、 在区间?0,a?上任意选取一点，用?表示该点的坐标，试求坐标?的分布函数和密度函
解：当x?0时，???x?是不可能事件， F?x??P???x??0
当0?x?a时，依题意P?0???x??kx，k是某一常数。而?0?x?a?是必然事件，
故P?0?x?a??ka?1，所以k?
，从而P?0???x??
F?x??P???x??P???0??P?0???x??0?
当x?a时，???x?是必然事件， F?x??P???x??1，故有 ?0?x
10、在?ABC内任取一点P，用?表示点P到底边AB的距离，AB上的高的长度为h，
求?的分布函数和密度函数。 解：x?0，F?x??0；x?h，F?x??1
0?x?h，概率为梯形面积与整个三角形面积之比，即为
a?x2??2hx?x2?h?
F?x??，故有 ?2
11、设?~N??1,16?
⑴ 求P????1.5?，P??5???1?，P??1?，P?1?2?； ⑵ 求常数c，使P???c??P???c?。 解：⑴P????1.5??P?
??P????0.125????0.125??0.5498 4?
P??5???1??P??1?
?0.5????0.5?????1??0.5328
P??1??P??1???1??P?0?
?0.5????0.5????0??0.1915
P??1?2??1?P??1?2??1?P??0.5?
?1????0.5?????0.5???0.617
⑵P???c??1?P???c??P???c?
P???c??0.5
?0.5????0.5 ?
12、设测量误差?的密度函数
⑴ 求测量误差的绝对值不超过30的概率；
⑵ 如果接连测量3次，每次测量相互独立，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概
解：⑴ ??20,??40，
30?20???30?20??20
P??30??P??30???30??P????
???0.25?????0.125????0.25????0.125??1?0.4931
⑵ 设?表示“测量误差的绝对值不超过30”，?~B?3,0.1394
P???1??1?P???1??1?P???0??1?C3?0.4931
?0?1?0.4931?3
13、一工厂生产的电子管寿命?服从参数为?和?
的正态分布，??160，若要求
P?120???200??0.80，问?最大允许为多少？
解：P?120???200??P?
?40??40??40?
???????2????1?0.8 ?????????
?1.28，??31.25，即允许?最大为31.25。 ??0.9，从而????
14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数15.9%，96分以上占总数
2.3%，问成绩在60～84之间的占总数多少？
解：P???60??0.159
60????60???
??0.159 ????
??60???60?
① ??0.841
96???96???
② ??0.977
P???96??1?P???96??0.023
由①，②得：??72,??12
P?60???84??P?
????1?????1??0.6826 12?
15、设某元件寿命?是个随机变量，其密度为
f?x???1000
问在1500小时内
⑴ 三个元件中没一只损坏的概率?；⑵ 三个元件全部损坏的概率?。
这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。 解：p?P???1500
???f?x?dx1500
⑴ ??p3?8/27
⑵???1?p??1/27
16、设随机变量?的密度函数为
用?表示对?进行三次独立重复观察中事件???12?出现的次数
⑴ 求?的分布律；
⑵ 求P???2?。
解：⑴ P???12??
⑵P???2??C32?????
17、设随机变量?服从在?2,5?上的均匀分布，现在对?进行4次观察，试求至少有2次观
察值大于3的概率。
解： f?x???3
P?1?Cp?1?p??Cp?1?p?
8?1?1?2??1?
?1????C4?????
9?3??3??3?
连续型随机变量及其分布
习题3.2（p.105）
1、 设 (?,?)的联合分布函数为
??C?arctan?, 2??3?
F(x,y)?A?B?arctan
???x???,???y???
⑴ 求参数A、B、C的值； ⑵ 求(?,?)的联合密度函数；
⑶ 求?和?的边缘分布函数与边缘密度函数。
π??π?π??π??
，C??1F??,???AB?C???????????0，
2??2?22????
解：⑴?F???,????A?B?
???x???,???y???
1?xπarctan??π?22
?，fx?Fx????????2
⑶F??x??F?x,????
F??y??F???,y??
?，fy?Fy?arctan?????????2
π?32?π9?y
2、设(?,?)的联合密度函数为
当0?x?1,0?y?2
⑴求?和?的边缘密度函数； ⑵求P?????和P?????1?。
解：⑴当0?x?1时，f??x??
x?xydy?2x?x ??
当0?y?2时，f??y??
?x,y?dx??0?x2?xy?dx?
f?x,y?dxdy?
dxx?xydy???0?x?
f?x,y?dxdy?
x?xydy???1?x372??
3、设(?,?)的联合密度函数为f(x,y)，分别求?、?的边缘密度函数 ?2e?(y?1)
⑴f(x,y)??x3
x?1,y?1其它
解：当x?1时，f??x??
当y?1时，f??y??
⑵f(x,y)??
,x?0,y?0其它
解：当x?0时，f??x??
当y?0时，f??y??
?6xy(2?x?y),
⑶f(x,y)??
0?x?1,0?y?1
解：当0?x?1时，f??x??
f?x,y?dy?0?x?1其它
6xy?2?x?y?dy?4x?3x
当0?y?1时，f??y??
f?x,y?dx?0?y?1其它
6xy?2?x?y?dx?4y?3y
⑷f(x,y)??
?4.8y(2?x),
0?x?1,0?y?x
解：当0?x?1时，f??x??
4.8y?2?x?dy?2.4x
?2.4x2?2?x?
当0?y?1时，f??y??
?x,y?dx??y4.8y?2?x?dx?2.4y?3?4y?
??2.4y?3?4y?y?f??y???
⑸f(x,y)??π
解：当?1?x?1时，f??x??
?822??1?x?f??x???3π?0?
?1?x?1其它
3?822??1?y?
同理，f??y???3π?0?
?1?y?1其它
π(1?x?y?xy)
解：f??x??
?1?x??1?y?
???，同理，?f??y??
4、设(?,?)的密度函数为
0?x?1,0?y?1
求下列事件的概率
⑴P???12,??12?；⑵P?????
?；⑶P???2??
⑷P???1?； 2?
⑹已知??11??
解：⑴ P???,????
时，???的概率。
⑵ P???????1????
⑶ P???2???
P????,?????
?1?12?2?2??
⑸ P?????????
11?2?4??P????
6、第3题各随机变量是否独立？
解：若随机变量?与?相互独立，则f?x,y??f??x?f??y?，因此⑴、⑵、⑹相互独立；⑶、⑷、⑸不独立。
7、设二维随机变量(?,?)在图示的区域G上服从均匀分布。试求
⑴(?,?)的联合密度和边缘密度函数；
⑵求(?,?)落在区域y?1?x2内的概率。 解：⑴ A?
0?x?1,x?y?x
当0?x?1时， f??x??
当0?y?1时，f??y??
??y?x?1?1?y?x
⑵ 求交点，?，x1?；?，222
2y?1?x?2y?1?x??
8、设?，?相互独立，?在?0，2?上服从均匀分布，?的密度函数为 ?5e?5y,
⑴求?和?的联合密度函数； ⑵求P?????。
解：⑴ f??x???2
因为?与?相互独立，所以f?x,y??f??x?f??y???2
9、设一电子器件包含两个部分，分别用?和?表示它们的寿命（单位：小时）。 设(?,?)的联合分布为
?1?e?0.01x?e?0.01y?e?0.01(x?y),
x?0,y?0其它
⑴问?和?是否独立； ⑵求P???120,??120?。 解：⑴ F??x??F?x,????1?e
，F??y??F???,y??1?e
因为F?x,y??F??x??F??y?， 所以?和?相互独立。
⑵P???120,??120??P???120??P???120??1?F??120?1?F??12010、设(?,?)服从二维正态分布
⑴设参数?1?1，?2??1，?1?5，?2?9，??35，写出它的联合密度函数和边缘密度函数；
⑵若(?,?)的联合密度函数为
??????e?2.4
?6(x?4)(y?1)?9(y?1)
求参数?1,?2,?12,?22和?的值，并写出?和?的边缘密度函数。 解：⑴??2?
?6?x?1??y?1??y?1????25??x?1??exp??
f?x,y????????????? ??24π32?5?5??3??3?????5?????
???x???,???y???
⑵ 由公式，?1?4，?2??1，?1?1，?
9?y?1?12、设(?,?)的联合密度函数为
?1?1(x2?y2)
f(x,y)??π
当xy?0当xy?0
求证：?和?的边缘分布分别为N(0,1)。
（注记：本题说明，即使(?,?)的边缘分布分别为正态分布，也不能保证联合分布函数为二维正态分布。） 解：当x?0时，f??x??
当x?0时，f??x??
（式中高斯积分?e
dy?2π，且e
为偶函数，故?
,???x???即?~N(0,1)，同理，?~N(0,1)。
连续型随机变量及其分布
习题3.3（p.122）
1、⑴设?的密度函数为 ??e??x,
求???3的密度函数。
解：y?x3，x?y3，y??3x2?0，y严格单调。由x?0，则y?0。
当y?0时，f??y??f??h?y??h??y???e???2??3y?y3e,
⑵若?的密度函数为f?x?，求???3的密度函数。 解：解法同上，f??y??f
2、设随机变量?在?0,1?上服从均匀分布
⑴求?1?2?的密度函数；
解：f??x???
x??0,1?其它
y?2x，严格单调，由0?x?1，得0?y?2。
当0?y?2时，f??y??f??h?y??h??y??1?
?f?1?y???2
y??0,2?其它
⑵求?2?e的密度函数；
解：f??x???
x??0,1?其它
y?e，x?lny严格单调，由0?x?1，得1?y?e。
当1?y?e时，f?
f??h?y??h??y??f??lnylny??1??
?f?2?y???y
y??1,e?其它
⑶求?3??2ln?的密度函数。 解：f??x???
x??0,1?其它
y??2lnx，x?e严格单调，由0?x?1，得y?0。
???y??e2????
当y?0时，f?3?y??f??h?y??h??y??f??e2
?f?3?y???2
3、设?~N?0,1?，求下列各随机变量函数的密度函数。 ⑴?1?e； 解：f??x??
y?e，x?lny严格单调，由x?R得y?0。
当y?0时，f??y??f??h?y??h??y??f??lnylny??
?f?1?y???2π
解：f??x??
y?2x?1，x??
分段单调，由x?R得y?1。
f?2?y??f???
????2???y?1??
???2???y?1?
?f?2?y???2πy?1?0,?
⑶求?3?。 解：f??x??
y?x，x??y分段单调，由x?R得y?0。
f???y?y??f??yy??
当y?0时，f?
4、设?的密度函数为
?1?x?2其它
求???的密度函数。
解：当?1?x?1时，y?x，0?y?1分段单调，x??
当1?x?2时，y?x，1?y?4严格单调，x?
1?1??1?? ?9?y??
????1???fy?
?，1?y?4 ??
5、设?的密度函数为 ?3x2π2,
⑵f2?x???π
0?x?π其它
?π2?x?π2
分别求出??cos?的密度函数。
解：⑴ 在?0,π?内，y?cosx严格单调，x?arccosy，?1?y?1。
当?1?y?1时，f??y??f??arccosyarccosy???3?arccosy?2
?f??y???π?y?
3?arccosy?π
?1?y?1其它
,?内，y?cosx分段单调，x?arccosy或arccosy?π，0?y?1。 22?
当0?y?1时，
f??y??f??arccosyarccosy??f??arccosy?πarccosy?π??
?f??y???π?y
6、设电流I是一个随机变量，它在9~11安培内均匀分布，若电流通过2欧姆的电阻，求 功率W?IR的密度函数。
解：fI?i???2
i??9,11?其它
，w?2i2?0严格单调，162?w?242，i?
当162?w?242时，fW?w??fI?
??w?????2???w?
?fW?w???42w
7、设?的密度函数
求??1的密度函数。
解：F??y??P???y??P?1?y??P???1y?
?1?P???y??1?
令x?，dx??dt，x：???，t：0
??2?dt?1??t??y
8、设?、?独立同分布，服从指数分布，密度函数为 ??e??x,
求⑴?1????；
⑵?2?2?的密度函数。
解：⑴0?x?z，当z?0，f??z??0
当z?0，f??z??
f??x?f??z?x?dx?
????zz??z????f?????e2,
⑵f?2?z?????2??2?2
9、设?、?独立，?在?0,2?上服从均匀分布，?服从参数为1的指数分布，求?????的 密度函数。 解：f??z??
f?x,z?x?dx?
f??x?f??z?x?dx
，f??z?x???
?e??z?x?,??
当z?0，f??z??0； 当0?z?2，f??z??当z?2，f??z??
1?e，0?z?2?2??12?z
?f??z???e?1e，z?2
10、设?、?相互独立，?~N?1,3
?2??5；⑵?2????；
⑶?3?2??3??5，求各?i的密度函数。
1?2??5~N?7,6
?~N?3,13??
?3??5~N?1,72??
11、设某种商品每周的需要量是一个随机变量，其密度函数为 ?te?t,
并设各周的需要量是相互独立的，试求
⑴ 两周需要量的密度函数；
⑵ 三周需要量的密度函数。 解：⑴ ?????，?与?独立同分布
z?0，f??z??0；当z?0时，
f??x?f??z?x?dx
??xz?x?dx?
?f??z???3!
⑵ ?????，?与?相互独立
z?0，f??z??0；当z?0时，
f??x?f??z?x?dx x
?f??z???5!
12、设??,??的密度函数为
??的密度函数。
解：z?0，F??z??0；当z?0时，
f?x,y?dxdy?
e2?,z?0，?f?z???2???1
13、在长为a的线段上随机地任取两点，求这两点间距离的密度函数。 解： ?~U?0,a?，?~U?0,a?，???? ?a2??a?z?2
F??z??P????z???a?0,?
?f??z??F???z???a2
,0?z?a?2??a
14、假设一电路装有三个同种元件，其工作状态相互独立，且无故障时间服从参数为?的指
数分布。当三个元件都无故障时电路工作正常，否则电路不能正常工作。试求电路正常 工作的时间T的概率分布。 ?1?e??t,
解：F?t???
?1?e?3?t,??
?FT?t??1??1?F?t??
?fT?t??FT??t???
15、设?1,?,?n独立同分布，其密度函数
f?x???e4?0,?
求??max??i?的密度函数，并求P???4?。
解：?1,?,?n独立同分布，故Fi?y??F?y?,i?1,2,?,n
当y?0时，F?y??0；
当y?0时， F?y??P??i?y??
y?0，?F?y???F?y??n
-??1?e8?????
?f??y??F???y???4
?-?1?e8??0,
P???4??1?P???4??1??1?e
16、设某种元件寿命近似服从N?160,202?，随机地选取4只，求其中没有1只寿命小于180
小时的概率。
解：p?P???180??1?P???180??1?P?
??1?P???1? 20?
?1???1??1?0.7
故所求概率为P?p4??0.1587
随机变量的数字特征
习题4.1数学期望 （P136）
1. 一整数等可能性地在1—10中取值，以?记除得尽这一正数的正整数地个数，求E(?)。 解：
2.已知随机变量?~B(n,p)，验证：E(?)?np。
3.设在某一规定的时间段里，某电气设备用于最大负荷的时间?（单位：分）是一个连续型随机变量，其概率密度为 1?
x,2?(1500)
f(x)??－(x?3000),2
0?x??x?3000
x(x?3000)dx
4.已知在搜索时间t内发现沉船的概率为
求为了发现沉船所需的平均搜索时间。
解：记?为搜索时间，则F(t)?P(??t)?P(t) ?ae?at
5.已知连续型随机变量?服从柯西分布
,(???x???)
试验证其数学期望不存在。 解：E(?)?
6.已知二维随机变量(?,?)的联合分布律如表所示，
求E(?)，E(?)。 解：E(?)?0?(
?9365)?1?(
E(?)?1?(?)?2(?)?
7.设二维随机变量(?,?)在区域G:x?y,x2?y上服从均匀分布，求E(?)，E(?)。 解：
(x,y)?G其它25
8.一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布 （1） 随机地取一页，求在这一页上错误不少于2个的概率； （2） 随机地取4页，求在这4页上错误不少于5个的概率； （3） 随机地取8页，求在这8页上错误不少于5个的概率 解：（1）??
0.20!0.80!
0.21!0.81!
（2）??4?0.2?0.8， P?1?(
（3）??8?0.2?1.6
1. 设随机变量?的分布律如表所示
求E(?),E(?2),E(3?
解：E???2?0.4?2?0.3??0.2
?4?(0.4?0.3)?2.8
E(3??5)?3E?
?5?3?2.8?5?13.4
2. 设随机变量?的概率密度为 ?e?x
求(1)??2?;(2)??e?2?的数学期望。 解：（1）E??
3. 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的数学期望。
解：设直径为?，其密度函数为f(x)??b?a
??是一个随机变量。
?(a?b)(a?b)
4. 试求连接以为半径R的圆周上一已知点A与圆周上任意点的弦长的数学期望。 解：
]上服从均匀分布
5. 公共汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，在每小时内
的任一时刻随机到达车站，求乘客等候时间的数学期望值（准确到秒）。 解： 设乘客到达的时间为x，则其密度函数为
1??25?1??15
0?x?1010?x?30
30?x?5555?x?60
则乘客等候时间的期望为
6. 设随机变量?,?的概率分别为
f?(y)??x?0?0
求(1)E(???);(2)E(2??3?)。 解：（1）E(???)?E??E??2?
E(2??3?)?2E??3E??1?
7. 设?,?是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
求(1)E(??);(2)E(?sin?);(3)E(esin?)。
解：（1）?,?独立。E???E??E??
dx??y?2ydy=6?
(2) ??,?独立?E(?sin?)?E??Esin?.
sinyf?(y)dy?2(sin1?cos1)
?E(?sin?)?12(sin1?cos1) (3)E(e??sin?)?E(e??)?E(sin?)
sinyf?(y)dy?2(sin1?cos1)
?E(e??sin?)?E(e??)?E(sin?)?e?5(sin1?cos1) 8. 设随机变量(?,?)的概率密度为
0?x?1,0?y?x
试确定常数k，并求E(??)。 解：
f(x,y)dxdy?
E(??)?2?xdx
9. 承习题4.1，第6题，求E(??)。
10. 设二维随机变量(?,?)服从二维正态分布，其概率密度为
,???x???,???y???
求随机变量??
的数学期望。
11. 将n只球放入M只盒子中去，设每只球落入各个盒子是等可能性的，求有球的盒子数?
的数学期望。 ?1解：设?i??
第i只盒中有球第i只盒中无球(M?1)M
P{?i?1}?1?P{?i?0}?1?
?E?i?1?P{?i?1}?1?(1?
E?i?M[1?(1?
12. 将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去，一只盒子装一只球，将一只球
装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记?为配对的个数，求E(?)。
解：设?i??
第i只球投入第i只盒中
E?i?nE?i?n?
习题4.3 （P159）
1. 设离散型随机变量?的分布律如表所示
求方差和均方差。
解:E???5?0.4?2?0.3?3?0.1?4?0.2??0.3
?25?0.4?4?0.3?9?0.1?16?0.2?15.3
?(E?)?15.21
2. 随机变量?服从几何分布，其分布律为：
,0?p?1,p?q?1,k?1,2,?
?p(?q)??p(
?p[?k(k?1)q
]?pq(?q)???
3. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过。
解:设?~B(1,p)
D??pq?p(1?p)?p?p2?
4. 已知随机变量?~B(n,p)，且E(?)?3.5,D(?)?1.05，求P(??2)。 解:E??np?3.5
D??npq?3.5q?1.05
?q?0.3,p?0.7,n?5
??~B(5,0.7)
P(??2)?1?P(??2)?1?P(??0)?P(??1)
?1?0.35?C50.7?0.3?0.96922
5. 随机变量?的分布函数为
3F(x)??x??0
求E(?),D(?)。
解:f(x)?F?(x)??x4
6. 设随机变量?服从指数分布，其概率密度为
??e??xf(x)??
其中??0为常数，求D(?)。
??x两次分部积分
?D??E??(E?)
7. 设随机变量?服从瑞利分布，其概率密度为
其中??0为常数，求E(?),D(?)。
?D??E??(E?)
8. 设二维随机变量(?,?)在区域G:x?0,y?0,x?y?1上服从均匀分布，求
E(?),E(?)，D(?)，D(?)。
(x,y)?G其它2xdy??19?
9. 设随机变量?,?相互独立，且E(?)?E(?)?0，D(?)?D(?)?1求E{(???)2}。 解:由DX?EX
?E{(???)}?D(???)?E(???)
?D??D??(E??E?)?2 10. 设随机变量?1,?2,?,?n相互独立，都服从参数为的泊松分布，
,求E(?1)，D(?1)。
(2)?2?n?1，求E(?2)，D(?2)。
解: (1) E(?1)?n?,
(2) E(?2)?n?,
11. 某射手每次射击结果可表示为随机变量
射中未射中
且已知P(X?1)?0.6,
现独立地射击三次，记随机变量Y为三次中射中的次数， （1） 若Z?3Y，求E(Z),D(Z)；
（2） 若记S为射击9次射中的总次数，求E(S),D(S)。 解: EX?1?P(X?1)?0?P(X?0)?0.6
Y~B(3,0.6)
EY?3?0.6?1.8
DY?3?0.6?0.4?0.72
(1) EZ?3EY?5.4
DZ?9DY?6.48 (2) ES?9EX?5.4
DS?9DX?2.16
12. 设在同一组条件下独立地对某物的长度a进行了n次测量。又设要进行的第k次测量的结果为?k，它是随机变量且所有的?k((k?1,2,?,n)服从N(a,?2)。试计算n次测量结果的平均长度
的数学期望和方差。
13. A袋中有球3只，编号为1,3,5。B袋中有球5只，编号为2,4,6,8,10。甲从A袋中有放回地摸球三次，乙从B袋中有放回地摸球二次。求五次摸球中所摸到的球的号码之和
的数学期望和方差。
解: 设?~A袋中摸球3次号码之和
?~ B袋中摸球3次号码之和
E??E??E??21
D??D??D??24
14. 已知随机变量?,?相互独立，且它们的分布律分别如表所示
??，求E(?),D(?)。
?1?0.2?1?0.1?1?0.1?1?0.2?0.6
?(E?)?(E?)?0.6?0.09?0.09?0.42
15. 证明：如果随机变量?,?相互独立，则
D(??)?D(?)D(?)?[E(?)]2D(?)?[E(?)]2D(?) 解: D(??)?E(??)?[E(??)]?E??E??(E?)?(E?)
?[D??(E?)]?[D??(E?)]?(E?)?(E?)
?D??D??(E?)D??(E?)D?
16. 一台设备由10个独立工作的元件组成，每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05。设在时间T发生故障的元件数为随机变量?，试用契比雪夫不等式来估计?和它的数学期望的离差（1）小于2的概率；（2）不小于2的概率。
解: ??np?10?0.05?0.5
?=npq?10?0.05?0.95?0.475
(1)P{????2}?1?
(2) P{????2}?
17. 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700。利用契比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200－－9400之间的概率。 解:
P{???2100}?P{5200????1?(
1.已知二维随机变量(?,?)的联合分布律如表所示：
求E(?),E(?),D(?),D(?),cov(?,?),???。 解: E??0?
25?1?35?365
D??25 E??0?
cov(?,?)?E(??)?E?E??
?cov(?,?)150
2.设随机变量(?,?)具有概率密度
试求E(?),E(?),cov(?,?)。 解:
xf(x,y)dxdy?
yf(x,y)dxdy?
(奇函数在对称区间上积分为零)
xyf(x,y)dxdy?
cov(?,?)?E(??)?E?E??0
3.设随机变量(?,?)具有概率密度
(x?y),0?x?2,0?y?2
求E(?),E(?),cov(?,?),???。 解: E??
(x?y)dy?(x?y)dy?1818
(x?y)dy?(x?y)dy?(x?y)dy?
cov(?,?)?E(??)?E?E???
cov(?,?)D?
4.设随机变量?~N(0,1)，且令???，求证?,?不相关。 解: cov(?,?)?cov(?,?)?E[(??E?)(?
cov(?,?)?E[?(?
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示所得球上的数字，求?的分布律。解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、…
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示所得球上的数字，求?的分布律。解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、…
第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用?表示所得球上的数字，求?的分布律。解答：因为?只能取-3、1、2，且分别有2、…
本文由()首发，转载请保留网址和出处！
免费下载文档：