高数微积分例题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-02-15 21:37 标签： 微积分题目及解答
微积分（先修课）（2015秋）
微积分不仅是近现代数学和科学的理论基础，而且在不同领域中得到了越来越广泛的应用。能否很好地掌握微积分的基本思想和方法，直接影响到在相关的领域中能否得到很好地发展和提升。清华大学微积分AP课程面向具有扎实的数学基础、学有余力，并希望提前选修大学数学基础课程的优秀高中生，主要讲授一元函数微积分的主要内容。通过学习，希望学生能掌握微分学和积分学的基本思想和方法，能够处理微积分中的常见问题，使学生得到比较系统的数学训练，提升学生的科学素质，为进入下阶段的学习做好知识储备和能力准备。本课程内容包括：实数理论、极限理论、函数连续性、函数的导数与微分、微分学应用、积分法、定积分及其应用等，课内讲授大约需要40学时。
绪论绪论第一章 极限第一节 极限概念引例第一节练习题第二节 极限的概念第二节练习题第三节 极限的性质第三节练习题第四节 极限的运算第四节练习题第五节 夹逼定理与单调有界收敛定理第五节练习题第六节 两个重要的极限第六节习题第七节 无穷小量第七节习题第二章 连续函数第一节 连续函数的概念第一节 练习题第二节 初等函数的连续性结论第二节 练习题第三节 连续函数的性质第三节 练习题第三章 导数与微分第一节 导数与导函数第一节 练习题第二节 微分第二节 练习题第三节 导数的运算第三节 练习题第四节 隐函数与参数方程确定的函数的导数、对数求导法第四节 练习题第五节 高阶导数第五节 练习题第四章 微分中值定理和导数的应用第一节 极值和极值点第一节 练习题第二节 微分中值定理第二节 练习题第三节 洛必达法则第三节 练习题第四节 函数单调性的判定第四节 练习题第五节 函数的极值及其求法第五节 练习题第六节 函数的最值及其应用第六节 练习题第七节 曲线的凸性和拐点第七节 练习题第八节 曲线的渐近线第八节 练习题第九节 泰勒（Taylor）公式第九节 练习题第十节 原函数与微分方程初步第十节 练习题第五章 定积分第一节 定积分问题举例第二节 定积分的概念第二节 练习题第三节 定积分的基本性质第三节 练习题第四节 微积分基本定理第四节 练习题第五节 定积分的几何应用第五节 练习题第六节 定积分的物理应用第六章 积分法与反常积分第一节 换元积分法第一节 练习题第二节 分部积分法第二节 练习题第三节 有理函数的积分法第三节 练习题第四节 定积分应用举例第四节 练习题第五节 反常积分第五节 练习题第七章 无穷级数第一节 无穷级数第一节 练习题第二节 正项级数第三节 比值判敛法和根式判敛法第三节 练习题第四节 一般项级数第四节 练习题第五节 幂级数第六节 函数的幂级数第六节 练习题第七节 泰勒级数第七节 练习题第八节 幂级数的简单应用第八章 常微分方程第一节
一阶可求解常微分方程第一节 练习题第二节 一阶线性微分方程第二节 练习题第三节 二阶线性常系数微分方程第三节 练习题第四节 常系数微分方程简单应用举例期末考试期末考试&>&&>&&>&&>&微积分上册习题册上册答案（四川大学出版社版本）
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1.dy/dx=(xy^2-cosxsinx)/(y(1-x^2)),y(0)=2 求y2.xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0,y(0)=1 求y3.dy/dx=(-2x+y)^2-7,y(0)=0 求y
那_年夏天0289
1.∵dy/dx=(xy²-cosxsinx)/(y(1-x²))
==>y(1-x²)dy=(xy²-cosxsinx)dx
==>y(1-x²)dy-xy²dx+cosxsinxdx=0
==>(1-x²)d(y²)-y²d(x²)+sin(2x)dx=0
==>2(1-x²)d(y²)+2y²d(1-x²)+sin(2x)d(2x)=0
==>2d(y²(1-x²))+sin(2x)d(2x)=0
==>2y²(1-x²)-cos(2x)=C
(C是积分常数)
∴原微分方程的通解是2y²(1-x²)-cos(2x)=C
(C是积分常数)
∴8-1=C ==>C=7
故满足初始条件的特解是2y²(1-x²)-cos(2x)=7；
2.∵xydx+(2x^2+3y^2-20)dy=0
==>xy^4dx+2x²y^3dy+3y^5dy-20y³dy=0
(等式两边同乘y^3)
==>y^4d(x²)/2+x²d(y^4)/2+d(y^6)/2-5d(y^4)=0
==>d(x²y^4)+d(y^6)-10d(y^4)=0
∴原微分方程的通解是x²y^4+y^6-10y^4=C
(C是积分常数)
∴1-10=C ==>C=-9
故满足初始条件的特解是x²y^4+y^6-10y^4=-9；
3.设z=-2x+y,则dy/dx=dz/dx+2
代入原方程得dz/dx+2=z²-7
==>dz/dx=z²-9
==>dz/(z²-9)=dx
==>[1/(z-3)-1/(z+3)]dz=6dx
==>ln│z-3│-ln│z+3│=6x+ln│C│
(C是积分常数)
==>ln│(z-3)/(z+3)│=6x+ln│C│
==>(z-3)/(z+3)=Ce^(6x)
==>(y-2x-3)/(y-2x+3)=Ce^(6x)
∴原微分方程的通解是(y-2x-3)/(y-2x+3)=Ce^(6x)
∴-3/3=C ==>C=-1
故满足初始条件的特解是(y-2x-3)/(y-2x+3)=-e^(6x).
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1.dy/dx=(xy²-cosxsinx)/[y(1-x²)],，y(0)=2
求yydy/dx=(xy²-cosxsinx)/(1-x²)=xy²/(1-x²)-cosxsinx/(1-x²).............(1)为了求(1)的解，可先考虑方程：ydy/dx=xy²/(1-x&#17...
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