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刚体运动学和刚体转动惯量：教案分析.ppt 36页
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第一章刚体力学刚体的转动(1)1刚体的定轴转动转动动能转动惯量力矩转动定律第一节刚体的转动引言物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的距离都保持不变——刚体。说明1)理想化的力学模型；2)任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变的质点系。1刚体的定轴转动一、刚体运动1、平动当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。2、转动刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这条直线叫作转轴。瞬时转轴：转轴随时间变化——一般转动固定转轴：转轴不随时间变化——刚体定轴转动定轴转动的特点：各质点都作圆周运动；各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。3、刚体的一般运动一个汽车轮子在地上的滚动刚体的运动＝平动＋转动二、刚体转动的角速度和角加速度角位置θ角速度ω角加速度α二、刚体转动的角速度和角加速度角速度矢量对于质点的曲线运动和刚体定轴转运，即转轴在空间的方位不变，只有“正”“反”两种转运方向，通过角速度的正负即可指明。一般来说，转轴可在空间取各种方位，只用正负不足表明转动方向，需要引入角速度矢量。矢量形式二、刚体转动的角速度和角加速度角速度和角加速度在直角坐标系和正交分解式为：，刚体作定轴转动时，可令z轴与转轴重合，则：，故，三、匀变速转动当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度角速度角位移角位置四、角量与线量的关系线速度切向加速度法向加速度例题、一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒内转过的圈数(3)再利用第2节、刚体的转动动能刚体以角速度ω作定轴转动质元——Δmi，距转轴——ri，速度为——vi=riω动能为整个刚体的动能就是各个质元的动能之和用转动惯量表示刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。三、转动惯量1、定义刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。2、说明转动惯量是标量；转动惯量有可加性；单位：kg·m23、转动惯量的计算例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm=?dx?为单位长度的质量思考：若在第2种情况下，细棒与竖直的转轴成θ角例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：dm=?dx?为单位长度的质量例3、求质量为m、半径为R均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。解：取半径为r宽为dr的薄圆环,圆柱体等于圆盘的叠加例4、质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量在球面取一圆环带，半径5、影响刚体转动惯量的因素刚体的总质量；刚体的质量分布；转轴位置。若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有——平行轴定理I＝IC+md2。说明：1)通过质心的轴线的转动惯量最小；2)平行轴定理可以用来计算刚体的转动惯量。四、平行轴定理思考：证明质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量为第3节力矩、转动定律一、力矩1、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。力通过转轴：转动状态不改变力离转轴远：容易改变力离转轴近：不易改变2、力对点(O点)的力矩3、力对转轴的力矩情况1：力与轴平行，则M=0力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩情况2：刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内力臂：转轴和力的作用线之间的距离d称为力对转轴的力臂。力矩：力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩。M=Fd情况3：若力F不在与转轴垂直的平面内,则有：与转轴平行的分力F1，与转轴垂直平面内的分力F2，只有分力F2才对刚体的转动状态有影响。4、合力矩结论：合力矩对于每个分力的力矩之和。5、单位N·m二、转动定律1、一个质点的情况法向力Fn=man，通过转轴，力矩为零切向力Fτ=maτ=mrβ对转轴的力矩为M=r×Fτ=mr2β质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩dff’两个内力的合力矩为零。推广：刚体的内力力矩之和为零。3、刚体的情况把刚体看成是由许多质点所组成的，对于质点i，假设它的质量为△mi，所受的外力为Fi，内力为fi，则其中Mi为外力矩和内
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力矩 转动定律 转动惯量
在古典力学中，转动惯量又称惯性矩（Moment of inertia），通常以&&或&&表示，为[kg]·[m2]。转动惯量用以描述一个物体对于其旋转运动的改变的对抗，是一个物体对于其旋转运动的。转动惯量在中的角色相当于线性动力学中的，描述、、和等数个量之间的关系。对于一个，，其中&&是其，&是质点和转轴的垂直距离。对于一个有多个质点的系统，。对于，可以用无限个质点的转动惯量和，即用计算其转动惯量，，其中是密度，是体积元。如果一个质量为&&的物件，以某条经过质心&&点的直线为轴，其转动惯量为&。在空间取点&，使得&&垂直于原本的轴。那么如果以经过&、平行于原本的轴的直线为轴，&的距离为&，则&。拥有很大的转动惯量，可以用来使机械运转顺滑。在直线运动，。在旋转运动，则有，其中是，是。一般物件的是。将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的&Qxyz ，一个刚体的惯性张量&&是&。(1)这里，矩阵的对角元素&&、&、&分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。设定&&为微小质量&&对于点 Q 的相对位置。则这些转动惯量以方程式定义为&，&，(2)&。矩阵的非对角元素，称为惯量积, 以方程式定义为&，&，(3)&。图 A如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的&Gxyz 的角动量&&定义为&。这里，&代表微小质量&&在 Gxyz 座标系的位置，&代表微小质量的速度。因为速度是角速度&&叉积位置，所以，&。计算 x-轴分量，相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为&，&，&。如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量&&，让角速度&&为&&，那么，&。(4)主条目：平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量&&，而质心 G 的位置是&&，则刚体对于原点 O 的惯性张量&&，依照平行轴定理，可以表述为&，&，(5)&，&，&，(6)&。证明：图 Ba) 参考图 B ，让&&、&分别为微小质量&&对质心 G 与原点 O 的相对位置：&，&。依照方程式 (2)，&。所以，相似地，可以求得&&、&的方程式。b) 依照方程式 (3)，&。&。因为&&，&，所以相似地，可以求得对于点 O 的其他惯量积方程式。图 C参视图 C ，设定点 O 为直角座标系的原点，点 Q 为三维空间里任意一点，Q 不等于 O 。思考一个刚体，对于 OQ-轴的转动惯量是&。这里，&是微小质量&&离 OQ-轴的垂直距离，&是沿着 OQ-轴的，&是微小质量&&的位置。展开叉积，&。稍微加以编排，特别注意，从方程式(2)、(3)，这些积分项目，分别是刚体对于 x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量与惯量积。因此，&。(7)如果已经知道，刚体对于直角座标系的三个座标轴，x-轴、y-轴、z-轴的转动惯量。那么，对于 OQ-轴的转动惯量，可以用此方程式求得。因为惯性张量&&是个的三维，我们可以用对角线化，将惯量积变为零，使惯性张量成为一个。所得到的三个必是正实值；三个必定互相。换另外一种方法，我们需要解析特征方程式&。(8)也就是以下等于零的的：&。这方程式的三个根&&、&、&都是正实的特征值。将特征值代入方程式 (8)，再加上方程式，&，我们可以求到特征向量&&、&、&。这些特征向量都是刚体的惯量主轴；而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为&、&、&，角速度是&&。那么，角动量为&。刚体的动能&&可以定义为&，这里，&是刚体质心的速度，&是微小质量&&相对于质心的速度。在方程式里，等号右边第一个项目是刚体的动能，第二个项目是刚体的动能&。由于这旋转运动是绕着质心转动的，&。这里，&是微小质量&&绕着质心的角速度，&是&&对于质心的相对位置。 因此，&。或者，&。所以，&。(9)假设 x-轴、y-轴、z-轴分别为一个刚体的惯量主轴，这刚体的主转动惯量分别为&、&、&，角速度是&&。那么，刚体的动能为&。&求 摩擦力对 y 轴的力矩解在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算例如2. 刚体对定轴的转动定律在国际单位中 k = 1刚体的转动定律　讨论(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同(3) 与牛顿定律比较：3. 转动惯量刚体绕给定轴的转动惯量 J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。定义式&&& 质量不连续分布质量连续分布物理意义转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。计算转动惯量的三个要素:(1)总质量； (2)质量分布； (3)转轴的位置(1) J 与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量(2) J 与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量&例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量&(3) J 与转轴的位置有关4 平行轴定理例 均匀细棒的转动惯量　&&&&&&&&&&(2) (薄板)垂直轴定理x,y 轴在薄板内；z 轴垂直薄板。例如求对圆盘的一条直径的转动惯量已知(3) 几种刚体的转动惯量下面给出了一些常见刚体的转动惯量。请注意在转动惯量的计算中，转轴位置的重要性。　　5. 转动定律的应用举例例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图)求 (1) 飞轮的角加速度&(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速&&&&&&&&&&&&&&&&&&&解&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解 取一质元&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩&对一有限过程从上式看到：外力对刚体所作的功等于合力矩对角位移的积分，它是力做的功在刚体转动中的特殊表现形式。&讨论(1) 合力矩的功&&(2) 力矩的功就是力的功。(3) 内力矩作功之和为零3. 转动动能定理 ——力矩功的效果对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理　对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立：系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能的增量。如果只有保守内力做功，系统的机械能也守恒。例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置　解&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&由动能 定理此题也可用机械能守恒定律方便求解
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PASCO转动学实验研究--以测定刚体的转动惯量为例
PASCO转动学实验系统利用传感器采集数据并利用计算机处理数据，但实验过程中发现误差仍然很大，据统计学生在实验时相对误差高达30﹪以上，就算在教师辅助测量时也很难把误差控制在20﹪以内。为此，论文主要研究影响实验数据准确性的因素，从而确定出减小实验误差的方案。
Abstract：
PASCO rotation experimental system used sensor to collect data,and it used computer to processed data. During the experiment error is still large, according to statistics the relative error reaches above 30% in the student experiment, even if teachers aided measurement it is also very difficult to put the error control in the 20 within. The impact factors of accuracy of experimental data was investigated so that determine the scheme of reducing error.
CHEN Li-juan
TAO Shu-fen
作者单位：
曲靖师范学院,云南曲靖,655011
年，卷(期)：
Keywords：
机标分类号：
在线出版日期：
基金项目：
曲靖师范学院教务处项目。
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