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三角函数易错题
三角函数易错题 三角函数易错题 函数一、选择题： 选择题：1．（如中）为了得到函数 y = sin ? 2 x ?? ?π?? 的图象，可以将函数 y = cos 2 x 的图象（ 6?）A 向右平移π
6B 向右平移π3C 向左平移π6D 向左平移π3错误分析:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 答案: B 2．（如中）函数 y = sin x?1 + tan x ? tan? ?x? ? 的最小正周期为 2?D()AπB 2πCπ23π 2错误分析:将函数解析式化为 y = tan x 后得到周期 T = π ,而忽视了定义域的限制,导致 出错. 答案: B3．(石庄中学)π π 1 曲线 y=2sin(x+ ) cos(x- )和直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从4 4 2小到大依次记为 P1、P2、P3……，则|P2P4|等于 （ ） A．π B．2π C．3π D．4π 正确答案：A 错因：学生对该解析式不能变形，化简为 Asin( ω x+ ? )的形式，从 而借助函数图象和函数的周期性求出|P2P 4 |。π4．(石庄中学)下列四个函数 y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+4π),其中以点(4,0)为中心对称的三角函数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 正确答案：D 错因：学生对三角函数图象的对称性和平移变换未能熟练掌握。 5．(石庄中学)函数 y=Asin(ωx+?)(ω&0,A≠0)的图象与函数 y=Acos(ωx+?)(ω&0, A≠0)的图 π 象在区间(x0,x0+ )上（ ） ω A．至少有两个交点 B．至多有两个交点 C．至多有一个交点 D．至少有一个交点 正确答案：C 错因：学生不能采用取特殊值和数形结合的思想方法来解题。 6．(石庄中学)π在?ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA= 3 ，则∠C 的大小应为(π π)A．6B．3C．6或 π5 6πD．3或2π 3正确答案：A 错因：学生求∠C 有两解后不代入检验。7．已知 tanα tanβ是方程 x +3 3 x+4=0 的两根，若α，β∈(2π π, )，则α+β=（ 2 2）ππA．3B．3或- π2 3πC．3或 π2 3D．- π2 3正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。 8．（搬中） 若 sinθ + cosθ = 1 ，则对任意实数 n，sin A. 1 C. B. 区间（0，1）nθ + cosn θ 的取值为（）1 2 n?1D. 不能确定解一： 解一：设点 (sinθ， cosθ ) ，则此点满足?x + y = 1 ? 2 2 ?x + y = 1解得 ??x = 0 ?x = 1 或? ?y = 1 ?y = 0即??sinθ = 0 ?sinθ = 1 或? ?cosθ = 1 ?cosθ = 0∴ sin n θ + cos n θ = 1∴选 A解二： 解二：用赋值法， 令 sinθ = 0， cosθ = 1 同样有 sin θ + cos θ = 1n n∴选 A说明： 说明：此题极易认为答案 A 最不可能，怎么能会与 n 无关呢？其实这是我们忽略了一 个隐含条件 sin θ + cos θ = 1 ，导致了错选为 C 或 D。2 29． 搬中）在 ?ABC 中， （ 3sin A + 4 cos B = 6， 3cos A + 4 sin B = 1 ， ∠C 的大小为 则 （ A.）π6B.5 π 6C.π5 或 π 6 6D.π2 或 π 3 3解：由 ??3sin A + 4 cos B = 6 平方相加得 ?3cos A + 4 sin B = 1sin( A + B) = ∴ sin C = ∴C = 1 21 2π5 或 π 6 65 6若C = π 则 A+ B =π6Q1 ? 3cos A = 4 sin B & 01 ∴ cos A & 3又1 1 & 3 2∴A&π3 5 ∴C ≠ π 6 ∴C =π61 比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意 3∴选 A说明： 说明：此题极易错选为 C ，条件 cos A & 对题目条件的挖掘。 10．（城西中学） ?ABC 中, A 、 B 、C 对应边分别为 a 、 b 、 c .若 a = x , b = 2 , B = 45° , 且此三角形有两解,则 x 的取值范围为 ( A. (2,2 2 ) 正确答案：A 错因：不知利用数形结合寻找突破口。 11．城西中学） （ 已知函数 y=sin( ω x+ Φ )与直线 y＝ 那么此函数的周期是（ ） 2π D 4π B. 2 2 C. ( 2 ,+∞) ) D. ( 2,2 2 ]1 π 的交点中距离最近的两点距离为 ， 2 3πA B3正确答案：BπC错因：不会利用范围快速解题。 12 ． （ 城 西 中 学 ） 函 数 y = 2 sin( 是………………………… ( )π6? 2 x)( x ∈ [0, π ]) 为 增 函 数 的 区 间A. [0,π3]B. [π12,7π ] 12C. [π3,5π ] 6D. [5π , π] 6正确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。 13．（城西中学）已知 α , β ∈ ??π ? , π ? 且 cos α + sin β & 0 ，这下列各式中成立的是 ? 2 ?（） A. α + β & π B. α + β &3π 2C. α + β =3π 2D. α + β &3π 2正确答案(D) 错因:难以抓住三角函数的单调性。14． （城西中学）函数 对称轴的方程是（）的图象的一条正确答案 A 错因：没能观察表达式的整体构造，盲目化简导致表达式变繁而无法继续化简。 15．（城西中学）ω是正实数，函数 f ( x) = 2 sin ωx 在 [ ?π π, ] 上是增函数，那么（ 3 4 24 7D． ω ≥ 2）A． 0 & ω ≤ 正确答案 A3 2B． 0 & ω ≤ 2C． 0 & ω ≤错因：大部分学生无法从正面解决，即使解对也是利用的特殊值法。 16．（一中）在(0，2π)内，使 cosx＞sinx＞tanx 的成立的 x 的取值范围是 （ ） A、 (π 3π4 4 ,)B、 (5π 3π , ) 4 2C、（3π ,2π ） 2D、(3π 7π , ) 2 4正确答案：C 17．（一中）设 f ( x ) = sin( x + 的实根 x1 , x2 ，则 x1 + x2 为 A、π4) ，若在 x ∈ [ 0, 2π ] 上关于 x 的方程 f ( x) = m 有两个不等π或25π 2B、π2C、5π 2D、不确定正确答案：A18．（蒲中）△ABC 中，已知 cosA= A、16 56 B、 65 65 答案：A 点评：易误选 C。忽略对题中隐含条件的挖掘。 19．（蒲中）在△ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为（ π 5π π 5π π 2π A、 B、 C、 或 D、 或 6 6 6 6 3 3 答案：A 点评：易误选 C，忽略 A+B 的范围。 20．（蒲中）设 cos1000=k，则 tan800 是（ ）A、5 3 ，sinB= ，则 cosC 的值为（ ） 13 5 16 56 16 C、 或 D、 ? 65 65 65）1? k2 kB、? 1? k2 kC、 ±1? k2 kD、 ±k 1? k2答案：B 点评：误选 C，忽略三角函数符号的选择。 21．（江安中学）已知角 α 的终边上一点的坐标为（ sin （江安中学） 为（ ）。 A、2π 2π , cos ），则角 α 的最小值 3 35π 6B、2π 3C、5π 3D、11π 6正解：D 正解：2 3 5 11 2π 2π tan α = cos π = ? ,∴ α = π或α = π ，而 sin & 0 cos &0 3 3 6 6 3 3所以，角 α 的终边在第四象限，所以选 D， α = 误解： tan α = tan 误解：11 π 62 2 π , α = π ,选 B 3 322．（江安中学）将函数 y = f ( x ) sin x 的图像向右移 （江安中学）π4个单位后，再作关于 x 轴的对称变2 换得到的函数 y = 1 ? 2 sin x 的图像，则 f (x) 可以是（）。 D、 2 sin xA、 ? 2 cos x 正解： 正解：BB、 2 cos xC、 ? 2 sin xy = 1 ? 2 sin 2 x = cos 2 x ,作关于 x 轴的对称变换得 y = ? cos 2 x ,然后向左平移个单位得函数 y = ? cos 2( x +π4π4) = sin 2 x = f ( x) ? sin x 可得 f ( x) = 2 cos x误解： 误解：未想到逆推，或在某一步骤时未逆推，最终导致错解。 23．（江安中学）A，B，C 是 ? ABC 的三个内角，且 tan A, tan B 是方程 3 x ? 5 x + 1 = 0 （江安中学）2的两个实数根，则 ? ABC 是（）A、钝角三角形 正解： 正解：AB、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形3 ? ?tan A + tan B = 5 ? 由韦达定理得： ? ?tan A tan B = 1 ? 3 ?5 tan A + tan B 5 ∴ tan( A + B) = = 3 = 1 ? tan A tan B 2 2 3在 ?ABC 中， tan C = tan[π ? ( A + B )] = ? tan( A + B ) = ?5 &0 2∴ ∠C 是钝角，∴ ?ABC 是钝角三角形。24． 江安中学） （江安中学） 曲线 ?? x = cos θ (θ 为参数） 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （ ） 。 ? y = sin θ2 2D、 2A、1 2B、C、1正解： 正解：D。d = cos θ + sin θ由于 ?? x = cos θ 所表示的曲线是圆，又由其对称性，可考虑 θ ∈ I 的情况，即 ? y = sin θd = sin θ + cos θ则d =π? ? 2 sin ?θ + ? ∴ d max = 2 4? ?误解： 误解：计算错误所致。 25．（丁中）在锐角SABC 中，若 tan A = t + 1 ， tan B = t ? 1 ，则 t 的取值范围为（ A、 ( 2 ,+∞) B、 (1,+∞) C、 (1, 2 ) D、 (?1,1)）错解: B. 错因:只注意到 tan A & 0, tan B & 0, 而未注意 tan C 也必须为正. 正解: A. 26．（丁中）已知 sin θ = A、 错解：A 错因：忽略 sin θ + cos θ = 1 ，而不解出 m2 24 ? 2m m?3m?3 4 ? 2m π ， cos θ = （ & θ & π ），则 tan θ = m+5 m+5 2 m?3 5 3 5 B、 ± C、 ? D、 ? 或 ? 4 ? 2m 12 4 12（C）正解：C π 27． （丁中）先将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象作关于 y 轴的 3 对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 π A．y=sin(－2x+ ) 3 C．y=sin(－2x+ 错解：B π π 错因：将函数 y=sin2x 的图象向右平移 个单位长度时，写成了 y = sin( 2 x ? ) 3 3 正解：D 28．（丁中）如果 log 1 | x ?2（）B．π y=sin(－2x－ ) 3 2π y=sin(－2x－ ) 32π ) 3D．π π |≥ log 1 ，那么 sin x 的取值范围是（ 3 2 2）A． [ ?1 1 1 1 1 1 1 3 3 )U( ， ] B． [ ? ， 1] C． [ ? ， ) U ( ， 1] D． [ ? ， ， 1] 2 2 2 2 2 2 2 2 2错解: D． 错因:只注意到定义域 x ≠ 正解: B． 29．（薛中）函数 y = A、 [ kπ ?π3,而忽视解集中包含 x =2π . 3sin x cos x 的单调减区间是（）π4, kπ +π4] （k ∈ z ）B、 [ kπ + D、 [ kπ +πC、 [ 2kπ +π4,2kπ +π2](k ∈ z )π4, kπ +π23 , kπ + π ](k ∈ z ) 4 4 ](k ∈ z )答案：D 错解：B 错因：没有考虑根号里的表达式非负。 30．（薛中）已知 sin x cos y =1 , 则 cos x sin y 的取值范围是（ ） 2 1 1 3 1 1 3 A、 [ ? B、 [? , ] C、 [? , ] D、 [ ? 1 ,1 ] , ] 2 2 2 2 2 2 1 答案：A 设 cos x sin y = t , 则(sin x cos y )(cos x sin y ) = t ，可得 sin2x sin2y=2t,由 2 1 1 sin 2 x sin 2 y ≤ 1即 2t ≤ 1∴ ? ≤ t ≤ 。 2 2错解：B、C 错因：将 sin x cos y =1 1 与 cos x sin y = t相加得 sin( x + y ) = + t 由 2 2 1 3 1 ? 1 ≤ sin( x + y ) ≤ 1得 ? 1 ≤ + t ≤ 1得 ? ≤ t ≤ 选 B，相减时选 C，没有考虑上述两种 2 2 2情况均须满足。 31．（薛中）在锐角 ? ABC 中，若 C=2B，则 A、（0，2） B、 ( 2 ,2)c 的范围是（ b） D、 (1, 3 )C、 ( 2 , 3 )答案：C 错解：B 错因：没有精确角 B 的范围 40． （案中）函数 y = sin x和y + tan x的图象在[? 2π， ]上交点的个数是 2π A、3 正确答案：B B、5 C、7 D、9 （ ）错误原因：在画图时，0＜ x ＜π2时， tan x ＞ sin x 意识性较差。 ）41． （案中） 在△ABC 中， sin A + 4 cos B = 6,4 sin B + 3 cos A = 1, 则∠C 的大小为 （ 3 A、30° 正确答案：A B、150° C、30°或 150° D、60°或 150°错误 原因：易 选 C，无讨论 意识，事 实上如 果 C=150° 则 A=30°∴ sin A =1 ，∴ 23 sin A + 4 cos B ＜11 ＜6 和题设矛盾 2（ ）42． （案中）函数f ( x ) = sin x + cos x + sin x ? cos x 的最小正周期为 A、 2π B、 π C、π2D、π4正确答案：C 错误原因：利用周期函数的定义求周期，这往往是容易忽视的，本题直接检验得π? π ? f ? x + ? = f ( x ), 故T = 2? 2 ?43． （案中）函数y = sin x?1 + tan x ? tan A、 π B、 2π? ?x? ?的最小正周期为 2?C、（）π2D、3π 2正确答案：B 错误原因：忽视三角函数定义域对周期的影响。 44．（案中）已知奇函数 f ( x )在[? 1，]上为 等调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则 0 （ ） A、f(cosα)＞ f(cosβ) C、f(sinα)＜f(cosβ) 正确答案：（C）B、f(sinα)＞ f(sinβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ)错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。π 45．（案中）设 ω & 0, 函数f ( x ) sin ωx在[? π 3 ，4 ]上为增函数， ＝ 那么ω的取值范围为（） B、 0 & ω ≤3 2A、 0 & ω ≤ 2C、 0 & ω ≤247D、 ω ≥ 2正确答案：(B) 错误原因：对三角函数的周期和单调性之间的关系搞不清楚。二填空题： 二填空题：1． （如中）已知方程 x + 4ax + 3a + 1 = 0 （a 为大于 1 的常数）的两根为 tan α ， tan β ，2且α 、 β ∈ ? ?α +β ? π π? , ? ，则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?2错误分析：忽略了隐含限制 tan α , tan β 是方程 x + 4ax + 3a + 1 = 0 的两个负根，从而 导致错误. 正确解法：Q a & 1∴ tan α + tan β = ?4a & 0 ， tan α ? tan β = 3a + 1 & o∴ tan α , tan β 是方程 x 2 + 4ax + 3a + 1 = 0 的两个负根又α , β ∈ ? ?? π π? , ? ? 2 2?α+β ? π ? ? π ? ∴ α , β ∈ ? ? ,0 ? 即 ∈ ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?由 tan 答案: -2 .(α + β ) =tan α + tan β ? 4a 4 α +β = = 可得 tan = ? 2. 1 ? tan α ? tan β 1 ? (3a + 1) 3 22 ． （ 如 中 ） 已 知 5 cos 2 α + 4 cos 2 β = 4 cos α , 则 cos 2 α + cos 2 β 的 取 值 范 围 是 _______________. 错 误 分析 :由 5 cos 2 α + 4 cos 2 β = 4 cos α 得 cos2β = cos α ? cos 2 α5 4代入 cos 2 α + cos 2 β 中,化为关于 cos α 的二次函数在 [? 1,1] 上的范围,而忽视了 cos α 的隐 含限制,导致错误. 答案: ?0, ? . 25 略解: 由 5 cos 2 α + 4 cos 2 β = 4 cos α 得 cos2? 16 ? ? ?β = cos α ? cos 2 α5 4(1)Q cos 2 β ∈ [0,1]? 4? ∴ cos α ∈ ?0, ? ? 5?将（1）代入 cos 2 α + cos 2 β 得 cos 2 α + cos 2 β = ? 3．（如中）若 A ∈ (0, π ) ,且 sin A + cos A = 错误分析:直接由 sin A + cos A = 得两解,忽略隐含限制 A ∈ ?1 (cos α ? 2)2 + 1 ∈ ?0, 16 ? . ? 25 ? 4 ? ?7 5 sin A + 4 cos A ,则 = _______________. 13 15 sin A ? 7 cos A7 2 2 ,及 sin A + cos A = 1 求 sin A, cos A 的值代入求 13?π ? , π ? 出错. ?2 ?答案:8 . 434． （搬中）函数 f ( x ) = a sin x + b 的最大值为 3，最小值为 2，则 a = ______，b = _______。 解：若 a & 01 ? ?a = 2 a +b = 3 ? ? 则? ∴? ?? a + b = 2 ?b = 5 ? ? 2若a & 01 ? ?a = ? 2 ?? a + b = 3 ? 则? ∴? ?a + b = 2 ?b = 5 ? 2 ?说明： 说明：此题容易误认为 a & 0 ，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。 5．(磨中)若 Sinα2=3 5cosα2=?4 ，则α角的终边在第_____象限。 5正确答案：四α错误原因：注意角 的范围，从而限制α的范围。26． （城西中学）在△ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则 tan 值为_________. 正确答案： 3 错因：看不出是两角和的正切公式的变形。 7．（一中）函数 y = sin x (sin x + cos x ) ( x ∈ [0, 正确答案： ? 0,A C A C + tan + 3 tan tan 的 2 2 2 2π2]) 的值域是．? ?2 + 1? ? 2 ?8． （一中）若函数 y = a cos x + b 的最大值是 1，最小值是 ?7 ，则函数 y = a cos x + b sin x的最大值是．正确答案：59． （一中）定义运算 a ? b 为: a ? b = ??a (a ≤ b ) , 例如，1 ? 2 = 1 ,则函数 f(x)= sin x ? cos x 的 ?b(a & b )2 ] 2值域为．正确答案： [ ?1,10．（蒲中）若 sin α = 答案：55 α ，α是第二象限角，则 tan =__________ 13 2α点评：易忽略2的范围，由 sin α =2 tanα21 + tan 2α2得 tanα2=5 或1 。 511． （蒲中）设ω&0，函数 f(x)=2sinωx 在 [? 答案：0&ω≤ 点评： [?π π, ] 上为增函数，那么ω的取值范围是_____ 3 42 3 4 ] ? [?πω πω3 ,π π, ] 2 2 31 ，则 cosC=__________ 3212．（蒲中）在△ABC 中，已知 a=5，b=4，cos(A－B)=1 8 点评：未能有效地运用条件构造三角形运用方程思想实施转化。 13．（江安中学）在 ?ABC 中，已知 a ，b，c 是角 A、B、C 的对应边，则①若 a & b ，则 （江安中学）答案：f ( x) = (sin A ? sin B ) ? x 在 R 上是增函数； ②若 a 2 ? b 2 = ( a cos B + b cos A) 2 ， ? ABC 则是 Rt? ； ③ cos C + sin C 的 最 小 值 为 ?2 ； ④ 若 cos A = cos 2 B ， 则 A=B ； ⑤ 若3 (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2 ，则 A + B = π ，其中错误命题的序号是_____。 4正解： 正解：错误命题③⑤。 ① a & b ? sin A & sin B,∴ sin A ? sin B & 0∴ f ( x) = (sin A ? sin B) x在R上是增函数。② a 2 ? b 2 = c 2 , a 2 = b 2 + c 2 , 则?ABC是Rt? 。 ③ sin c + cos c =2 sin(c +π4), 当 sin(c +2。π4) = ?1时最小值为 ? 2 ,显然 0 & c & π , 得不到最小值 ?④ cos 2 A = cos 2 B ? i & 2 A = 2 B A = Bii &2 A = 2π ? 2 B, A = π ? B, A + B = π (舍) ，∴ A = B 。⑤ 1 + tan A + tan B + tan A ? tan B = 2,1 ? tan A ? tan B = tan A + tan B∴误解： 误解：③④⑤中未考虑 0 & C & π ，④中未检验。 14．（江安中学）已知 tan α = （江安中学） 角，则 α + β 的值为_____。o o o 正解： 正解： 60 ，令 m = 0, 得 α = 60 , 代入已知，可得 β = 0 , ∴ α + β = 60o∴ 错误命题是③⑤。tan A + tan B π = 1，即 tan( A + B ) = 1， A + B = ∴ 1 ? tan A ? tan B 43 (1 + m) ，且 3 (tan α , tan β + m) + tan β = 0, α , β 为锐误解： 误解：通过计算求得 α + β , 计算错误. 15．（江安中学）给出四个命题：①存在实数 α ，使 sin α cos α = 1 ；②存在实数 α ，使 （江安中学）sin α + cos α =3 5π π 5π ；③ y = sin( ? 2 x) 是偶函数；④ x = 是函数 y = sin(2 x + ) 的 2 2 8 4一条对称轴方程；⑤若 α , β 是第一象限角，且 α & 命题的序号是_____。 正解： 正解：③④β ，则 sin α & sin β 。其中所有的正确1 1 1 sin 2α ∈ [? , ],∴ sin α cos α = 1 不成立。 2 2 2 π 3 ② sin α + cos α = 2 sin(α + ) ∈ [? 2 , 2 ], ∈ [ ? 2 , 2 ],∴ 不成立。 4 2 5π π ③ y = sin( ? 2 x) = sin( ? 2 x) = cos 2 x 是偶函数，成立。 2 2 π 5π 3π π ④ 将 x = 代入 2 x + 得 ,∴ x = 是对称轴，成立。 8 4 2 8① sin α cos α = ⑤ 若 α = 390 ， β = 60 o , α &oβ , 但 sin α & sin β ，不成立。误解： 误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点， 可能会认为是 (0 o ,90 o ) 的角， 从而根据 y = sin x 做出了错误的判断。 16．（丁中）函数 y =| sin( 2 x +ππ错解：1 ) ? | 的最小正周期是 3 32错因：与函数 y =| sin( 2 x + 正解： π 17．（丁中）设π3) 的最小正周期的混淆。1 ? sin θ =tan θ ? secθ 成立，则 θ 的取值范围是_______________ 1 + sin θ错解： θ ∈ [ 2kπ +π3 , 2 kπ + π ] 2 2错因：由 tan θ ? secθ ≥ 0 不考虑 tan θ , sec θ 不存在的情况。3 , 2 kπ + π ) 2 2 18．（丁中）①函数 y = tan x 在它的定义域内是增函数。正解： θ ∈ ( 2kπ + ②若 α , β 是第一象限角，且 α &πβ , 则 tan α & tan β 。③函数 y = A sin(ωx + ? ) 一定是奇函数。 ④函数 y = cos(2 x +π3) 的最小正周期为π。2上述四个命题中，正确的命题是 ④ 错解：①② 错因：忽视函数 y = tan x 是一个周期函数 正解：④ 19．（丁中）函数 f(x)= 错解： ??sin x cos x 的值域为______________。 1 + sin x + cos x? ?2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?错因：令 t = sin x + cos x 后忽视 t ≠ ?1 ,从而 g (t ) = 正解： ??t ?1 ≠ ?1 2? ?? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ∪ ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?220．（丁中）若 2sin2α + sin 错解： [?4,2] 错因：由 sin2β = 3 sin α , 则 sin 2 α + sin 2 β 的取值范围是α + sin 2 β = ? sin 2 α + 3 sin α ? 1, (1) 其中 ? 1 ≤ sin α ≤ 1 ，得错误结果；由0 ≤ sin 2 β = 3 sin α ? 2 sin 2 α ≤ 1得 sin α = 1 或 0 ≤ sin α ≤1 结合（1）式得正确结果。 2正解：[0 ,5 ] ∪ {2} 421．（薛中）关于函数 f ( x ) = 4 sin( 2 x +π31 )( x ∈ R ) 有下列命题，○ y=f(x)图象关于直线x=? (?是π62 对 称 ○ y=f(x) 的 表 达 式 可 改 写 为 y = 4 cos( 2 x ?π63 ) ○ y=f(x) 的 图 象 关 于 点π64 ,0) 对称 ○由 f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0可得x1 ? x 2 必是 π 的整数倍。其中正确命题的序号。 2 3 答案：○○ 2 3 4 错解：○○○ 错因：忽视 f(x) 的周期是 π ，相邻两零点的距离为T π = 。 2 2。22．（薛中）函数 y = 2 sin( ? x ) 的单调递增区间是3 ,2kπ + π ](k ∈ z ) 2 2 π 1 错解： [ 2kπ ? ,2kπ + π ](k ∈ z ) 2 2答案： [ 2kπ + 错因：忽视这是一个复合函数。 23．（案中）已知α + β =ππ3，且 3 (tan α ? tan β + C ) + tan α = 0(C为常数 )，那么tan β =。正确答案： 3 (1 + C ) 错误原因：两角和的正切公式使用比较呆板。 24．（案中） 函数y = sin x(sin x + cos x )? x ∈ ?0， ? ?的值域 是 ? ?? ?? π ?? ? 2 ??。正确答案： ?0，? 1+ 2 ? ? 2 ? ?错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确三、解答题： 解答题：1．（石庄中学）已知定义在区间[-π， π ]π2 3 2 3π上的函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 6对称，当 x∈[6， π ]时，函数 f(x)=Asin(ωx+?)(A&0, ω&0,2 3π&?&2π)，其图象如图所示。2(1)求函数 y=f(x)在[-π， π ]的表达式；(2)求方程 f(x)=2 的解。 22π 2π π ? )=2π，ω= =1 T 3 6解：(1)由图象知 A=1，T=4(π2π ]时 3在 x∈[6，π将(6，1)代入 f(x)得ππf(6)=sin(6+?)=1π∵2π&?&2π∴?=3π∴在[6，2π ]时 3πf(x)=sin(x+3)π∴y=f(x)关于直线 x=6对称π∴在[-π，6]时f(x)=-sinxπ ? ?sin( x + ) 综上 f(x)= ? 3 ?? sin x ?(2)f(x)=2 2x ∈ [?π 2π6 , 3]x ∈ [?π ,? ] 6ππ在区间[6，2π ]内 3可得 x1=5x 12πx 2= 12π∵y=f(x)关于 x= 6对称π∴x3=4x 4= -3π 4∴f(x)=2 π 5π 3π π 的解为 x∈{,- ,- , } 2 4 4 12 122．（搬中） 求函数 y = sin x + cos x ?4 43 的相位和初相。 4 3 2 2 2 2 2 解： y = (sin x + cos x ) ? 2 sin x cos x ? 41 1 = ? sin 2 2 x + 2 4 1 1 ? cos4 x 1 =? ? + 2 2 4 1 = cos4 x 4 1 π = sin(4 x + ) 4 2∴ 原函数的相位为 4 x +π，初相为π22说明： 说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式 变形为 y = A sin(ωx + ? ) ( A & 0，ω & 0) 的形式（注意必须是正弦）。 3．（搬中） 若 sinα cos β =1 ，求 sin β cosα 的取值范围。 2解：令 α = sin β cosα ，则有?1 ? 2 + a = sin(α + β ) ? ∴? ? 1 ? a = sin(α ? β ) ?2 ? 1 ? ? ?1 ≤ 2 + a ≤ 1 ? ∴? ??1 ≤ 1 ? a ≤.1 ? 2 ? 1 1 ∴? ≤ a ≤ 2 2(1)( 2)说明： 说明：此题极易只用方程组（1）中的一个条件，从而得出 ?3 1 1 3 ≤a ≤ 或? ≤a ≤ 。 2 2 2 2原因是忽视了正弦函数的有界性。另外不等式组（2）的求解中，容易让两式相减，这样做 也是错误的，因为两式中的等号成立的条件不一定相同。这两点应引起我们的重视。 4．（搬中）求函数 y = 16 ? x 2 + sin x 的定义域。 解：由题意有?2 kπ ≤ x ≤ 2 kπ + π ? ? ?4 ≤ x ≤ 4当 k = ?1 时， ?2π ≤ x ≤ ?π ；(*)当 k = 0 时， 0 ≤ x ≤ π ； 当 k = 1 时， 2π ≤ x ≤ 3π∴ 函数的定义域是 [ ?4 ， ? π ]U[0，π ]说明： 说明：可能会有部分同学认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集， 原因是没有正确理解弧度与实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也是实数。 5 ．（搬中）已知 2α + β = π ，求 y = cos β ? 6 sinα 的最小值及最大值。 解：Q2α + β = π∴ β = π ? 2α 3 11 ∴ y = 2 sin 2 α ? 6 sinα ? 1 = 2(sinα ? ) 2 ? 2 2令 t = sinα 则 |t |≤ 13 11 ∴ y = 2(t ? ) 2 ? 2 2 3 而对称轴为 t = 2 ∴ 当 t = ?1 时， y max = 7 ；当 t = 1 时， y min = ?5 说 明 ： 此 题 易 认 为 sinα =?11 3 时 ， y min = ，最大值不存在，这是忽略了条件 2 23 |sinα |≤ 1， 不在正弦函数的值域之内。 26．（搬中）若 0 & x & 解：Q0 & x &ππ22，求函数 y = 4tgx + 9ctg 2 x 的最大值。∴ tgx & 0 ∴ y = 4tgx + 9ctg 2 x = 2tgx + 2tgx + 9ctg 2 x ≥ 33 2tgx ? 2tgx ? 9ctg 2 x = 33 36当且仅当 2tgx = 9ctg 2 x 即 tgx = 39 时，等号成立 2∴ y min = 33 362 2 说明： 说明：此题容易这样做： y = 4tgx + 9ctg x = tgx + 3tgx + 9ctg x ≥33 tgx ? 3tgx ? 9ctg 2 x = 9 ，但此时等号成立的条件是 tgx = 3tgx = 9ctg 2 x ，这样的 x 是不存在的。这是忽略了利用不等式求极值时要平均分析的原则。 7．（搬中） 求函数 f ( x ) =2tgx 的最小正周期。 1 ? tg 2 x解：函数 f ( x ) =2tgx 的定义域要满足两个条件； 1 ? tg 2 xtgx 要有意义且 tg 2 x ? 1 ≠ 0∴ x ≠ kπ +π2，且 x ≠kπ π + (k ∈Z ) 2 4当原函数式变为 f ( x ) = tg 2 x 时， 此时定义域为 x ≠kπ π + (k ∈Z ) 2 4显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出 y = tg 2 x 的图象：y5 4ππ3π π 4 2π45 3 7 0 π π 3 π π 4π 2π 4π x 4 2 4而原函数的图象与 y = tg 2 x 的图象大致相同 只是在上图中去掉 x = kπ +π2( k ∈ Z ) 所对应的点从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 π 说明： 说明：此题极易由 y = tg 2 x 的周期是ππ，这是错误的，原而得出原函数的周期也是22因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如 1993 年高考题：函1 ? tg 2 2 x 数y= 的最小正周期是（ 1 + tg 2 2 x可以由 y = cos4 x 的周期为π）。A.4B.π2C.πD. 2π 。此题就π而得原函数的周期也是π。但这个解法并不严密，最好是先22 10 ，且α，β为锐角，求α+β的值。 10求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。 8．(磨中)已知 Sinα=5 5Sinβ=π正确答案：α+β=4错误原因：要挖掘特征数值来缩小角的范围 9．(磨中)求函数 y=Sin(π―3x)的单调增区间：4 2 π 2 7 正确答案：增区间[ kπ + ， kπ + π ]（ k ∈ Z ） 3 4 3 124 tan x 10．(磨中)求函数 y= 的最小正周期 1 ? tan 2 x正确答案：最小正周期π 错误原因：忽略对函数定义域的讨论。 11．(磨中)已知 Sinx+Siny=错误原因：忽视 t=π―3x 为减函数1 ，求 Siny―cos2x 的最大值。 3正确答案：4 9错误原因：挖掘隐含条件 12．（丁中）（本小题满分 12 分）设 f ( x) = 2(log 2 x) 2 + 2a log 21 1 + b ,已知 x = 时 f (x) 有最小值-8。 x 2(1)、求 a 与 b 的值。（2）求满足 f ( x) & 0 的 x 的集合 A。?a 1 ?a = 1 ?2 = 2 a 2 a ? ? 错解： f ( x) = 2(log 2 x ? ) + b ? ，当 ? 时，得 ? 15 2 2 2 ?b = ? 2 ?b ? a = ?8 ? ? 2 ?2错因：没有注意到应是 log 21 a = 时， f (x) 取最大值。 2 221 a ? ?log 2 2 = 2 ?a = ?2 a 2 a ? 正解： f ( x ) = 2(log 2 x ? ) + b ? ，当 ? 时，得 ? 2 2 2 ?b = ?6 ?b ? a = ?8 ? 2 ?13．（薛中）求函数 f ( x ) = sin 2 x + 2 2 cos( 答 案 ： 原 函 数 可 化 为π4+ x) + 3 的值域 f ( x) = sin 2 x + 2(cos x ? sin x) + 3,sin 2 x = 1 ? t 2设cos x ? sin x = t , t ∈ [? 2 , 2 ]则则f ( x) = ?t 2 + 2t + 4 = ?(t ? 1) 2 + 5 ∴当t = 1时, f ( x) max = 5 ，当 t = ? 2时, f ( x ) min = 2 ? 2 2错解： ( ?∞ , 5 ] 错因：不考虑换元后新元 t 的范围。 14．（蒲中）已知函数 f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当 f(x)=0 有实数解时，求 a 的取值范 17 围；（2）若 x∈R，有 1≤f(x)≤ ，求 a 的取值范围。 4 1 1 解：（1）f(x)=0，即 a=sin2x－sinx=(sinx－ )2－ 2 4 1 1 ∴当 sinx= 时，amin= ，当 sinx=－1 时，amax=2， 2 4 1 ∴a∈[ ? ，2]为所求 417 ? 2 7 ?a ≤ sin x ? sin x + 4 （2）由 1≤f(x)≤ 得 ? 4 ? 2 ?a ≥ sin x ? sin x + 1 17 1 = (sin x ? ) 2 +4≥4 4 2 1 3 u2=sin2x－sinx+1= (sin x ? ) 2 + ≤3 2 4 ∴ 3≤a≤4 点评：本题的易错点是盲目运用“△”判别式。∵ u1=sin2x－sinx+ 15．（江安中学）已知函数 f ( x ) = sin(ωx + Φ )(ω & 0,0 ≤ Φ ≤ π ) 是 R 上的偶函数，其图 像关于点 M ( π ,0) 对称，且在区间[0，3 4π2]上是单调函数，求 Φ 和 ω 的值。正解： 正解：由 f ( x ) 是偶函数，得 f ( ? x ) = f ( x ) 故 sin( ?ωx + Φ ) = sin(ωx + Φ ) ,∴ ? cos Φ sin ωx = cos Φ sin ωx 对任意 x 都成立，且 ω & 0,∴ cos Φ = 0 依题设 0≤ Φ ≤ π ，∴ Φ =π2 3 4 3 4由 f ( x ) 的图像关于点 M 对称，得 f ( π ? x ) = ? f ( π + x) 取 x = 0得f ( π ) = ? f ( π ),∴ f ( π ) = 03 4 3 3ωx π 3ωx 3ωx Q f ( π ) = sin( + ) = cos( ),∴ cos( )=0 4 4 2 4 4 3ωx π 又 ω & 0 ，得 = + kπ , k = 0,1,2...... 4 2 2 ∴ ω = (2k + 1), k = 0,1,2... 33 43 4当 k = 0 时， ω =2 2 π π , f ( x) = sin( x + ) 在 [0, ] 上是减函数。 3 3 2 2当 k = 1 时， ω = 2, f ( x ) = sin( 2 x + 当 k ≥2 时， ω =π误解： 误解：①常见错误是未对 K 进行讨论，最后 ω 只得一解。 ②对题目条件在区间 [0,10 π π , f ( x) = sin(ωx + ) 在 [0, ] 上不是单调函数。 3 2 2 2 所以，综合得 ω = 或 ω = 2 。 3) 在 [0, ] 上是减函数。 2 2ππ2] 上是单调函数，不进行讨论，故对 ω ≥10 不能排除。 3
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