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若一n行n列的U满足
其中为n阶，为U的，为酉矩阵(英文:
Unitary Matrix, Unitary
是归一或单位的意思)。即，矩阵U为酉矩阵，其共轭转置为其:
若酉矩阵的元素都是实数，其即为。与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，
酉矩阵U不改变两个复向量的内积：
若为n阶方阵，则下列条件等价：
的列向量构成Cn上的一组
的行向量构成Cn上的一组
酉矩阵的特征值都是模为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是，由知，酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个。
Unitary matrix
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U is unitary if
where I is the
and U * is the
The real analogue of a unitary matrix is an .
Properties
For any unitary matrix U, the following hold:
Given two complex vectors x and y, multiplication
that is, U is
to a diagonal matrix, as a consequence of the . Thus U has a decomposition of the form
where V is unitary and D is diagonal and
are orthogonal.
For any positive
set of all n by n unitary matrices with matrix
multiplication forms a ,
called the
Any square matrix with unit Euclidean norm is the average of
two unitary matrices.
Equivalent conditions
If U is a square, complex matrix, then the following
conditions are equivalent:
U is unitary
U * is unitary
U is invertible, with U &1=U
the columns of U form an
with respect to the usual inner product
the rows of U form an orthonormal basis of
with respect to the usual inner product
with respect
to the usual norm
lying on the .
References
Li, Chi-K Poon, Edward (2002).
&Additive Decomposition of Real
Matrices&. Linear and Multilinear Algebra
50 (4): 321&326. :.
External links
Ivanova, O. A. (2001), , in Hazewinkel, Michiel, , ,
埃尔米特矩阵
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埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）（又称&自共轭矩阵&）是的。埃尔米特矩阵中每一个第i
行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。
，其中为。
就是一个埃尔米特矩阵。
显然，埃尔米特矩阵上的元素都是的，其特征值也是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是埃尔米特矩阵。也就是说，实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
若A 和B 是埃尔米特矩阵，那么它们的和A+B
也是埃尔米特矩阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB =
BA）时，它们的积才是埃尔米特矩阵。
可逆的埃尔米特矩阵A 的A-1仍然是埃尔米特矩阵。
如果A是埃尔米特矩阵，对于n，An是埃尔米特矩阵。
方阵C 与其共轭转置的和是埃尔米特矩阵，
方阵C 与其共轭转置的差是。
任意方阵C 都可以用一个埃尔米特矩阵A 与一个斜埃尔米特矩阵B的和表示：
埃尔米特矩阵是，因此埃尔米特矩阵可被，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着埃尔米特矩阵的都是实的，而且不同的特征值所对应的相互，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的。
n-阶埃尔米特矩阵的元素构成为n2的，因为主对角线上的元素有一个，而主对角线之上的元素有两个自由度。
如果埃尔米特矩阵的特征值都是，那么这个矩阵是，若它们是非负的，则这个矩阵是。
埃尔米特序列
埃尔米特序列（抑或埃尔米特向量）指满足下列条件的序列ak（其中k
= 0, 1, &, n）：
若n 是，则an/2是。
实数序列的是埃尔米特序列。反之，一个埃尔米特序列的逆离散傅里叶变换是实序列。
Hermitian matrix
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In mathematics, a Hermitian matrix (or self-adjoint
matrix) is a
entries that is equal to its own &that is, the element in the i-th row and j-th column
is equal to the
of the element in the j-th row and i-th column, for
all indices i and j:
, in matrix form.
Hermitian matrices can be understood as the complex extension of
If the conjugate transpose of a matrix
is denoted by
, then the Hermitian property can be written concisely as
Note that asterisk
is sometimes used to represent both
, which creates confusion.
Hermitian matrices are named after ,
who demonstrated in 1855 that matrices of this form share a
property with real symmetric matrices of having
always real.
See the following example:
The diagonal elements must be , as they must
be their own complex conjugate.
Well-known families of ,
and their generalizations are Hermitian. In
such Hermitian matrices are often multiplied by
coefficients,
which results in skew-Hermitian matrices (see ).
Properties
The entries on the
left to bottom right) of any Hermitian matrix are necessarily real,
because they have to be equal to their complex conjugate. A matrix
that has only real entries is Hermitian
is a , i.e., if it is symmetric with respect to the main
diagonal. A real and symmetric matrix is simply a special case of a
Hermitian matrix.
Every Hermitian matrix is a .
The finite-dimensional
says that any Hermitian matrix can be
by a , and that the resulting diagonal matrix has only real
entries. This implies that all
Hermitian matrix A are real, and that A has n linearly independent
Moreover, it is possible to find an
of Cn consisting of n
eigenvectors of A.
The sum of any two Hermitian matrices is Hermitian, and the
of an invertible Hermitian matrix is Hermitian as well. However,
two Hermitian matrices A and B is Hermitian if and only if
AB = BA. Thus An is
Hermitian if A is Hermitian and n is an integer.
The Hermitian complex n-by-n matrices do not form a
the , since the identity matrix In is
Hermitian, but i In is not. However the
complex Hermitian matrices do form a vector space over the
R. In the 2n2-
vector space of complex n & n matrices over R,
the complex Hermitian matrices form a subspace of dimension
n2. If Ejk denotes the
n-by-n matrix with a 1 in the j,k position and zeros
elsewhere, a basis can be described as follows:
(n matrices)
together with the set of matrices of the form
(n2 & n/2 matrices)
and the matrices
(n2 & n/2 matrices)
denotes the complex number
, known as the .
If n orthonormal eigenvectors
of a Hermitian matrix are chosen and written as the columns of the
matrix U, then one
and therefore
are the eigenvalues on the diagonal of the diagonal matrix
Further properties
Additional facts related to Hermitian matrices include:
The sum of a square matrix and its conjugate transpose
is Hermitian.
The difference of a square matrix and its conjugate transpose
(also called antihermitian). This implies that
Hermitian matrices is skew-Hermitian.
An arbitrary square matrix C can be written as the sum of a
Hermitian matrix A and a skew-Hermitian matrix B:
The determinant of a Hermitian matrix is real:
Therefore if
(Alternatively, the determinant is the product of the matrix's
eigenvalues, and as mentioned before, the eigenvalues of a
Hermitian matrix are real.)
(anti-Hermitian matrix)
References
(2004). . . p. 652.
External links
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), , , ,
, by Chao-Kuei Hung
from Shu-Te University, gives a more geometric explanation.
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Matlab 矩阵相关函数
1．矩阵对角线元素的抽取
格式 X = diag(v,k)
%以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k&0时，v为上方第k条对角线；当k&0时，v为下方第k条对角线。
X = diag(v)
%以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。
v = diag(X,k)
%抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k&0：抽取上方第k条对角线元素；k&0抽取下方第k条对角线元素。
v = diag(X)
%抽取主对角线元素构成向量v。
2．上三角阵和下三角阵的抽取
%取下三角部分
格式 L = tril(X)
%抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L
L = tril(X,k)
%抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k&0为主对角线以上；k&0为主对角线以下。
%取上三角部分
格式 U = triu(X)
%抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U
U = triu(X,k)
%抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k&0为主对角线以上；k&0为主对角线以下。
3．矩阵的变维
矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。
（1）“：”变维
（2）Reshape函数变维
格式 B = reshape(A,m,n)
%返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B
B = reshape(A,m,n,p,…)
%将矩阵A变维为m×n×p×…
B = reshape(A,[m n p…])
B = reshape(A,siz)
%由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数
（5）复制和平铺矩阵
函数 repmat
格式 B = repmat(A,m,n)
%将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。
B = repmat(A,[m n])
%与上面一致
B = repmat(A,[m n p…])
%B由m×n×p×…个A块平铺而成
repmat(A,m,n)
%当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。
1.3 矩阵分解
1.3.1 Cholesky分解
格式 R = chol(X)
%如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(X)
%不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
1.3.2 LU分解
矩阵的三角分解又称LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
格式 [L,U] = lu(X)
%U为上三角阵，L为下三角阵或其变换形式，满足LU=X。
[L,U,P] = lu(X)
%U为上三角阵，L为下三角阵，P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。
将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。
[Q,R] = qr(A)
%求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR。
[Q,R,E] = qr(A)
%求得正交矩阵Q和上三角阵R，E为单位矩阵的变换形式，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR。
[Q,R] = qr(A,0)
%产生矩阵A的“经济大小”分解
[Q,R,E] =qr(A,0)
%E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E)。
%稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'*R =A'*A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗。
[C,R] = qr(A,b)
%用于稀疏最小二乘问题：minimize||Ax-b||的两步解：[C,R] =qr(A,b)，x = R\c。
R = qr(A,0)
%针对稀疏矩阵A的经济型分解
[C,R] =qr(A,b,0)
%针对稀疏最小二乘问题的经济型分解
[Q,R] = qrdelete(Q,R,j)
%返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解
[Q,R] = qrinsert(Q,R,j,x)
%在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x。
特征值分解
d = eig(A)
%求矩阵A的特征值d，以向量形式存放d。
d = eig(A,B)
%A、B为方阵，求广义特征值d，以向量形式存放d。
[V,D] = eig(A)
%计算A的特征值对角阵D和特征向量V，使AV=VD成立。
[V,D] =eig(A,'nobalance')
%当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。
[V,D] =eig(A,B)
%计算广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。
[V,D] =eig(A,B,flag)
%由flag指定计算特征值D和特征向量V，flag的可能值为：'chol'表示对B使用Cholesky分解算法，这里A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。'qz'表示使用QZ算法，这里A、B为非对称或非Hermitian矩阵。
一般特征值问题是求解方程： 解的问题。广义特征值问题是求方程： 解的问题。
奇异值分解
s = svd (X)
%返回矩阵X的奇异值向量
[U,S,V] = svd (X)
%返回一个与X同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。
[U,S,V] = svd (X,0)
%得到一个“有效大小”的分解，只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。
1.4 线性方程的组的求解
我们将线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解，另一类是方程组求无穷解即通解。可以通过系数矩阵的秩来判断：
若系数矩阵的秩r=n（n为方程组中未知变量的个数），则有唯一解；
若系数矩阵的秩r&n，则可能有无穷解；
线性方程组的无穷解 =对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；其特解的求法属于解的第一类问题，通解部分属第二类问题。
求线性方程组的唯一解或特解（第一类问题）
这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；另一类是解大型稀疏矩阵—— 迭代法。
1．利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）
方程：AX=b
解法：X=A\b
2．利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解
（1）LU分解：
LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。
变成L*U*X=b
所以X=U\(L\b)
这样可以大大提高运算速度。
[L，U]=lu (A)
（2）Cholesky分解
若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：
其中R为上三角阵。
A*X=b 变成
（3）QR分解
对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR
A*X=b 变形成
求线性齐次方程组的通解
在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A?X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
% z的列向量为方程组的正交规范基，满足 。
% z的列向量是方程AX=0的有理基
求非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步
第二步：求AX=b的一个特解
第三步：求AX=0的通解
第四步：AX=b的通解=AX=0的通解+AX=b的一个特解。
1.6 秩与线性相关性
矩阵和向量组的秩以及向量组的线性相关性
矩阵A的秩是矩阵A中最高阶非零子式的阶数；向量组的秩通常由该向量组构成的矩阵来计算。
k = rank(A)
%返回矩阵A的行（或列）向量中线性无关个数
k = rank(A,tol)
%tol为给定误差
求行阶梯矩阵及向量组的基
行阶梯使用初等行变换，矩阵的初等行变换有三条：
1．交换两行
（第i、第j两行交换）
2．第i行的K倍
3．第i行的K倍加到第j行上去
通过这三条变换可以将矩阵化成行最简形，从而找出列向量组的一个最大无关组，Matlab将矩阵化成行最简形的命令是rref或rrefmovie。
rref或rrefmovie
R = rref(A)
%用高斯—约当消元法和行主元法求A的行最简行矩阵R
[R,jb] =rref(A)
%jb是一个向量，其含义为：r =length(jb)为A的秩；A(:, jb)为A的列向量基；jb中元素表示基向量所在的列。
[R,jb] =rref(A,tol)
%tol为指定的精度
rrefmovie(A)
%给出每一步化简的过程
1.7 稀疏矩阵技术
稀疏矩阵的创建
S = sparse(A)
%将矩阵A转化为稀疏矩阵形式，即由A的非零元素和下标构成稀疏矩阵S。若A本身为稀疏矩阵，则返回A本身。
S = sparse(m,n)
%生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵
S =sparse(i,j,s)
%生成一个由长度相同的向量i，j和s定义的稀疏矩阵S，其中i，j是整数向量，定义稀疏矩阵的元素位置(i,j)，s是一个标量或与i，j长度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素。
S = sparse(i,j,s,m,n)
%生成一个m×n的稀疏矩阵，(i,j)对应位置元素为si，m = max(i)且n =max(j)。
S = sparse(i,j,s,m,n,nzmax)
%生成一个m×n的含有nzmax个非零元素的稀疏矩阵S，nzmax的值必须大于或者等于向量i和j的长度。
将稀疏矩阵转化为满矩阵
%S为稀疏矩阵，A为满矩阵。
稀疏矩阵非零元素的索引
k = find(x)
%按行检索X中非零元素的点，若没有非零元素，将返回空矩阵。
[i,j] = find(X)
%检索X中非零元素的行标i和列标j
[i,j,v] =find(X)
%检索X中非零元素的行标i和列标j以及对应的元素值v
外部数据转化为稀疏矩阵
S=spconvert(D)
%D是只有3列或4列的矩阵
说明：先运用load函数把外部数据（.mat文件或.dat文件）装载于MATLAB内存空间中的变量T；T数组的行维为nnz或nnz+1，列维为3（对实数而言）或列维为4（对复数而言）；T数组的每一行（以[i,j,Sre,Sim]形式）指定一个稀疏矩阵元素。
基本稀疏矩阵
1．带状（对角）稀疏矩阵
[B,d] = spdiags(A)
%从矩阵A中提取所有非零对角元素，这些元素保存在矩阵B中，向量d表示非零元素的对角线位置。
B =spdiags(A,d)
%从A中提取由d指定的对角线元素，并存放在B中。
A =spdiags(B,d,A)
%用B中的列替换A中由d指定的对角线元素，输出稀疏矩阵。
A = spdiags(B,d,m,n)
%产生一个m×n稀疏矩阵A，其元素是B中的列元素放
在由d指定的对角线位置上。
2．单位稀疏矩阵
S = speye(m,n)
%生成m×n的单位稀疏矩阵
S = speye(n)
%生成n×n的单位稀疏矩阵
3．稀疏均匀分布随机矩阵
R = sprand(S)
%生成与S具有相同稀疏结构的均匀分布随机矩阵
R = sprand(m,n,density)
%生成一个m×n的服从均匀分布的随机稀疏矩阵，非零元素的分布密度是density。
R = sprand(m,n,density,rc)
%生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n的均匀分布的随机稀疏矩阵。
4．稀疏正态分布随机矩阵
R = sprandn(S)
%生成与S具有相同稀疏结构的正态分布随机矩阵。
R = sprandn(m,n,density)
%生成一个m×n的服从正态分布的随机稀疏矩阵，非零元素的分布密度是density。
R = sprandn(m,n,density,rc)
%生成一个近似的条件数为1/rc、大小为m×n的均匀分布的随机稀疏矩阵。
5．稀疏对称随机矩阵
R = sprandsym(S)
%生成稀疏对称随机矩阵，其下三角和对角线与S具有相同的结构，其元素服从均值为0、方差为1的标准正态分布。
R = sprandsym(n,density)
%生成n×n的稀疏对称随机矩阵，矩阵元素服从正态分布，分布密度为density。
R =sprandsym(n,density,rc)
%生成近似条件数为1/rc的稀疏对称随机矩阵
R =sprandsym(n,density,rc,kind)
%生成一个正定矩阵，参数kind取值为kind=1表示矩阵由一正定对角矩阵经随机Jacobi旋转得到，其条件数正好为1/rc；kind=2表示矩阵为外积的换位和，其条件数近似等于1/rc；kind=3表示生成一个与矩阵S结构相同的稀疏随机矩阵，条件数近似为1/rc，density被忽略。
稀疏矩阵的运算
1．稀疏矩阵非零元素的个数
n = nnz(X)
%返回矩阵X中非零元素的个数
2．稀疏矩阵的非零元素
s = nonzeros(A)
%返回矩阵A中非零元素按列顺序构成的列向量
3．稀疏矩阵非零元素的内存分配
n = nzmax(S)
%返回非零元素分配的内存总数n
4．稀疏矩阵的存贮空间
S =spalloc(m,n,nzmax)
%产生一个m×n阶只有nzmax个非零元素的稀疏矩阵，这样可以有效减少存贮空间和提高运算速度。
5．稀疏矩阵的非零元素应用
f = spfun('function',S)
%用S中非零元素对函数'function'求值，如果'function'不是对稀疏矩阵定义的，同样可以求值。
6．把稀疏矩阵的非零元素全换为1
R = spones(S)
%将稀疏矩阵S中的非零元素全换为1
画稀疏矩阵非零元素的分布图形
%画出稀疏矩阵S中非零元素的分布图形。S也可以是满矩阵。
spy(S,markersize)
% markersize为整数，指定点阵大小。
spy(S,'LineSpec')
%'LineSpec'指定绘图标记和颜色
spy(S,'LineSpec',markersize)
%参数与上面相同
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设U是正交矩阵,a1,a2,...,an是U的列向量,b1,b2,...,bn是U的行向量,则当i 不等于j, =什么?当i=j, =什么?当i不等于j , =什么?
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知识点: U是正交矩阵
U的列向量组是标准正交向量组 U的行向量组是标准正交向量组当i 不等于j, =0
(两两正交)当i=j,
(长度为1).
= -+-=1-0+0-1 = 0.
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其他类似问题
扫描下载二维码导读：1、已知A?(aij)是n阶正定Hermite矩阵，试求酉矩阵U，AU是上三角矩阵，4、试证：在C上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermite矩阵，5、验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U，AU为对角矩阵，6、试求正交矩阵Q，AQ为对角矩阵，7、试求矩阵P，8、设n阶酉矩阵U的特征根不等于?1，试证：矩阵E?U满秩，是Hermite矩阵，若H是Hermite矩阵，且U?(E?iH)(E?
1、 已知A?(aij)是n阶正定Hermite矩阵，在n维线性空间Cn中向量
??(x1,x2,?,xn),??(y1,y2,?,yn)定义内积为(?,?)??A?H
（1） 证明在上述定义下，Cn是酉空间； （2） 写出Cn中的Canchy-Schwarz不等式。 2、 已知A??
，求N(A)的标准正交基。 ?
?0的基础解系再正交化单位化。
提示：即求方程AX3、 已知
?,(1)A??3?16??
试求酉矩阵U，使得U
(2)A???103??
AU是上三角矩阵。
提示：参见教材上的例子
4、 试证：在C上的任何一个正交投影矩阵P是半正定的Hermite矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U，使U
AU为对角矩阵，已知
?3?1?? (1)A???6??1???2???
4i?6?2i??0?1i??4?3i?，(3)A?1??4i?
(2)A???6i???9?
??0??i00???6?2i?2?6i?
6、 试求正交矩阵Q，使Q
AQ为对角矩阵，已知
2?20???1??(1)A???21?2?，(2)A??
11?100?111
?1?0?? 1??1?
7、 试求矩阵P，使PAP?E（或PAP?E），已知
?1i1?i??22?2?
?，(2)A??25?4?
(1)A???i01????
????2?45???1?i12??
8、 设n阶酉矩阵U的特征根不等于?1，试证：矩阵E?U满秩，且H?i(E?U)(E?U)?1
是Hermite矩阵。反之，若H是Hermite矩阵，则E?iH满秩，且U?(E?iH)(E?iH)?1是酉矩阵。
证明：若|E?U|?0，观察秩。
?E?U?0知?1为U的特征值，矛盾，所以矩阵E?U满
HH??(iE?U)(E?
U?)H???iE??
?EUHH?H，只要，)要
?i?E?UH?(E?UH)?i(E?U)(E?U)?1??(E?UH)(E?U)??E?UH?(E?U) ?UH?U?UH?U
E?iH??i(iE?H)?0知i为H的特征值。由Hermite矩阵只能有实数特征值可得
E?iH?0，即E?iH满秩。
UHU?(E?iHH)?1(E?iHH)(E?iH)(E?iH)?1?(E?iH)?1(E?iH)(E?iH)(E?iH)?1?(E?iH)?1(E?iH)(E?iH)(E?iH)?1?E
9、 若S,T分别是实对称和实反对称矩阵，且det(E?T?iS)?0，试证：
(E?T?iS)(E?T?iS)?1是酉矩阵。
[(E?T?iS)(E?T?iS)?1]H(E?T?iS)(E?T?iS)?1?(E?T?iS)?1(E?T?iS)(E?T?iS)(E?T?iS)?1
?(E?T?iS)?1(E?T?iS)(E?T?iS)(E?T?iS)?1?E
10、 设A,B均是实对称矩阵，试证：A与B正交相似的充要条件是A与B的特征值相同。 证明：相似矩阵有相同的特征值。A与B正交相似?
A与B的特征值相同。
若A与B的特征值相同，又A,B均是实对称矩阵。所以存在正交阵Q，P使
QTAQ???PTBP?(QPT)TA(QPT)?B其中QPT为正交阵。
11、 设A,B均是Hermite矩阵，试证：A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。 证明：同上一题。
12、 设A,B均是正规矩阵，试证：与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。 同上
13、 设A是Hermite矩阵，且A
?A，则存在酉矩阵U，使得UHAU??r ?
14、 设A是Hermite矩阵，且A?E，则存在酉矩阵U，使得UAU??
15、 设A为正定Hermite矩阵，B为反Hermite矩阵，试证：AB与BA的特征值实部为0。 证：A为正定Hermite矩阵?A?L
L，L为满秩的。
?E?AB??E?LHLB?LH?E?LBLH(LH)?1)?LBHLH??LBLH
LBLH是反Hermite矩阵，反Hermite矩阵的特征值实部为0,所以AB的特征值实部为0。
16、 设A,B均是Hermite矩阵，且A正定，试证：AB与BA的特征值都是实数。 证明：同上题。
?E?AB??E?LHLB?LH?E?LBLH(LH)?1
(LBLH)H?LBHLH?LBLH，LBLH是Hermite矩阵，Hermite矩阵的特征值为实数,所
以AB的特征值是实数。
17、 设A为半正定Hermite矩阵，且A?0，试证：证明：A的特征值为?i
?0，矩阵的行列式等于特征值之积。A?E特征值为?i?1，
A?E??(?i?1)?1
18、 设A为半正定Hermite矩阵，A?0，B是正定Hermite矩阵，试证：证明：B?L
L，L为满秩的。
A?B?A?LHL?LH(LH)?1AL?1?EL?(LH)?1AL?1?ELHL?(L)AL?EB
(LH)?1AL?1为半正定Hermite矩阵，由上题(LH)?1AL?1?E?1， A?B?(LH)?1AL?1?EB?B
19、 设A为正定Hermite矩阵，且A?U证明：存在U?Un?n,
A?U?UH，??diag(?1,?,?n),?i?0。又A?Un?n，
U?UH??2??i2?1??i?1?A?U?UH?UEUH?E
20、 试证：（1）两个半正定Hermite矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite矩阵与正
定Hermite矩阵之和是正定的。 提示：考查XH(A?B)X
21、 设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，试证：A＋B是可逆矩阵。 提示：A为正定Hermite矩阵?A?L
L，LA?B?LHE?(LH)?1BL?1L
(LH)?1BL?1是反Hermite矩阵，特征值?i实部为0,E?(LH)?1BL?1??(1??i)?0，所
22、 设A，B是n阶正规矩阵，试证：A与B相似的充要条件是A与B酉相似。 证明：充分性，酉相似?相似。
必要性，A，B是n阶正规矩阵，A?U1B相似,
?1U1,B?U2H?2U2,Ui?Un?n，又A与
A与B的特征值相同,可设
?1??2，A?U1H?1U1??U1HU2BU2HU1,U2HU1?Un?n
23、 设A?A，试证：总存在t?0，使得A?tE是正定Hermite矩阵，A?tE是负定
Hermite矩阵。
提示：A的特征值为?i，则A?tE的特征值为?i
24、 设A是正定Hermite矩阵，且A还是酉矩阵，则A?E。 提示：
25、 设A、B均为正规矩阵。且AB?BA，则AB与BA均为正规矩阵。 提示：用Ｐ１５０定理，A,B可以同时酉对角化。
包含总结汇报、考试资料、资格考试、人文社科、教学教材、专业文献、应用文书、党团工作以及矩阵分析第3章习题答案等内容。本文共2页
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