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已知:平行四边形ABCD,联结AC、BD交于点O,作AE平分角DAB交BC于点E,点F是AE延长线上一点,且AC=CF,过点C作CH垂直于BD,CH与CF在同一直线上.求证：四边形ABCD是矩形
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第五行的OB=OC是为什麼？
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AC=CF,CF=BDAC=BD
扫描下载二维码平行四边形及其性质
　　例1：如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD＝38，AC＝24，则AD＝若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB＝ABCD的周长＝．
　　分析：
　　AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD＝BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长．
　　对角线互相平分）
　　∴△OBC的周长＝OB＋OC＋EC
　　＝19＋12＋BC＝59
　　∴BC＝28
　　ABCD中，
　　∴BC＝AD（平行四边形对边相等）
　　∴AD＝28
　　△OBC的周长－△OAB的周长
　　＝（OB＋OC＋BC）－（OB＋OA＋AB）
　　＝BC－AB＝15
　　∴AB＝13
　　∴ABCD的周长
　　＝AB＋BC＋CD＋AD
　　＝2（AB＋BC）
　　＝2（13＋28）
　　说明：本题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．
　　例2．如图，在ABCD中，E、F是AC上的两点．且AE＝CF．求证：ED∥BF．
　　分析：欲址DE∥BF，只需∠DEC＝∠AFB，转证＝∠ABF≌△CDF，因ABCD，则有ABCD，从而有∠BAC＝∠CDA．再由AF＝CF得AF＝CE．满足了三角形全等的条件．
　　证明：
　　∵AE＝CF
　　AE＋EF＝CF＋EF
　　∴AF＝CE
　　在ABCD中
　　AB∥CD（平行四边形的对边平行）
　　∴∠BAC＝∠DCA（两直线平行内错角相等）
　　AB＝CD（平行四边形的对边也相等）
　　∴△ABF≌△CDE（SAS）
　　∴∠AFB＝∠DCE
　　∴ED∥BF（内错角相等两直线平行）
　　说明：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题不处理．
　　例3：如图ABCD中，∠ABC＝3∠A，点E在CD上，CE＝1，EF⊥CD交CB延长线于F，若AD＝1，求BF的长．
　　分析：根据平行四边形对角相等，邻角互补，可得∠C＝∠F＝45°进而由勾股定理求出CF，再根据平行四边形对边相等，得BF的长．
　　解：在ABCD中，AD∥BC
　　∴∠A＋∠ABC＝180°（两直线平行同旁内角互补）
　　∵∠ABC＝3∠A
　　∴∠A＝45°，∠ABC＝135°
　　∴∠C＝∠A＝45°（平行四边形的对角相等）
　　∴EF⊥CD
　　∴∠F＝45°（直角三角形两锐角互余）
　　∴EF＝CE＝1
　　∵AD＝BC＝1
　　例4：如图，四边形ABCD中，AB＝CD．∠ADB＝∠CBD＝90°．求证：四边形ABCD是平行四边形．
　　分析：判定一个四边形是平行四边形，有三类五个判定方法，这三类也是按边、角和对角线分类，具体的五个方法如下表：
　　因此必须根据已知条件与图形结构特点，选择判定方法．
　　证法一：
　　∵AB＝CD．∠ADB＝∠CBD＝90°，BD＝DB．
　　∴Rt△ABD≌Rt△CDB．
　　∴∠ABD＝∠CDB，∠A＝∠C．
　　∴∠ABD＋∠CBD＝∠CDB＋∠ADB
　　即 ∠ABC＝∠CDA．
　　∴四边形ABCD是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）．
　　证法二：
　　∵∠ADB＝∠CBD＝90°，AB＝CD、BD＝DB．
　　∴Rt△ABD≌Rt△CDB．
　　∴∠ABD＝∠CDB．
　　∴AB∥CD．（内错角相等两直线平行）
　　∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
　　证法三：
　　由证法一知，Rt△ABD≌Rt△CDB．
　　∴DA＝BC
　　又∵AB＝CD
　　∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
　　说明：证明一个四边形是平行四边形，往往有多种证题思路，我们必须注意分析，通过比较，选择最简捷的证题思路．本题三种证法中，证法二与证法三比较简捷，本题还可用定义来证明．
　　例5：如图，ABCD中，E、G、F、H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH，求证：EF与GH互相平分．
　　分析：只须证明EGFH为平行四边形．
　　证明：连结EG、GF、FH、HE．
　　∵四边形ABCD是平行四边形
　　∴∠A＝∠C，AD＝CB．
　　∵BG＝DH
　　∴AH＝CG
　　又AE＝CF
　　∴△AEH≌△CFG（SAS）
　　∴HE＝GF
　　同理可得 EG＝FH
　　∴四边形EGFH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
　　∴EF与GH互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
　　说明：平行四边形的性质，判定的综合运用是解决有关线段和角问题基本方法．
　　例6：如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
　　求证：四边形AECF是平行四边形．
　　分析：由平行四边形的性质，可得△ABE≌△CDF
　　∴AE＝CF
　　进而可得四边形AECF是平行四边形．
　　证明：ABCD中，ABCD
　　（平行四边形的对边平行，对边相等）
　　∴∠ABD＝∠CDB（两直线平行内错角相等）
　　AE⊥BD、CF⊥BD
　　∴AE∥CF∠AEB＝∠CFD＝90°
　　∴△ABE≌△CDF（AAS）
　　∴AE＝CF
　　∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
　　说明：平行四边形的定义，既是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法．
　　例7：如图，已知ABCD中，EF在BD上，且BE＝DF，点G、H在AD、CB上，且有AG＝CH，GH与BD交于点O，求证EGHF
　　分析：证EF、GH互相平分GEHF为平行四边形．
　　证明：
　　连BG、DH、GF、EH
　　∵ABCD为平行四边形．
　　∴ADBC
　　又AG＝HC
　　∴DGBH
　　∴四边形BGDH为平行四边形
　　（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
　　∴HO＝GO，DO＝BO（平行四边形的对角线互相平分）
　　又BE＝DF
　　∴OE＝OF
　　∴四边形GEHF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
　　∴EGHF．（平行四边形的对边平行相等）
　　说明：由于条件BE＝DF涉及到对角线BD，所以考虑用对角线互相平分来证明
　　例1：如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF，求AE的长
　　分析：由矩形的性质与已知条件可得△AEF≌△DCE ∴AE＝DC，再通过矩形的周长可求得AE
　　解：矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°（矩形的四个角都是直角）
　　∵CE⊥EF ∴∠AEF＋∠DEC＝90°
　　∵∠AEF＋∠AFE＝90°
　　∴∠AFE＝∠DEC（等角的余角相等）
　　∵EF＝CE ∴△AEF≌△DCE（AAS）
　　∴AE＝DC
　　∵矩形的周长为16
　　∵AD＝AE＋DE，AD＋DC＝8，DE＝2
　　∴AE＝DC＝3
　　说明：由于矩形具有对边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分等性质，因此可以构造全等三角形来解决问题．
　　例2：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，求：∠BOE的度数
　　分析：根据矩形的性质与已知条件可判定△AOB是等边三角形，从而△BOE为等腰三角形，又因为∠EBO＝30°，所以可得∠BOE的度数
　　解：矩形ABCD
　　∴∠DAB＝∠ABC＝90°（矩形的四个角都是直角）
　　OA＝OB（矩形的对角线相等且互相平分）
　　∴∠AEB＝45° ∴AB＝BE
　　∵∠CAE＝15° ∴∠CAB＝60°
　　∴△ABO是等边三角形（有一个角为60°的等腰的三角形是等边三角形）
　　∴AB＝OB ∠ABO＝60°
　　∴OB＝BE ∠OBE＝30°
　　说明：矩形首先是平行四边形，具有平行四边形的性质，又因为是特殊（有一个角是直角）的平行四边形，所以还有特性．因此，在矩形中常用到直角三角形，等腰三角形的性质．
　　例3：求证：如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．
　　已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
　　求证：四边形 EFGH为矩形．
　　分析：题目的条件有平行四边形内角平分线，所以应选择证四边形EFGH的四个角中的三个角为直角．
　　证明：∵AB∥CD
　　∴∠ABC＋∠BCD＝180°
　　∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
　　∴∠BGC＝90°
　　同理可证∠AFB＝∠AED＝90°
　　∴四边形EFGH是矩形．（有三个角是直角的四边形是矩形）
　　说明：
　　例4：已知ABCD中的对角线AC、BD相交于O，△AOB是等边三角形，AB＝4cm．求这个平行四边形的面积．
　　分析一：
　　由△AOB是等边三角形，易得ABCD是矩形．又AB＝4cm，只要求出 BC的长即可．
　　解一：如图，ABCD中，OA＝OC，OB＝OD．
　　∵OA＝OB＝AB，∴AC＝BD
　　∴ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
　　又AC＝2AO＝8．
　　分析二：由于平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形，因此本题只要求出 △AOB的面积即可获解．
　　解二：
　　∵ABCD的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形．
　　∴SABCD＝4S△AOB
　　例5：如图，已知：在矩形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若S△ABE＝2，S△ECF＝3，S△ADF＝4．
　　求：矩形面积．
　　分析：矩形ABCD的面积＝AB?BC可设AB＝x，BC＝y，但不必求出x和y的值，只要求出xy的值即可．
　　解：设AB＝x，BC＝y
　　∵S△ABE＝2，S△ECF＝3，S△ADF＝4
　　∴DFy＝8，BEx＝4
　　（x－DF）（y－BE）＝6 解得
　　xy＋DF?BE＝18
　　DF?y?BE?x＝8×4＝32 （1）
　　将DF?BE＝18－xy 代入（1）得
　　（xy）2－18xy＋32＝0
　　（xy－16）（xy－2）＝0
　　xy＝16 或 xy＝2（舍去）
　　∴矩形面积为16．
　　说明：本题借助解方程求出矩形的面积，方法颇可借鉴．
　　例1：如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
　　分析：只需判定四边形AEDF是平行四边形即可．
　　证明：∵EF是AD的垂直平分线
　　∴AE＝DE．∴∠1＝∠3
　　∴AD平分∠BAC ∴∠1＝∠2
　　∴∠2＝∠3
　　∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）
　　同理AB∥DF
　　四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
　　∵AD⊥EF
　　∴AEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
　　说明：菱形常用的判定方法有：
　　判定方法（2）、（4）的题设是从四边形出发的．注意和判定方法（1）、（3）的区别．
　　例2：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG为菱形．
　　分析：只需证四边形AEFG是平行四边形且有一组邻边相等．
　　证明：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC
　　∴∠AEC＝90°－∠ACE，∠CEF＝90°－∠ECF
　　∵CE平分∠ACB
　　∴EA＝EF，∠ACE＝∠ECF
　　∴∠AEC＝∠CEF
　　∵AD⊥BC，EF⊥BC
　　∴AD∥EF
　　∴∠CEF＝∠AGE
　　∴∠AEG＝∠AGE
　　∴AG＝EA＝EF
　　∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
　　∵AG＝EA
　　∴四边形AEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
　　说明：判定四边形是菱形时，通常的过程是：
　　四边形―平行四边形―菱形
　　这样层层深入，思路清晰，表达也有条理．
　　例3：已知：如图，菱形ABCD的对角线交于O点，菱形的周长为
　　分析：此题图形简明，但所给条件比较隐蔽，因此需要寻找条件之间的关系．
　　由于菱形的四条边分别相等，可知每条边长为10cm，又菱形对角线互相垂直，互相平分，所以为应用勾股定理创造了条件．在△AOD中，OD与AO之间有什么关系呢？
　　直角三角形AOD中两条直角边之间的关系，从而为设辅助未知数创造了条件，只要应用勾股定理列出方程，便求出AO，DO的长，再求菱形的面积便迎刃而解了．
　　解：∵四边形ABCD是菱形，
　　又 AC⊥BD，且AO＝OC，BO＝OD，
　　设 OD＝3xcm，OA＝4xcm．
　　∵AO2＋OD2＝AD2，
　　∴（4x）2＋（3x）2＝10．
　　25x2－100．x2＝4，
　　∴x＝2（舍去负值）．
　　∴AO＝4x＝8，DO＝3x＝6．
　　∴AC＝2AO＝16，BD＝2DO＝12．
　　说明：（1）此题应用勾股定理列出方程，求出菱形两条对角线的长，这是利用方程思想处理问题的一种思考方式，它的应用是很多的，要逐步学会这种数学思想．
　　（2）计算菱形面积除应用平行四边形面积的一般计算方法外，还可根据菱形的对角线来计算面积，应用时可以根据已知条件灵活选用计算方法．
　　例1：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是 OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交 OA于F，求证OE＝OF．
　　分析：证明△DOF≌△AOE．
　　证明：∵四边形ABCD是正方形
　　∴∠AOD＝∠DGE＝90°，
　　OD＝OA
　　∴∠EDG＋∠AED
　　＝∠OAE＋∠AED＝90°
　　∴∠EDG＝∠OAE
　　∴△DOF≌△AOE（ASA）
　　∴OE＝OF
　　说明：正方形的对角线相等，互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．
　　例2：如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使CD＝CE，过E点作EF⊥AC交AD于F，
　　求证：AE＝EF＝DF
　　分析：由正方形的性质知 AC平分∠DAB，易得AE＝EF，欲证EF＝DF，只需证明△CEF≌△CDF．
　　证明：连结CF
　　正方形ABCD中∠D＝∠DAB＝90°
　　AC平分∠DAB ∴∠DAC＝∠CAB＝45°
　　∵EF⊥AC
　　∴∠DAC＝∠AFE＝45°
　　∴AE＝EF
　　在Rt△CEF与Rt△CDF中
　　∵CE＝CD，CF＝CF
　　∴Rt△CEF≌Rt△CDF（HL）
　　∴EF＝DF
　　∴AE＝EF＝DF
　　说明：
　　正方形的性质有：
　　还应注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
　　例3：如图，E为正方形ABCD边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为 GE的中点
　　求证：BF⊥BH
　　分析：证欲BF⊥BH，只需证明∠1＝∠2，由已知条件可得∠1＝∠E＝∠3，即只需证∠2＝∠3，这由△BCF≌△DCF可得．
　　证明：正方形ABCD中，∠ABC＝∠CBE＝90°
　　H为GE的中点
　　∴BH＝HE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
　　∴∠1＝∠E
　　∵正方形 ABCD ∴AB∥CD
　　∴∠E＝∠3，∠1＝∠3．
　　∵正方形 ABCD ∴CB＝CD，CA平分∠BCD．
　　在△BCF与△DCF中
　　∴△BCF≌△DCF（SAS）
　　∴∠2＝∠3
　　∴∠1＝∠2
　　∴∠1＋∠CBH＝90°
　　∴∠2＋∠CBH＝90°
　　即BF⊥BH
　　说明：由正方形的定义可知，正方形是平行四边形，又是矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合．
　　例4：如图，E、F分别在正方形 ABCD的边 BC，CD上，（1）若∠EAF＝45°
　　求证：EF＝BE＋DF
　　（2）若△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半，求证：∠EAF＝45°
　　分析：证明线段和、差问题常采用截长补短法添加辅助线，延长CB到G，使BG＝DF，只需证明EF＝EG，即证△AEF≌△AEG．
　　证明：（1）延长CB到G，使BG＝DF，连结AG
　　∵正方形ABCD，∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝∠ABG
　　＝90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角）
　　∴Rt△ADF≌Rt△ABG（SAS）
　　∴AF＝AG，∠1＝∠2
　　∵∠EAF＝45°
　　∴∠1＋∠BAE＝45°
　　∴∠2＋∠BAE＝45° 即∠GAE＝45°
　　∴△AEF≌△AEG（SAS）
　　∴EF＝EG
　　＝EB ＋BG
　　＝EB＋DF
　　（2）由上可知，△ADF≌△ABG．
　　∴AF＝AG，∠1＝∠2
　　∴∠FAG＝∠BAD＝90°
　　∵△ECF的周长等于正方形ABCD周长一半
　　即 EF＋FC＋CE＝BC＋CD
　　∴EF＝（BC－EC）＋（CD－CF）
　　＝EB＋DF
　　＝EB＋BG
　　而 AE＝AE
　　∴△AEF≌△AEG（SSS）
　　说明：延长CB到G，使BG＝DF，相当于将△ADF绕A点旋转90°，旋转是构造全等形的一种基本方法．如图，在四边形ABCD中，AC平分角DAB,角ACD=角ABC=90°，E为AB的中点 1.求证AC方=AB×AD，2.求证CE∥AD，3.若AD=4，AB=6，求AC比AF的值
全部答案（共3个回答）
提示:感觉此题要求AB的长,完全不需要角度相等和AD=6的条件~~~
三角形ABC就可以把AB的长确定为2个值
用圆来做,A,B,C确定一个圆
三角形高是确定的...
：60+90+30=180 角DAB＋角B等于180度 AB与CD平行 AB与CD平行
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理。
因为∠B=90度，所以三角形ABC为直角三角形；
根据勾股定理，AC的平方=AB的平方+BC的...
证明：在△ADF中
∵DF是∠ADC的平分线
∴∠ADF=∠CDF
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）
解答见图片：
①在△ADE中：∵AE=AD,∴∠2=(180°-∠1)÷2=90°-0.5∠1
②在△ABC中：
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