已知，试求，n的值。(12分) - 跟谁学
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关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心已知 z = cosθ+ i sinθ,求证 Im(z^n + 1/(z^n))=0n∈Z+
z = cosθ+ i sinθ,所以z^n=cosnθ+ i sinnθ,1/z^n=z^(-n)=cos(-nθ)+ i sin(-nθ),=cosnθ- i sinnθ所以z^n + 1/(z^n)=cosnθ+ i sinnθ+cosnθ- i sinnθ=2cosnθ+0i从而Im(z^n + 1/(z^n))=0
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扫描下载二维码方程·证明设n是自然数，求证:方程Z^(n+1)-Z^n-1=0 - 爱问知识人
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方程·证明
设ω是方程的一个模为1的复根，则
ω^(n+1)-ω^n-1=0
→ω^n(ω-1)=1
→|ω|^n|ω-1|=1.
∵|ω|=1即ω在复平面的单位圆上，
单位圆上满炅|ω|=1的点ω只能是
e^(±iπ/3)=cos(π/3)±isin(π/3)，
而且ω-1=e^(2πi/3)，
于是有，1=ω^n(ω-1)=e^[±(n+2)πi/3]，
∴(n+2)π/3=2kπ(k为整数)，
→n+2=6k，即6|(n+2).
若6|(n+2)，
则易验证ω=e^(πi/3)、ω=e^(-πi/3)
都是方程的根，且|ω|=1。
θ+isinθ
则z^(n+1)-zⁿ-1={cos(n+1)θ-cos(nθ)-1}+i{sin[(n+1)θ]-sin(nθ)}=0
∴cos[(n+1)θ]-cos(nθ)-1=-2{sin[(2n+1)θ/2]sin(θ/2)+1}=0
sin[(n+1)θ]-sin(nθ)=2cos[(2n+1)θ/2]sin(θ/2)=0
∴cos[(2n+1)θ/2]=0, sin[(2n+1)θ/2]=±1, sin(θ/2)=±1/2
设θ/2=x.
(1)sinx=1/2, sin[(2n+1)x]=-1, x=2kπ+π/6 或 2kπ+5π/6, k∈Z
(2n+1...
证明：
当6|n+2时, 令z=e^(iπ/3)=1/2+i√3/2, z⁶=1, |z|=1
∴z^(n+1)-zⁿ-1=e^(-iπ/3)-e^(iπ/3)-1=(1/2-i√3/2)-(-1/2-i√3/2)-1=0
∴z^(n+1)-z&#有模为1的复根
若z^(n+1)-z&#有模为1的复根, e^(iθ)=cθ+isinθ
则z^(n+1)-zⁿ-1={cos(n+1)θ-cos(nθ)-1}+i{sin[(n+1)θ]-sin(nθ)}=0
∴cos[(n+1)θ]-cos(nθ)-1=-2{sin[(2n+1)θ/2]sin(θ/2)+1}=0
sin[(n+1)θ]-sin(nθ)=2cos[(2n+1)θ/2]sin(θ/2)=0
∴cos[(2n+1)θ/2]=0, sin[(2n+1)θ/2]=±1, sin(θ/2)=±1/2
设θ/2=x.
(1)sinx=1/2, sin[(2n+1)x]=-1, x=2kπ+π/6 或 2kπ+5π/6, k∈Z
(2n+1)x=(2m+3/2)π, (m∈Z)
∴(2n+1)(2k+1/6)=2m+3/2, (2n+1)/6=2t+3/2, n=6t+4, (t∈Z)
或(2n+1)(2k+5/6)=2m+3/2, 5(2n+1)/6=2t+3/2, 5|4t+3, t≡3(mod5), (t∈Z)
设t=5s+3, 则n=6s+4, 总有6|n+2
综上得证
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这个命题是真的，可以用反证法来证明
加入上式有负有理数解，且x=-a/b,y=-c/d,z=-e/f,其中a,b,c,d,e,f为正整数，带入上式，若n为偶数...
A为n阶可逆方阵, 1=|I|=|A A^(-1)|=|A||A^(-1)|
|A^(-1)|=1/|A|
根据：A^(-1)=(A*)/|A|...
解:S'=N*(1-P)^(N-1)-NP*(N-1)(1-P)^(N-2)
令S'=0,解得P=1或P=1/N(N≠0,如果N=0,S=0)
当P=1时,...
cos[2nπ+(-1)^n*π/3] =cos[(-1)^n*π/3] =cos(π/3)=1/2
当n=2k (k∈Z)时，
sin[nπ+(-1)^n...
不是孤立奇点，不存在z=0的去心邻域Uo，使f(z)=cot(1/z)在Uo内解析。
更具体地说：
无论δ多小，总存在正整数n，
使f(z)=cot(1/z)...
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．（2016秋·洛阳校级月考）若复数Z 的共轭复数是，且满足=i（其中i为虚数单位），则z等于（ ）
A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】解：由=i，得，
∴z=1﹣i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．（2015秋·高安市校级期末）若（x+）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为（
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在所给的等式中，分别令x=1，x=﹣1，可得两个式子，再把这两个式子相乘，即得所求．
【解答】解：在
令x=1，可得
a0+a1+a2+a3+a4=，
再令x=﹣1，可得
a0﹣a1+a2﹣a3+a4=，
两量式相乘可得则=·=1，
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于基础题．
3．（2014·大庆二模）若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．＞ B．＞ C．＞ D．|a|＞﹣b
【考点】不等式的基本性质．
【专题】计算题．
【分析】选项A，利用作差法可证明真假，选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式不成立，故可判断真假；选项C，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，进行判断真假；选项D，根据a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，从而|a|=﹣a＞﹣b，即可判断真假，从而选出正确选项．
【解答】解：选项A，﹣=＞0，故正确；
选项B，取a=﹣4，b=﹣2，此时不等式＞不成立，故不正确；
选项C，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴＞，故正确；
选项D，∵a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|=﹣a＞﹣b，故正确；
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，以及列举法的运用，同时考查了利用作差法比较大小，属于基础题．
4．（2014秋·北林区期中）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（ ）
A．两条相交直线 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】分别令f（x）=，g（x）=，他们的几何意义分别是点到定点和定直线的距离相等，利用抛物线的定义推断出答案．
【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，
令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，
依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，点的轨迹方程问题．关键是对方程的几何意义的灵活应用．
5．（2015·路南区校级二模）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．
【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；
故﹣2m﹣n+2=0；
故2m+n=2；
当且仅当m=n=时，等号成立；
【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题．
6．（2013·新课标Ⅱ）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（
A． B． C． D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．
【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=x，
∴C的离心率为：e==．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．
7．（2013·临洮县校级模拟）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】类比推理．
【专题】计算题．
【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“=3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r=，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．
【解答】解：推广到空间，则有结论：“=3”．
设正四面体ABCD边长为1，易求得AM=，又O到四面体各面的距离都相等，
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，
则有r=，可求得r即OM=，
所以AO=AM﹣OM=，所以 =3
故答案为：3
【点评】本题考查类比推理、几何体的结构特征、体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．
8．（2012·阳谷县校级模拟）已知直线mx﹣y+1=0交抛物线y=x2于A、B两点，则△AOB（
A．为直角三角形 B．为锐角三角形
C．为钝角三角形 D．前三种形状都有可能
【考点】三角形的形状判断．
【专题】计算题．
【分析】根据A和B都为抛物线上的点，设出A和B的坐标，把直线与抛物线解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之积，然后利用A和B的坐标表示出和，利用平面向量的数量积运算法则，计算得出·为0，从而得出两向量互相垂直，进而得到三角形为直角三角形．
【解答】解：设A（x1，x12），B（x2，x22），
将直线与抛物线方程联立得，
消去y得：x2﹣mx﹣1=0，
根据韦达定理得：x1x2=﹣1，
由=（x1，x12），=（x2，x22），
得到·=x1x2+（x1x2）2=﹣1+1=0，
∴△AOB为直角三角形．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
9．（2016秋·洛阳校级月考）已知实数x，y满足：，则z=2x+y的最小值（ ）
A．2 B．1 C． D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化思想；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
【解答】解：由z=2x+y，得y=﹣2x+z
作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知当直线y=﹣2x+z过点A时，直线y=﹣2x+z的在y轴的截距最小，此时z最小，
由得，即A（1，﹣1），
此时z=2﹣1=1，
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
10．（2014·鲤城区校级模拟）已知f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为n，则（x﹣）n的展开式中常数项为（ ）
A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160
【考点】二项式系数的性质．
【专题】综合题；二项式定理．
【分析】由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|的最小值为6，故n=6，在二项式的展开式中令x的幂指数等于0，解得r的值，即可得到结论．
【解答】解：由于f（x）=|x+2|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到﹣2和4对应点的距离之和，其最小值为6，故n=6．
故二项式（x﹣）n展开式的通项公式为Tr+1=（x）6﹣r=（﹣2）rx6﹣2r．
令6﹣2r=0，解得r=3，故（x﹣）n的展开式中常数项为（﹣2）3=﹣160．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
11．（2016春·唐山校级期末）已知f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（ ）
A．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＜e2016f（0）
B．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＞e2016f（0）
C．e2016f（﹣2016）＜f（0），f（2016）＞e2016f（0）
D．e2016f（﹣2016）＞f（0），f（2016）＜e2016f（0）
【考点】导数的运算．
【专题】计算题；函数思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对?x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论
【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，
因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，
所以g（﹣2016）＞g（0）＞g（2016）
所以f（0）＜=e2016f（﹣2016），e2016f（0）＞f（2016），
【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．
12．（2015秋·汕头校级期末）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=；4、f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（
A．1，2 B．1，3 C．3，4 D．2，4
【考点】等比数列的性质．
【专题】新定义；等差数列与等比数列．
【分析】根据新定义，结合等比数列性质anan+2=an+12，一一加以判断，即可得到结论．
【解答】解：由等比数列性质知anan+2=an+12，
①f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1），故正确；
②f（an）f（an+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（an+1），故不正确；
③f（an）f（an+2）===f2（an+1），故正确；
④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1|2=f2（an+1），故不正确；
【点评】本题考查新定义，考查等比数列性质及函数计算，理解新定义是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（2016·商丘二模）等差数列{an}的前n项和Sn，若a1=2，S3=12，则a6=
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：∵S3=12，
∴S3=3a1+d=3a1+3d=12．
则a6=a1+5d=2+2×5=12，
故答案为：12
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的求解和应用，根据条件求出公差是解决本题的关键．
14．（2015春·潮州校级期中）计算定积分（+x）dx=
【考点】定积分．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】将定积分分为两个积分的和，再分别求出定积分，即可得到结论．由定积分的几何意义知分dx表示原的面积的二分之一，问题得以解决．
【解答】解；由定积分的几何意义知分dx表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，
（+x）dx=（）dx+xdx=π+|=π+0=．
故答案为：
【点评】本题重点考查定积分的计算，考查定积分的性质，属于基础题
15．（2015·安徽模拟）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M到曲线C上的点的距离的最小值
【考点】简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．
【专题】计算题．
【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．
【解答】解：由曲线C的参数方程（α为参数），
化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，
圆心为A（1，0），半径为r=，
由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．
故答案为：5﹣．
【点评】充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r是解题的关键．
16．（2015秋·高安市校级期末）设f″（x）是函数y=f（x）的导函数f′（x）的导数，定义：若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），且方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的对称中心．有同学发现“任何一个三次函数都有对称中心”，请你运用这一发现处理下列问题：
设，则= 2015 ．
【考点】导数的运算；函数的值．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用．
【分析】求出g（x）的对称中心，根据函数的中心对称特点将2015的函数值两两组合求出．
【解答】解：g″（x）=2x﹣1，令g″（x）=0得x=，g（）=1．
∴g（x）的对称中心为（，1）．
∴g（）+g（）=g（）+g（）=g（）+g（）=…=g（）+g（）=2，
∴=1007×2+g（）=1007×2+g（）=5．
故答案为2015．
【点评】本题考查了导数的运算，函数求值，属于中档题．
三、解答题（共70分）
17．（10分）（2014·正定县校级三模）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．
（1）求|AB|的值；
（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）利用sin2θ+cos2θ=1即可得到曲线C1的普通方程，把代入C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程，由于C2的参数方程为为参数），代入C1得，利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．
（2）利用|MA||MB|=|t1t2|即可得出．
【解答】解：（1）利用sin2θ+cos2θ=1可得：曲线C1的普通方程为，
由C2：ρcosθ+ρsinθ=1，可得：C2的普通方程为x+y﹣1=0，
则C2的参数方程为为参数），
代入C1得，
【点评】本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2013·黑龙江校级二模）选修4﹣5：不等式选讲
设函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0）
（Ⅰ）若a=2时，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4，再由绝对值的意义求得不等式f（x）≤4的解集．
（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得
a≥2x﹣3，求得2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，可得a≥1，从而得到 1≤a≤2．
【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a=2时，则不等式f（x）≤4
即|x+1|+|x﹣2|≤4．
而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，
故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．
（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即 x+1+x﹣a≤4，解得
a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3=1，∴a≥1，
故 1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．
【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．
19．（12分）（2015·上饶一模）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．
患心肺疾病
不患心肺疾病
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．
下面的临界值表仅供参考：
P（K2≥k）
【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；
（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．
（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．
【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得
列联表补充如下
患心肺疾病
不患心肺疾病
（2）因为 K2=，即K2==，
所以 K2≈8.333
又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，
所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．
（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，
记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．
故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，
则ξ的分布列：
则Eξ=1×+2×+3×=0.9，
Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.49
【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（12分）（2015·上饶二模）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE．…
（Ⅱ）解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
由AD=3，可知DE=3，AF=．
则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），
所以=（0，﹣3，），=（3，0，﹣2）．
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则
令z=，则=（4，2，）．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，=（3，﹣3，0）．
因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（12分）（2014·武侯区校级模拟）已知椭圆C的两个焦点是（0，﹣）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．
（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值．
【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），焦距为2c，
则由题意得 c=，，
∴a=2，b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的标准方程为． …（4分）
∴右顶点F的坐标为（1，0）．
设抛物线E的标准方程为y2=2px（p＞0），
∴抛物线E的标准方程为y2=4x． …（6分）
（Ⅱ）设l1的方程：y=k（x﹣1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），
由消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+，x1x2=1．
由消去y得：x2﹣（4k2+2）x+1=0，
∴x3+x4=4k2+2，x3x4=1，…（9分）
=||·||+||·||
=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|
=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）
=8+≥8+=16．
当且仅当即k=±1时，有最小值16．…（13分）
【点评】本题考查椭圆和抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（12分）（2015春·包头校级期末）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；
（3）若对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，求a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求出导数，求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（2）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，即可求a的取值范围；
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增，由此可求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，
因为f'（1）=0，f（1）=﹣2，
所以切线方程为y=﹣2；
（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），
当a＞0时，f′（x）=2ax﹣（a+2）+（x＞0），
令f'（x）=0，即f′（x）=，所以x=或x=．
当0＜≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=﹣2；
当1＜＜e，即＜a＜1时，f（x）在[1，e]上的最小值是f（）＜f（1）=﹣2，不合题意；
当≥e，即0≤a≤时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意．
综上可得 a≥1；
（3）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax2﹣ax+lnx，
对任意x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，且f（x1）+2x1＜f（x2）+2x2恒成立，
等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．
而g′（x）=2ax﹣a+=，
当a=0时，g′（x）=，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a≥0，
对于函数y=2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴x=，
只需△=a2﹣8a≤0，即0＜a≤8．
综上可得 0≤a≤8．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键．百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆!
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