12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(；(1)(2)(3)(4)(5)(6)；??；01；dyyx2；f(x,y)dx；f(x,y)dy??dx?；12；2?x；?dx?；01?22；00；f(x,y)dy；；dy?2f(x,y)dx；；y2?y；dxf(x,y)dy；；?dx010；x?13?2yf(x,y)dy；f(x,y)dx；?dy?dx?
12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f(x，y)在积分区域上连续)：
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
f(x,y)dx； f(x,y)dy??dx?
f(x,y)dy；
dy?2f(x,y)dx；
dxf(x,y)dy；
x?13?2yf(x,y)dy
解答：本题图略，建议画出 (1) (2) (3) (4) (5) (6)
f(x,y)dy；
dy2?yf(x,y)dx；
f(x,y)dy??dx?
f(x,y)dy；
f(x,y)dx??dy 1 2
f(x,y)dx??dy?
1f(x,y)dx；
f(x,y)dx??dy31
f(x,y)dx；
f(x,y)dy??dx?
所属章节：第九章第二节 难度：一级
13．计算下列二次积分：
(1) (2) (3) (4) (5)
dx?e?ydy；
dx?2y2sin(xy)dy；
42πxπxdy??dxdy
dy?1/??dx?
dx??ye?ydy?(1?e?4)；
dx??2dx?dy??2sinxdx?1； (3) ?2dy?2
dx?2y2sin(xy)dy??dy?2y2sin(xy)dx??[2y?2ycos(y2)]dy?4?sin4；
??(1?cosx)2
dy??dy?sin
所属章节：第九章第二节 难度：二级
14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性，计算下列二重积分： (1) (2) (3) (4)
； |xy|d?,D:x?y?R??D
(xtanx?y?4)dxdy,D:x?y?4； ??D
??(1?x?x)arcsinD
d?,D:(x?R)2?y2?R2； R
??(|x|?|y|)dxdy,D:|x|?|y|?1
解答：(1) 设D1:x2?y2?R2,x?0,y?0，则
??|xy|d??4??|xy|d??4?
； rsin?cos?dr?2
23(xtanx?y?4)dxdy???4dxdy?16?； ??D
(3) 由于积分区域关于x对称，被积函数是关于y的奇函数，故??(1?x?x2)arcsin
(4) 设D1:x?y?1,x?0,y?0，则
??(|x|?|y|)dxdy?2??|x|dxdy?8??xdxdy?8?dx?
所属章节：第九章第二节 难度：二级
15．利用极坐标化二重积分??f(x,y)d?为二次积分，其中积分区域D为：
(1) D:x2?y2?ax,(a?0)； (2) D:1?x2?y2?4； (3) D:0?x?1,0?y?1?x； (4) D:x2?y2?2(x?y) (5) D:2x?x2?y2?4 解答：(1)
f(rcos?,rsin?)rdr；
(2) (3) (4)
d??f(rcos?,rsin?)rdr；
11cos??sin?0
f(rcos?,rsin?)rdr；
2(cos??sin?)
f(rcos?,rsin?)rdr；
f(rcos?,rsin?)rdr?d??f(rcos?,rsin?)rdr
所属章节：第九章第二节 难度：一级
16．利用极坐标计算下列二重积分：
(1) (2) (3)
xdy,D:x2?y2?Rx；
(x?y)dxdy,D:(x?y)?a(x?y)； ??D
yarctandxdy,D:1?x2?y2?4,y?0,y?x； ??xD
xdxdy,D:x?y?2,x?y?2x；
?,D:1?x2?y2?4,x?y?
，D：第一象限中由圆x?y?2y,x?y?
4y及直线x?,y所(x?y)dxdy??
xdy??2?d??
??2?R3(1?sin3?)d??R3(??)；
??(x?y)dxdy?4?4d??D
3dr?a4?4cos22?d??
(3) ??arctandxdy??4d???rdr?；
(4)??xdxdy??4?d?D
2cos?8?r2cos?dr??4?(cos4??cos?)d??；
注：本小题与第9大题第（5）小题相同．
????d??edr?e?e4；
??(x?y)dxdy??3d??
rdr???360sin4?d??
所属章节：第九章第二节 难度：二级
17．设r，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) (2) (3) (4)
f(r,?)dr (a?0)；
f(r,?)dr (a?0)；
d??f(r,?)dr (0?a?2π)；
f(r,?)dr (a?0)；
f(r,?)d?；
πr2arcsin22a1r2arcsin22a
f(r,?)d?；
dr?f(r,?)d?；
f(r,?)d??0
f(r,?)d?．
所属章节：第九章第二节 难度：一级
18．计算下列二次积分：
(1) (2) (3) (4)
x2?y2)?3/2dy．
dy??2d??erdr??2
dx??d???rdr??2?d???2；
rdr??2cos3?d??；
rdr??2(sin??cos??1)d??2?
所属章节：第九章第二节 难度：二级
19．计算下列二重积分： (1)
dxdy,D:{(x,y)|0?x?1,0?y?1}；
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1( 计算下列二重积分(
(1)( 其中D({(x( y)| |x|(1( |y|(1}(
解 D( (1(x(1( (1(y(1( 于是
(2)( 其中D是由两坐标轴及直线x(y(2所围成的闭区域(
解 积分区域可表示为D( 0(x(2( 0(y(2(x( 于是
(3)( 其中D({(x( y)| 0(x(1( 0(y(1}(
(4)( 其中D是顶点分别为(0( 0)( ((( 0)( 和((( ()的三角形闭区域(
解 积分区域可表示为D( 0(x((( 0(y(x( 于是(
2( 画出积分区域( 并计算下列二重积分(
(1)( 其中D是由两条抛物线( 所围成的闭区域(
解 积分区域图D({(x( y)| 0(x(1( }( 于是
(2)( 其中D是由圆周x2(y2(4及y轴所围成的右半闭区域(
解 积分区域图D({(x( y)| (2(y(2( }( 于是
(3)( 其中D({(x( y)| |x|(|y|(1}(
解 积分区域图
D({(x( y)| (1(x(0( (x(1(y(x(1}({(x( y)| 0(x(1( x(1(y((x(1}(
(4)( 其中D是由直线y(2( y(x及y(2x轴所围成的闭区域(
解 积分区域图D({(x( y)| 0(y(2( }( 于是
3( 如果二重积分的被积函数f(x( y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积( 即f(x( y)( f1(x)(f2(y)( 积分区域D({(x( y)| a(x(b( c( y(d}( 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积( 即
由于的值是一常数( 因而可提到积分号的外面( 于是得
4( 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)( 其中积分区域D是(
(1)由直线y(x及抛物线y2(4x所围成的闭区域(
解?D({(x( y)|}( 或D({(x( y)| }( 所以
(2)由x轴及半圆周x2(y2(r2(y(0)所围成的闭区域(
解?D({(x( y)|}(
或D({(x( y)| }( 所以
(3)由直线y(x( x(2及双曲线(x 0)所围成的闭区域(
解?D({(x( y)|}(
或D({(x( y)| }({(x( y)|}( 所以
(4)环形闭区域{(x( y)| 1(x2(y2(4}(
解 如图所示( 用直线x((1和x(
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也许对您有用的百度云盘资源推荐百度云盘分享达人推荐相关百度云盘资源推荐aq6euk2q4分享的百度云盘资源解：如图12-2-4，区域D可以看成是y－型区域；D?{?x,y?|?1?y?2,y2?x?y?2；??xyd???dy?2；?1；2y?2；12；xydx??y?x；?12；y?2；dy?；y2；45；．8；我们也可以将D看成是两个x－型区域D1,D2的并；D1?{?x,y?|0?x?1,?x?y?x},；所以积分可以写为两个二次积分的和．即；??xyd?
解：如图12-2-4，区域D可以看成是y－型区域，它表示为
D?{?x,y?|?1?y?2,y2?x?y?2}，所以
??xyd???dy?2
我们也可以将D看成是两个x－型区域D1,D2的并集． 如图1２-2-5，其中
D1?{?x,y?|0?x?1,?x?y?x},D2?{?x,y?|1?x?4,x?2?y?x}
所以积分可以写为两个二次积分的和．即
??xyd???dx?
最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点．
所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是x－型的，又是y－型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子．
例３ 计算二次积分
分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管
的原函数是存在的，但是还是无x
法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算．
dx???d?，其中D是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是x-yxxD
型区域，有D?{?x,y?|0?x?1,0?y?x}，所以
1xsinx1sinxsinxx
??d??dxdy?y0dx?????000 xxxD
??sinxdx???cosx?0?1?cos1
上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果．
设D?{?x,y?|a?x?b,c?y?d}，如果f(x) 和g(y)分别在[a,b]和[c,d]上可积, 则f(x)g(y)在D上可积,并有
??f?x?g?y?d???f?x?dx??g?y?dy．
读者可以自己验证上面的结论． 例４ 计算
22x??yd?， D
其中D?{?x,y?|0?x?1,?1?y?1}． 解：由上面的讨论，有
yd???dx?x2y2dy
x2dx?y2dy?
122??． 339
例５ 求由曲面z?x2?y2与z?1所围的体积
解：此立体如图1２-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积．
圆柱体的体积是V1???1??．曲顶柱体的顶是
底为区域D?{?x,y?|x?y?1}．所z?x2?y2，
以其体积为
V2???x?yd???dx?
所以此立体体积为???．
在这里积分
?y2dy的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在
这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分．
本节最后将给出前面积分运算的几何解释.
当f?x,y?是有界闭区域D上的连续函数且f?x,y??0时，二重积分
??f?x,y?d?表示
的是以D为底，以f?x,y?为顶的曲顶柱体的体积．如图1２-2-8所示．它的体积可以通过计算这个二重积分得到．
我们下面通过另外的一种途径来求其体积．
我们采用的方法是定积分的微元法．
１．以x为积分变量，其变化区间为?a,b?；
２．求在[a,b]的一个小的子区间[x,x?dx]上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积．接下来就是计算这个截面面积．将对于任意的x0??a,b?，用平面x?x0去截曲顶柱体得到截面?
，即???z?fx,y
．它在yoz平面上的投影是一个如图2-３所示的曲边梯形．其面积为 ?
??z?fx,y0?
f?x0,y?dy．
一般地，当x0变动时，有截面面积A?x??
???f?x,y?dy．于是区间[x,x?dx]所对应
???dV?Axdx?的小曲顶柱体体积为??g?x?f?x,y?dy??dx，所以曲顶柱体的体积为 ??
V??A?x?dx???f?x,y?dy???dx． ?aa?g?x??
这样的积分实际上是积分两次，即先对y积分，再对x积分，即二次积分．也记为
?dx???f?x,y?dy．
1.求下列函数的二重积分,
??f?x,y?dxdy,这里D=[0,1]×[0,1].
?1?x?y,x?y?1
1) f?x,y???
?x2?y2,x?y?1
2)f?x,y???
?x?y,x2?y?2x2
3)f?x,y???
0,otherwise?
2. 设f(x)是[a,b]上的连续函数,证明
?b?2?[f(x)?f(y)dy]dx???f(x)dx?.
3.求下列二重积分
x??ydxdy , D?{(x,y)|0?x?2,?x?y?x};
dxdy , D?{(x,y)|1?x?2,0?y?2x};
3 , D?{(x,y)|1?y?2,y?x?y};
ye??dxdy , D?{(x,y)|0?y?1,0?x?y};
??(2x?y)d? , D是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域;
??(2xy)d? , D是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域;
22(x?y)d?，其中D是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1； ??D
??(3x?2y)d?，其中D是x轴、y轴与直线x?y?2所围成闭区域，
223(x?3xy?y)d?，其中D是矩形闭区域：0≤x≤1，0≤y≤1； ??D
，（π,0）和(π,π)的三角??xcos(x?y)d?
， 其中D是顶点分别为（0，0）
形闭区域．
4.交换下列的积分顺序
?dy?f(x,y)
?dx?f(x,y)
?dy?f(x,y)dx??dy?f(x,y)
5)dyf(x,y)
?dyf(x,y) 7)
?dy?f(x,y)dx?dx?f(x,y)dy
5.求下列的积分
?cos2xdx .
6. 画出积分区域，计算积分：
，其中D是由两条抛物线, y?x所围成闭区域， y?xxyd???
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