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如图所示，A、B两点在函数y=的图象上。
（1）求m的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点。请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
题型：解答题难度：中档来源：专项题
解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A（1，6），可得m=6设直线AB的解析式为y=kx+b∵因为A（l，6），B（6，1）两点在函数y=kx+b的图象上∴解得∴直线AB的解析式为y=-x+7；（2）如图，所含的格点有3个，分别是（2，4），（3，3），（4，2）。
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，A、B两点在函数y=的图象上。（1）求m的值及直线AB的解析..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用，一次函数的图像，反比例函数的图像，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
求一次函数的解析式及一次函数的应用一次函数的图像反比例函数的图像求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。 性质：（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。k，b决定函数图像的位置：y=kx时，y与x成正比例：当k&0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k&0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b时：当 k&0，b&0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。当b&0时，直线必通过第一、二象限；当b&0时，直线必通过第三、四象限。特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。这时，当k&0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k&0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的画法：（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。反比例函数的图象：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。反比例函数图象的画法：（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。（3）连线：用平滑的曲线连接点。当双曲线在一三象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。当双曲线在二四象限，K&0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。 常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。k的意义及应用：过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。推论内容：一次函数y=x+b或y=-x+b若与反比例函数存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为不同象限分比例函数图像：常见画法：反比例函数解析式的确定方法：由于在反比例函数关系式 ：y= 中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。但在实际求反比例函数的解析式时，应该具体问题具体分析。
反比例函数的应用：建立函数模型，解决实际问题。 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y=
(k≠0)；②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；③由代人法解待定系数k的值；④把k值代人函数关系式y=
中。反比例函数应用一般步骤：①审题；②求出反比例函数的关系式；③求出问题的答案，作答。
发现相似题
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高中数学求解函数解析式难点突破
编者按：精品学习网小编为大家收集了&高中数学求解函数解析式难点突破&，供大家参考，希望对大家有所帮助!
求解函数解析式是高中数学常考的知识点，也是高中生最难掌握的饿知识点之一，同时还是高考重点考查内容之一，所以，掌握求解函数解析式尤为重要。爱学啦总结了一些求解函数解析式难点重点和一些常用的解题方法，希望能帮助广大高中生提升自己的高中数学成绩。总结如下：
●难点磁场
(★★★★)已知f(2-cosx)=cos2x+cosx,求f(x-1).
●案例探究
[例1](1)已知函数f(x)满足f(logax)= &(其中a&0,a&1,x&0),求f(x)的表达式.
(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求?f(x)?的表达式.
命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.
知识依托：利用函数基础知识，特别是对&f&的理解，用好等价转化，注意定义域.
错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.
技巧与方法：(1)用换元法;(2)用待定系数法.
解：(1)令t=logax(a&1,t&0;0
因此f(t)= &(at-a-t)
∴f(x)= &(ax-a-x)(a&1,x&0;0
(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c
并且f(1)、f(-1)、f(0)不能同时等于1或-1，所以所求函数为：f(x)=2x2-1或f(x)=-2x2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.
[例2]设f(x)为定义在R上的偶函数，当x&-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.
命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力.因此，分段函数是今后高考的热点题型.属★★★★题目. 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线.
错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱.
技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式.
解：(1)当x&-1时，设f(x)=x+b
∵射线过点(-2，0).∴0=-2+b即b=2，∴f(x)=x+2.
∵抛物线过点(-1，1)，∴1=a&(-1)2+2,即a=-1
∴f(x)=-x2+2.
(3)当x&1时，f(x)=-x+2
综上可知：f(x)= 作图由读者来完成.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法;
2.换元法或配凑法，已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法;
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)若函数f(x)= (x& )在定义域内恒有f[f(x)]=x,则m等于( & &)
A.3 & & & & & & & & & & & & & & &B. & & & & & & & & & & & & & & & & & &C.- & & & & & & & D.-3
2.(★★★★★)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x&1时，f(x)=(x+1)2-1,则x&1时f(x)等于( & &)
A.f(x)=(x+3)2-1 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & B.f(x)=(x-3)2-1
C.f(x)=(x-3)2+1 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & D.f(x)=(x-1)2-1
二、填空题
3.(★★★★★)已知f(x)+2f( )=3x,求f(x)的解析式为_________.
4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为 ，求f(x)的解析式.
6.(★★★★)设f(x)是在(-&,+&)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间[2，3]上时，f(x)=-2(x-3)2+4，求当x&[1,2]时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0&x&2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.
7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.
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频道关键词求二次函数解析式的常用方法；四川省仪陇县实验学校李洪泉；求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是；1、根据二次函数的一般式求解析式；当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通；例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABC；（不必求点P的坐标，只需说明理由）；析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出；?DAB?60?,A(?1,0),DC，
求二次函数解析式的常用方法
四川省仪陇县实验学校
求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是初中、高中数学知识的一个衔接点。它所涉及的知识面广，解题技巧高，因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解析式的常用方法。
1、根据二次函数的一般式求解析式
当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通常可设函数解析式为一般式2y=ax+bx+c求解。
例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使?PDB为等腰三角形的点P有几个?
（不必求点P的坐标，只需说明理由）
析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出
?DAB?60?,A(?1,0),DC，A、D、C为抛物线上
的任意三点
，因此可令
抛物线的解析式为一般式：
??a?b?c?0???，解得：?
b?故：过A、D、C三点的抛物y?ax2?bx?c，则
?c?3???4a?2b
线的解析式为：y?2xx；对称轴为直线x=1.（第三问解略） 点评：根据二次函数的一般式求解析式，必须知道抛物线上三点的坐标，目的是列一个三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。
2、根据二次函数的顶点式求解析式
2已知二次函数顶点坐标(h，k)或对称轴x=h时，通常可设函数解析式为y=a(x-h)+k求
例2、（四川省南充高中2011邀请赛题）如图，已知点B(?2,0),C(?4,0)，过点B,C的?M与直线x??1相切于点A（A在第二象限）,点A关于x轴的对称点是A1，直线AA1
MB上；与x轴相交点P。（1）求证：点A（2）求以M为顶点且过A1在直线1的抛物线的
D，当?D与解析式；（3）设过点A1且平行于x轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为
?M相切时，求?D的半径和切点坐标。
分析：根据垂径定理、切线的性质和轴对称的性质不难求
的坐标为(?，点A
的坐标为(?1，点A
的坐标为(?1,。因此，求以M为顶点过A1的抛物线的
解析式可令为y?a(x?3)2，把A
1的坐标(?1
入得：a(?1?3)2?
a?，故抛物线
的解析式为y??（第三问解略） x?3)2?2
点评：把抛物线的顶点和另一点的坐标代入抛物线的顶点式解析式，列一个一元一次方程，就可求解出顶点式中待定系数a的值。若只知道抛物线的对称轴，则还必须知道抛物线上另两点的坐标，列二元一次方程组求解出待定系数a和k的值。
例3、(2001年云南曲靖中考题)已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求此二次函数的解析式。
2解：由对称轴为x=1，可设二次函数解析式为y=a(x-1)+k。直线y=x-3与x轴、y轴分
别相交于A、B两点，由此可求得两点坐标分别为：A(3，0)，B(0，-3)。根据二次函数的图象经过A、B两点可
22∴a=1，k=-4。∴此二次函数的解析式为y=(x-1)-4=x-2x-3。
3、根据二次函数的交点式（又叫两根式）求解析式
已知二次函数图象与x轴的两交点的坐标(x1，0)、(x2，0)时，通常可设函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)求解。
例4、（四川省南充高中2009年自主招生题）已知抛物线y?ax?bx?c与x轴交于2
A(x1,0)、B(x2,0)，与y轴正半轴交于点C，已知x1,x2是方程x2?2x?24?0的两根
（2）画出此抛物线的图像，并根(x1?x2)?ABC的面积为30.（1）求此抛物线的解析式；
据图像写出函数值大于零时自变量x的取值范围；（3）点M在线段AC上，点N在线段BC上，若MN//x轴，以MN为直径的?P与x轴相切，求此圆圆心P的坐标。
分析：根据一元二次方程根与系数的关系和面积法不难求出x1??4,x2?6，c=6，因此，A的坐标为(?4,0)，B的坐标为(6,0)； C的坐标为(0,6)。令抛物线的解析式为
1y?a(x?4)(x?6)，把C的坐标代入得：a?4?(?6)?6，解得a??，故抛物线的解析4
1121式为y??(x?4)(x?6)??x?x?6。 442
点评：知道抛物线与x轴的两个交点的坐标和抛物线上另一点的坐标时，既可根据抛物线的一般式来求解析式，也可根据交点式来求解析式，但选择后者求待定系数的值计算较前者简单一些，所以，我们常常选择根据交点式来求抛物线的解析式。但根据交点式求抛物线的解析式的前提条件是抛物线必须与x轴有交点（即在y?ax2?bx?c中??b2?4ac?0）。若抛物线与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上），则令抛物线的解析式为y?a(x?x1)2。有时也要综合利用二次函数解析式的三种形式来求出待定系数的值。
例5 设二次函数y?ax2?bx?c，当x?3时取得最大值10，并且它的图像在x轴上截得的线段长为4，求二次函数的解析式．
分析： 当x=3时，取得最大值10的二次函数可写成y?a(x?3)2?10且a＜0．又因为抛物线的对称轴是x?3，图像在x轴上截得的线段长是4，所以由对称性，图像与x轴交点的横坐标分别是1，5．因此，二次函数又可写成y?a(x?1)(x?5)的形式，故：
55525a??，?y??(x?3)2?10??x2?15x? 解得：a(x?3)2?10?a(x?1)(x?5)2222
4、根据图像变换时点的坐标变化规律求抛物线的解析式
抛物线发生平移时，抛物线的解析式变化存在着一定的规律：○1把抛物线y?ax2?bx?c向左或右平移m（m&0）个单位得到的抛物线的解析式为
22把抛物线y?ax?bx?c向上或向下平移n（n&0）个单y?a(x?m)2?b(x?m)?c；○
位得到的抛物线的解析式为y?ax?bx?c?n.
例6、（甘肃兰州)把抛物线y??x向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
分析：第一种思路，把抛物线先向左平移1个单位得到的解析式应为y??(x?1)；再向上平移3个单位，则得到的抛物线的解析式为y??(x?1)?3。第二种思路，令两次平移后的抛物线上的任意一点的坐标为(x,y)，则这一点在原抛物线上的对应点的坐标为
2(x?1,y?3)，把点(x?1y,?3代)入y??x2得到y?3??(x?1)，整理得：2222
y??(x?1)2?3，故两次平移后的抛物线为y??(x?1)2?3。
点评：抛物线进行对称和旋转变换时，求变换后的抛物线的解析式也可以根据点的坐 3
标变化规律来求。
例7、（宁德市）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于2
A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图
（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；
分析：本题不难求出P点的坐标为(?2,?5)，a的值为
因此抛物线C1的解析式为y?5， 95(x?2)2?5。因为C2与 C1关9
于x轴对称，所以可令抛物线C2上的任意一点的坐标为(x,y)，
则抛物线C1上的对应点的坐标为(x,?y)，把(x,?y)代入解析式y?5(x?2)2?5得9
55?y?(x?2)2?5，整理得：y??(x?22)?5，即抛物线C2的解析式为99
5y??(x?2)2?5；当点M与点P关于点B成中心对称时，抛物线C3就与抛物线C2关于9
直线x=1对称，所以令抛物线C3的任意一点的坐标为(x,y)，则在抛物线C2上的对应点的坐标为(2?x,y)（根据线段的中点坐标公式可得），把(2?x,y)代入y??(x?2)?5得：52
555y??(2?x?2)2?5??(x?4)2?5，即抛物线C3的解析式为y??(x?4)2?5。 999
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