广东省各市2015年中考数学试题分类汇编（解析版）专题11：四边形问题&&共用
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广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题11：四边形问题1.（2015年广东梅州3分）下列命题正确的是【】A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定.【分析】根据特殊四边形的判定对各选项逐一作出判断：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误；B.对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C.对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确.故选D.2.（2015年广东佛山3分）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2，另一边减少了3，剩余一块面积为20的矩形空地，则原正方形空地的边长是【】A.B.C.D.【答案】A.【考点】一元二次方程的应用（几何问题）.【分析】设原正方形空地的边长是，根据题意，得，化简，得，解得（不合题意，舍去）.∴原正方形空地的边长是.故选A.3.（2015年广东佛山3分）下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于720°；③相等的圆心角所对的弧相等；④顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等.其中正确命题的个数是【】A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】A.【考点】命题和定理；正方形的判定；多边形内角和定理；圆周角定理；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定；三角形的内心性质.【分析】根据相关知识对各选项进行分析，判作出断：①对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，命题不正确.②根据多边形内角和公式，得六边形的内角和等于，命题正确.③同圆或等圆满中，相等的圆心角所对的弧才相等，命题不正确.④根据三角形中位线定理、菱形的性质和矩形的判定可知：顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，命题正确.⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，命题不正确.其中正确命题的个数是2个.故选A.4.（2015年广东广州3分）下列命题中，真命题的个数有【】①对角线互相平分的四边形是平行四边形②两组对角分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】B.【考点】真假命题的判定；平行四边形的判定.【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一分析作出判断：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题是真命题；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，命题是真命题；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，命题是假命题.故选B.5.（2015年广东深圳3分）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①；②；③；④.在以上4个结论中，正确的有【】A.1B.2C.3D.4【答案】C.【考点】折叠问题；正方形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】由折叠和正方形的性质可知，，∴.又∵，∴.故结论①正确.∵正方形ABCD的边长为12，BE=EC，∴.设，则，在中，由勾股定理，得，即，解得，.∴.∴.故结论②正确.∵，∴是等腰三角形.易知不是等腰三角形，∴和不相似.故结论③错误.∵，∴.故结论④正确.综上所述，4个结论中，正确的有①②④三个.故选C.6.（2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为【】A.6B.7C.8D.9【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB的弧长等于正方形两边长的和，扇形DAB的半径为正方形的边长3，∴.或由变形前后面积不变得：.故选D.7.（2015年广东汕尾4分）下列命题正确的是【】A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形【答案】D.【考点】特殊四边形的判定.【分析】根据特殊四边形的判定对各选项逐一作出判断：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形也可能性是梯形，故本选项错误；B.对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故本选项错误；C.对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确.故选D.8.（2015年广东汕尾4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为【】A.B.C.D.【答案】B.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接，设与相交于点.则根据折叠和矩形的性质得，四边形是菱形，∴.∵，∴.∴.设，则.∵，∴，得.∴在中，.∴.故选B.1.（2015年广东梅州3分）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD周长等于▲.【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定.【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴.∵BC=6，DE=2，∴.∵BE平分∠ABC，即.∴.∴.∴□ABCD周长等于.2.（2015年广东梅州3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为▲..【答案】.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；菱形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接，设与相交于点.则根据折叠和矩形的性质得，四边形是菱形，∴.∵，∴.∴.设，则.∵，∴，得.∴在中，.∴.3.（2015年广东佛山3分）如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=，四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）.则此正方形的面积是▲.【答案】25.【考点】等腰直角三角形的判定和性质；正方形的性质.【分析】∵在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=，∴AB=BC=10，.∵四边形是正方形，∴是等腰直角三角形.∴.∴此正方形的面积25.4.（2015年广东4分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是▲.【答案】6.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质.【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=6.∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=BC=6.5.（2015年广东汕尾5分）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD周长等于▲.【答案】20.【考点】平行四边形的性质；平行的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定.【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴.∵BC=6，DE=2，∴.∵BE平分∠ABC，即.∴.∴.∴□ABCD周长等于.1.（2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是▲四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设是函数图象上的任意两点，，试判断，的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD可能是矩形，此时，理由如下：当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.联立，得，∴.同理，.∵，∴，得.∵，∴.∴.∴四边形ABCD可以是矩形，此时.（3）.理由如下：∵.∵x2>x1>0，∴，.∴.∴.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.2.（2015年广东佛山11分）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且.连结BE、BF，使它们分别与AO相交于点G、H.（1）求的值；（2）求证：；（3）设，求的值.【答案】解：（1）∵，∴.∵四边形是平行四边形，∴.∴.∴，即.（2）证明：由（1），∴.∵四边形是平行四边形，∴.∴.∴，即.∴.（3）如答图，过点作交于点，∵，∴.∴，.∵.∴.∵，∴.∴，即.∵，∴.∴，即.∴.由（2）得，∴.∵，∴.【考点】平行四边形的综合题；平行四边形的性质；平行的性质；相似三角形的判定和性质；数形结合思想的应用.【分析】（1）由平行四边形对边平行的性质可得，从而得出结果.（2）由（1）得到，从而根据平行四边形对角线互相平分的性质得出结论.（3）作辅助线“过点作交于点”，构造两组相似三角形和，通过相似三角形对应边成比例的性质，求出与的关系即可求得的值.3.（2015年广东广州9分）如图，正方形中，点E、F分别在AD，CD上，且，连接BE，AF.求证：.【答案】证明：∵四边形是正方形，∴.又∵，∴.∴.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】要证，只要证它们是全等三角形的对应边即可，而要证，一方面，已知，另一方面，由四边形是正方形可得，从而构成全等三角形的而得证.4.（2015年广东广州14分）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC>AB，BD，AC为对角线，BD=8；①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE.当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离.【答案】解：（1）筝形的对角线互相垂直.证明如下：如答图1，连接，在和中，∵，∴.∴.又∵OM=ON，∴，即筝形的对角线互相垂直.（2）存在.由（1）知，，设相交于点，如答图2，∵AB=AD=5，BD=8，∴.∴.∵A，B，C，D四点共圆，∴.又∵，∴.∴即为所求圆的直径.∵，∴.∴，即，解得.∴圆的半径为.（3）∵四边形ABED为菱形，∴.∴.又∵.∴又∵，∴.∴，即，解得.在中，由勾股定理，得，∴.∴.∵，∴.如答图3，过点作于点，则就是点F到AB的距离.∵，∴.∴，即，解得.∴点F到AB的距离为.【考点】新定义；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质.【分析】（1）筝形的对角线互相垂直，利用证明得到，从而根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论.（2）根据垂径定理和勾股定理求出的长，证明，由对应边成比例列式求解即可.（3）证明，求出，应用勾股定理求出，得到，作辅助线“过点作于点”构造相似三角形，由对应边成比例列式求得的长，就是点F到AB的距离.5.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB.由折叠的性质可知，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF.∴∠AFG=∠B.又∵AG=AG，∴△ABG≌△AFG（HL）.（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG.设BG=FG=，则GC=,∵E为CD的中点，∴CF=EF=DE=3，∴EG=，在中，由勾股定理，得，解得，∴BG=2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL即可证明△ABG≌△AFG（HL）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG=FG，设BG=FG=，将GC和EG用的代数式表示，从而在中应用勾股定理列方程求解即可.6.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.∵D为OP的中点，∴OD=.∴cos∠BOD=.∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°.∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG.∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP.∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG.∴DH∥AG.∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G.∴∠ODH=∠OHD.∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°.∴PH⊥AB.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥AB.7.（2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是▲四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时和之间的关系式；若不可能，说明理由；（3）设是函数图象上的任意两点，，试判断，的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD可能是矩形，此时，理由如下：当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.联立，得，∴.同理，.∵，∴，得.∵，∴.∴.∴四边形ABCD可以是矩形，此时.（3）.理由如下：∵.∵x2>x1>0，∴，.∴.∴.【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用.【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.8.（2015年广东珠海6分）如图，在平行四边形中，．（1）利用尺规作图，在边上确定点，使点到边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若，则▲．【答案】解：（1）作图如下，点即为所求：（2）由作图可知，，∵四边形是平行四边形，∴∥.∴.∴.∴.∵，∴.∴.【考点】尺规作图；角平分线的性质；平行四边形的性质；平行的性质；等腰三角形的判定.【分析】（1）由角平分线的性质知，到边的距离相等的点在的角平分线，因此，作的角平分线交边于点，则点即为所求. （2）判定是等腰三角形，即可由平行四边形对边相等的性质求解.
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旺旺：lisi355&>&&>&2015年中考数学试题分类之——《函数的图像、性质及应用问题》测试题
2015年中考数学试题分类之——《函数的图像、性质及应用问题》测试题 投稿：杨摩摪
2015年中考数学试题分类之——-《函数的图像、性质和应用问题》测试试题一．选择题1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数y?? x2?2x有下列四个结论：①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x12?2x1，y2?? x22?2x2，则当x2>…
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2015年中考数学试题分类之
——-《函数的图像、性质和应用问题》测试试题
一．选择题
1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数y?? x2?2x有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x12?2x1，y2?? x22?2x2，则当x2>x1时，有y2>y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<x0.其中正确结论的个数为【
2. （2015年广东深圳3分）二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像如下图所示，下列说法①a?0；②
b?0；③c?0；④b2?4ac?0，正确的个数是【
3. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数y?? x2?2x有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x12?2x1，y2?? x22?2x2，则当x2>x1时，有y2>y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<x0.其中正确结论的个数为【
D. 4 二．填空题
1. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A在反比例函数y?
(x?0)上，作Rt?ABC，x
CE点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若?B
三．解答题
的面积为8，则k=
1. （2015年广东梅州9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元. （1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是
元；②月销量是
.件；（直接填写结果）
（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 2. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线l:y??（1）求点A、B的坐标； （2）求原点O到直线l的距离；
（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.
3. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线y?k1x和y?k2x与反比例函数
x?3分别与x、y轴交于点A和B. 4
的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA． x
（1）四边形ABCD一定是
四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设P?x1, y1?, Q?x2, y2?, ?x2?x1?0?是函数y?试判断a，b的大小关系，并说明理由．
图象上的任意两点，a?1，, b?x2x1?x2
4. （2015年广东佛山6分）若正比例函数y?k1x的图象与反比例函数y?
的图象有一个交点坐标是x
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.
5. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y??x?4x刻画，斜坡可以用一次函数y?
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连结抛物线的最高点P与点O、A得△POA. 求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积，请直接写出．．．．点．M的坐标.
6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数y?一象限.
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若?OAB的面积为6，求m的值.
7. （2015年广东广州10分）已知O为坐标原点，抛物线y1?ax2?bx?c(a?0)与x轴相交于点A(x1, 0),B(x2, 0).与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2?0,x1?x2?4，，点A，C在直线y2??3x?t上. （1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n(n?0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n?5n的最小值.
8. （2015年广东深圳9分）如图1，关于x的二次函数y??x2?bx?c经过点A(?3, 0)，点C(0, 3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上. （1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由； （3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由
的图象的一支位于第x
9. （2015年广东9分）如图，反比例函数y?
(k≠0，x＞0)的图象与直线y?3x相交于点C，过直线上x
点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.
10. （2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD=
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在
AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)； （3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°
11. （2015年广东汕尾9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元. （1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是
元；②月销量是
.件；（直接填写结果） （2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
12. （2015年广东汕尾11分）如图，已知直线l:y??（1）求点A、B的坐标； （2）求原点O到直线l的距离；
（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.
13. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线y?k1x和y?k2x与反比例函数y?
x?3分别与x、y轴交于点A和B. 4
的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA． x
（1）四边形ABCD一定是
四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设P?x1, y1?, Q?x2, y2?, ?x2?x1?0?是函数y?试判断a，b的大小关系，并说明理由．
图象上的任意两点，a?1，, b?x2x1?x2
14. （2015年广东珠海7分）已知抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax+bx-8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 15. （2015年广东珠海7分）如图，在平面直角坐标中，矩形OABC的顶点
A, C分别在x轴，y轴上，函数y=
的图像过P(4,
3)和矩形的顶点x
B(m, n)(0<m<4)．
（1）求k的值；
（2）连接PA, PB，若DABP的面积为6，求直线BP的解析式．
16. （2015年广东珠海9分）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折
=．以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线OE3
x-x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：DABD∽DODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF^BD；
（3）P是线段BC上的一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD^DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？ 若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
2015年中考数学试题分类之
——-《函数的图像、性质和应用问题》测试试题答案
一．选择题
1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数y?? x?2x有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x1?2x1，y2?? x2?2x2，则当x2>x1时，有y2>y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<x0.其中正确结论的个数为【
D. 4 【答案】C.
【考点】二次函数的图象和性质.
【分析】∵y?? x?2x???x?1??1，∴二次函数图象的对称轴是直线x?1.故结论①正确.
∴当x?1时，y随x的增大而减小，此时，当x2>x1时，有y2<y1.故结论②错误.
∵y?? x2?2x?0的解为x1?0, x2?2，∴二次函数图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，
0） .故结论③正确.
∵二次函数图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<x0.
故结论④正确.
综上所述，正确结论有①③④三个. 故选C.
2. （2015年广东深圳3分）二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图像如下图所示，下列说法①a?0；②
b?0；③c?0；④b2?4ac?0，正确的个数是【
D. 4 【答案】B.
【考点】二次函数的图像和性质.
【分析】∵二次函数y?ax2?bx?c(a?0)图像的开口向下，∴a<0. 故说法①错误.
∵二次函数y?ax?bx?c(a?0)图像的对称轴在y轴右侧，∴?
∵二次函数y?ax?bx?c(a?0)图像与y轴的交点在x轴上方，∴c>0. 故说法③错误.
∵二次函数y?ax?bx?c(a?0)图像与x轴有两个交点，∴b?4ac?0.故说法④正确.
>0， 即b>0.故说法②2a
综上所述，正确的个数是②④2个. 故选B.
3. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数y?? x?2x有下列四个结论：
①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x1?2x1，y2?? x2?2x2，则当x2>x1时，有y2>y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<x0.其中正确结论的个数为【
D. 4 【答案】C.
【考点】二次函数的图象和性质.
【分析】∵y?? x?2x???x?1??1，∴二次函数图象的对称轴是直线x?1.故结论①正确.
∴当x?1时，y随x的增大而减小，此时，当x2>x1时，有y2<y1.故结论②错误.
∵y?? x2?2x?0的解为x1?0, x2?2，∴二次函数图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，
0） .故结论③正确.
∵二次函数图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<x0.
故结论④正确.
综上所述，正确结论有①③④三个. 故选C.
二．填空题
1. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A在反比例函数y?
(x?0)上，作Rt?ABC，点D为斜边x
AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若?BCE的面积为8，则k
【答案】16.
【考点】反比例函数的应用；相似三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质..
【分析】由题意，S?BCE?
?BC?OE?8，∴BC?OE?16. 2
∵点D为斜边AC的中点，∴BD?DC. ∴?DBC??DCB??EBO. 又∵?ABC??EOB，∴?ABC∽?EOB. ∴∴k?OB?AB?BC?OE?16.
三．解答题
1. （2015年广东梅州9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元. （1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是
元；②月销量是
.件；（直接填写结果） （2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（1）①x?60；
②?2x?400.
（2）依题意可得：y??x?60???2x?400???2x?520x?24000??2?x?130??9800.
当x=130时，y有最大值980.
∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.
【考点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.
【分析】（1）①根据“利润?售价?进价”得出结论.
②根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为m?kx?b，
?100k?b?200?k??2将（100，200），（110，180）代入，得?，解得?.
110k?b?180b?400??
∴m??2x?400.
将其它各组数据代入检验，适合，∴月销量是?2x?400
（2）根据“利润?售价?进价”得出y关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.
2. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线l:y??（1）求点A、B的坐标； （2）求原点O到直线l的距离；
（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标.
x?3分别与x、y轴交于点A和B. 4
【答案】（1）∵当x=0时，y=3 ，∴B点坐标（0，3） .
∵当y=0时，有0??
x?3，解得x=4. ∴A点坐标为（4，0）. 4
（2）如答图1，过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.
在Rt△BOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，
11OB?OA12?OB?OA??AB?OC，∴OC??. 22AB5
∴原点O到直线l的距离为.
（3）如答图2，3，过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，
在△BOA和△BDM中，∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM，∴△BOA∽△BDM.
??，解得MB?. ，即MBDMMB22
∴OM?OB–BM?或OM?OB?BM?.
∴点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.
【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.
【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y=0和x=0分别代入y??A、B的坐标..
（2）作辅助线：过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式SVBOA?的距离.
（3）作辅助线：过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据△BOA∽△BDM列式求得MB?
x?3即可求得点4
?OB?OA??AB?OC求得OC的长，即原点O到直线l22
，分点M在直线AB的上、下方两种情况讨论即可. 2
的图象分别交于x
3. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线y?k1x和y?k2x与反比例函数y?两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是
四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设P?x1, y1?, Q?x2, y2?, ?x2?x1?0?是函数y?试判断a，b的大小关系，并说明理由．
图象上的任意两点，a?1，, b?x2x1?x2
【答案】解：（1）平行.
（2）四边形ABCD可能是矩形，此时k1k2?1，理由如下：
当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.
??y?k1xx????.
联立?，∴A1，得?y???x?
同理，B?. ∵OA?
? k1，OB2?? k2， k1k2
k?k?1，得? k1?? k2?21????0.
k1k2?k1k2?
∵k2?k1?0， ∴
?1?0. ∴k1k2?1. k1k2
∴四边形ABCD可以是矩形，此时k1k2?1. （3）a>b.理由如下：
?x?x??4x1x2??x1?x2?y?y221?11?2
???????12∵a?b?1. 2x1?x22?x1x2?x1?x22x1x2x1?x22x1x2x1?x2∵x2 > x1 > 0，∴?x1?x2?>0，2x1x2?x1?x2?>0.
?x1?x2?>0a>b∴.∴. 2x1x2x1?x2【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有OA?OC, OB?OD，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.
（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即OA?OB，
据此列式化简得证.
（3）作差，化简，得出结论.
4. （2015年广东佛山6分）若正比例函数y?k1x的图象与反比例函数y?
的图象有一个交点坐标是x
（1）求这两个函数的表达式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.
【答案】解：（1）∵正比例函数y?k1x的图象经过??2, 4?，
∴4??2k1，解得k1??2. ∴正比例函数的表达式为y??2x. ∵反比例函数y?∴4?
的图象经过??2, 4?， x
，解得k1??8. ?2
∴正比例函数的表达式为y??
?x??2?x?2?
（2）联立?或?， 8，解得?
y?4y??4y?????x?
∴这两个函数图象的另一个交点坐标为?2, ?4?.
【考点】正比例函数图象和反比例函数图象交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系.
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，分别将??2, 4?代入两个解析式即可求得这两个函数的表达式.
（2）联立两表达式，解方程组即可求得这两个函数图象的另一个交点坐标.
5. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y??x?4x
刻画，斜坡可以用一次函数y?
（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标； （2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连结抛物线的最高点P与点O、A得△POA. 求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积，请直接写出．．．．点．M的坐标
【答案】解：（1）∵y??x?4x??x?4x?4?4???x?2??4，
∴点P的坐标为?2, 4?.
?y??x2?4xx?
（2）联立?，解得?或?. 1
?y?0?y?7?y?x
∴点A的坐标为?
（3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交OA于点B，
则点B的坐标为?2, 1?，BP?3. ∴SVPOA?S?OBP?S?BAP?
?3?2??3???2??. 22?2?4
【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三角形面积的应用；待定系数法、转换思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.
（2）联立y??x?4x和y?
x即可求出点A的坐标
（3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交OA于点B”，将SVPOA转化为S?OBP和S?BAP之和. （4）作辅助线“过点P作PM//OA交抛物线于另一点M”，则△MOA的面积等于△POA的面积，
设直线PM的解析式为y?将P?2, 4?代入，得4?
?2?m?m?3， 21
∴直线PM的解析式为y?x?3.
?y??x2?4xx?
联立?，解得，或. ??115?y?4?y??y?x?3
∴点M的坐标为?
的图象的一支位于第一象限. x
6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数y?
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若?OAB的面积为6，求m的值
【答案】解：（1）∵反比例函数y?
的图象的一支位于第一象限， x
∴该函数图象的另一支位于第三象限.∴m?7>0，解得m>7. ∴m的取值范围为m>7. （2）设A?a,
∵点B与点A关于x轴对称，∴AB?
∵?OAB的面积为6，∴
2?m?7?1?a??6，解得m?
【考点】反比例函数综合题；解一元一次不等式；轴对称点的性质. 【分析】（1）根据反比例函数y?
?k?0?的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，x
图象分别位于第二、四象限.由反比例函数y?得到m?7>0，解之即可.
（2）设A?a,
的图象的一支位于第一象限，得另一支位于第三象限，x
?，根据“关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数”a?
得到AB的长，根据?OAB的面积为6列方程求解即可.
7. （2015年广东广州10分）已知O为坐标原点，抛物线y1?ax2?bx?c(a?0)与x轴相交于点
A(x1, 0),B(x2, 0).与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2?0, x1?x2?4，，点A，
C在直线y2??3x?t上. （1）求点C的坐标；
（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（3）将抛物线y1向左平移n(n?0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n?5n的最小值. 【答案】解：（1）令x?0，得y1?c，∴C?0, c?.
∵O，C两点之间的距离为3，∴c?3，解得c??3. ∴点C的坐标为?0, 3?或?0, -3?. （2）∵x1?x2?0，∴x1, x2异号.
①若C?0, 3?，把C?0, 3?代入y2??3x?t得3?0?t，即t?3. ∴y2??3x?3.
把A?x1, 0?代入y2??3x?3得0??3x1?3，即x1?1.∴A?1, 0?. ∵x1, x2异号，x1?1>0，∴x2<0.
∵x1?x2?4，∴1?x2?4，1?x2?4，x2??3.∴B??3, 0?. 把A?1, 0?，B??3, 0?代入y1?ax2?bx?3，得?
?a?b?3?0?a??1
?9a?3b?3?0?b??2
∴y1??x?2x?3???x?1??4.∴当x??1时，y1随着x的增大而增大.
②若C?0, -3?，把C?0, -3?代入y2??3x?t得?3?0?t，即t??3. ∴y2??3x?3.
把A?x1, 0?代入y2??3x?3得0??3x1?3，即x1??1.∴A??1, 0?. ∵x1, x2异号，x1??10.
∵x1?x2?4，∴?1?x2?4，1?x2?4，x2?3.∴B?3, 0?. 把A??1, 0?，B?3, 0?代入y1?ax2?bx?3，得?
?a?b?3?0?a?1
9a?3b?3?0b??2??
∴y1?x?2x?3??x?1??4.∴当x?1时，y1随着x的增大而增大.
综上所述，若C?0, 3?，当y1随着x的增大而增大时，x??1；若C?0, -3?，当y1
随着x的增大而增大时，x?1.
（3）①若C?0, 3?，则y1??x?2x?3???x?1??4，y2??3x?3，
y1向左平移n(n?0)个单位后的解析式为y3???x?1?n??4，则当x??1?n时，
y3随着x的增大而增大.
直线y2向下平移n个单位后的解析式为y4??3x?3?n. 要使平移后直线与P有公共点，则当x??1?n时，y3?y4，
即???1?n?1?n??4??3??1?n??3?n，解得n??1，与n>0不符，舍去.
②若C?0, -3?，则y1?x?2x?3??x?1??4，y2??3x?3，
y1向左平移n(n?0)个单位后的解析式为y3??x?1?n??4，则当x?1?n时，y3
随着x的增大而增大.
直线y2向下平移n个单位后的解析式为y4??3x?3?n. 要使平移后直线与P有公共点，则当x?1?n时，y4?y3， 即?3?1?n??3?n???1?n?1?n??4，解得n?1. 综上所述，n?1.
∵2n?5n?2?n???，
时，2n?5n的最小值为?. 48
【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.
【分析】（1）一方面，由点C在抛物线y1?ax2?bx?c(a?0)得到C?0, c?，另一方面，由O，C两点之间的距离为3，得到c??3，从而得到点C的坐标.
（2）分C?0, 3?和C?0, -3?两种情况讨论.
（3）分C?0, 3?和C?0, -3?两种情况讨论得到n的范围内n?1，从而根据二次函数最值原理
8. （2015年广东深圳9分）如图1，关于x的二次函数y??x2?bx?c经过点A(?3, 0)，点C(0, 3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上. （1）求抛物线的解析式；
（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，若存在求出点P，若不存在请说明理由； （3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由
【答案】解：（1）将点A(?3, 0)， C(0, 3)代入y??x?bx?c，得
??9?3b?c?0?b??2
，解得?. ?
∴抛物线的解析式为y??x?2x?3.
（2）存在.
∵y??x?2x?3???x?1??
4，∴AE?2, DE?4, AD?
∴sin?ADE?设P??1, p?，
AD当点P在?DAB的角平分线时，如答图1，过点P作PM?AC于点M，
则PM?PD?sin?ADE?
4?p?, PE?p， 5
p，解得p?1.
∴P?1,1. 5
当点P在?DAB的外角平分线时，如答图2，过点P作PM?AC于点M，
则PM?PD?sin?ADE?
4?p?, PE??p， ∵PM?
p，解得p?1.
∴P?1,1. ??
综上所述，DE上存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等，点P的坐标为
（3）存在.
假设存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，
设Ff, ?f?2f?3
∵BE?2, OC?3，∴S?EBC?3. ∵2S?FBC?3S?EBC，∴S?FBC?
?fm?n??f2?2f?3?m??f?2
设CF的解析式为y?mx?n，则?，解得?.
∴CF的解析式为y???f?2?x?3. 令y?0，得x?
，即CF与x轴的交点坐标为Q?, 0?. f?2?f?2?
若点F在x轴上方，如答图2，则S?BCF?S?BCQ?S?BFQ， ∴
91?3?1?3?2
???1??3??1???????f?2f?3?， 22?f?2?2?f?2?
时，?f?2f?3?.
若点F在x轴下方，如答图3，则S?BCF?S?BCQ?S?BFQ， ∴
91?3?1?3?2
???1??3??1??????f?2f?3?， 22?f?2?2?f?2?
1（舍去正值）.
?f?2f?3?，不符合点F在x轴下方，舍去.
综上所述，DE的左侧抛物线上存在点F，使2S?FBC?3S?EBC，点F的坐标为
. ???2 ?2??
【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.
【分析】（1）将点A(?3, 0)， C(0, 3)代入y??x2?bx?c即可求解.
（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点P在?DAB的角平分线和点P在
?DAB的外角平分线两种情况讨论即可.
（3）由已知求出S?FBC?
，分点F在x轴上方和点F在x轴下方两种情况讨论，当点F在x轴2
上方时，S?BCF?S?BCQ?S?BFQ；当点F在x轴下方时，S?BCF?S?BCQ?S?BFQ，据此列方程求解. 9. （2015年广东9分）如图，反比例函数y?
(k≠0，x＞0)的图象与直线y?3x相交于点C，过直线上x
点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD. （1）求k的值； （2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标
【答案】解：（1）∵A(1，3)，∴OB=1，AB=3.
又∵AB=3BD，∴BD=1. ∴D(1，1). ∵反比例函数y?
(k≠0，x＞0)的图象经过点D，∴k?1?1?1. x
（2）由（1）知反比例函数的解析式为y?
解方程组??（舍去）， 1，得?
∴点C的坐标为
（3）如答图，作点D关于y轴对称点E，则E(?1,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.
设直线CE的解析式为y?kx?b，则
的解析式为y?3)x?2. 当x=0时，y
=2， ∴点M的坐标为(0
【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.
【分析】（1）求出点D的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k的值.
（2）由于点C是反比例函数y?
的图象和直线y?3x的交点，二者联立即可求得点C的坐标. x
（3）根据轴对称的应用，作点D关于y轴对称点E，则E(?1,1)，连接CE交y轴于点M，即为
10. （2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD=
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°
（2）如答图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.
∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°.∴sin15°=FC
. 又∵NC=x，sin15°
?. ∴点N到AD
（3）∵NC=x，sin75°=
，且sin75°
， ∵PD=CP
∴y?12?x11??2x)2)·即y?
【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.
【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB=BC=4
，∴AC?∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD?AC?cos?CAD?1
?DC?AC?sin?CAD??. 22
（2）作辅助线“过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F”构造直角三角形CNF，求出FC
的长，即可由NE=DF=FC+CD求解.
（3）由y?S梯形MDFN?S?PNF?S?NDP列式，根据二次函数的最值原理求解.
11. （2015年广东汕尾9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元. （1）请用含x的式子表示：
①销售该运动服每件的利润是
元；②月销量是
.件；（直接填写结果） （2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（1）①x?60；
②?2x?400.
（2）依题意可得：y??x?60???2x?400???2x?520x?24000??2?x?130??9800.
当x=130时，y有最大值980.
∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.
【考点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.
【分析】（1）①根据“利润?售价?进价”得出结论.
②根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为m?kx?b， 将（100，200），（110，180）代入，得?∴m??2x?400.
?100k?b?200?k??2
?110k?b?180?b?400
将其它各组数据代入检验，适合，∴月销量是?2x?400件.
（2）根据“利润?售价?进价”得出y关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.
12. （2015年广东汕尾11分）如图，已知直线l:y??（1）求点A、B的坐标； （2）求原点O到直线l的距离；
（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标
x?3分别与x、y轴交于点A和B. 4
【答案】（1）∵当x=0时，y=3 ，∴B点坐标（0，3） .
∵当y=0时，有0??
x?3，解得x=4. ∴A点坐标为（4，0）. 4
（2）如答图1，过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离.
在Rt△BOA中，OA=4，0B=3，由勾股定理可得AB=5，
11OB?OA12?OB?OA??AB?OC，∴OC??. 22AB5
∴原点O到直线l的距离为.
（3）如答图2，3，过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，
在△BOA和△BDM中，∵∠OBA=∠DBM，∠BOA=∠BDM，∴△BOA∽△BDM.
??，解得MB?. ，即MBDMMB22
∴OM?OB–BM?或OM?OB?BM?.
∴点M的坐标为M（0，）或 M（0，）.
一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角
形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.
【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y=0和x=0分别代入y??A、B的坐标..
（2）作辅助线：过点O作OC⊥AB于点C，则OC长为原点O到直线l的距离，由勾股定理求得AB的长，从而根据三角形面积公式SVBOA?的距离.
（3）作辅助线：过点M作MD⊥AB交AB于点D，则当圆M与直线l相切时，MD=2，根据△BOA∽△BDM列式求得MB?
x?3即可求得点4
?OB?OA??AB?OC求得OC的长，即原点O到直线l22
，分点M在直线AB的上、下方两种情况讨论即可. 2
的图象分别交x
13. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线y?k1x和y?k2x与反比例函数y?于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．
（1）四边形ABCD一定是
四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1和k2之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设P?x1, y1?, Q?x2, y2?, ?x2?x1?0?是函数y?试判断a，b的大小关系，并说明理由．
图象上的任意两点，a?1，, b?x2x1?x2
【答案】解：（1）平行.
（2）四边形ABCD可能是矩形，此时k1k2?1，理由如下：
当四边形ABCD是矩形时，OA=OB.
??y?k1xx????.
联立?，∴A1，得?y???x?
y??. 同理，B
? k1，OB2?? k2， k1k2
?1??0. ? k1?? k2，得 ?k2?k1??
k1k2?k1k2?
∵k2?k1?0， ∴
?1?0. ∴k1k2?1. k1k2
∴四边形ABCD可以是矩形，此时k1k2?1. （3）a>b.理由如下：
?x?x??4x1x2??x1?x2?. y?y221?11?2
???????12∵a?b?12x1?x22?x1x2?x1?x22x1x2x1?x22x1x2x1?x2∵x2 > x1 > 0，∴?x1?x2?>0，2x1x2?x1?x2?>0.
?x1?x2?>0a>b
∴.∴. 2x1x2x1?x2【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有OA?OC, OB?OD，所以，四边形ABCD一定是平行四边形.
（2）求出点A、B的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA=OB，即OA?OB，
据此列式化简得证.
（3）作差，化简，得出结论.
14. （2015年广东珠海7分）已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．
（1）求证：2a+b=0；
（2）若关于x的方程ax+bx-8=0的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案】解：（1）证明：∵抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1，
=1.∴2a+b=0. 2a
（2）设关于x的方程ax+bx-8=0的另一个根为x2，
∵抛物线y=ax+bx+3的对称轴是直线x=1，
∴x2和4关于直线x=1对称 ，即1-x2=4-1，解得x2=-2.
∴方程的另一个根为-2．
【考点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系.
【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1，根据对称轴公式列式化简即可得出结果.
（2）根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax+bx-8=0的两个根是二次函数
y=ax2+bx+3的图象与x轴交点的横坐标，即两根关于对称轴对称，据此列式求角即可.
另解（代数解法）：∵关于x的方程ax+bx-8=0的一个根为4，
ìì?2a+b=0?a=1
∴16a+4b-8=0，即4a+b=2.联立í，解得，í.
???4a+b=2?b=-2
∴关于x的方程为x-2x-8=0，解得x1=4, x2=-2. ∴方程的另一个根为-2．
15. （2015年广东珠海7分）如图，在平面直角坐标中，矩形OABC的顶点A, C分别在x轴，y轴上，函数y=
的图像过P(4, 3)和矩形的顶点B(m, n)(0<m<4)．
（1）求k的值；
（2）连接PA, PB，若DABP的面积为6，求直线BP的解析式．
【答案】解：（1）∵函数y=
的图像过P(4, 3)，∴4=，即k=12. x3
（2）∵点B(m, n)在y=的图像上，∴矩形OABC的面积为12，即m?n12.
又∵DABP的面积为6，∴(4-m)n=6，即4n-m?n12.
ìì?m?n12?m=2
二者联立í，解得í.
???4n-m?n12?n=6
∴点B的坐标为（2，4）.
ì3ì4k+b=3k=-??
设直线BP的解析式为y=kx+b，则í，解得í2.
∴直线BP的解析式为y=-
【考点】反比例函数和一次函数交点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；矩形的性质；方程思想的应用. 【分析】（1）由函数y=可.
（2）根据“矩形OABC的面积为12”和“DABP的面积为6”列方程组，求出点B的坐标，从
而应用待定系数法求出直线BP的解析式.
16. （2015年广东珠海9分）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折
的图像过P(4, 3)，根据地点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列式求解即x
=．以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线OE3
x-x+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：DABD∽DODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF^BD；
（3）P是线段BC上的一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD^DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？ 若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵四边形OABC是矩形，且由折叠的性质知DBCE≌DBDE，
∴?BDE∵?BAD
90 ，∴?EDO?BDA?BDA?DAB90 .∴?EDO DAB. ?BAD90 ，∴DABD∽DODE.
又∵?EOD（2）证明：∵
=，∴可设OD=4k, OE=3k，则由勾股定理，得DE=5k. OE3
===.∴DA=6k. .∴ODEODAOE3
由折叠的性质知CE=DE=5k，∴AB=OC=CE+OE=8k. 由（1）DABD∽DODE，∴∴BC=OA=10k.
在RtDBCE中，由勾股定理，得BE=BC+
=(10k)+(5k)，
解得，k=1.
∴OE=3, OD=4, DA=6, AB=8, OA=10.
x-x+3. 1627725
∵当x=10时，y=，∴AF=, BF=AB-AF=.
∴抛物线的解析式为y=-
AFD中，由勾股定理，得DF==∴BF=DF.
又∵点M为RtDBDE斜边上的中点，∴MD=MB. ∴MF为线段BD的垂直平分线. ∴MF^BD. （3）由（2）知，抛物线的解析式为y=-
x-x+3， 162
设抛物线与x的两个交点为H、G， 令y=0，即-
x-x+3=0， 162
解得x1=-4, x2=12， ∴H-4, 0, G12, 0. ①当PD^x轴时，如答图1, ∵PD=8, DM=DN=8, ∴点Q坐标为-4, 0或12, 0. ②当PD不垂直于x轴时，如答图2,
当点Q在抛物线对称右侧时，分别过点P,Q作x轴的垂线，垂足分别为N, I，则点Q
不与点G重合，即DI?8，
∵PD^DQ， ∴?QDI
90??PDN DPN.
∴RtDPDN∽RtDDQI. ∵PN=8，∴PN?
∴RtDPDN和RtDDQI不全等
同理，当点Q在抛物线对称左侧时，PD?
综上所述，在点P运动过程中，能使得PD=DQ，符合条件的Q点坐标为-4, 0或
【考点】二次函数综合题；单动点和折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系；线段垂直平分线的性质；待定系数法和分类思想的应用.
【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可求得DABD和DODE的两组对应角相等而得到结论.
（2）由条件应用待定系数法，根据相似三角形的性质和勾股定理求得OE, OD, DA, AB, OA的
长，从而求得抛物线的解析式，而得到点F的坐标，进而得到MF为线段BD的垂直平分线的结论而证明结论.
（3）分PD^x轴和PD不垂直于x轴两种情况讨论即可.
2015年中考数学试题分类之——-《函数的图像、性质和应用问题》测试试题一．选择题1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数y?? x2?2x有下列四个结论：①它的对称轴是直线x?1；②设y1?? x12?2x1，y2?? x22?2x2，则当x2>…
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