篮球中的数学思想
——兼谈数据分析
(外国语学院 日语专业 1511612)
摘要：通过对篮球比赛的一系列讨论分析，使用简单易懂的数学建模、大数据分析等方法，简单介绍了篮球中的一些数学思想，最后引出“大数据时代下，对篮球的数据分析尤为重要”这一结论。
关键词：投篮；数学建模；大数据分析；预球权分；新型数据提取技术
1、问题的提出
1.1、在篮球盛行的当今，许多人认为一支球队要想取得一场篮球比赛的胜利，要靠球员的自身能力与球队的整体配合。那么一场比赛的胜败与数学到底有没有关系呢？
1.2、为了下面的讨论方便起见，先在这里简要地介绍一下篮球的基本常识： ①篮球运动是以运球、投篮、上篮和扣篮为中心的对抗性室内体育运动之一。
②从边线的中点画一平行端线的横线称中线。中线应向两侧边线外各延长0.15米（15厘米）。 ③以中线的中点为圆心，以1.80米为半径（半径从圆周的外沿量起），画一个圆圈称中圈。 ④三分投篮区是由场上两条拱形限制出的地面区域。在此区域外投篮得三分。
⑤罚球区是限制区加上以罚球线中点为圆心、以1.80米为半径向限制区外所画的半圆区域，它是执行罚球的区域。
⑥从罚球线两端画两条线至距离端线中点各3米的地方（均从外沿量起）所构成的地面区域叫限制区。它的作用是：球在本队控制时，限制本队队员在对方限制区内停留的时间不得超过3秒钟。
1.3、介绍完了篮球的一些基本常识，我们将开始对篮球与数学进行一系列探讨，运用数学的思想与方法“打”一场动脑子的篮球。
2、投篮问题的数学建模
关于定点投篮，我认为在排除了非自身因素的前提下，篮球出手速度、角度和高度是影响命中率的三大因素。作为一名篮球运动的爱好者，我对投篮运动的分析很感兴趣，在学习了一些数学知识后，我试图用数学建模的方法，分析定点投篮，如何控制好出手力度、高度和方向，才能使篮球的命中率达到最大化，从而使我们的训练和比赛变得科学化、严谨化，而不只是靠运气。
2.1、模型假设
①、不考虑篮球碰篮板；
②、不考虑球出手后自身的旋转；
③、不考虑空气阻力对篮球的影响；
符号假定：
篮框距投球点的水平距离
篮框中心高度
篮球运动员的出手高度
篮球运动员投篮出手速度
(按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm)
2.2、分析与模型的建立
假设篮框和篮球的大小不予考虑，可以将其视为球心的斜抛运动。列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，并以球心P为坐标原点，得到球心的运动轨迹，于是出手角度与出手速度、出手高度以及篮框的入射角度与出手角度之间的关系可以表示出球心命中框心的条件，由此可对不同的出手高度、出手速度，计算入射角度和出手角度。
可将其视为球心的斜抛运动,以未出手时的球心p为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手角度?和出手速度 v投出，其运动方程如下：
x t =vtcos?y t =vtsin?- g为重力加速度，可得到球心运动轨迹为：y=xtan?-x2
v22gg?，以x=L，y=H-h代入上gL2式，即可得到球心命中框心的条件：tan?=gL[1± 1-v(H-h+2v)]
。由此式计算
出的两个出手速度角度记作?1、?2且设?1&?2，可以看出?1是h和v的减函数，球入篮筐时的入射角度β可从下式得到：tan?=dy
dx 计算代入后可得：tan?x=L ，=tan?-2(H-h)
L于是对应于?1&?2，有?1&?2。
由此可知，出手角度与入射角度成正相关，我们可以以此为基础研究投篮问题，下面我们对于上面推出的关系式作解释。投篮时，要首先确定自己投篮的弧度，我们如果加入风对篮球的影响因素，若投篮时逆风，投篮的弧度越大，球相对在空中的时间越长，此时风对球的影响作用也就越明显，因此这个时候就应该减小投篮时出手的角度。反之亦然。关系式是理想状况下得出的，因此，投篮时出手的角度由投篮者个人的喜好而定。得到的结论告诉我们，理想状况下，投篮角度越大，力度也要增大。如果运用好这一结论，无疑可以将投篮变得更加科学化、条理化，让投篮者更有信心，而不是光靠运气。这一理论，将对于篮球教学、
训练大有益处。但是它也不是万能的，这个结论忽略了实际中的一些影响因素，所以会有偏差，它只能增大进球机率，保证投进是不现实的。
3、赛场上的大数据分析
3.1、一场跌宕起伏的比赛
号，圣安东尼奥马刺队做客克利夫兰迎战骑士队，整场比赛都打得十分焦灼。直到第四节末，骑士的得分后卫迪昂-韦特斯命中了一记高难度跳投，使骑士在最后
9.5秒取得2分领先。也同样留给了马刺9.5秒的时间，速贷中心那些骑士球迷的情绪甚至都开始失控。马刺队叫了暂停，并获得了一次前场球的机会，他们决定打一个他们最喜欢的战术。马特-邦纳快速把球发给了距篮框30尺远的托尼-帕克，待邓肯做了个结结实实的挡拆，迫使泰勒-泽勒换防帕克，帕克抓住这一时机迅速从左侧突破。比赛还剩下6.7秒，帕克控制了下平衡，准备来一个他命中率最高的上篮来扳平比分。霎时间，他看到了什么，然后改变了他的主意。科怀-伦纳德安静的待在弱侧底角，没有人注意到他。因为帕克突的十分坚决，侵略性十足，他的突破成功吸引了伦纳德的防守者——韦特斯，他一直被吸引到了禁区。而伦纳德就静静的杵在那块无人区，帕克很快也注意到了这点，于是帕克手腕一甩，送出了一记精准的助攻，那球沿着底线直直的飞向了伦纳德，韦特斯绝望的扑上去也只是徒劳。剩下的就是例行公事，那个时候，这个漂亮的助攻已经完成，伦纳德只需要在他最喜欢的位置投中最喜欢的那个底角三分。他投进了，而马刺也以一分的优势带走了胜利。
3.2、这个完美的配合在数据统计上可简化为几个基本的数字：
邓肯的挡拆无记录，托尼帕克凶悍的突破和果断的传球最终被记上一笔助攻，伦纳德增加1次出手，1次命中，添上3分。赛后，托尼帕克提到了那个与伦纳德做出绝杀骑士的配合：“我想我本可以命中那个上篮，但我看到了空位的科怀。我不只是要拿下一场胜利，我还要组织好我的队友们，让他们能整晚出色的发挥，所以在最后时刻我愿意做一个正确的决定。”
3.3、“预球权分”的提出
在2013年的早春，德阿莫尔和瑟沃尼计划创建一个新的项目来测量NBA里的性能值。他们的假设核心是：每次篮球球权的“状态（state）”都有一个值。这个值由一个即成篮球事件的概率决定，其结果为该次球权的总预期得分。NBA每次球权得分的平均值接近为1分，其预期得分的准确值又随着时刻的改变而波动，而这些波动的原因就是场上瞬息万变的各种突发事件。
而且他们还坚信，SportVU数据所带来的启发，可以做到估计NBA整个赛季中每场比赛每个球员每一刻钟的性能值。要想准确估计性能值，就要做到准确记录，那么建立一个精准的采样模型至关重要，并且要求这个模型要充分考虑到这些重要的因素——每个球员的得分能力、球员的场上坐标、场上是哪个球员持球、该球员持球的状态以及该球员在场上的位置（1-5号位）。这样，对NBA的性能值进行量化分析就变成了一种全新的方式。
或者说，假如你在某年的NBA赛季中的某场比赛的任意时刻暂停了任一场比赛。德阿莫尔和瑟沃尼的中心思想是：无论你在任意时刻暂停比赛，你都能够科学的估计该次球权的“预期球权得分（expected possession value）”，或者简称“预球权分（EPV）”。
打个有趣的比方，假设大鲨鱼奥尼尔持球距篮筐50多尺远，且比赛时间只剩下3秒多，并且有四个人对他贴身防守，那么我们大概也能猜到这球怕是进不了，那么这一时刻奥尼尔的预球权分就无限接近于0。相反，同样效力于洛杉矶湖人队的科比假设在篮下持球，且完全无人盯防，我们也能猜到这两分他是拿定了，那么这一时刻科比的预球权分就无限接近于
2。场上的情况当然也不至于如此极端，但还是能通过预球权分机制来评估出来的。
这仅仅只是一个新式的概念，而真正的“奇思妙想”就从这里开始。
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6960-初二上学期物理预习领先班（2012人教修订版） 15 杜春雨
6892-初二上学期秋季物理满分冲刺班（2012人教修订版） 14 杜春雨
年寒假初二下学期物理预习领先班（人教修订版） 14 杜春雨
年春季初二下学期物理满分冲刺班（人教修订版） 15 杜春雨
年春季初二下学期物理拓展拔高班（人教修订版） 15 杜春雨
-2013学年暑假初二上学期物理预习领先班（人教修订版） 16 杜春雨
-初二新生物理秋季班（人教修订版目标满分班） 14 杜春雨
6893-初二上学期秋季物理拓展拔高班（2012人教修订版） 14 周伟学
6894-初二上学期秋季物理满分冲刺班（2012人教修订版） 14 周伟学
年寒假初二下学期物理预习领先班（人教修订版） 14 周伟学
年春季初二下学期物理满分冲刺班（人教修订版） 15 周伟学
5895-初二上学期物理预习领先班（沪科版） 14 杜春雨
6561-初二上学期秋季物理满分冲刺班（沪科版） 13 杜春雨
年春季初二下学期物理满分冲刺班（沪科版） 16 杜春雨
年寒假初二下学期物理预习领先班(沪科版) 14 杜春雨
年寒假初二下学期物理预习领先班（沪科修订版） 14 杜春雨
年春季初二下学期物理满分冲刺班（沪科修订版） 16 杜春雨
-初二新生物理暑假班（沪科修订版预习领先班） 15 杜春雨
-初二新生物理秋季班（沪科版修订版目标满分班） 14 杜春雨
7329-《跟老杜挑战物理竞赛题》-初二上学期 8 杜春雨
7768-《跟老杜挑战物理竞赛题》--初二下学期 14 杜春雨
7748-《姚老师讲物理》--初二上学期期末考前冲刺班 7 姚楷
8223-《姚老师讲物理》技巧篇——浮力的计算 1 姚楷
8224-《姚老师讲物理》力学板块——功和功率 3 姚楷
8252-《姚老师讲物理》力学版块——机械效率 3 姚楷 ",fen"
8253-《姚老师讲物理》力学版块——机械能 2 姚楷
8356-《姚老师讲物理》——物理，开门（力电磁篇） 1 姚楷
8357-《姚老师讲物理》——物理，开门（声光热篇） 1 姚楷
-2013学年暑假初二上学期物理预习领先班（人教修订版） 16 姚楷
-初二新生物理秋季班（人教修订版目标满分班） 14 姚楷
姚楷初二物理课堂实录&&&&&&&&&&&&&
年寒假初二下学期物理预习领先班（北师版） 14 杜春雨
年春季初二下学期物理满分冲刺班（北师版） 15 杜春雨
年寒假初二下学期物理预习领先班（苏科版） 14 杜春雨
年春季初二下学期物理拓展拔高班（苏科版） 14 杜春雨
-初三新生物理暑假班（人教修订版预习领先班） 17 杜春雨
-初三新生物理秋季班（人教修订版目标满分班） 17 杜春雨
6610-初三上学期秋季物理满分冲刺班（沪科版） 17 杜春雨
5978-初三上学期物理预习领先班（沪科版） 17 杜春雨
年中考一轮：物理考点拔高串讲班 16 杜春雨
年中考二轮：物理专题突破冲刺满分班 12 杜春雨
9148-初三新生物理暑假班（沪科修订版预习领先班） 20 杜春雨
年中考一轮：物理考点拔高串讲班 16 杜春雨
年中考二轮：物理专题突破冲刺满分班 12 杜春雨
7454-初三化学下学期寒假课内突破班 10 江成
年初三化学中考总复习 15 江成
9157-初三新生化学暑假班（预习领先班） 15 江成
学年秋季初三化学满分冲刺班 15 江成
8214-初中化学难点突破:溶液 2 潘鹏飞
8215-初中化学难点突破:酸、碱、盐 4 潘鹏飞
8216-溶液的基本原理及概念 4 陈潭飞
8225-全面掌握酸碱盐的基本知识 7 陈潭飞
8839-中考化学基本理论及细节掌控 4 陈潭飞
9158-初三新生化学暑假班（预习领先班）(中小学软件） 15 陈潭飞
学年秋季初三化学满分冲刺班 15 陈潭飞
学年暑假初一科学（浙教版预习领先班） 17&
高中课程&&
8892-【初升高暑假班】化学必修1领先高考预习班（人教版,兼顾苏教版鲁科版）" 30 郑瑞
9402-高一化学尖端培养计划班（2013暑期实录） 30 郑瑞
8157-高一化学尖端培养计划班（2013春季实录）45 郑瑞
8175-高二化学目标211（2013春季实录） 30 郑瑞
8872-【新高二暑假班】化学选修4反应原理领先高考预习班（人教版，兼顾苏教版鲁科版）(共享） 30 郑瑞
8875-高考化学总复习课程之一轮复习（上） 30 郑瑞
(（1-15）之5793-高一上学期化学预习领先班 15 江成
(（16-30）之6755-化学必修1同步强化班 15 江成
(（31-37）7651-化学必修2预习领先班（无机化学部分） 7 江成
(（38-52）8168-化学必修2同步强化班 15 江成
高一化学上半年卡 30 江成
8870-【新高二暑假班】化学选修4（反应原理）预习领先班 10 江成
5794-【初升高暑假班】化学必修1预习领先班 15 赵文乐
10147-高考化学反应考点汇总 9 丁端尘
8264-高考专题：活泼的非金属元素 3 丁端尘?
7275-高考专项突破：氧化还原反应 2 乔康?
高中化学实验大全（共223）&&
高中课程（生物）&&
8108-生物必修3同步强化班 18 高阳
6853-高三生物目标211（2012秋季实录） 31 高阳
5258-高三生物二轮复习 22 高阳
5330-高三生物三轮复习(无讲义） 17 高阳
8876-【高中暑假班】15课时学完生物必修1 15 高阳
"8877- 13课时学完生物必修2 " 13 高阳
8878-高考生物总复习课程之一轮复习（上） 15 高阳
8146-高三生物目标211（2013春季实录） 16 高阳
8906-基础知识零失分冲刺 5 刘纯
9258-高考社科文阅读零失分冲刺 3 刘纯
9259-高考文言文阅读零失分冲刺 11 刘纯
8904-40课时学完高中语文 40 刘纯
7367-高分作文：如何叙事 4 张亚南
7634-高考语文必备常识——文言文语法 3 张禾强
7189-高考写作：作文如何审题立意 2 杜冲
7232-《5课时全面突破高中古诗词鉴赏题》 5 张亚南
7232-《5课时全面突破高中古诗词鉴赏题》 5 张亚南
7189-高考写作：作文如何审题立意 2 杜冲
高考现代文题型全突破 14 刘纯
7760-作文必备常识——考场作文结构的秘密 2 张禾强
7734-阅读题满分关键第二式——答题方法 3 张禾强
7751-阅读题满分关键第三式--答题术语 3 张禾强
7633-高考语文必备常识——现代汉语语法课程 3 张禾强
7188-古典诗歌鉴赏评价满分攻略 3 杜冲
7297-低得分率盘点：古诗词赏析真题 3 张亚南
7300-高分作文：经典开头结尾 3 张亚南
8050-鉴赏题神器之一——修辞手法 3 张禾强
冲刺高考作文一类文 15 刘纯
高中课程（数学）&&
8882-【初升高暑假班】数学必修1预习领先班 16 邓杨
8943-高一数学目标211（2013寒假实录） 21 邓杨
7728-高一数学尖端培养计划班（2013寒假实录） 21 邓杨
8155-高一数学尖端培养计划班（2013春季实录） 45 邓杨
8912-高二数学尖端培养计划班（2013暑期实录） 30 邓杨
自主招生热点难点特训班（数学） 21 邓杨
8863-高考数学总复习课程之一轮复习（上） 22 邓杨
自主招生“华约”数学考前集训班 6 邓杨
自主招生“北约”数学考前集训班 6 邓杨
7720-高二全国数学联赛（2013寒假实录） 21 陈晨
8181-高二全国数学联赛（2013春季实录） 45 陈晨
8879-【初升高暑假班】数学必修1预习领先班 7 姚和朋
8107-数学选修2-3同步强化班 9 姚和朋
8077-南瓜数学之算法初步（必修3第1章） 5 郭化楠
8184-南瓜数学 之统计（必修3第2章） 5 郭化楠
8183-南瓜数学 之概率（必修3第3章） 5 郭化楠
7376-南瓜数学之三角函数（必修4第1章） 12 郭化楠
7750-南瓜数学 之平面向量（必修4第2章） 7 郭化楠
7808-南瓜数学之三角恒等变换（必修4第3章） 5 郭化楠
8363-南瓜数学高考 之完胜立体几何 6 郭化楠
8916-南瓜数学高考 之小题提速技巧 3 郭化楠
8514-南瓜数学高考 之大题提速技巧 6 郭化楠
8902-南瓜数学 之必修1 31 郭化楠
8903-【高中暑假班】南瓜数学 之必修3 15 郭化楠
9807-南瓜数学之必修4 24 郭化楠
9408-高一数学尖端培养计划班（2013暑期实录） 30 郭化楠
8861-【新高二暑假班】数学选修2-1预习领先 9 邓诚
9958-数学必修1同步强化班 7 邓诚
6154-数学选修1-1预习领先班 7 赵芸
8881-【初升高暑假班】数学必修1预习领先班(辽宁sun) 12 赵芸
6155-数学选修2-1预习领先班 8 赵芸
6618-数学选修2-1同步强化班 7 赵芸
7493-数学选修2-2预习领先班 6 赵芸
8064-数学选修2-2同步强化班 7 赵芸
7644-数学必修5预习领先班 12 赵芸
)-数学必修2预习领先班 10 赵芸
8161-数学必修3同步强化班 5 赵芸
-数学必修2同步强化班 10 赵芸
9957-数学必修1同步强化班 10 赵芸
6421-高考专项突破：数列& 3 赵芸
7030-解析几何高考大题全突破 5 赵芸
6073-数学必修3预习领先班 4 "孙旭 "
8159-数学必修5同步强化班 12 邓诚
8880-【初升高暑假班】数学必修1预习领先班 12 邓诚
8211-高中数学模块精讲--圆锥曲线 12 李睿
8319-高中数学模块精讲--导数与函数综合 10 李睿
8515-高中数学模块精讲-三角函数的课程 7 李睿
9457-高中数学模块精讲-数列 10 李睿
9799-高中数学模块精讲-函数基础 7 李睿
10119-高中数学模块精讲-直线与圆 6 李睿
8170-12课时搞定高一下学期英语（人教版） 12 关娜
7653-10课时预习高一下学期英语（人教版） 10 关娜
8886-【初升高衔接班】飞飞讲英语之12次课领跑新高一(学习） 12 刘飞飞&
10104-飞飞讲英语之携程高一秋季学期综合模块精讲 15 刘飞飞
7821-高考英语单项选择分类解析 8 关娜
7852-高考语法系列之并列关系 1 关娜
7853-高考语法系列之被动语态 1 关娜
7854-高考语法系列之虚拟语气 2 关娜
7855-高考语法系列之限定词和数量词 2 关娜
7856-高考语法系列之冠词 1 关娜
7857-高考语法系列之比较结构 1 关娜
7858-高考语法系列之代词 1 关娜
7859-高考语法系列之非谓语动词 4 关娜
7860-高考语法系列之名词性从句和定语从句 3 关娜
7861-高考语法系列之状语从句 1 关娜
7862-高考语法系列之时态 2 关娜
7863-高考语法系列之情态动词 1 关娜
8075-15课时搞定高二下学期英语 15 赵莹
8208-七次课冲刺高考满分写作 7 刘飞飞
10166-90分钟搞定必修1核心单词短语（外研版） 2 顾斐
新东方零基础口语训练营 160讲&&
新东方新概念第四册精讲课程 48讲&&
新东方新概念第三册精讲课程 60讲&&
新东方新概念第二册精讲课程&
新东方新概念第一册精讲课程 144讲&&
高中课程（物理）&&
8919-【初升高暑假班】物理必修1预习领先班 14 章进
9954-物理必修1同步强化班 19 吴海波
7729-高一物理尖端培养计划班（2013寒假实录） 21 蔡子星
9401-高一物理尖端培养计划班（2013暑期实录） 30 吴海波
8888-【初升高暑假班】物理必修1预习领先班 15 于亮
"8866-【新高二暑假班】物理选修3-1预习领先班 " 12 章进&
8153-高一全国高中物理竞赛--数学基础、静电静磁（2013春季实录） 45 蔡子星 &&&
8913-高二物理尖端培养计划班（2013暑期实录） 30 蔡子星 &&
9640-全国中学生物理竞赛夏令营（2013暑期实录） 45 孙鹏等 &&
8180-高二全国高中物理竞赛--电学、相对论进阶（2013春季实录）期待明天 45 蔡子星 &&
8173-高二物理目标211（2013春季实录） 30
8869-高考物理总复习之一轮复习 19 吴海波 &&
7495-物理选修3-3预习领先班 5 章进 &&
7496-物理选修3-4预习领先班 5 章进 &&
8066-物理选修3-4同步强化班 7 章进 &&
8068-物理选修3-2同步强化班（电磁感应部分） 5 张宇明 &&
8078-物理选修3-5同步强化班（近代物理部分） 3 张宇明 &&
8166-物理必修2同步强化班 13 "赵华 " &&
8167-物理必修2同步强化班 13 章进 &&
自主招生“北约”物理考前集训班 4 "黄俏 " &&
7222-备战高考经典专题系列--力的平衡 3 于亮 &&
7230-高考《静电场》--突破“场强”类问题 1 张宇明
6954-物理竞赛集训营（暑期实录）无讲义 36 蔡子星
自主招生热点难点特训班（物理） 21 吴海波
8173-高二物理目标211（2013春季实录） 30 吴海波
自主招生“华约”物理考前集训班 4 蔡子星
8190-高中历史学习法之——4课时突破记忆难关 4 曹赛
高考历史解题方法及专项训练（非选择题） 7 曹赛 &
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