关于抛物线问题
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微探究：《二次函数抛物线中的动点问题》专题复习
一．教学内容分析
以抛物线我载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊的几何图形或研究生成几何图形的面积，这是抛物线与平面几何生成综合性问题的一种重要形式，也是各地中考中常见的考点，也是学生综合解题能力提升的重要素材，这类问题有一下常见的形式。
（1）抛物线上的动点能否构成等腰三角形；
（2）抛物线上的动点能否构成等腰三角形；
（3）抛物线上的动点能否构成平行四边形、矩形、菱形、正方形；
（4）抛物线上的动点能否构成相似三角形；
（5）抛物线上的动点生成的几何图形的面积；
这类问题是把抛物线的性质与平面图形的性质有机结合，由于动点的运动既会影响图形相关的数量关系，又会改变图形的位置及形状，从而生成特殊的三角形、特殊的四边形、相似三角形，解题的关键是把图形的几何性质与点的坐标有机的结合，需要综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论、方程等重要的思想方法，指导问题求解。
二．学习者特征分析
九年级的学生经过将近三年的初中数学学习，无论从知识上、还是能力上都有了较大的提高，并且对初中重要的数学思想有较深刻的认识，对于抛物线的基本特征和几何图形的基本特征比较熟悉，通过一个动点将二者有机的结合起来，对学生来说既熟悉又有挑战性，学生对问题的探究和解决，既能巩固知识，又能提升解题能力，并且对包含的数学思想有一个较为深刻的体验，尤其是对毕业班的学生来说，能够独立解决或合作解决问题，从中获得成功的体验，可以树立良好的自信心，减少对综合题的畏惧心理。
三．教学目标
从不在同一直线上的三个点可以确定一条抛物线谈起，让学生由三个点的坐标确定抛物线的解析式，考察学生待定系数法，并进一步研究抛物线的基本特征，通过简单的问题回顾知识。
从对称轴上引入一个动点，与已知条件结合，生成距离最短、特殊的三角形的存在性问题，考察学生的综合分析问题的能力，培养学生的树形结合、分类讨论、运用方程的数学思想，通过典型问题提高学生的解题能力。
由抛物线上一动点与相关的已知条件生成图形的面积问题，考察二次函数的最值理论，让学生树立函数意识解题，提升综合应用能力。通过综合性问题发展学生的思维。
四．教学策略选择与设计
基于让学生提出问题、分析问题、解决问题的思考，教学设计通过设计问题串的形式，让学生尝试提出自己的问题，并对有代表性的问题展开讨论，由简单逐步深入的研究抛物线与几何图形相关的生成性问题，从而回顾知识、培养解题能力、提升学生的数学思维。在简单问题上，有学生独立完成，在综合性问题处理上，通过学生的小组合作，全班研讨的形式解决。教师在关键的地方要注意归纳和总结提升。
五．教学重点、难点
教学重点、难点：抛物线与几何图形综合问题的分析与解决。体验数形结合、分类讨论、运用方程等重要的数学思想在分析和解决问题的重要性。
六、教学过程设计
教学过程设计
运用简单的问题，回顾基础知识和基本解题方法。
我们大家都知道：不在同一直线上的三个点确定一条抛物线。现在，在平面直角坐标系中有三个点，A(-1,0),B(3,0),C(0,3)，你能求出过这三个点的抛物线的解析式吗？
2、根据所求抛物线的关系式，你能提出一些的问题，来更详尽的了解这条抛物线吗？
【问题预设】
1、你能说出这条抛物线的基本特征吗？（开口方向、对称轴、顶点坐标、变化趋势、最大（小）值）
2、当y=2时，求x的值。（与一元二次方程的关系）
3、你能说出x为何值时？函数值大于零吗？函数值小于3吗？（与一元二次不等式的关系、数形结合思想）
4、你能在平面直角坐标系中画出这条抛物线吗？
5、你能求出A、B、C三点与顶点构成的四边形的面积吗？
。。。。。。
独立作答，
班级交流，
学生尝试挖掘抛物线的基本特征，试着提出自己的问题。
让学生从“不在同一直线上的三个点确定一条抛物线，求抛物线的解析式开始，考察学生用待定系数法求函数关系式，并且学生对三个点理解的认识不同，会选择“一般式、顶点式、交点式”不同的设法求解，体现学生思维的独特性。
基于学生对问题的理解，尝试提出问题，培养学生的提问意识。
&设计典型问题，培养学生提出问题、分析问题、解题能力
问题二：已知抛物线y=-x2+2x+3的图像如图所示，点P是抛物线对称轴上一动点，连结AC、AP、CP，你能提出一个与△ACP有关的探究性的问题吗？
【问题预设】
（1）&&&&&&
点P运动到那个位置时，△ACP的周长最小，并求出P点的坐标？
（2）&&&&&&
是否存在这样的P点,使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标？
（3）&&&&&&
是否存在这样的P点,使△ACP为直角三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标？
解决问题方法归纳：
预设问题1、求周长最小，转化为求AP+CP的和最短问题，容易联想到“根据对称性，转化为两点之间线段最短”
预设问题2、3关于特殊三角形的存在性问题，涉及数形结合、分类讨论、运用方程等数学思想指导来解决问题。涉及的知识要运用勾股定理、相似三角形等性质求解线段长的问题。
学生想象、模拟点P运动过程，动手操作，观察，提出猜想，生成问题。
学生先独立思考、后小组交流讨论、最后班级展示。
通过引入抛物线对称轴上一个动点的运动，与A、C、生成三角形有关问题，引导学生从点P位置上变化发现问题，提出问题，从而把抛物线与三角形结合生成探究性问题，由于是学生自己提出问题，更容易引起学生的探究欲望，开展探究活动，本环节要给学生足够的空间提问，和足够的时间思考，讨论。
学生解题后的反思，是提升学生解题能力的有效方法，教师的及时归纳提升，是学生思维形成的重要手段。
通过综合性问题，提升学生的思维
已知抛物线y=-x2+2x+3的图像如图所示，连结BC，点P为抛物线上一动点（0
【问题预设】
（1）当点P为何值时，△BCP的面积最大？并求最大面积？
（2）在点P运动过程中，作PM&x轴，交BC于点Q，当P点的坐标为何值时？线段PQ的长最大？
“观察点P在抛物线上的运动，发现△BCP的面积有小到大再有大到小的变化，猜想面积的最大值，从而提出问题，让学生经历个人独立思考——小组交流——猜想命题--”的过程，在探究命题的解决方案.
学生独立完成，全班交流。
通过综合性问题，让学生观察点P的运动过程，发现面积的变化情况，自然猜想与三角形面积有关的问题，并且问题直接指向二次函数的最值理论，让学生树立函数意识，提出问题、分析问题、解决问题的能力。
(3)在(2)的条件下，以C、P、Q、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标。
学生独立思考，小组交流，组织全班展示辨析。
在逐步变式的条件下，理解抛物线与平行四边形的特征，发展学生的思维。
反思与评价
本节课学习，你收获了哪些新知识？
对于抛物线你有何新的认识？
在本节课的学习过程中，你感悟到哪些数学思想？
在学习中，你认为自己哪些方面做得较好？
充分的交流，分享收获，体验成功。
引导学生从知识与能力、过程与方法、情感态度价值观等方面，进行反思、梳理、概括、总结，并组织学生自评、互评。从中体会数学内在联系，通过解决问题，感悟学习数学的快乐，积累解题经验，树立学习信心
作业设计：
（1）认真整理课堂学习学案，落实学习、
（2）根据课堂所学，你还能提出哪些猜想？能否给出解决方案？
发散学生的思维，尝试新的角度提出问题。
关于作业，我会依据学生情况，分层设计，并布置部分开放性作业。
七、板书设计
七．教学反思
我认为，本节课的设计环节比较流畅，符合学生的认知，教学过程和学生的学习过程较为顺利。
&本节课，通过一个抛物线，发展了学生的几何直观和演绎推理能力，积累了数学活动经验，同时也感悟了分类讨论的数学思想。
教学过程中，我充分相信学生，利用实物投影展示学生，放手让学生讲解，组织师生辨析，培养学生“自主学习、独立探究、合作交流”的能力，让学生学会学习。
九．教学学案设计
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抛物线常见问题分类与方法
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中考數学培优专题4--抛物线存在性问题
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抛物线中动形存在性
要点分析：
抛物线的解析式有下列三种形式：
一般式：(a≠0)；
2、顶点式：y =a(x—h) 2＋k；
3、交点式：y=a(x—x 1)(x—x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0的两个实根。
解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
题型解析：
1.抛物线中三角形
例1. 如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．
(1) 求此地物线的解析式；
(2) 若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点 (不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形? 若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．
解：(1) ∵拋物线y1=ax2?2ax?b经过A(?1，0)，C(0，)两点，∴，∴a= ?，
b=，∴拋物线的解析式为y1= ?x2?x?。
(2) 作MN?AB，垂足为N。由y1= ?x2?x?易得M(1，2)，
N(1，0)，A(?1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，
?MBN=45?。根据勾股定理有BM 2?BN 2=PM 2?PN 2。
∴(2)2?22=PM2= ?(1?x)2…?，又?MPQ=45?=?MBP，
∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ?MB=y2?2…?。
由?、?得y2=x2?x?。∵0?x&3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2?x?(0?x&3)。
(3) 四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是
m?n=2(0?m?2，且m?1)。∵点E、G是抛物线y1= ?x2?x?
分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为
E(m，?m2?m?)，G(n，?n2?n?)。同理，点F、H坐标
为F(m，m2?m?)，H(n，n2?n?)。
∴EF=m2?m??(?m2?m?)=m2?2m?1，GH=n2?n??(?n2?n?)=n2?2n?1。
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m2?2m?1=n2?2n?1，∴(m?n?2)(m?n)=0。
由题意知m?n，∴m?n=2 (0?m?2，且m?1)。
因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m?n=2 (0?m?2，且m?1)。
练习1:如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A
的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90o的点P的坐标．
抛物线中四边形:
例2.已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．
（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．
求证：四边形ODBE是等腰梯形；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2
(2) 抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）
设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标为（2，0），连接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD=
∴四边形ODBE是梯形
………………5分
∴四边形ODBE是等腰梯形
………………7分
(3) 存在，
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