大一高数,三角函数有理式好积分.一二三的R是什么意思? &
R表示一个有理分式,R(sinx,cosx）表示这个分式里面的变量都是sinx, cosx的形式,如果把sinx和cosx当作一个字母来看,这个式子就是个有理分式.
噢噢。明白了，谢谢
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扫描下载二维码三角函数有理式积分技巧--《高等数学研究》2011年01期
三角函数有理式积分技巧
【摘要】：结合实际例子给出四种处理三角有理式积分的技巧与方法,即利用对称性积分法、递推公式法、组合积分法、利用留数法.
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：O172.2【正文快照】：
三角函数有理式的积分计算方法与技巧丰富多彩,一般可以通过万能代换法来求解,但有时化成的代数有理式的积分非常难求.本文介绍几种计算方法和技巧,利用这些技巧,可以提高对三角有理式的积分计算能力.1利用对称性积分设函数f(x)是[-a,a](a0)上的奇函数,则有a-∫af(x)dx=0.设
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京公网安备75号概述/三角函数
三角函数： 正弦, 余弦, 正切, 正割, 余割, 余切三角函数在中属于里的的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在中有重要的应用，在中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。它有六种基本函数(初等基本表示)：函数名分别是：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割
基本函数/三角函数
&& 函数&&&&&&&&&&& 简写&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 关系& &&&&&&& Sine&&&&&&&&&&&& sin&&&&&&&&&&&&
& &&&&& Cosine&&&&&&&&&&& cos&&&&&&&&&&&&
& &&&& Tangent&&&&&&&& tan(或tg)&&&&&
& && && cot(或 ctg、ctn)&&&&&
& &&&&& &&&&&&&&&&&&&sec&&&&&&&&&&&&&
& && &&& csc(或 cosec)&&&&&&&&&&&&&&
少用函数/三角函数
除六个基本函数，历史上还有下面六个函数:&&&&&&& 函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 关系&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& &&&&&&&&&&&&&&&
历史/三角函数
随着认识到在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有的（公元前180-125年）、的（公元90-180年）、Aryabhata（公元476-550年），Varahamihira、、、Abū al-Wafā' al-Būzjānī、、、Nasir al-Din al-Tusi、Ghiyath al-Kashi（14世纪）、Ulugh Beg（14世纪）、（1464）、Rheticus和 Rheticus 的学生 Valentin Otho。Madhava of Sangamagramma（约1400）以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。的(Introductio in Analysin Infinitorum)（1748）对建立三角函数在的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。
直角三角定义/三角函数
坐标系直角三角形中在直角三角形中仅有的定义。1.一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sinA = 对边/斜边 = a/h。 2.一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cosA= 邻边/斜边 = b/h。 3.一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tanA = 对边/邻边 = a/b。直角坐标系中设α是平面直角坐标系xOy中的一个，
函数是角的终边上一点，
函数是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：函数名定义函数名定义正弦余弦正切余切正割余割
单位圆定义/三角函数
单位圆六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据，单位圆的等式是:。图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2π 或小于 -2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的:对于任何角度 θ 和任何 k。周期函数的叫做这个函数的“基本周期”(primitive period)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为:在的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k 1/2)π 有。这是因为在 θ 从左侧接进 (k 1/2)π 的时数接近正无穷，而从右侧接近 (k 1/2)π 的时候函数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC (半弦)，这是的 Aryabhata(AD 476–550)介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，(θ) = 1 - cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是(与圆相交于两点)的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec(θ) = sec(θ) - 1 (正割在圆外的部分)。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2 (90 度)的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。
级数定义/三角函数
关只使用和的性质，可以证明正弦的是余弦，余弦的导数是负的正弦。(在中，所有角度都以弧度来度量)。我们可以接着使用的理论来证明下列恒等式对于所有 x 都成立 :这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点(比如，在中)，因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和便可以单独从级数定义来确立。
其他级数可见于: & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 这里的：
(下面的)是n次。 & & & &&在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释:它们枚举了奇数势的的(alternatingpermutation)。sec x在这种形式的表达中，分母是对应的，而分子叫做“正割数”，有组合解释:它们枚举势的有限集合的交错排列。cot x从的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是在它的自变量为时候的虚数和实数部分:这个联系首先由欧拉注意到，叫做。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中eix所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。这里的i2=-1。还有对于纯实数x，函函数这种指数过程与周期行为有密切的联系。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 复平面中的三角函数&&& &&&& && &&&&&&&&&&&& sin(z)&&&&&&&&&&&&&& cos(z)&&&&&&&&&& tan(z)&& &&&& & &&&&&&&&&&&& cot(z)&&&&&&&&&&&&&& sec(z)&&&&&&&&&&&&&& csc(z)&
微分方程定义/三角函数
正弦和余弦函数都满足函数就是说，每个都是它自己的的负数。在由所有这个方程的解的V中，正弦函数是满足初始条件y(0)=0和y′(0)=1的唯一解，而余弦函数是满足初始条件y(0)=1和y′(0)=0的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了V的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足函数意味着它们是二阶算子的。正切函数是非线性微分方程函数满足初始条件y(0)=0的唯一解。有一个非常有趣的形象证明，证明了正切函数满足这个微分方程。弧度的重要性通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一个角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的函数则导数将正比于“振幅”。函数这里的k是表示在单位之间映射的常数。如果x是度，则
函数这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程函数但满足函数对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的才再次是正弦。
等式/三角函数
三角函数之间存在很多，其中最常用的是，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：函数更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次:函数在某些情况下里面的括号可以省略。另一个关键的联系是，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用的论证方法推导出来；还可以用方法使用欧拉公式得出。函数函数当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为。
这些等式还可以用来推导，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。微积分三角函数的和导数可参见、积分表和三角函数积分表。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。&利用函数方程定义三角函数在中，可以利用基于这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数sin和cos使得对于所有实数x和y，下列方程成立:函数函数函数并满足附加条件函数从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义中的。
三角函数公式总结/三角函数
1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.三倍角公式sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]4.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/25.积化和差sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
计算/三角函数
生成三角函数表有之前，人们通常通过对计算到多个有效数字的三角函数表的内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。现代计算机使用了各种技术。一个常见的方式，特别是在有浮点单元的上，是或逼近(比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近，和典型用于更高或可变精度的和)和范围简约与表查找—首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。在缺乏硬件乘法器的简单设备上，有叫做算法的一个更有效的算法(和相关技术)，因为它只用了移位和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用来实现。对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用算术几何平均来逼近三角函数，它自身通过复数积分来逼近三角函数。精确三角函数常数最后对于一些简单的角度，使用可以很容易手工计算三角函数的值，像下面例子这样。事实上，π/60弧度(3°)的任何的正弦、余弦和正切都可以手工计算。考虑，两个角都是π/4弧度(45°)。邻边b和对边a的长度相等；我们可以选择a=b=1。π/4弧度(45°)的角的正弦、余弦和正切可以通过毕达哥拉斯定理来计算:函数所以:函数&要确定π/3弧度(60度)和π/6弧度(30度)角的三角函数，我们可以从边长为1的开始。它所有的角都是π/3弧度(60度)。把它等分为二，我们便得到一个角是π/6弧度(30度)和一个角是π/3弧度(60度)的直角三角形。这个三角形中，最短的边=1/2、第二短的边=(√3)/2而斜边=1。得出:& 函数名& &&& &&& && && && && &&&& sin&&&&& 0& &&&&&&&& &&&&&& &&&&& && &&&&&&&& 1&&& cos&&&&& 1& &&&&&& &&&&&& &&&&&&&& && &&&&&&&& 0&&& tan&&&&& 0& &&&&&& &&&&&&&& 1&&&&&& && &&&&&& &&& cot&&& & &&&&&& &&&&&&&& 1&&&&&& && &&&&&&&& 0&&& sec&&&&& 1& &&&&&& &&&&&& &&&&&&&&& 2&& &&&&&& &&& csc&&& & &&&&&&& 2&&&&& &&&&&&&& &&&&&&&&&1
反三角函数/三角函数
由于三角函数属于，而不是，所以严格来说并没有。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为。基本的定义为:反三角函数定义值域对于反三角函数，符号sin-1和cos-1经常用于和。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据来定义。例如，函数这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如，可以写为如下积分:函数可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用，可以把这些函数推广到上:函数函数&函数
性质和应用/三角函数
三角函数，正如其名称那样，在中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。正弦定理声称对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有:函数也可表示为:函数其中R是三角形的外接圆半径。，一种三角基的函数形成的图像。它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数(sinA)/a是通过A,B和C三点的圆的的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。
余弦定理(也叫做余弦公式)是的推广:函数也可表示为:函数这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。正切定理:函数周期函数谐波数目递增的方波的加法合成的动画。三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐，它描述了很多，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是的一维投影。
三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如或的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的(通常是无限的)和；这是分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为函数在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。
三角函数的应用/三角函数
一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。总判别式：Δ=B^2－4AC。盛金公式4&&&&&例：一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长&高&宽），满储水量为10082.44(dm)^3，立为1903.17dm，问：如何施工才能达到设计要求？解：设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：X⑴+X⑵+X⑶=70.5X⑴·X⑵·X⑶=10082.44X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17。解这个方程组。根据韦达定理，得一元三次方程：X^3－70.5X^2+1533.54X－a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44。A=369.63；B=－17372.61；C=6，Δ=－&0。根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。应用盛金公式4求解。θ=90°。把有关值代入盛金公式④，得：X⑴=12.4(dm)；X⑵=34.6(dm)；X⑶=23.5(dm)。经检验，结果正确。因为取长&高&宽，所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。
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