线性代数行列式习题 计算行列式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-04-16 11:47 标签： 线性代数行列式的计算
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《线性代数》（15）
1、矩阵的行列式定义
矩阵的行列式，determinate，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量；
二维矩阵[{a,c},{b,d}]的行列式等于：det(A) = ab-cd。
2、n维矩阵的行列式
假设矩阵A为n维的方阵，定义Aij为从A中删除第i行、第j列之后剩下的n-1维方阵。
可以沿着A的第一行来求取行列式：det(A) = a11*A11-a12*A12+...+a1n*A1n，这是一个递归的定义，包含n项，每一项的正负号等于 （-1)的(i+j)次方。
实际上可以对A的任意一行、任意一列按上面的方法来求取行列式，可以挑选包含0比较多得行(列)。
3、矩阵标量乘法的行列式
当矩阵的某一行（列）与标量相乘时，det(A') = k*det(A)；
当矩阵与标量相乘时，det(kA) = k的n次方 * det(A)。
4、矩阵行列式的一些规律
1)如果矩阵A= {r1,r2,...ri...,rn} B={r1,r2,...ri',...rn} C={r1,r2,...ri+ri',...rn}，则有det(C) = det(A)+det(B)
2)如果矩阵A有两行（列）相等则，det(A) = 0
3)如果矩阵A将两行交换后得到矩阵B，则有det(A)=-det(B)
4)如果矩阵A进行行变换后得到矩阵B，则有det(A)=det(B)；可以通过行变换达到3)的效果，这个过程中会发生-1数乘某行。
5、上三角矩阵的行列式
所谓上三角矩阵，就是对角线以下的位置全部为零（aij=0 if i&j）；
上三角矩阵的行列式等于 &a11*a22*...*ann；
基于这个特性，可以通过行变换，把矩阵转换为上三角矩阵，再求行列式。
6、行列式与平行四边形面积
两个二维向量v1，v2，可以作为平行四边形的临边来定义一个平行四边形。两个向量构成矩阵A={v1，v2}，那么平行四边形的面积 = det(A)的绝对值。
7、行列式作为面积因子
任意一个几何形状，面积为S；假如经过线性变换A，得到新的线性变换，则新几何形状的面积= S*det(A)的绝对值。
8、转置矩阵行列式
矩阵Am*n，如果将Aij与Aji的位置进行交换，得到一个新矩阵Bn*m，则B称值为A的转置矩阵。可见转置矩阵也是相互的，AB互为转置矩阵。
如果A、B互为转置矩阵，则有 det(A) = det(B)
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