抛物线的焦点坐标
抛物线的焦点坐标
范文一：（1）抛物线的焦点和半径。1）抛物线，焦点为，准线方程为。2）抛物线，焦点为，准线方程为。（2）焦半径公式。1）抛物线，C 为抛物线上一点，焦半径。2）过焦点的弦长。（3）二次函数。设抛物线方程为二次函数，则：1）顶点坐标为。2）焦点坐标为。3）准线方程为。（4）点在抛物线的内外部判断。1）点在抛物线的内部。点在抛物线的外部。2）点在抛物线的内部。点在抛物线的外部。（5）抛物线的切线方程。1）抛物线上点处的切线方程是。2）过抛物线外点引抛物线的2条切线的切点弦方程是。3）抛物线与直线相切的条件：。（6）过抛物线的焦点F的直线，与抛物线相交于点和，则有即，点O为原点。原文地址：（1）抛物线的焦点和半径。1）抛物线，焦点为，准线方程为。2）抛物线，焦点为，准线方程为。（2）焦半径公式。1）抛物线，C 为抛物线上一点，焦半径。2）过焦点的弦长。（3）二次函数。设抛物线方程为二次函数，则：1）顶点坐标为。2）焦点坐标为。3）准线方程为。（4）点在抛物线的内外部判断。1）点在抛物线的内部。点在抛物线的外部。2）点在抛物线的内部。点在抛物线的外部。（5）抛物线的切线方程。1）抛物线上点处的切线方程是。2）过抛物线外点引抛物线的2条切线的切点弦方程是。3）抛物线与直线相切的条件：。（6）过抛物线的焦点F的直线，与抛物线相交于点和，则有即，点O为原点。
范文二：有关抛物线焦点弦问题的探讨——参考资料过抛物线y2?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点结论1：AB?x1?x2?ppp)?(x2?)?x1?x2?p 222p结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB? 2sin?AB?AF?BF?(x1?证:
(1)若??(2)若???2时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证?2时,设直线L的方程为：y?(x?pp)tan?即x?y?cot?? 代入抛物线方程得22y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot?由弦AB??cot2?y1?y2?2p(1?cot2?)?2psin2?结论3： 过焦点的弦中通径长最小?sin2??1?2p?2p ?的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短. 2sin?S2?oABp3结论4：
?(为定值)AB811OF?BF?sin??OF?AF?sin?22111p2pp2?OF??AF?BF?sin
??OF?AB?sin????2?sin??2222sin?2sin?2S?P3OAB??AB8S?OAB?S?OBF?S?0AF?p2结论5： (1)
y1y2??p (2) x1x2=42y1y2(y1y2)2P2证?x1?
,x2?,?x1x2??22p2p44P22结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，
过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1?AA1?BB12?AF?BF2?AB2故结论得证结论7：连接A1F、B1 F 则 A1F?B1F?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90?
?A1F?B1 F 结论8：（1）AM1?BM1
（2）M1F?AB
（3）M1F2?AF?BF（4）设AM1 与A1F相交于H ，M1B与 FB1相交于Q 则M1，Q，F ，H四点共圆 （5）AM12?M1B?4M1M22证：由结论（6）知M1 在以AB为直径的圆上? AM1?BM1??A1FB1为直角三角形， M1 是斜边A1 B1 的中点
?A1M1?M1F??M1FA1??M1A1F??AA1F??AFA1??AA1F??FA1M1??AA1M1?90?
??AFA1??A1FM1?90??M1F?AB2?M1F?AF?BF ? AM1?BM1
??AM1B?90?又?A1F?B1F2??A1FB1?90?
所以M1，Q，F,H四点共圆，AM1?AF?BF?M1B?AB222????AA21?BB1???2MM1??4MM122结论9： （1）A、O、B1 三点共线
（2）B，O，A1
三点共线（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴证：因为koA?y1yy2y2p?12?,koB1?2??2，而y1y2??p2px1y1py1?22p所以koA?2y22p（3）（4） ???koB1所以三点共线。同理可征（2）p?p2y2结论10：112??
FBp证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为L的倾斜角为? E,因为直线则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?P11?cos??
?1?cos?AFP同理可得11?cos?112????BFPFAFBp结论11：AFAE?
EF平分角?PEQ
(2)BFBE(4) 当? ??2时 AE?BE , 当? ??2时 AE不垂直于BE证:?BB1//EF//AA1?B1EEA1?BFFA?BF?B1B,?A1A?B1EEA1?B1BA1A??AA1E??BB1E?90???A1EA相似于?B1EB ??A1EA＝?B1EB??AEF＋?A1EA＝?BEF＋?B1EB＝90???AEF＝?BEF即EF平分角?PEQ?BF?AEBE?直线AE和直线BE关于X轴对称?KAE＋KBE＝0(4)当? ?
当???2时，AF＝EF＝FB ??AEB＝90???p?时，设直线L的方程为y?k?x-? 将其代入方程y2?2px22??22k2p2pk2?2得kx-p(k?2)x??0
设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1?x2?
24k2??y1y2p2???1 x1x2= 假设AE?BE则 KAE?KBE＝－1 ?pp4x1?x2?22p??p?p??p??p??p???即y1y2?-?x1???x2??
?k?x1-? ?k?x2-??-?x1???x2??2??2?2??2??2??2???pp22p22p2k2?2k2?12?k?1x1x2??x1?x2?k?1?k?1?0?k?1?2422k2?2?????????????2?0?不可能?假设错误?结论得证111??
结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则 |AB||CD|2p推广与深化：深化 1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有y1y2??2pa．22证：设AB方程为my=x-a，代入y?2px．得：y?2pmy?2ap?0，∴y1y2??2pa．|FR|1?|AB|2
深化2： 性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB的中垂线交x轴于点R，则py?tga(x?)2， 证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：p2tga(x?px?)?2px24
代入y?2px得：，22p2x?x(p?2pctga)??04
即：．22由性质1得|AB|?x1?x2?p?2p?2pctg2a?2psin2a，x1?x2p?pctg2a22|FM|?||?||cosacosa， 又设AB的中点为M，则pctg2ap|FM||FE|??||?|cosa|cos2asin2a，
∴|FR|1?∴|AB|2．?深化3：过抛物线的焦点F作n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2π，则有（1）?i?1n1|AiF|?|FBi|为定值；
（2）?i?1n1|AiBi|为定值．证明：（1）设抛物线方程为??p,?A1Fx?a1?cos?．由题意?A2Fx?a??2?n?1,?A3Fx?a???AnFx?a??nnn，11?cosa1?cos(??a)1?cos2asin2a????2pppp2，
所以|A1F|?|FB1|?n?1sin2(a?)sin2(a??)11,?,??22|AnF|?|FBn|pp
同理|A2F|?|FB2|?2?n?1nsin2a?sin2(a?)sin2(a?)???sin2(a??)?nnn2，
易知∴?i?1n?n?1sin2(a?)sin2(a??)1sinannn??????|AiF|?|FBi|p2p2p22p2．2（2）∵|A1B1|?pp2p2p???1?cosa1?cos(??a)1?cos2asin2a，1∴|A1B1|?sina?1,,?2p|AnBn|2sin2(a?n?1?)2p，∴?i?1n?n?122sin(a?)sin(a??)1sin2an??????|AiBi|2p2p2p4p．
范文三：抛物线焦点弦问题（12.12）过抛物线y2?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点结论1：AB?x1?x2?pAB?AF?BF?(x1?pp)?(x2?)?x1?x2?p 22结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB?证:
(1)若??2p sin2??2 时,直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证(2)若???2时,设直线L的方程为：y?(x?pp)tan?即x?y?cot?? 代入抛物线方22程得y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot? 由弦长公式得AB??cot2?y1?y2?2p(1?cot2?)?结论3： 过焦点的弦中通径长最小1 2p 2sin?2p?sin2??1?2?2p ?AB的最小值为2p,即过焦点的弦长中通径长最短. sin?2p2结论4： (1)
y1y2??p (2) x1x2=
4y1y2(y1y2)2P2证?x1?
,x2?,?x1x2??2p2p44P222结论5：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1?AA1?BB12?AF?BF2?AB2
故结论得证结论6：连接A1F、B1 F 则 A1F?B1F?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90?
?A1F?B1 F结论7： 112??
FBp证：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为? 则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?11?cos?P?
AFP1?cos?同理可得111?cos?12???
?BFFBPp111??|AB||CD|2p
结论8：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则2
范文四：题56 抛物线y?x2上到直线x?y?2?0的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1
设抛物线y?x2上的点的坐标是x,x2，则它到直线x?y?2?0的距离是??d?(x?)2?，当x??时d最小，此时y?.故所求点的坐标是?,. ?24??解法2
如图，将直线x?y?2?0平移至与抛物线y?x2相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为y??x?k，2代入y?x2，得x?x?k?0.由??o，即1?4k?0，得k??.解?y?x2??y??x???4得?x???.故所求点的坐标是?,. ??y??4??解法3
设所求点的坐标为P?x0,y0?，则过点P的抛物线的切线行.而其切线方程为应与直线x?y?2?0平y?y02?. 故所求点的坐标为?,. ?x0x，故2x0??1，x0??.?y0?x0242??评析
解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点x,x配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.?2?到直线x?y?2?0的距离d表示成x的二次函数，再通过2解法2运用数形结合思想发现与直线x?y?2?0平行的抛物线y?x的切线的切点就是所求点，设切线方程为y??x?k后运用方程思想求出k，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P?x0,y0?，直接写出过二次曲线f?x,y??0上一点Px0,y0的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线y?ax2?bx?c上一点P?x0,y0?的切线方程是??y?y0x?x0?ax0x?b?c. 证明
设过点P?x0,y0?的抛物线y?ax?bx?c的切线的方程为y?y0?k?x?x0?①.2y/?2ax?b，k?y/x?x0?2ax0?b，代入①得y?y0??2ax0?b??x?x0?，y?y0?2ax0?b??x?x0?2y0y?y0x?x02??，?ax0x?b?y0?ax0?bx0②.?点?x0,y0?在抛物线y?ax2?bx?c22222上，?y0?ax0?bx0?c，y0?ax0?bx0?c，代入②，得切线方程为y?y0x?x0?ax0x?b?c. 22x0?xy0?y便得,拓展
观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的x2,y2分别换成x0x，y0y，把x,y分别换成切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理.定理
过二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0上一点Ρ?x0,y0?的该曲线的切线方程是Ax0x?Bx0y?xy0x?xy?y?Cy0y?D0?E0?F?0. 运用该定理必须注意点Ρ?x0,y0?在曲线上.22例
求过点?2,3?的曲线2x?3xy?4y?4x?8y?30?0的切线的方程.22解
经验证，点?2,3?在曲线2x?3xy?4y?4x?8y?30?0上，根据上面的定理，所求切线方程为2?2x?3?2y?3x3?y????4y3???222?30，即013x?22y?92?0.2题57
在抛物线y?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称,则k的取值范围是
(第十五届高二培训题第71题)解法1
设两点B?x1,y1?、C?x2,y2?关于直线y?kx?3对称，直线BC的方程为x??ky?m，将其代入抛物线方程y2?4x，得y2?4ky?4m?0.若设BC的中点为M?x0,y0?，则y0?因为M在直线y?kx?3上，所以y1?y2??2k.22k?32k3?2k?32?2k??，因为BC与抛物线相交于两个不同点，所以?2k?k2k?m?3.m??kk?2?k3?2k?3?0，即 ??16k?16m?0.再将m的式子代入，经化简得k2?k?1??k2?k?3??0，因为k2?k?3?0，所以?1?k?0.k8k3?8k?12?y?y2?解法2
由解法1，得y1?y2??4k，y1y2??4m?.因为?1??y1y2，所以k?2?8k3?8k?124k?，解得?1?k?0.k222解法3
设B?x1,y1?、C?x2,y2?是抛物线y?4x上关于直线y?kx?3对称的两点，且BC中点为M?x0,y0?.因为所以y2?y1?4?x2?x1?，即y1?4x1,y2?4x2，2222y2?y11所以??2y0?4,y0??2k.又y0?kx0?3,??y1?y2??4，kx2?x1所以x0??2k?3?2k?3?22,因为M?x0,y0?在抛物线y2?4x的内部，所以y0?4x0，即??2k??4???，解得?1?k?0. kk??解法4
设B、C是抛物线y2?4x上关于直线y?kx?3对称的两点， M是BC中点.设M?x0,y0?，B?x,y?，C?2x0?x,2y0?y?,则y2?4x①，?2y0?y??4?2x0?x?②.①-②，得2x?y0y?y0?2x0?0③.因为点M?x0,y0?在22直线y?kx?3上，?y0?kx0?3④.④代入③得直线BC的方程为2x??kx0?3?y??kx0?3??2x0?0，故直线BC的方向2?x,向量为??0??，同理得直线y?kx?3的方向向量??x0,kx0?.因为直线BC与直线y?kx?3垂直，所以kx?30???2x???0，即??x0,?2?2x0????x0,kx0??0，化简得 ?kx0?3?x0?kx0?2k?3?2k?32,y0?kx0?3??2k.因为?0，得kx0?2k?3?0或x0?0（舍去）.显然k?0，解得x0??kkx0?3M?x0,y0?在抛物线y?4x的内部，所以y0?4x0，即??2k?2223(k?1)(k2?k?3)?2k?3?k?2k?3?0,?0,又?4???，kkk??k2?k?3?0，所以?1?k?0.评析
定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k的不等式起了积极作用.2练习
若抛物线y?ax?1上总存在关于直线x?y?0对称的两个点，则实数a的取值范围是（
）A、?,???
D、??答案：B?1?4???3?4????1?4??13?,? 44??
范文五：题56 抛物线y?x2上到直线x?y?2?0的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1
设抛物线y?x2上的点的坐标是x,x2，则它到直线x?y?2?0的距离是??d?(x?)2?，当x??时d最小，此时y?.故所求点的坐标是?,. ?24??解法2
如图，将直线x?y?2?0平移至与抛物线y?x2相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为y??x?k，代入y?x2，得x?x?k?0.由??o，即2?x???y?x2??21?4k?0，得k??.解?得?.故所求点的坐标y??x??y????是,?. ??24解法3
设所求点的坐标为P?x0,y0?，则过点P的抛物线的切线直线x?y?2?0平行.而其切线方程为应与y?y0故2x0??1，?x0x，22x0??.?y0?x0?. 故所求点的坐标为?,.24??评析
解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点x,x2到直线x?y?2?0的距离d表示成x的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线x?y?2?0平行的抛物线y?x2的切线的切点就是所求点，设切线方程为y??x?k后运用方程思想求出k，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P?x0,y0?，直接写出过二次曲线f?x,y??0上一点Px0,y0的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线y?ax?bx?c上一点P?x0,y0?的切线方程是2????y?y0x?x0?ax0x?b?c. 证明
设过点P?x0,y0?的抛物线y?ax?bx?c的切线的方程为y?y0?k?x?x0?①.2y/?2ax?b，k?y/x?x0?2ax0?b，代入①得y?y0??2ax0?b??x?x0?，y?y0?2ax0?b??x?x0?2y0y?y0x?x02??，?ax0x?b?y0?ax0?bx0②.?点?x0,y0?在抛物线22y?ax2?bx?c上，?y0?ax0?bx0?c，y0?ax0?bx0?c，代入②，得切线方程为y?y0x?x0?ax0x?b?c. 拓展
观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的x2,y2分别换成x0x，y0y，把x,y分别换成x0?xy0?y便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. ,22定理
过二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0上一点Ρ?x0,y0?的该曲线的切线方程是Ax0x?Bx0y?xy0x?xy?y?Cy0y?D0?E0?F?0. 运用该定理必须注意点Ρ?x0,y0?在曲线上.22例
求过点?2,3?的曲线2x?3xy?4y?4x?8y?30?0的切线的方程.22解
经验证，点?2,3?在曲线2x?3xy?4y?4x?8y?30?0上，根据上面的定理，所求切线方程为2?2x?3?2y?3x3?y?4?3y?4??8??30?0，即13x?22y?92?0.
在抛物线y2?4x上恒有两点关于直线y?kx?3对称,则k的取值范围是
(第十五届高二培训题第71题)解法1
设两点B?x1,y1?、C?x2,y2?关于直线y?kx?3对称，直线BC的方程为x??ky?m，将其代入抛物线方程y2?4x，得y2?4ky?4m?0.若设BC的中点为M?x0,y0?，则y0?y1?y2??2k.因为M在直线y?kx?3上，所以 22k?32k3?2k?32?2k??，因为BC与抛物线相交于两个不同点，所?2k?k2k?m?3.m??kk?2?k3?2k?3?0，即 以??16k?16m?0.再将m的式子代入，经化简得k2?k?1??k2?k?3??0，因为k2?k?3?0，所以?1?k?0.k8k3?8k?12?y?y2?解法2
由解法1，得y1?y2??4k，y1y2??4m?.因为?1??y1y2，所2k??8k3?8k?12以4k?，解得?1?k?0.k22解法3
设B?x1,y1?、C?x2,y2?是抛物线y2?4x上关于直线y?kx?3对称的两点，且BC中点为M?x0,y0?.因为y1?4x1,y2?4x2，所以y2?y1?4?x2?x1?，即2222y2?y1??y1?y2??4，所以x2?x1?12k?3?2y0?4,y0??2k.又y0?kx0?3,所以x0??,因为M?x0,y0?在抛物线y2?4x的内部，kk22所以y0?4x0，即??2k??4???2k?3??，解得?1?k?0. k??解法4
设B、C是抛物线y2?4x上关于直线y?kx?3对称的两点， M是BC中点.设M?x0,y0?，B?x,y?，C?2x0?x,2y0?y?,则y2?4x①，?2y0?y?2?4?2x0?x?②.①-②，得22x?y0y?y0?2x0?0③.因为点M?x0,y0?在直线y?kx?3上，?y0?kx0?3④.④代入③得直线?x,BC的方程为2x??kx0?3?y??kx0?3??2x0?0，故直线BC的方向向量为p??0??，同理得kx?30??2?2x?直线y?kx?3的方向向量??x0,kx0?.因为直线BC与直线y?kx?3垂直，所以??0，即?2x0??x,?0kx?3????x0,kx0??0，化简得0??x0?kx0?2k?3?2?0，得kx0?2k?3?0或x0?0（舍去）.显然k?0，解得kx0?32x0??2k?3,y0?kx0?3??2k.因为M?x0,y0?在抛物线y2?4x的内部，所以y02?4x0，即k3(k?1)(k2?k?3)?2k?3?k?2k?3?0,?0,又k2?k?3?0，所以?1?k?0. ?4???，kkk????2k?2评析
定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k的不等式起了积极作用.练习
若抛物线y?ax2?1上总存在关于直线x?y?0对称的两个点，则实数a的取值范围是
）A、?,???
D、??答案：B?1?4???3?4????1?4??13?,? 44??
范文六：§9.3
抛物线1、抛物线y?4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（
）(A)．17157(B)．
(D)．01681622、设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax的焦点坐标为
)(A)（a，0）
(B)（0，a）
(C)（0，1）
(D)随a符号而定 16a3、焦点坐标为(?2,0)的抛物线的标准方程为(
(C) y2??4x
(D) y2??8x4、（2008年海南卷）已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（
）A. （211，－1） B. （，1） 44C. （1，2） D. （1，－2）5、抛物线y2?24ax(a?0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为(
(B) y2?12x
(C) y2?20x
(D) y2?16x6、已知P为抛物线y?4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|?d的最小值为(
)(A)4112227、已知圆x?y?mx?7?0与抛物线x?4(y?3)的准线相切，则m?___________.28、（2007年山东卷）设O是坐标原点，F是抛物线y=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则为
.9、设P是抛物线y?4x上的一动点，(1)求点P到点A(?1,1)的距离与点P到直线x??1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|?|PF|的最小值.2210、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|?|BF|?8，线段AB的垂直平分恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程。11、设抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.12、 已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M作MN?FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.2答案 ：1、B
9、解：(1)由于A(?1,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，则|AP|?|PF|?|AF|??从而知点P到点A(?1,1)的距离与点P到F(1,0)的所以点P到点A(?1,1)的距离与点P到直线x??1的距离之和的(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q， 交抛物线于点P|， 1，此时，|PQ1|?|PF1那么|PB|?|PF|?|PB1|?|PQ1|?|BQ|?4，即最小值为4. 10、解：设抛物线的方程为y?2px(p?0)，其准线为x??设A(x1,y1),B(x2,y2)，?|AF|?|BF|?8,?x1?2p. 2pp?x2??8，即x1?x2?8?p. 22?Q(6,0)在线段AB的中垂线上，?(x1?x2)(x1?x2?12?2p)?0?AB与x轴不垂直，?x1?x2，故x1?x2?12?2p?8?p?12?2p?0，即p?4. 从而抛物线方程为y?8x.2pp11、解法一：设直线方程为y＝k(x?)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(?，22y2).p?y?k(x?)22py?∴??p2?0， 2,y?k2?y?2px?∴y1y2??p2,kOA?y1y2py2,kOC?2?又∵y1＝2px1
∴kOC＝1＝kOAy1x1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC，所以AC经过原点O.p,0)，由于直线AB斜率不为0，所以2p?，代入抛物线方程消去x得经过点F的直线AB的方程可设为x?my2解法二：因为抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F(2)则y1,y2是该方程的两个根，所以y2?2pmy?p2?0.若记A(x1,y1),B(x2,y2，y1y2??p2，因为BC//x轴，且点C在准线x??故直线CO的斜率为k?pp上，所以点C的坐标(?,y2)， 22y22py1??， y1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.解法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC 连结AC与EF相交于点N， 则|EN||CN||BF||NF||AF|??,?|AD||AC||AB||BC||AB|由抛物线的定义可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC||AD|?|BF||AF|?|BC|∴|EN|＝＝|NF|. ?|AB||AB|12、解：（1）抛物线y?2px的准线为x??2即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.2pp,于是4??5,?p?2. 22∴抛物线方程为y= 4x.（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），43;MN?FA,?kMN??, 3443则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为y?2??x.3484??x?y?(x?1)??84??53,得??N(,). 解方程组?55?y?2??3x?y?4??54??又∵F（1，0）， ∴kFA?（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，4(x?m),
即为4x?(4?m)y?4m?0, 4?m|2m?8|圆心M（0，2）到直线AK的距离d?，令d?2,解得m?12?(m?4)?当m?1时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，直线AK的方程为y?
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m?1时，直线AK与圆M相交.§9.3
抛物线1、抛物线y?4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（
）(A)．17157(B)．
(D)．01681622、设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax的焦点坐标为
)(A)（a，0）
(B)（0，a）
(C)（0，1）
(D)随a符号而定 16a3、焦点坐标为(?2,0)的抛物线的标准方程为(
(C) y2??4x
(D) y2??8x4、（2008年海南卷）已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（
）A. （211，－1） B. （，1） 44C. （1，2） D. （1，－2）5、抛物线y2?24ax(a?0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为(
(B) y2?12x
(C) y2?20x
(D) y2?16x6、已知P为抛物线y?4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|?d的最小值为(
)(A)4112227、已知圆x?y?mx?7?0与抛物线x?4(y?3)的准线相切，则m?___________.28、（2007年山东卷）设O是坐标原点，F是抛物线y=2px（p>0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则为
.9、设P是抛物线y?4x上的一动点，(1)求点P到点A(?1,1)的距离与点P到直线x??1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|?|PF|的最小值.2210、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，但|AF|?|BF|?8，线段AB的垂直平分恒经过定点Q(6,0)，求抛物线的方程。11、设抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.12、 已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M作MN?FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.2答案 ：1、B
9、解：(1)由于A(?1,1)，F(1,0)，P为抛物线上任意一点，则|AP|?|PF|?|AF|??从而知点P到点A(?1,1)的距离与点P到F(1,0)的所以点P到点A(?1,1)的距离与点P到直线x??1的距离之和的(2)如图所示，自点B作BQ垂直于抛物线的准线于点Q， 交抛物线于点P|， 1，此时，|PQ1|?|PF1那么|PB|?|PF|?|PB1|?|PQ1|?|BQ|?4，即最小值为4. 10、解：设抛物线的方程为y?2px(p?0)，其准线为x??设A(x1,y1),B(x2,y2)，?|AF|?|BF|?8,?x1?2p. 2pp?x2??8，即x1?x2?8?p. 22?Q(6,0)在线段AB的中垂线上，?(x1?x2)(x1?x2?12?2p)?0?AB与x轴不垂直，?x1?x2，故x1?x2?12?2p?8?p?12?2p?0，即p?4. 从而抛物线方程为y?8x.2pp11、解法一：设直线方程为y＝k(x?)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(?，22y2).p?y?k(x?)22py?∴??p2?0， 2,y?k2?y?2px?∴y1y2??p2,kOA?y1y2py2,kOC?2?又∵y1＝2px1
∴kOC＝1＝kOAy1x1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O.当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得kOA＝kOC，所以AC经过原点O.p,0)，由于直线AB斜率不为0，所以2p?，代入抛物线方程消去x得经过点F的直线AB的方程可设为x?my2解法二：因为抛物线y＝2px（p＞0）的焦点为F(2)则y1,y2是该方程的两个根，所以y2?2pmy?p2?0.若记A(x1,y1),B(x2,y2，y1y2??p2，因为BC//x轴，且点C在准线x??故直线CO的斜率为k?pp上，所以点C的坐标(?,y2)， 22y22py1??， y1x1?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.解法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC 连结AC与EF相交于点N， 则|EN||CN||BF||NF||AF|??,?|AD||AC||AB||BC||AB|由抛物线的定义可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC||AD|?|BF||AF|?|BC|∴|EN|＝＝|NF|. ?|AB||AB|12、解：（1）抛物线y?2px的准线为x??2即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O.2pp,于是4??5,?p?2. 22∴抛物线方程为y= 4x.（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），43;MN?FA,?kMN??, 3443则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为y?2??x.3484??x?y?(x?1)??84??53,得??N(,). 解方程组?55?y?2??3x?y?4??54??又∵F（1，0）， ∴kFA?（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，4(x?m),
即为4x?(4?m)y?4m?0, 4?m|2m?8|圆心M（0，2）到直线AK的距离d?，令d?2,解得m?12?(m?4)?当m?1时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，直线AK的方程为y?
当m=1时，直线AK与圆M相切；
当m?1时，直线AK与圆M相交.
范文七：抛物线的焦点弦【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。【问题探究】【问题】已知抛物线y2?2px(p?0),过焦点F作一直线l交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),【探究1】求弦长|AB|。AB?AF?BF?(x1?pp)?(x2?)?x1?x2?p。 22【结论1】AB?x1?x2?p。【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|？(1)当???2时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,?AB?2p?结论得证；(2)当???2时,设直线L的方程为：y?(x?pp)tan?，即：x?y?cot??，代入抛22物线方程得：y2?2py?cot??p2?0，由韦达定理y1y2??p2,y1?y2?2pcot?，由弦长公式得AB??cot?y1?y2?2p(1?cot?)?【结论2】若直线l的倾斜角为?，则弦长AB?【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？ 222p。 2sin?2p。 sin2??sin2??1?2p?2p?AB的最小值为2p。 2sin?【结论3】过焦点的弦中通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系？y1y2(y1y2)2P2。 y1y2??p，?x1?,x2?,?x1x2??22p2p44P222p2【结论4】(1)y1y2??p；(2)x1x2=。 42【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？
设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1, 过M点作准线的垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知:MM1?AA1?BB12?AF?BF2?AB2，所以二者相切。【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接A1F、B1 F 则 A1F、B1 F有什么关系？?AA1?AF,??AA1F??AFA1?AA1//OF??AA1F??A1FO??A1FO??A1FA;同理?B1FO??B1FB??A1FB1?90??A1F?B1 F。【结论6】A1F?B1F。【探究7】刚才我们证得?A1FB1为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？由“探究5”知M1 在以AB为直径的圆上?AM1?BM1。由“探究6”知?A1FB1为直角三角形，M1 是斜边A1 B1 的中点，?A1M1?M1F??M1FA1??M1A1F??AA1F??AFA1，??AA1F??FA1M??AA1M1?90?，??AFA1??A1FM1?90?，?M1F?AB。【结论7】AM1?BM1，M1F?AB。进而可得如下结论：以A1B1为直径的圆与直线AB相切。【探究8】点A、O、B1的位置关系？因为koA?y1yy2y2p?12?,koB1?2??2，而y1y2??p2， px1y1py1?22p2y22p???koB1，所以三点共线。 2p?py2所以koA?【结论8】点A、O、B1三点共线。【类似结论】（1）B、O、A1三点共线；（2）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于x轴；(2001年高考题)（3）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于x轴。【探究9】??,FB?? pp,FB?x2?。 22pp【结论9】FA?x1?,FB?x2?。 22由抛物线的定义得：FA?x1?【探究10】11是定值吗？(2001年高考题) ?FB【法1】因为直线l的倾斜角为?,过A作AR垂直于x轴,垂足为R,设准线与x轴的交点为R1,则RR1?AA1?AF?R1F?FR?p11?cos??AFcos??； ?2AFp同理可得：11?cos?112???。 ?BFpFBp（这实际上是极坐标的观点，想法不错）【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。?OFAA1?BF，而AF?BF?AB，?,???1， ABBB1ABAA1BB1OFAFOFOF又 ?AA1?AF,BB1?BF?1112???。 FAFBOFp（数与形的结合，这是重要的数学思想）2p2p22AB11?2， 【法3】????22pFAFBFAFBM1F()sin?p)。 （??FM1B1??,?M1F?sin?（利用前后知识的联系，不错）【法4】直接利用“结论9”，可得证。【结论10】112??。 FAFBp此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出： 今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃， 探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探 究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。 如：1.A1F与AM1的交点是否在y轴上？2.BM1,AM1,A1F,B1F构成的四边形是什么四边形？3.线段EF平分角?PEQ;4.AFBF?AEBE;5.KAE?KBE?0;6.当? ??2时 AE?BE , 当? ??2时 AE不垂直于BE。【课后反思】1、设计意图：本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、 类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力,同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的 位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能力开发出来，促进学 生认知结构的发展,养成良好的探究习惯。2、设计感悟：若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。资料由谢老师收集：了解初中，高中考试信息，做题技巧，解题思路可去谢老师博客.cn/xiejunchao1
范文八：抛物线焦点弦性质（1）过抛物线y2?2px(p>0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点 且A与B在准线上的射影分别为A1与B1 结论1：AB?x1?x2?pAB?AF?BF?(xp1?2)?(xp2?2)?x1?x2?p 结论2：若直线L的倾斜角为?，则弦长AB?2psin2?证:
(1)若???2时, AB为抛物线的通径,AB?2p,结论得证(2)若???pp2时,设直线L的方程为：y?(x?2)tan?即x?y?cot??2代入抛物线方程得y2?2py?cot??p2?0由韦达定理y21y2??p,y1?y2?2pcot?由弦长公式得AB??cot2?y21?y2?2p(1?cot?)?2psin2?结论3： 过焦点的弦中通径长最小，最小值为2p.p2结论4：抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数4和?p2。(证明见结论9)结论5： 焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，1m?1n?2p即11?FB?2p
证法1：过A点作AR垂直X轴于点R，过B点作BS垂直X轴于点S，设准线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为? 则ER?EF?FR?P?AFcos??AF?AF?P11?cos1?cos?
?AF??P同理可得1BF?1?cos?P
?112?FB?p证法2：m?p2?x， m?p1 2?x2 代入整理即可。 结论6：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1AB?1CD?12p结论7：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点即为A1B1的中点。·证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1， 过B点作准线的垂线BB1，过M点作准线的垂线 MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知MM1?AA1?BB12?AF?BFAB2?2结论得证。结论8：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．事实上，|AF|=xpxp1?1?2. 设AF的中点为D，则D（2,y12），∴ D到y轴的距离d=12(xp11?2)?2|AF|圆心D到y轴的距离等于半径，与y轴相切． 1结论9：抛物线焦点弦的两个端点在准线上的射影和焦点的连线互相垂直。证法1：要证明?A1FB1是直角，因为A1F和B1F斜率都存在，只需证明斜率相乘得-1即可，Ap2,yp2,yyy1(?1),B1(?2),可求得k1.k2?12p2，其中y1y2由直线AB和抛物线方程联立可求得。证法2：由抛物线定义知AA1?AF,BB1?BF则?AA1F?AFA1?BB1F??BFB1，又?AA1F??A1FO,?BB1F??B1FO，则?B1FO??A1FO??AFB?90?由射影定理得FK2?A1K?B1Kp2?y1?y2，因y1,y2异号，所以y1y2??p2p2抛物线焦点弦的两个端点的同名坐标之积分别为常数4和?p2。（结论4）结论10：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。·（点F在以为A1B1为直径的圆上，直线AA1,BB1是圆M1的切线，焦点弦AB与圆相切于焦点。）方法1：点F在圆上，只需证明M1F?AB，设APy1(?P1?y2 2,y1),B1(?P2,y2)则M（1?22)y1?y2k?yFM1y1?y2y1?y22p1?pp???y22p
kAB?x?1?x2y22? 12?22p?y2y1?y22pkAB?kFM1??1，即FM?AB，所以，以A1B1为直径的圆与AB相切于点F。方法2：几何的方法，由抛物线定义AA1?AF知?AA1F??AFA1，又?M1A1F??M1FA1所以?M1FA??AA1M1?90?。2
范文九：龙源期刊网 .cn有关抛物线焦点弦的几个重要结论作者：宋秉龙来源：《考试周刊》2013年第63期摘 要： 抛物线中的焦点弦问题是高考的热点问题，熟练掌握有关焦点弦的重要结论有利于解决焦点弦问题，大大节省解题时间，提高解题准确率，从而达到事半功倍的效果.
关键词： 抛物线 焦点弦 重要结论在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，我们把过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，弦AB叫抛物线的焦点弦.有关抛物线焦点弦问题是高考的热点问题，抛物线的焦点弦有很多重要结论，熟练掌握这些结论对解决有关焦点弦的问题大有裨益.现笔者就有关焦点弦的结论总结如下，与大家共勉.
范文十：抛物线中的焦点弦问题1、已知AB是抛物线的焦点弦，F为抛物线焦点，为抛物线的准线，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为C、D。求证：（1）x1x2?p22y1y2??p 4（2）AB?x1?x2?p?p22psin?2（?为直线AB与y轴的夹角）（3）S?AOB?1AF2sin?1BF （4）?为定值。（5）以AB为直径的圆与抛物线准线l相切。（6）以AF为直径的圆与y轴相切。（7）CF?DF（8）A、O、D共线2、过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。3、设A、B是抛物线y2?2px(x?0)上不同于顶点的两个点，通过点A与抛物线顶点的直线交于准线于点C，且轴，证明：直线AB经过抛物线的焦点F。4、设A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线y2?2px(x?0)上两点，且知y1y2??p，求证：直线AB过抛物线y?2px的焦点F。5、设A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线y?2px(x?0)上两点，且知y1y2?k，试确定直线AB过某定点M。222