线性代数问题（行列式证明）
猫又゛啥髠
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抱歉我不会，我没学过
这种三线型一般按第一行或第一列展开得递推公式
令该行列式为Dn
按第一列展开Dn=(a+b)Dn-1
aDn-1=b(Dn-1
bDn-1=a(Dn-1
D2=a^2+b^2+ab
得Dn - aDn-1=b^n
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线性代数 行列式的展开计算
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线性代数同济第四版习题详解
线性代数习题详解
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
201abc（1）1
（2）bc81bb2
?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)
=?24?8?16?4 =?4
?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8
a?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc b
?3abc?a3?b3?c3
c?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 c2
?(a?b)(b?c)(c?a)
?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3
?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
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贡献者：目之所及
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线性代数笔记（ 一 ）
一、行列式
1、 行列式的来源是解多元一次线性方程组。X1=d1/d; x2=d2/d
2、 全排列。Pn=n! 逆序数。列标排列的逆序数为奇（偶）数的排列叫奇（偶）排列。
3、 行列式的值=不同行不同列的偶排列的三和-不同行不同列的奇排列的和。
4、 行列式的值与转置行列式的值相等。因此行列式中行与列的地位等同。
a) 互换两行，行列式变号。
b) 两行相同，其值为0
c) k 某行= k 行列式
d) 行列式两行成比例，其值为0
e) 行列式相加为两行相加。一个大于n阶的行列式，其中有n个加和行，则能分解成2^n 个行列式的加和。
f) 把一行的整数倍加到另一行上，相当于一个行列式与0相加。其值不变。；
以上是行列式关于行或关于列的三种云算：交换行、行乘法、行变换。用其法可以将行列式变为上三角行列式。可证明，任何行列式都可以化成上三角行列式。[这是因为上三角能完全地表达不同行不同列之间的关系。]
h) 行列式的结构：分块行列式：
i. 分块的上三角：D=D1 D2
i) 变换行列式的常用方法&&递推
5、 代数余子式：A_ij = （-1）^(i+j) M_ij,
有定理：一个行列式可以按照行或列展开为其行或列的各元素与代数余子式的乘积的加和。证明可用：矩阵行对换、分块矩阵、矩阵加法。-1的幂j+j
是由调换了i+j+2次决定的。此法常用来手工计算行列式的值。
范德蒙特行列式 vandermonde。下一行的幂数比上一行大1。, 它的值为：，其中有一个特点，就是如果存在任意的ai=aj ,
那么其值为零。可以用归纳法证明其成立：首先是D2。然后假定Dn-1成立，推导Dn。推导时，先用行变换法把第一列除第一行以外的元素清零。然后展开。展开以后得到了Dn=()()()&()
Dn-1 从而因为已经假定Dn-1成立，所以Dn成立。
非对应的行（列）的代数余子式的展开的值是0。这是因为非对应的某行的元素与代数余子式中的那一行元素相同。因此，代数余子式所在行的元素能够被代数余子数的系数任意地替代，从而用代数余子式的系数构成一个新的行列式。
8、 克莱姆法则：x_i=D_1/D ，D&&0
此法则可用来解线性方程组。从而可以讨论线性方程组的解的结构。若D&&0
，则解存在，且唯一。若D=0，则解要么不存在，要么有两个不同的解。
矩阵是m行n列数表。表示上，行列式两边是竖线，矩阵两边是方括号。矩阵中的数，可以是：复数、实数、无理数、有理数、整数，等。表示法：（a_ij）
(a_ij)_m*n A_m*n . n阶方阵记为：A_n
。单行矩阵叫行向量，单列矩阵叫列向量。行列数相等的矩阵叫做同型矩阵。同型矩阵且对应相等的矩阵叫做互相相等的矩阵。元素都是0的矩阵叫做零矩阵。记作0。
矩阵的特点是其用途。矩阵中的一个值有三层含义：2个属类，方向，以及标量值。例如，我们用矩阵表示多元一次线性方程组的系数，并且存在任何行列式都可以用那些不改变多元一次方程组的解的变换&&行变换的方式&&来化成三角行列式。我认为这说明行列式中的元素没有方向上的区别。即：ij
与ji 相同。
a) 用来记录数据
b) 用来解方程
c) 用来记录逻辑01
用来对向量进行变换&&线性变换。线性变换中，内部的关系可以是相等、加、减、倍数。两个变量之间能够相互加减，但不能相乘除。
i. 可以是多变量变换
ii. 可以表示二维空间的多种操作：影射、旋转等。
3、 矩阵的运算
a) 加法：定义为同型矩阵的对应元素相加。有交换律、结合律。
b) 减法：一个矩阵加上另一个矩阵的负矩阵。负矩阵就是对矩阵中的每个元素都取负号。
c) 数与矩阵相乘：与每个元素相乘。有交换律、结合律、分配律
d) 以上统称线性运算。
矩阵互乘：可以类比为连续变换。因此是位置敏感的。变换操作的先后顺序决定了变换的结果。并且要求前后衔接的变换具有相同的&接口&。变换的结果是一个行数等于最后变换矩阵行数，列数等于最初变换矩阵列数的矩阵。单位列向量可变成一个数。单位行向量却不可变成一个数字，只能变成多个数字或多个向量。C_ij=&Sa_ik
b_kj, 。 矩阵乘法有结合律、分配律、可提取公因数，但没有交换律。
矩阵乘法的应用。乘法的含义：m*n意为m个n相加，或n个m相加。A*B的含义为B的列向量与A的行向量对应相乘，然后相加。其结果保留A的行数，B的列数。其中每个元素的乘法和整数的乘法含义是相同的。并且按A行进行加总。
i. 逻辑矩阵的乘法得到的结果的含义更加丰富。
ii. 矩阵乘法的一个最重要的应用：线性变换。即将一个向量按照一个确定的线性变换规则A变换为另一个向量。
iii. 矩阵的n次幂的证明问题经常用到数学归纳法。
g) 当A为方阵时，与之相乘的单位矩阵可以有交换律。纯量阵即&E也是可以交换的。
h) 幂：只有单位阵才有幂。幂的运算：不可交换的幂的运算没有一般的形式。
i) 转置：A^T ：将A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵。
ii. 加法自由位置分配律
iii. 与数乘无关
iv. 乘法倒转位置分配律
v. 特殊的矩阵：A=A^T 对称矩阵。
vi. 特殊的对称阵：H=E- 2 XX^T 且 X^T X =1 且 E 为n阶方阵。 有 H H^T=E
。将一个数称为&一阶方阵。&
j) 方阵的行列式 detA 。 区别：方阵是一个数表；而行列式是一个数。
i. |A^T|=|A| 行列式与转置无关
ii. |&A|=&^n |A| 矩阵的数乘相当于行列式数乘的&的n次幂倍
iii. |AB|=|A||B| 行列式对矩阵乘法可以有分配律
iv. |AB|=|BA| 行列值只与矩阵的乘数因子有关，而与其乘法的顺序无关
v. 可见，行列值具有更大的确定性。
k) 伴随矩阵：A^* 行列式|A| 的各个元素的代数余子式所构成的矩阵。
i. A A^*=A^* A= |A|E 因为&非对应的行（列）的代数余子式的展开的值是0。&所以就有了|A| E
这样的结果。又因为行列式的行与列等价，所以有A A^*=A^*
A。这个矩阵与伴随矩阵相乘相当于反向运用了矩阵的代数余子式展开公式。这样就把矩阵与伴随矩阵的相乘变成了行列式与单位矩阵的相乘结果。
三、逆矩阵
1、 逆矩阵来自于对线性变换的逆运算。用伴随矩阵左乘 Y=AX 两端。A^* Y = |A| X, X= A^*/|A|
2、 定义A^(-1) = A^*/|A| , 有 A A^(-1)=E
3、 矩阵是可逆的充分必要条件是矩阵的行列式的值不为零。这种矩阵就是非奇异矩阵。
4、 B=A*(-1) 的充分必要条件是 AB=E
5、 (A^(-1))^(-1)=A 可逆矩阵的逆的逆是矩阵本身
6、 (&A) ^(-1)=1/& A^(-1) . 逆操作就如同幂一样，对数的乘法有分配律。必要条件：&&0
7、 (AB)^(-1)=B^(-1) A^(-1); 有趣的推论：因为|AB|=|A| |B| ；(AB)^*=B^* A^*
即，对矩阵的乘积的伴随操作得到的结果是交换了位置的伴随矩阵的乘积。之所以会在取伴随矩阵的乘法分配律的时候出现位置的交换是由于伴随矩阵操作包含了取转置操作。伴随矩阵是转置的代数余子式。不仅转置求代数余子式，而且还要根据其位置取正负号。才得到A^*
8、 (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T ； 证明：右边=((A^*)^T)/|A| =
(A^T)^*/|A|=(A^T)^(-1)=左边。这个定理是说逆操作和转置操作的顺序在某种程度上来说是等价的。证明中利用了伴随操作和转置操作的互换。这个从伴随操作的定义可以证明。只要证明(-1)^(i+j)=(-1)^(j+i)即可。
a) 那么伴随和逆是否可以任意调整顺序呢？即((A^*)^(-1)=(A^(-1))^*是否成立？要看|A*|=(|A|)^*
是否成立。因为A A^*=|A|E , 所以|A A^*|=|A|^n, |A| |A^*|=|A|^n,
|A^*|=|A|^(n-1) .
那么(|A|)^*=1；显然求行列式与求伴随阵这两个操作是不可任意互换的。因为任何一阶方阵即一个数的行列式的值是其本身，而其伴随阵则永远是1。而伴随阵的行列式的值不仅和原矩阵的行列式的值有关，而且与阶数有关。而，求逆的步骤就是求伴随阵/行列式。因此，分子是伴随阵的伴随阵，即(A^*)^*
分子是伴随阵的行列式：|A^*|=|A|^(n-1)。右边分子相同，也是：(A^*)^*，分子是1。那么这个式子只有在A为一阶方阵的情况下才成立。那么我们就证明了伴随和逆是不等价的操作。
进一步我们可以发现，转置操作是比较表面的操作，似乎没有改变矩阵的内部结构。而逆和伴随操作则不同，他们不能互换。从这个|A^*|=|A|^(n-1)公式看出伴随操作一般地增加了矩阵的行列式的值，而伴随矩阵本质上是按行展开的反向操作。A
A^*=|A|E，得到了按行展开的N倍。从而有了A
(A^*/|A|)=E这个式子。其中E代表的含义就是保持原状。|E|=1。从这里我们就探究到了一些行列式的值所代表的矩阵的含义和信息。首先当|E|=0时，这类矩阵具有某种共性。这我们暂且不提。当|A|=1时。这类矩阵可以约化成某种特点，E就是其类的代表。当我们求|
A (A^*/|A|)|
的时候，我们就要注意到其内部的结构。任何数和矩阵相乘，其结构就是和矩阵的每一个元素相乘。然后，如果要再求其行列式的值，就出现了与其阶数相关的一个&^n
则| A (A^*/|A|)|=|1/|A| A A^*|=(1/|A|)^n |A| |A^*|=|A|^(-n ) |A|
|A|^(n-1)=|A|^0=1 。这样，|A^*/|A||=|A|^(-1)
。所以说，伴随操作改变了矩阵的行列式的值。伴随矩阵的作用是先把矩阵的行列式的值增大，得到了|A|E。这样就距离得到A^(-1)进了一步。这进一步就是在指从这个伴随操作中得到E。而且还得到了|A|。
9、 利用逆矩阵可以进行简单的矩阵运算。
这种运算主要运用了矩阵乘法、矩阵的指数运算、&矩阵除法&、加减法、结合律分配律。甚至一些题目设计了伴随、转置、行列式求值等复合运算。
b) 类似初等代数多项式的矩阵多项式：由A^k, A^l, E
构成。由于他们与数类似，都不存在左右搭配的位置上的限制，都是可交换的。因此适用乘法交换律。
c) 幂次不变形式A=P&LP^(-1), A^k=P&L^k P^(-1), 其用途是用来计算幂次变化的A。
d) f(P&LP^(-1))= Pf(&L)P^(-1)
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