高中数学（文科）基础知识整合
1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲．．．．．线上的点？? ； 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数．．．．问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3．（1）含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n－1；非空真子集的数为2n-2； （2）A?B?A?B?A?A?B?B; 注意：讨论的时候不要遗忘了A??的情况； （3）CI(A?B)?(CIA)?(CIB);CI(A?B)?(CIA)?(CIB)。
函数与导数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式
； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意
义等）；⑧利用函数有界性（ax、sinx、cosx等）；⑨导数法
3．复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意：外函数y?f(u)的定义域是内函数u?g(x)的值域。
4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ．．．．⑵f(x)是奇函数?⑶f(x)是偶函数?
f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?
f(?x)?f(x)?f(?x)?f(x)?0?
⑷奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)?0；
⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性
⑴单调性的定义：f(x)在区间M上是增（减）函数??x1,x2?M,当x1?x2时
f(x1)?f(x2)?0(?0)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0(?0)?
f(x1)?f(x2)
⑵单调性的判定定义法：注意：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法（见2 （2））；④图像法。
注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有f(x?T)?f(x) （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①y?sinx:T?2? ；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；④
y?Asin(?x??),y?Acos(?x??):T? ；⑤y?tan?x:T?
⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法
③公式法（利用（2）中结论）
⑷与周期有关的结论：①f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0) ?f(x)的周期为2a；②y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称?f(x)周期2a?b；③y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b轴对称?f(x)周期为2a?b；
④y?f(x)的图象关于点(a,0)中心对称，直线x?b轴对称?f(x)周期4a?b； 8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：y?x （??R) ；⑵指数函数：y?a(a?0,a?1)； ⑶对数函数:y?log
x(a?0,a?1)；⑷正弦函数:y?sinx；
⑸余弦函数：y?cosx ；（6）正切函数：y?tanx；⑺一元二次函数：ax2?bx?c?0； ⑻其它常用函数：①正比例函数：y?kx(k?0)；②反比例函数：y?y?x?
(k?0)；特别的y?
9．二次函数：⑴解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)?k，(h,k)为顶点；③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。
10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：
① 平移变换：y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)―――左“+”右“-”；
y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0)―――上“+”下“-”； ② 伸缩变换：
y?f(x)?y?f(?x)， （??0)―――纵坐标不变，横坐标伸长为原来的
y?f(x)?y?Af(x)， （A?0)―――横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍；
③ 对称变换：y?f(x)?(???y??f(?x)；y?f(x)????y??f(x)；
y?f(x)?x??y?f(?x)； y?f(x)????y?f
④ 翻转变换：
y?f(x)?y?f(|x|)―――右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； y?f(x)?y?|f(x)|―――上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然；
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2a－x,2b－y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为：f(2a－x, y)=0; ③曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=－x+a)的对称曲线C2的方程为f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);④f(a+x)=f(b－x) （x∈R）???y=f(x)图像关于直线x=
特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）???y=f(x)图像关于直线x=a对称； ⑤函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=
12．函数零点的求法：⑴直接法（求f(x)?0的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数 ⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作y?⑵常见函数的导数公式: ①C'?0；②(x)?nx
?f?(x0)?lim
f(x0??x)?f(x0)
；③(sinx)?cosx；
④(cosx)??sinx；⑤(a)?alna；⑥(e)?e；⑦(log⑧(lnx)?
。⑶导数的四则运算法则：(u?v)??u??v?;(uv)??u?v?uv?;()??;
⑸导数的应用：①利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？所求的是“在”还是“过”该点的切线？②利用导数判断函数单调性： f?(x)?0?f(x)是增函数；
f?(x)?0?f(x)为减函数； f?(x)?0?f(x)为常数；
③利用导数求极值：求导数f?(x)；求方程f?(x)?0的根；列表得极值。 ④利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。
三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：?弧度?180，1?⑵弧长公式：l??R；扇形面积公式：S?
弧度，1弧度?(
2．三角函数定义：角?中边上任意一点P为(x,y)，设|OP|?r则：
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦； 4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴y?Asin(?x??)对称轴：x
；对称中心：(
,0)(k?Z)；
⑵y?Acos(?x??)对称轴：x6．同角三角函数的基本关系：sin
；对称中心：(
7．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
tan??tan?1?tan?tan?
②cos(???)?cos?cos??sin?sin?;③tan(???)?8．二倍角公式：①sin2??2sin?cos?；
②cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；③tan2??*降幂公式:sin2??
2tan?1?tan?
;sin?cos??
9．正、余弦定理⑴正弦定理
??2R（2R是?ABC外接圆直径）
注：①a:b:c?sinA:sinB:sinC；②a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；③asinA
a?b?csinA?sinB?sinC
⑵余弦定理：a?b?c?2bccosA等三个；注：cosA?
10。几个公式:⑴三角形面积公式：S?ABC?
2S?ABCa?b?c
ah?absinC?p(p?a)(p?b)(p?c),(p?(a?b?c))；
⑵内切圆半径r=；外接圆直径2R=
11．已知a,b,A时三角形解的个数的判定：
其中h=bsinA,⑴A为锐角时：①a&h时，无解； ②a=h时，一解（直角）；③h&a&b时，两解（一锐角，一钝角）；④a?b时，一解（一锐角）。
⑵A为直角或钝角时：①a?b时，无解；②a&b时，一解（锐角）。
1．三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为22:1。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2?rh；③体积：V=S底h大一高数试题及答案_百度文库
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高等数学课本习题答案 第01章 函数与极限习题详解
第一章 函数与极限习题详解第一章 函数与极限 习 题 1-1 1．求下列函数的自然定义域： 求下列函数的自然定义域： 1 + x+2 ； （ 1） y = 1 ? x2 ?1 ? x 2 ≠ 0 解：依题意有 ? ，则函数定义域 D ( x) = { x | x ≥ ?2且x ≠ ±1} ． ?x + 2 ≥ 0 2x ? 1 arccos 3 ； （ 2
） y = 2 x ?x?6 ? 2x ? 1 ≤1 ? 解：依题意有 ? 3 ，则函数定义域 D ( x) = ? ． ? x2 ? x ? 6 & 0 ? （3） y = ln(? x 2 + 3x ? 2) ；解：依题意有 ? x 2 + 3x ? 2 & 0 ，则函数定义域 D ( x) = { x |1 & x & 2} ．1（ 4） y = 2 x3?x；解：依题意有 x 3 ? x ≠ 0 ，则函数定义域 D ( x) = { x | ?∞ & x & +∞且x ≠ 0, ±1} ．1 ? ,　　x ≠ 1, ? sin 　 （ 5） y = ? x ?1 ? 2，　　　 x = 1; ? 解：依题意有定义域 D ( x) = { x | ?∞ & x & +∞} ． 1 + 3? x . x ?x ≠ 0 解：依题意有 ? ，则函数定义域 D ( x) = { x | x ≤ 3且x ≠ 0} ． ?3 ? x ≥ 0（6） y = arctan2．已知 f ( x) 定义域为 [0,1] ，求 f ( x 2 ), f (sin x), f ( x + a), f ( x + a ) + f ( x ? a ) 的定义域． ( a & 0 )的定义域． 解：因为 f ( x) 定义域为 [0,1] ，所以当 0 ≤ x 2 ≤ 1 时，得函数 f ( x 2 ) 的定义域为 [?1,1] ； 当 0 ≤ sin x ≤ 1 时，得函数 f (sin x) 定义域为 [2kπ, (2k + 1) π] ； 当 0 ≤ x + a ≤ 1 时，得函数 f ( x + a) 定义域为 [?a, ? a + 1] ； ?0 ≤ x + a ≤ 1 1 定义域为： （1 当? 时，得函数 f ( x + a) + f ( x ? a) 定义域为： 1）若 a & ， x ∈ [ a,1 ? a ] ； （ 2 ?0 ≤ x ? a ≤ 1 1 1 1 （3 （ 2） 若 a = ， x = ； 3） 若 a & ， x ∈ ? ． （ 2 2 2 ? 1 ? a?x 3． 设 f ( x ) = 2 ? 1 ? ? , 其中 a & 0, 求函数值 f (2a), f (1) ． x ? a 2 ? 2ax + x 2 ? ? 1 ? a?x 解：因为 f ( x) = 2 ?1 ? ? ，则 2 2 x ? a ? 2ax + x ? 1 ? ?a ? 1 1? a ? 1 ? ?0 ,a &1, f (2a) = 2 ?1 ? ． ?=? ? = 2 ， f (1) = 2 ?1 ? ? ? 4a ? a ? 2a 1 ? a ? 1 ? ?2 ,0&a &11第一章 函数与极限习题详解?1 | x |& 1, ? 4．设 f ( x) = ?0 | x |= 1, ??1 | x |& 1. ?g ( x) = 2 x ，求 f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) ，并做出函数图形． 并做出函数图形．?1 2 x & 1 ?1 x & 0 ? ? x 解： f ( g ( x)) = ?0 2 = 1 ，即 f ( g ( x)) = ?0 x = 0 ， ? ? ?1 x & 0 x ? ? ?1 2 & 1? ? 21 | x |& 1 ? 2 | x |& 1 ? 0 ? g ( f ( x)) = ? 2 | x |= 1 ，即 g ( f ( x)) = ?1 | x |= 1 ，函数图形略． 函数图形略． ? ?1 ?1 ? 2 | x |& 1 ? | x |& 1 ?2 x & 0, x & ?1, ?1 + x, ? 2 + x, 试证： 5． 设 f ( x ) = ? 试证： f [ f ( x)] = ? x ≥ 0, x ≥ ?1. ?1, ? 1, x & ?1, ?1 + f ( x), f ( x) & 0 ? 2 + x, 证明： 得证． 证明： f [ f ( x)] = ? ，即 f [ f ( x)] = ? ，得证． x ≥ ?1 ? 1, f ( x) ≥ 0 ? 1, 下列各组函数中， 是否是同一函数？为什么？ 6．下列各组函数中， f ( x) 与 g ( x) 是否是同一函数？为什么？（1） f ( x) = ln(x 2 + 3 ? x , g ( x) = ? ln)(x2 + 3 + 3)；不是，因为定义域和对应法则都不相同． 不是，因为定义域和对应法则都不相同． （ 2） f ( x ) = 3 x 5 ? 2 x 3 , g ( x ) = x 3 x 2 ? 2 ； 是． （3） f ( x) = 2, g ( x) = sec2 x ? tan 2 x ； 不是，因为对应法则不同． 不是，因为对应法则不同． （4） f ( x) = 2 lg x, g ( x) = lg x 2 ； 不是，因为定义域不同． 不是，因为定义域不同． 确定下列函数在给定区间内的单调性： 7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1） y = 3x + ln x ， x ∈ (0, +∞) ； 单调递增， 也是单调递增 调递增， 解：当 x ∈ (0, +∞) 时，函数 y1 = 3x 单调递增， y2 = ln x 也是单调递增，则 y = y1 + y2 在 (0, +∞) 内也是递增的． 内也是递增的． ?x （ 2） y = ， x ∈ (?∞,1) ． 1? x ?x (1 ? x) ? 1 1 = =1+ 解： y = ， 当 x ∈ (?∞,1) 时 ， 函 数 y1 = x ? 1 单 调 递 增 ， 则 1? x 1? x x ?1 1 1 ?x y2 = = 是单调递减的，故原函数 y = 是单调递减的 是单调递减的． 是单调递减的 y1 x ? 1 1? x 判定下列函数的奇偶性． 8. 判定下列函数的奇偶性． （1） y = lg( x + x 2 + 1) ； 解：因为 f (? x) = lg(? x + x 2 + 1) = lg( x + x 2 + 1)?1 = ? lg( x + x 2 + 1) = ? f ( x) ， 是奇函数． 所以 y = lg( x + x 2 + 1) 是奇函数． （ 2） y = 0 ； 是偶函数 函数． 解：因为 f (? x) = 0 = f ( x) ，所以 y = 0 是偶函数． （3） y = x 2 + 2 cos x + sin x ? 1 ； 解 ： 因 为 f (? x) = x 2 + 2 cos x ? sin x ? 1 ， f (? x) ≠ f ( x)且f (? x) ≠ ? f ( x) ， 所 以y = x 2 + 2 cos x + sin x ? 1 既非奇函数，又非偶函数． 既非奇函数，又非偶函数．2第一章 函数与极限习题详解a x + a? x . 2 a? x + a x a x + a? x = f ( x) ，所以函数 y = 是偶函数． 解：因为 f ( x) = 是偶函数． 2 2 上的任意函数，证明： 9．设 f ( x) 是定义在 [?l , l ] 上的任意函数，证明： 是偶函数， 是奇函数； （1） f ( x) + f (? x) 是偶函数， f ( x) ? f (? x) 是奇函数； 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. （2） f ( x) 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明： （1 证明： 1）令 g ( x) = f ( x) + f (? x), h( x) = f ( x) ? f ( ? x) ，则 （ g (? x) = f (? x) + f ( x) = g ( x), h( ? x) = f ( ? x) ? f ( x) = ? h( x) ， 是偶函数， 所以 f ( x) + f (? x) 是偶函数， f ( x) ? f (? x) 是奇函数． 是奇函数． f ( x ) + f ( ? x ) f ( x ) ? f ( ? x) f ( x) + f ( ? x ) + （2）任意函数 f ( x) = ，由（1）可知 是偶函 2 2 2 f ( x) ? f ( ? x) 是奇函数，所以命题得证． 数， 是奇函数，所以命题得证． 2 10．证明： 上有界的充分与必要条件是： 上既有上界又有下界 10．证明：函数在区间 I 上有界的充分与必要条件是：函数在 I 上既有上界又有下界. 证明： 必要性） （必要性 上有界， 证明 ： 必要性 ） 若函数 f ( x) 在区间 I 上有界 ， 则存在正数 M ， 使得 x ∈ I ， 都有 （（ 4） y =f ( x) ≤ M 成立，显然 ? M ≤ f ( x) ≤ M ，即证得函数 f ( x) 在区间 I 上既有上界又有下界 成立，（ 充 分 性 ） 设 函 数 f ( x) 在 区 间 I 上 既 有 上 界 M 2 ， 又 有 下 界 M 1 ， 即 有 f ( x) ≥ M 1且f ( x) ≤ M 2 ，取 M = max{ M 1 , M 2 } ，则有 f ( x) ≤ M ，即函数 f ( x) 在区间 I 上有界． 11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： 11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1） y =| sin x | ； 周期函数， 周期函数，周期为 π ． （2） y = 1 + sin πx ； 周期函数， 周期函数，周期为 2． （3） y = x tan x ； 不是周期函数． 不是周期函数． （4） y = cos 2 x . 周期函数， 周期函数，周期为 π ． 12．求下列函数的反函数： 12．求下列函数的反函数： 3x （ 1） y = x ； 3 ?1 y y 解：依题意， 3x = 依题意， ，则 x = log 3 ，所以反函数为 y ?1 y ?1 x f ?1 ( x) = log 3 , x ∈ (?∞,0) ∪ (1, +∞ ) ． x ?1 ax + b ( ad ≠ bc) ； （ 2） y = cx + d b ? dy b ? dx 依题意， (ad ≠ bc) ． 解：依题意， x = ，则反函数 f ?1 ( x) = cy ? a cx ? a （3） y = lg x + x 2 ? 1 ；()1 1 解：依题意， x = (10 y + 10? y ) ，所以反函数 f ?1 ( x) = (10 x + 10? x ), x ∈ R ． 依题意， 2 2 π? ? π （4） y = 3cos 2 x, ? ? ≤ x ≤ ? ． 4? ? 43第一章 函数与极限习题详解y x arccos 3 ，所以反函数 f ?1 ( x) = 3 , x ∈ [0,3] ． 依题意， 解：依题意， x = 2 2 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数， 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变 的函数值： 量值 x1 和 x2 的函数值： arccos（1） y = eu , u = x 2＋1, x1 = 0, x2 = 2 ；（2） y = u 2 + 1, u = ev ? 1, v = x + 1, x1 = 1, x2 = ?1 ． （1 解 ： 1） y = f ( x ) = e x （2+1, f (0) = e, f (2) = e5（2） y = f ( x) = (e x +1 ? 1) 2 + 1 ， f (0) = e 4 ? 2e2 + 2 ， f (?1) = 1 ． 14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液， 14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为 r ，高为 H ．当倒进溶液后 的函数，并指出其定义区间． 液面的高度为 h 时，溶液的体积为 V ．试把 h 表示为 V 的函数，并指出其定义区间． V 解：依题意有 V = πr 2 h ，则 h = 2 ,V ∈ [0, πr 2 H ] ． πr 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水， 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制 定了如下收费方法： 吨时， 吨计算． 定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过 4.5 吨时，水费按 0.64 元／吨计算．超过 倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系． 部分每吨以 5 倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水 吨的用水费用． 量分别为 3.5 吨、4.5 吨、5.5 吨的用水费用． 0.64 x, 0 ≤ x ≤ 4.5 ? 解：依题意有 f ( x) = ? ，所以 x & 4.5 ?4.5 × 0.64 + ( x ? 4.5) × 3.2,f (3.5) = 2.24元，f (4.5) = 2.88元，f (5.5) = 6.08元 ．习 题 1-2 2n + 1 (n = 1 , 2 , 3 , L) ， 1． 设 an = 3n + 1 2 2 2 的值； （1） 求 | a1 ? | , | a10 ? | , | a100 ? | 的值； 3 3 3 2 成立； （2） 求 N ，使当 n & N 时，不等式 | an ? |& 10?4 成立； 3 2 成立． （3） 求 N ，使当 n & N 时，不等式 | an ? |& ε 成立． 3 2 3 2 1 2 21 2 1 | a10 ? |=| ? |= , 解：(1) | a1 ? |=| ? |= , 3 4 3 12 3 31 3 93 2 201 2 1 | a100 ? |=| ? |= ． 3 301 3 903 2 1 1 9997 & 4 ， , 取 N＝ （ 2 ） 要使 | an ? |& 10?4 , 即 则只要 n & 3 3（3n+1） 10 9 2 ? 9997 ? ?4 成立． ? 9 ? = 1110, 故当 n&1110 时，不等式 | an ? 3 |& 10 成立． ? ?（3） 要使 | an ?2 1 ? 3ε 2 ?1 ? 3ε ? |& ε 成立，n & 成立， , 取N =? 那么当 n & N 时， | an ? |& ε ?， 3 9ε 3 ? 9ε ?成立. 根据数列极限的定义证明： 2．根据数列极限的定义证明： （1） lim1 =0； n →∞ n !（2） limn →∞n2 + 3 = 1． n解： 1） ?ε & 0 ， 要使 | （1 （1 1 1 ?1? ? 0 | ＝ & & ε ， 只要取 N = ? ? ， 所以，对任意 ε & 0 ， 所以， n! n! n ?ε ?4第一章 函数与极限习题详解1 1 ?1? 存在 N = ? ? ，当 n & N 时，总有 | ? 0 |& ε ，则 lim = 0 . n →∞ n ! n! ?ε ?(2)? 3 N =? ? 2εlimn →∞?ε & 0 , 要 使 |n2 + 3 3 2 3 ? 1|= & 2 &ε , 即 n & ,只要取 2 n 2ε n( n + 3 + n) 2n? ? 3 ? n2 + 3 所以,对任意的 存在 ? 1|& ε , 所以 ? ,所以 对任意的 ε &0,存在 N = ? ? , 当 n & N , 总有 | n ? ? 2ε ?则n2 + 3 = 1. n 并举例说明： 有极限， 3．若 lim xn = a ，证明 lim | xn |=| a | ．并举例说明：如果数列 {| xn |} 有极限，但数列 { xn } 证明n →∞ n →∞未必有极限． 未必有极限． 证明: 证明 : 因为 lim xn = a , 所以 ?ε & 0 , ?N1 , 当 n & N1 时 , 有 | xn ? a |& ε . 不妨假设 a&0,n →∞由收敛数列的保号性可知 : ?N 2 ,当 n & N2 时,有 xn & 0 ,n →∞取 N = max { N1 , N 2 } , 则对 同理可证 a & 0?ε & 0 ,n →∞?N ,当 n & N 时,有 || xn | ? | a ||=| xn ? a |& ε . 故 lim | xn |=| a | .成立. 时, lim | xn |=| a | 成立. 反之, 反之,如果数列 {| xn |} 有极限, 但数列 {| xn |} 未必有极限.如： 数列 xn = ( ?1) ,n| xn |= 1 ，不存在． 显然 lim | xn |= 1 , 但 lim xn 不存在． 有界， 证明： 4．设数列 { xn } 有界，又 lim yn = 0 ．证明： lim xn yn = 0 ．n →∞ n →∞ n →∞ n →∞证明: 依题意,存在 M&0, 对一切 n 都有 | xn |≤ M ， 又 lim yn = 0 , 对 ?ε & 0 ,n →∞存在 N ,当 n & N 时 , | yn ? 0 |& ε , 因为对上述 N , 当 n & N 时 , | xn yn ? 0 |=| xn yn |≤ M | yn |& M ε , 由 ε 的任意性, 则 lim xn yn = 0 ．n →∞(n + 3) π ，求 lim xn ． n →∞ 2 n 1 1 ( n + 3) π ( n + 3) π = 0 , | cos |≤ 1 , 所以 lim cos =0. 解: 因为 lim x →∞ x →∞ 2 2 n n 6．对于数列 { xn } ，若 x2 k ?1 → A( k → ∞) ， x2 k → A(k → ∞) ，证明： xn → A( n → ∞ ) ． 证明：5．设数列 { xn } 的一般项 xn =1cos证明: 证明: 由于 lim x2 k ?1 = A , 所以 , ?ε & 0 , ?N1 & 0 , 当 k &N1 时，有 | x2 k ?1 ? A |& ε , 同理,?ε & 0 , ?N 2 & 0 , 当 k & N 2 时 , 有 | x2 k ? A |& ε ． 取 N =max { N1 , N 2 } , ?ε & 0 , 当 n & N 时 ,k →∞| xn ? A |& ε 成立, 故 xn → A( n → ∞ ) ．习 题 1-3 等于多少， 1．当 x → 1 时， y = x + 3 → 4 ．问 δ 等于多少，使当 | x ? 1|& δ 时， | y ? 4 |& 0.01 ？ 1 3 5 解：令 | x ? 1|& ，则 &| x + 1|& ，要使 2 2 2 5 | y ? 4 |=| x 2 + 3 ? 4 |=| x 2 ? 1|=| x ? 1|| x + 1|& | x ? 1|& 0.01 ， 2 成立． 只要 | x ? 1|& 0.004 ，所以取 δ = 0.004 ，使当 | x ? 1|& δ 时， | y ? 4 |& 0.01 成立．22x2 + 1 → 2 ．问 X 等于多少，使当 | x |& X 时， | y ? 2 |& 0.001 ？ 等于多少， x2 ? 3 2 x2 + 1 7 ? 2 |= 2 &0.001, 只要 | x 2 ? 3 |& 7000 , 即 x 2 ? 3 & 7000 . 因 解： 要使 | y ? 2 |=| 2 x ?3 | x ? 3|2． 当 x → ∞ 时 ， y =5第一章 函数与极限习题详解就可以了,所以取 此,只要 | x |& 7003 就可以了 所以取 X ≥ 7003 ． 只要 根据函数极限的定义证明： 3．根据函数极限的定义证明： 3x + 5 = 3； （1） lim(2 x ? 1) = 5 ； （2） lim x →3 x →∞ x ? 1 sin x x2 ? 4 = ?4 ； = 0. （3） lim （4） lim x →+∞ x →?2 x + 2 x 证 明 :(1) 由 于 | (2 x ? 1) ? 5 |= 2 | x ? 3 | , 任 给 ε & 0 , 要 使 | (2 x ? 1) ? 5 |& ε , 只 要 ε ε | x ? 3 |& ．因此取 δ = ,则当 0 &| x ? 3 |& δ 时, 总有 | (2 x ? 1) ? 5 |& ε ,故 lim(2 x ? 1) = 5 ． 则当 故 x →3 2 2 3x + 5 8 8 3x + 5 ? 3 |= ,任给 ε &0 , 要使 | ? 3 |& ε , 只 要 &ε ,即 (2) 由 于 | x ?1 | x ? 1| | x ? 1| x ?1 8 8 8 8 8 x & 1 + 或 x & 1 ? , 因为 ε & 0 , 所以 |1 + |&|1 ? | , 取 M =|1 + | ， 则当 | x |& M 时 , 对 ε ε ε ε ε 3x + 5 3x + 5 ?ε & 0 ,总有 | ? 3 |& ε ,故有 lim = 3． 总有 故有 x →∞ x ? 1 x ?1 x2 ? 4 x2 ? 4 (3)由于 ? ( ?4) |=| x + 2 | , 任给 ε & 0 ,,要使 | ? (?4) |& ε , 只要 | x + 2 |& ε , 因 (3) 由于 | 要使 x+2 x+2 x2 ? 4 x2 ? 4 ? (?4) |& ε ,故 lim = ?4 . 此取 δ = ε ,则当 0 &| x ? ( ?2) |& δ 时,总有 | x →?2 x + 2 x+2 sin x | sin x | 1 sin x 1 1 ? 0 |= & ,任给 ε & 0 ,要使 | ? 0 |& ε ,只要 & ε ,即 x & 2 , (4) 由于 | 任给 要使 只要 即 ε x x x x x sin x sin x 1 ? 0 |& ε ,故 lim = 0. 因此取 M = 2 ,则当 x&M 时,总有 | 则当 总有 故 x →+∞ ε x x 语言，写出下列各函数极限的定义： 极限的定义 4．用 ε ? X 或 ε ? δ 语言，写出下列各函数极限的定义： （1） lim f ( x) = 1 ； （2） lim f ( x) = a ；x →?∞ x→a x →∞ x →3（3） lim+ f ( x) = b ； 解: (1) (2) (3) (4)?ε & 0, ?ε & 0, ?ε & 0, ?ε & 0,x→0（4） lim f ( x) = ?8 ． ??M & 0 , 当 x&-M 时, 总有 | f ( x) ? 1|& ε ; ?M & 0 , 当 | x |& M , 总有 | f ( x) ? a |& ε ; ?δ & 0 , 当 a & x & a + δ 时, 总有 | f ( x) ? b |& ε ; ?δ & 0 当 3 ? δ & x & 3 时, 总有 | f ( x) + 8 |& ε ．5．证明: lim | x |= 0 . 证明: 证明: 证明: 由于 lim | x |= lim x = 0 , lim | x |= lim (? x) = 0 ,所以 lim | x |= 0 . 所以 + + ? ?x →0 x →0 x →0 x→0 x→0证明： x → +∞ 及 x → ?∞ 时， 若 6． 证明： 函数 f ( x) 的极限都存在且都等于 A ， lim f ( x) = A ． 则x →∞证 明 : 由 于 lim f ( x) = A , 则 对 ?ε & 0 , ?M 1 & 0 , 当 x & M 1 时 , 有 | f ( x) ? A |& ε ． 又x →?∞lim f ( x) = A ,则 ?M 2 & 0 ,当 x & ? M 2 ,有 | f ( x) ? A |& ε .取 M = max {M 1 , M 2 } 那么对 ?ε & 0 ,当 取 则 当 有 当x →∞x →+∞| x |& M 时,总有 | f ( x) ? A |& ε ,故有 lim f ( x) = A . 总有 故有习 题 1-4 1．根据定义证明： 根据定义证明： （ 1） y =x2 ? 1 时的无穷小； 为当 x → 1 时的无穷小； x +11 时的无穷小； （2） y = sin x 为当 x → ∞ 时的无穷小； ） x6第一章 函数与极限习题详解（3） y = ） 证明: 证明1 + 3x 时的无穷大． 为当 x → 0 时的无穷大． x(1) ?ε & 0 ,因为 | 因为limx →1x2 ? 1 ? 0 |=| x ? 1| ,取 δ = ε ,则当 0 &| x ? 1|& δ 时, 总有 x ≠ 0 ,故 取 则当 故 x +1x2 ? 1 = 0． x +11 1 1 1 | sin x |≤ ,取 M = , 则当 | x |& M 时, 总有 (2) ?ε & 0 ,因为 | sin x ? 0 |= 因为 取 x |x| | x| ε 1 | sin x | 1 1 ≤ & ε , 故 lim sin x = 0 . | sin x ? 0 |= x →∞ x x |x| | x|(3) ?M & 0 , ?δ =limx →01 + 3x 1 1 1 ,当 0 &| x |& δ 时,总有 | ? 3 & M ,所以 |=| + 3 |& 当 总有 所以 x x |x| M +31 + 3x =∞. x 内是否有界？ 时的无穷大？ 2．函数 y = x sin x 在 (0, +∞) 内是否有界？该函数是否为 x → +∞ 时的无穷大？解答: 解答 取 xn = 2nπ ,则 yn = 0 ,因此当 xn = 2nπ ( n → ∞ ) 时, yn → 0 ( xn → +∞ ) 故函数 则 因此当y = x sin x 当 x → +∞ 时,不是无穷大量． 不是无穷大量． 不是无穷大量π 且 xn → +∞ ( n → ∞ ) , 2 π? ? π? π π ? yn = ? 2nπ + ? sin ? 2nπ + ? = 2nπ + ， 取 N 0 = [ M ] + 1 , ?x0 = 2 N 0 π + ∈ (0, +∞) , 有 2? ? 2? 2 2 ? π yn = 2 N 0 π + ≥ M ，所以 y = x sin x 是无界的. 是无界的. 2内是无界的. 下证该函数在 ( 0, +∞ ) 内是无界的 ?M & 0 , ?xn = 2nπ +3．证明：函数 y = ．证明： 证明: 证明 令1 1 cos 在区间 (0,1] 上无界，但这函数不是 x → 0+ 时的无穷大． 上无界， 时的无穷大． x x1 = t ,类似第 2 题可得． 类似第 题可得． x习 题 1-5 1．求下列极限： 求下列极限： 3n 2 + n + 1 （1） lim 3 ； n →∞ n + 4n 2 ? 12 n ? ? 1 （3） lim ? 2 + 2 + L + 2 ? ； n →∞ n n n ? ? 2 x ?1 （5） lim 2 ； x →1 x ? 5 x + 4? 1 1 1 ? + +L + （2） lim ? ； n →∞ 1 ? 2 2?3 n(n + 1) ? ? ? 3n + 2n （4） lim n +1 ； n →∞ 3 ? 2n +1x3 + 1 ； x→2 x ? 5 x + 3 2x2 + 1 （8） lim 2 ； x →∞ x + 5 x + 3 3x 2 + 1 10） （10） lim 2 ； x →1 x ? 4 x + 1 x2 + x 12） （12） lim 3 ； x →∞ 5 x ? 3 x + 1（6） lim2（7） lim （9） limx →+∞(x2 + x ? x 2 + 1 ；)( x + h )3 ? x 3 ； h→0 h 1 ? ? 3 11） ? （11） lim ? ?； x →1 1 ? x 3 1? x ? ?7第一章 函数与极限习题详解（13） lim 3 13）x →11+ x ? 1? x 1+ x ? 3 1? x；（14） lim 14） （16） lim 16）x3 ； x →∞ 2 x + 1x3 + x 2 + 3x + 27 ． x→3 x?3（15） lim(2 x3 ? 3x + 6) ； 15）x →∞解:3 1 1 + 2+ 3 3n 2 + n + 1 n =0． (1) lim 3 = lim n n n →∞ n →∞ n + 4n 2 ? 1 4 1 1+ ? 3 n n ? 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 (2) lim ? + +L + ? = lim ?(1 ? 2 ) + ( 2 ? 3 ) + L + ( n ? n + 1) ? n →∞ n →∞ 1 ? 2 2?3 n(n + 1) ? ? ? ?= lim(1 ?n →∞1 ) =1． n +11 n(n + 1) 2 n ? 1 ? 1 = ． (3) lim ? 2 + 2 + L + 2 ? = lim 2 2 n →∞ n n n ? n →∞ n 2 ? 2 1 + ( )n 1 3n + 2n 3 = ． (4) lim n +1 = lim n +1 n →∞ n →∞ 3 2 ?2 3 ? 2 ? ( )n 3 3 ( x ? 1)( x + 1) x2 ? 1 x +1 2 (5) lim 2 = lim =? ． = lim x →1 ( x ? 1)( x ? 4) x →1 x ? 5 x + 4 x →1 x ? 4 3(6) limx3 + 1 23 + 1 = ?3 ． = 2 x→2 x 2 ? 5 x + 3 2 ? 5× 2 + 3(7) limx →+∞(x +x? x22( + 1 ) = limx →+∞x2 + x ? x2 + 1)(x2 + x + x2 + 1)= 1 ． 2x2 + x + x2 + 1 x ?11?= limx →+∞x2 + x + x2 + 1= lim1 xx →+∞1+1 1 + 1+ 2 x x1 2+ 2 2x2 + 1 x =2． (8) lim 2 = lim x →∞ x →∞ x + 5 x + 3 5 3 1+ + 2 x x 3 3 3 ( x + h) ? x ( x + 3x 2 h + 3xh 2 + h3 ) ? x 3 (9) lim = lim(3x3 + 3xh + h 2 ) = 3x 2 ． = lim h→0 h→0 h→0 h h 2 ? 3 ? (1 + x + x ) ? 1 ? (1 ? x)(2 + x) ? 3 (10) lim ? ? ? = lim ? = lim ? 3 2 3 x →1 1 ? x 1 ? x ? x →1 ? 1? x ? ? x →1 (1 ? x)(1 + x + x )= limx →12+ x =1． 1 + x + x21 1 + 2 x2 + x (11) lim 3 =0． = lim x x x →∞ x →∞ 5 x ? 3 x + 1 3 1 5? 2 + 3 x x 1+ x ? 1? x (12) lim 3 x →1 1+ x ? 3 1? x8第一章 函数与极限习题详解= limx →1( 1 + x ? 1 ? x )( 1 + x + 1 ? x )( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 ) ( 3 1 + x ? 3 1 ? x )( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 )( 1 + x + 1 ? x )= limx →12 x( 3 (1 + x) 2 + 3 (1 + x)(1 ? x) + 3 (1 ? x) 2 ) 2 x( 1 + x + 1 ? x )=62．(13) limx3 x2 = +∞ ． = lim x →∞ 2 x + 1 x →∞ 1 2+ xx →∞x →∞(14) lim(2 x3 ? 3x + 6) = lim x3 (2 ? (15) lim3 6 + )=∞． x 2 x3x3 + x 2 + 3x + 27 1 = lim( x3 + x 2 + 3x + 27) × lim =∞． x→3 x →3 x →3 x ? 3 x?3?e x , x & 0, 为何值时， 存在． 2． 设 f ( x ) = ? 问当 a 为何值时，极限 lim f ( x) 存在． x→0 ? 2 x + a, x ≥ 0. 所以， 解： 因为 lim f ( x) = lim e x = 1, lim f ( x) = lim (2 x + a) = a ， 所以， lim f ( x) = lim f ( x) ， 当 ? ? ? + + +x →0 x→0 x→0 x →0 x →0 x→0存在． 即 a = 1 时， lim f ( x) 存在．x→03．求当 x → 1 时，函数 解：因为 lim ?x 2 ? 1 x1 1 e ? 的极限． 的极限． x ?11 x 2 ? 1 x1 1 e ? = lim( x + 1)e x ?1 = 0, x →1 x ? 1 x →1? 1 x 2 ? 1 x1 1 lim e ? = lim( x + 1)e x ?1 = +∞, x →1+ x ? 1 x →1+ 2 x ? 1 x1 1 e ? 不存在。 不存在。 所以 lim x →1 x ? 1为常数， 的值． 4．已知 lim (5 x ? ax 2 ? bx + c ) = 1 ，其中 a , b , c 为常数，求 a 和 b 的值．x →+∞解：因为 lim (5 x ? ax 2 ? bx + c ) = limx →+∞(5 x ? ax 2 ? bx + c )(5 x + ax 2 ? bx + c ) 5 x + ax 2 ? bx + cx →+∞c ? 25 ? a = 0 ? a = 25 x = 1 ，所以 ? b = lim = lim ，则 ? ． ? 2 x →+∞ x →+∞ b c 5 x + ax ? bx + c ?b = 10 ?5 + a = 1 5+ a? + 2 ? x x (25 ? a) x 2 + bx ? c (25 ? a) x + b ?5．计算下列极限： 计算下列极限： 1 （1） lim x ? sin = 0 ； x→0 x 1 1 （3） lim sin = 0 ； x →∞ x xsin x 1 = lim sin x = 0 ; x →∞ x x arctan x 1 = lim arctan x = 0 ． （4） lim x →∞ x →∞ x x（2） limx →∞9第一章 函数与极限习题详解1 ? ?5 ? x sin x , x & 0 , ? ? x = 0 , 在 x = 0 处的左、 处的左、 右极限是否存在？ 6． 试问函数 f ( x) = ?10 , 右极限是否存在？当 x → 0 时， ? ? 2 x & 0. ?5 + x , ?f ( x) 的极限是否存在？ 的极限是否存在？1 解 ： lim f ( x) = lim (5 + x 2 ) = 5 ， lim f ( x) = lim (5 + x sin ) = 5 ， 因为 f (0? ) = f (0+ ) ， 所以 x → 0? x → 0? x → 0+ x → 0+ xlim f ( x) = 5 ．x→0习 题 1-6 计算下列极限 列极限： 1． 计算下列极限：x?x ? （1） lim ?1 + ? ； x→0 ? 2??1? 2? （2） lim ?1 ? ? ； x →∞ x? ? ? x +5? （4） lim ? ? ． x →∞ x ? 5 ? ?x2x? x ? x?2 （3） lim ? ? ； x→2 2 ? ?11 ? 2 ?1 2 2 ×( ? 1 ) 2 2 ? x ×( ?4) （1 = e ?4 ． 解： 1） lim(1 + ) x = lim(1 + ) x 2 = e 2 ． 2） lim(1 ? ) 2 x = lim(1 + ) 2 （ （ x →∞ x →0 x→0 x→0 ?x x x x 2 1 x 1 x ? 2 x ?2× 1 ) 2 = e2 ． （3） lim( ) x ? 2 = lim(1 + x→2 2 x→2 2（4） lim(x →∞? ? x+5 x 10 x105 ×10 10 5 ? ) = lim ?(1 + ) × (1 + ) ? x →∞ x?5 x?5 x?5 ? ?= lim(1 +? 10 x105 ×10 10 5 ) × lim(1 + ) = e10 ． x →∞ x →∞ x?5 x?5 计算下列极限： 2．计算下列极限：（1） lim x cot x ；x→0（3） limx→0cos x ? cos 3x ； 5x 1 ； x（5） lim x ? sinx →∞sin 2 x ； 3x cos x ? 1 （4） lim ； 3 + x →0 2 x x n 为不等于零的常数） （6） lim 2 sin n ( x 为不等于零的常数） ． n →∞ 2(2) limx→0解：x cos x sin 2 x 2sin x cos x 2 = 1 ． (2) lim = lim = ． x →0 x → 0 sin x x →0 x →0 3x 3x 3 cos x ? cos 3x ?2sin 2 x sin x (3) lim = lim =0 x →0 x →0 5x 5x (1) lim x cot x = lim10第一章 函数与极限习题详解2x x? ? sin ? cos x ? 1 2 = lim ? x ? 2 =0． (4) lim = lim ? ? 3 3 x →0 x →0 x → 0+ 2 ? x ? x2 x2 ? 2 ? 1 x sin sin n x 1 x = 1 ． (6) lim 2n sin = lim 2 x=x． (5) lim x sin = lim x →∞ n →∞ x x →∞ 1 2n n →∞ x x 2n 利用极限存在准则证明： 3．利用极限存在准则证明： ?2sin 2的极限存在； （1）数列 3 ， 3 + 3 ， 3 + 3 + 3 ， L 的极限存在； 证明： 单调递增。 证明：先用数学归纳法证明数列 { xn } 单调递增。由于 x2 = 3 + 3 & 3 = x1 & 0 。假设xn & xn ?1 & 0 成立，则 xn +1 = 3 + xn & 3 + xn ?1 = xn ，所以数列 { xn } 单调递增． 成立， 单调递增．下证有界性x1 = 3 & 1 + 3 ，假设 xn & 1 + 3 ，则 xn +1 = 3 + xn & 3 + (1 + 3) & 3 + 1 + 2 3 = 1 + 3 ， 0 & xn & 1 + 3 ， 故 即数列 { xn } 有界存在． 根据单调有界准则知 lim xn 存在． 不妨设 lim xn = A ， 则有 A = 3 + A ， 解得 A1 =n →∞ n →∞1 + 13 ， 2A2 =1 ? 13 1 + 13 舍去） ，即有 （舍去） 即有 lim xn = ， ． n →∞ 2 2 3 （2） lim 1 + = 1 ； n →∞ n证明： 证明：因为1≤ 1+3 3 3 ? 3? ≤ 1 + ，又 lim1 = lim ?1 + ? = 1 ，所以 lim 1 + = 1 ． n →∞ n →∞ n →∞ n n n ? n?? 1 22 n2 + +L + (3) lim ? 6 n →∞ n 6 + 2n n6 + n2 ? n +n? 1 ?= ； ? 3 n2 n6 + n 2 ≤∑k2证明：因为 证明：k =1nn6 + n 2≤1 n6 + nn k =1 6+222 n 6 + 2n =+ ...... +∑kk =1n2n6 + n，∑k2n +n ?1? (4) lim x ? ? = 1 ． x → 0+ ?x?n →∞ 6n又 limk =12= lim∑kn →∞n +n1 ，所以原式成立． 所以原式成立． 31 ?1 ? 1 证明： 证明：对任一 x ∈ R ，有 x ? 1 ≤ [ x ] ≤ x ，则当 x ≠ 0 时，有 ? 1 ≤ ? ? ≤ ．于是 x ?x? x 1 1 ?1 ? ?1? 夹逼准则得 + （1）当 x & 0 时， x( ? 1) ≤ x ? ? ≤ x ，由夹逼准则得 lim x ? ? = 1 ． x →0 x x ?x? ?x?（2）当 x & 0 时， x ）1 1 ?1 ? ?1? ≤ x ? ? ≤ x( ? 1) ，同样有 lim x ? ? = 1 ． + x →0 x x ?x? ?x?习 题 1-711第一章 函数与极限习题详解相比，哪一个是高阶无穷小？ 1． 当 x → 0 时， x ? 2 x 2 与 3x 2 ? 2 x3 相比，哪一个是高阶无穷小？ 3x 2 ? 2 x3 = 0 ，所以 3x 2 ? 2 x3 是比 x ? 2 x 2 高阶无穷小． 高阶无穷小． 解：因为 lim x→0 x ? 2 x 2x2 ． 2 1 ?1 sec x ? 1 1 ? cos x 1 cos x = lim = lim 证明： 证明 ：因为 lim ， 又 (1 ? cos x) x→0 x→0 x →0 x2 x2 x2 cos x 2 2 2 2 sec x ? 1 x lim = 1 ，故 sec x ? 1 ． x→0 x2 2 2证明： 2． 证明：当 x → 0 时， sec x ? 1x2 ，则 23． 利用等价无穷小的性质，求下列极限： 利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） limtan nx (n , m 为正整数） 为正整数） ； x → 0 sin mx（2） limx→01 + x + 2x2 ? 1 ； sin 3xsin xln(1 + 2 x ? 3x 2 ) （3） lim ； x→0 4x 1 ? cos x （5） lim ； x → 0+ x(1 ? cos x )e 3 ?1 （4） lim ； x →0 arctan x 2 ? 1 + cos x （6） lim ； x→0 sin 2 3x（7） lim3x + 5 x 2 ? 7 x 3 ； x → 0 4 x 3 + 2 tan x3 x（8） limx→0x + sin 2 x + tan 3x ； sin 5 x + 2 x 2? ax + bx ? 均为常数. （9） lim ? ? ,其中 a & 0, b & 0 ,均为常数. x→0 ? 2 ? tan( nx) nx n = lim = ． 解： (1) lim x → 0 sin mx x → 0 mx m 1 ( x + 2 x2 ) 1 + x + 2x2 ? 1 1 2 (2) lim = lim = ． x →0 x →0 sin 3x 3x 6 2 2 ln(1 + 2 x ? 3x ) 2 x ? 3x 1 (3) lim = lim = ． x →0 x →0 4x 4x 2 sin x sin x 1 e 3 ?1 (4) lim = lim 3 = ． x → 0 arctan x x →0 x 31 2 x 1 1 (5) lim = lim = lim 2 lim = ． x → 0+ x (1 ? cos x ) x → 0+ x (1 ? cos x )(1 + x → 0+ 1 x →0+ 1 + cos x 2 cos x ) x x 2 1 2 x 2 ? 1 + cos x 2 ? (1 + cos x) 1 (6) lim = lim 3 = lim 2 2 ? lim 2 x →0 x→0 x → 0 (3 x ) x →0 sin 3x sin 3x( 2 + 1 + cos x ) 2 + 1 + cos x 1 ? cos x 1 ? cos x1 1 2 × = ． 18 2 2 72 3x + 5 x 2 ? 7 x3 3x 3x 3 (7) lim = lim = lim = ． x → 0 4 x 3 + 2 tan x x → 0 2 tan x x →0 2 x 2 =12第一章 函数与极限习题详解(8) limx →0x + sin 2 x + tan 3 x 4x 4 = lim = ． (因为x + sin 2 x + tan 3x 2 x →0 5 x sin 5 x + 2 x 5x x 3 x a x +bx x lim ln( ) x →0 234 x,sin 5 x + 2 x 23 ( a x ?1) + ( b x ?1) lim ? x5 x) ．a +b (9) lim( ) =e x →0 23ln(=ex →0lima x +b x ? 2 +1) 2 x=e3 x x ( a + b ? 2) lim 2 x→0 x=ex→0 2= e23(ln a + ln b )= (ab) 2 ．13是等价无穷小， ４．当 x → 0 时，若 (1 ? ax 2 ) 4 ? 1 与 x sin x 是等价无穷小，试求 a ．(1 ? ax 2 ) 4 ? 1 = 1 ， 因为 解：依题意有 lim x→0 x sin x(1 ? ax ) ? 1 = ?1 + (?ax ) ? ? 1 ? ?2 1 2 41 411 × ( ?ax 2 ) ， sin x 4x ，则1 1 × (? ax 2 ) (1 ? ax 2 ) 4 ? 1 a 4 lim = lim = ? = 1 ，故 a = ?4 ． 2 x→0 x →0 x sin x x 4习 题 1-81．研究下列函数的连续性： 研究下列函数的连续性： ?x , | x |≤ 1 , （ 1） f ( x ) = ? ? 1 , | x |& 1;x∈Q , ?1 , （ 2） f ( x ) = ? x ∈ Qc . ?0 , 解答： （1 内连续， 为跳跃间断点； 解答： 1）在 ( ?∞, ?1) 和 ( ?1, +∞ ) 内连续， x = ?1 为跳跃间断点； （上处处不连续。 （2） f ( x) 在 R 上处处不连续。 2．讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的 讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点， 定义使其连续． 定义使其连续． 1 （ 1） f ( x ) = ； 1 1+ ex 解答： 内连续， 为跳跃间断点． 解答： f ( x) 在 ( ?∞, 0 ) 和 ( 0, +∞ ) 内连续， x = 0 为跳跃间断点．1 ? x≠0, ? x sin , （ 2） f ( x ) = ? x ?0 , x=0; ? 上是连续的． 解： f ( x) 在 R 上是连续的．（ 3） f ( x ) =x2 ? 1 ； x 2 ? 3x + 2 1 ， 2 和 内连续， 为可去向断点， x=1 解：f ( x) 在 ?∞ ， ） 1， ） （2，+∞ ） （ （ 内连续， 为可去向断点， 若令 f (1) = ?2 ,为第二类向断点． 则 f ( x) 在 x=1 连续 ；x=2 为第二类向断点．1 （4） f ( x) = sin ； x13第一章 函数与极限习题详解内连续， 为第二类向断点； 解： f ( x) 在（ ?∞ ，0）和 (0, +∞) 内连续，x=0 为第二类向断点； ） （ 5） f ( x ) =x2 ? x ； | x | ( x 2 ? 1) （－1， ）（0， ） 内连续； 是第二类间断点； （－ ，0）（ ，1）和 (1, +∞) 内连续；x= ?1 是第二类间断点； ， 解： f ( x) 在 (?∞, ?1) ，1 处连续． ，则 f ( x) 在 x=1 处连续． 2x=0 是跳跃间断点；x=1 是可去间断点，若令 f (1) = 是跳跃间断点； 是可去间断点，x≥3, ?x + 1 , （ 6） f ( x ) = ? x&3. ?4 ? x , 内连续， ＝ 为跳跃间断点． 解： f ( x) 在 (?∞,3) 和 [3, +∞) 内连续，x＝3 为跳跃间断点．3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． 讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． 1 ( x ≥ 0) ； （1） f ( x) = lim n →∞ 1 + x n ? 1, 0 ≤ x & 1, ? ? 1 x = 1 为跳跃间断点； 为跳跃间断点； x = 1, 解： f ( x ) = ? ? 2, ? 0, x & 1. ? （2） f ( x) = lim(1 ? x 2 n ) x ． n →∞ 1 + x 2 n ? x, | x |& 1 ? 为跳跃间断点． 解： f ( x) = ? 0, | x |= 1 x = 1和x = ?1 为跳跃间断点． ?? x, | x |& 1 ?? sin 2 x , x&0, ? 的值， 处连续． 试确定 a 的值，使函数 f ( x) 在 x = 0 处连续． 4．设函数 f ( x) = ? x ? x2 + a , x ≥ 0 . ? sin 2 x = 2, lim+ f ( x) = lim ( x 2 + a ) = a, f (0) = a, 所以，依题意有 所以， 解：因为 lim f ( x) = lim x → 0? x → 0? x →0 x → 0+ xa =2.? ln(1 + 3x) , ? 5．设函数 f ( x) = ? sin ax ?bx + 1, ?x →0 x→0x&0, x≤0x→0处连续， 的值． 在点 x = 0 处连续，求 a 和 b 的值．ln(1 + 3x) 3 = ， f (0) = 1, 依 题 意 有 sin ax a解 ： 因 为 lim f ( x) = lim (bx + 1) = 1, lim f ( x) = lim ? ? + +x →0a = 3, b 为任意实数． 为任意实数．的例子： 6．试分别举出具有以下性质的函数 f ( x) 的例子： 1 1 的所有间断点，且它们都是无穷间断点， (1) x = 0, ± 1, ± 2, ± ,L , ± n, ± ,L 是 f ( x) 的所有间断点，且它们都是无穷间断点， 2 n π 例如： 例如： f ( x) = cot( πx) + cot ； x14第一章 函数与极限习题详解? 1, x ∈ Q, 上处处不连续， 上处处连续；例如： (2) f ( x) 在 R 上处处不连续，但 f ( x) 在 R 上处处连续；例如： f ( x) = ? c ??1, x ∈ Q ; ? x , x ∈ Q, 上处处有定义，但仅在一点连续，例如： (3) f ( x) 在 R 上处处有定义，但仅在一点连续，例如： f ( x) = ? c ? ? x, x ∈ Q .习 题 1-9 1．研究下列函数的连续性： 研究下列函数的连续性： （1） f ( x) = x 2 cos x + e x ； 解答： 因为 f ( x) = x 2 cos x + e x 在 ( ?∞, +∞ ) 上是初等函数， 上是初等函数， 上连续． 解答： 所以 f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上连续．x?3 ； x ? 273 x →3（ 2） f ( x ) =无意义， 解答： 显然当 x = 3 时， f ( x) 无意义， lim 但 解答： 的可去间断点． 的可去间断点． （3） f ( x) = ? x 2 ? x + 12 ；x?3 1 x?3 = ， x = 3 是函数 f ( x) = 3 则 x 3 ? 27 27 x ? 27解答： 连续． 解答：当 ? x 2 ? x + 12 ≥ 0 时，即 x ∈ [ ?4,3] 时， f ( x) 连续．２．求下列极限： 求下列极限： ? x +1 ? （1） lim sin ? π ?； ? 5x + 3 ? x →1 ? ? x +1 π ) = sin = 1; 解： lim sin(π x →1 5x + 3 2 （2） lim arcsinx →+∞(x2 + x ? x ；)解： lim arcsin( x 2 + x ? x) = lim arcsinx →+∞( x 2 + x ? x)( x 2 + x + x) x2 + x + xx→+∞x +x+x 1 + ln(2 ? x) （3） lim 2 ； x →1 π 3arctan x ? 4 1 1 + ln(2 ? x) + ln(2 ? 1) 1 2 = 2 = ; 解： lim x →1 π π π 3arctan x ? 3arctan1 ? 4 4x →+∞2＝ lim arcsinx= arcsin1 π = ； 2 615第一章 函数与极限习题详解1? x x（4） lim (1 ? 4 x )x→0；? 1 1? x × ( ? 4 x )× 4x x x→0解： lim (1 ? 4 x )x→01? x x= lim[1 + (?4 x)]2= e ?4 ；（5） lim[1 + ln (1 + x )] x ；x→0解： lim[1 + ln(1 + x)] x = lim[1 + ln(1 + x)]ln(1+ x )x→0 x →0 121×2 ln(1+ x ) x= e2 ；（6） lim(1 + x 2 e x )1? cos x ；x→0解： lim(1 + x e )x→01 2 x 1? cos x= lim(1 + x e )x →01 x2 × ×e x 2 x x 2 e x 1? cos x= e2 ;（7） limx→01 + tan x ? 1 + sin xx 1 + sin 2 x ? x1 + tan x ? 1 + sin x；解： limx→0x 1 + sin 2 x ? x（ 1 + sin x ? 1 x ）（ 1 + sin x＋1 ）2 2=limx→0( 1 + tan x ? 1 + sin x )( 1 + tan x + 1 + sin x )×1 + sin 2 x + 1 1 + tan x + 1 + sin x== lim (tan x ? sin x) 1 + sin 2 x + 1 × lim x →0 x→0 x ? sin 2 x 1 + tan x + 1 + sin x x2 x? tan x(1 ? cos x) 2 =1 ； = lim = lim 2 x →0 x →0 x ? x 2 x ? sin x 22（8） lim(cos x)cot x ；x→0解： lim(cos x)x→0cot 2 x= lim(1 + cos x ? 1)x →01 cos x ?1 ? cos x ?1 tan 2 x=e?1 2；（9） lim n[ln n ? ln(n + 2)] ．n →∞解： lim n[ln n ? ln(n + 2)] = lim n lnn →∞ n →∞n 2 = lim n ln(1 ? ) n →∞ n+2 n+2n + 2 ? ?2 n ?= lim ln(1 ?n →∞? 2 n ?2 ?2 ?? n + 2 ? ) = lim ln(1 + ) ? = ln e?2 = ?2 n →∞ n+2 n+2；连续， 3．设函数 f ( x) 与 g ( x) 在点 x0 连续，证明函数 也连续． 在点 x0 也连续． 证明： 证明：略．? ( x) = max { f ( x) , g ( x)} ，ψ ( x) = min { f ( x) , g ( x)}16第一章 函数与极限习题详解?a + bx 2 , x ≤ 0, ? 内连续， 的关系是（ 4．若函数 f ( x) = ? sin bx 在 (?∞, +∞) 内连续，则 a 和 b 的关系是（ , x&0 ? ? x 不能确定． A． a = b ． B． a & b ． C． a & b ． D ．不能确定．． ）解 答 ： 因 为 lim f ( x) = lim ( a + bx 2 ) = a, lim f ( x) = lim ? ? + +x →0 x→0 x →0 x →0sin bx = b, f (0) = a, 依 题 意 有 xa=b． ? x + 2a ? 的值． 5．设 lim ? ? = 8 且 a ≠ 0 ，求常数 a 的值． x →∞ ? x?a ?x解 ： 因 为 lim(x →∞a = ln 2 ．3 ax x + 2a x 3a x 3a x3?aa ? x ? a ) = lim(1 + ) = lim(1 + ) = e3 a ， 则 e3 a = 8 ， 所 以 x →∞ x →∞ x?a x?a x?a习 题 1-10 内至少有一实根． 1. 证明方程 x ln x = 2 在 (1, e) 内至少有一实根． 证明： 上连续， 证明：令 f ( x) = x ln x ? 2 ，则 f ( x) 在[1,e]上连续，又 f (1) = ?2 & 0 ， f (e) = e ? 2 & 0, 根 据零点定理， 即 据零点定理， f ( x) = x ln x ? 2 在开区间 (1, e) 内至少有一点 ξ 使 f (ξ ) = 0 ， x ln x = 2 在 (1, e) 内至少有一实根． 内至少有一实根．有正实根． 2．证明方程 x5 + x = 1 有正实根． 5 证明： 内连续， 证明：令 f ( x) = x + x ? 1 ，则 f ( x) 在 (?∞, +∞) 内连续，又 f (0) = ?1 & 0 ， f (1) = 1 & 0 ， 根据零点定理， 根据零点定理， f ( x) = x5 + x ? 1 在 (0,1) 内至少有一点 ξ ，使 f (ξ ) = 0 ，即 x5 + x = 1 有正 实根． 实根． 3．设函数 f ( x) 对于闭区间 [a , b] 上的任意两点 x 、 y ，恒有 f ( x) ? f ( y ) ≤ L x ? y ，其 为正常数， 证明： 中 L 为正常数，且 f (a) ? f (b) & 0 ．证明：至少有一点 ξ ∈ (a, b) ，使得 f (ξ ) = 0 ． 证明： 证明：任取 x ∈ (a, b) ，取 ?x ，使 x + ?x ∈ (a, b) ，依题意有 0 ≤ f ( x + ?x) ? f ( x) ≤ L ?x ， 的任意性， 则 lim f ( x + ?x) ? f ( x) = 0 ， 即 lim f ( x + ?x) = f ( x) ，由 x 的任意性，可知 f ( x) 在 (a, b) 内?x → 0 ?x → 0连续 ， 同理可证 f ( x) 在点 a 右连续 ， 点 b 左连续 ， 那么 ， f ( x) 在 [a, b] 上连续 。 而且 f (a) ? f (b) & 0 ，根据零点定理，至少有一点 ξ ∈ (a, b) ，使得 f (ξ ) = 0 ． 根据零点定理， 上连续， 4．若 f ( x) 在 [a , b] 上连续， a & x1 & x2 & L & xn & b ，则在 ( x1 , xn ) 内至少有一点 ξ ，使 f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn ) f (ξ ) = ． n 证明： 上连续， 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续 ，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有最小值 m ， 最大值 M ， 使得 f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) m ≤ f ( x1 ) ≤ M , m ≤ f ( x2 ) ≤ M ， ，m ≤ f ( xn ) ≤ M ， ... ≤M， 因此 m ≤ n f ( x1 ) + f ( x2 ) + L + f ( xn ) 由介值定理得， 由介值定理得，在 ( x1 , xn ) 内至少有一点 ξ ，使 f (ξ ) = . n 上连续， ５ ．若 f ( x) 在 [a , b] 上连续 ， xi ∈ [a , b] , ti & 0 (i = 1 , 2 , 3 ,L, n) ，且 ∑ ti = 1 ． 试证至i =0 n少17第一章 函数与极限习题详解存在一点 ξ ∈ (a , b) 使得 f (ξ ) = t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + L + tn f ( xn ) ． 证明： 上连续， 证明：因为 f ( x) 在 [a , b] 上连续，所以 f ( x) 在 [a , b] 上有最小值 m ，最大值 M ，使得m ≤ f ( x1 ) ≤ M , m ≤ f ( x2 ) ≤ M ， ... ， m ≤ f ( xn ) ≤ M ， 那 么 t1m ≤ t1 f ( x1 ) ≤ t1 M ，t 2 m ≤ t 2 f ( x2 ) ≤ t 2 M ， ...t n m ≤ t n f ( xn ) ≤ t n M ， 即 m∑ ti ≤ ∑ ti f (i ) ≤ M ∑ ti ，又 ∑ ti = 1 ，故i =1 i =1 i =1 i =1nnnnm ≤ ∑ ti f (i ) ≤ M ，由介值定理可知，至少存在一点 ε ∈ (a, b) 使得 由介值定理可知，i =1nf (ξ ) = t1 f ( x1 ) + t2 f ( x2 ) + L + tn f ( xn ) ．内连续， 存在， 内有界． 6．证明：若 f ( x) 在 (?∞ , + ∞) 内连续，且 lim f ( x) 存在，则 f ( x) 必在 (?∞ , + ∞) 内有界． 证明：x →∞证明： 因为 lim f ( x) 存在， 存在， 对任意的 ε ， f ( x) ? a & ε ， 证明： 则必有 X & 0 ， 使得当 x & X 时， 有x →∞因此 ， f ( x) 在区间 (?∞, ? X ) 及区间 ( X , +∞) 上有界 ， 即当 x ∈ (?∞, ? X ) U ( X , +∞) ， 存在M 1 & 0 ，有 f ( x) ≤ M 1 ，同时， f ( x) 在 [? X , X ] 上连续，有由有界性定理知，存在 M 2 & 0 ， 同时， 上连续，有由有界性定理知，当 x ∈ [? X , X ], f ( x) ≤ M 2 ，取 max{M 1 , M 2 } = M ，则当 x ∈ (?∞, +∞) 时，总有 f ( x) ≤ M ，即f ( x) 在 (?∞, +∞) 内有界． 内有界．复习题 A 1.设 1.设 f ( x) =1 x , g ( x) = , 求 f [ g ( x) ] , g ? f ( x ) ? 及其定义域 定义域. ? ? 及其定义域 2 ? x2 1+ x1 ? x ? 2?? ? ?1+ x ?2解: f [ g ( x ) ] ==(1 + x )2x2 + 4x + 2, 其定义域为 x 2 + 4 x + 2 ≠ 0 且 x ≠ 1 ,即 D = x | x ≠ ?2 ± 2且x ≠ ?1 ;.1 2 ? x 2 = 1 ,其定义域为 2 ? x 2 ≠ 0且3-x 2 ≠ 0, g ? f ( x )? = ? ? 1 3 ? x2 1+ 2 2? x D = x | x ≠ ± 2且x ≠ ± 3 .{}{}2.求函数 f ( x) = (1 + x 2 ) sgn x 的反函数.?? ?( x + 1), x & ?1 ? ?(1 + x 2 ), x & 0 ? ? ?1 0, x = 0 , 所以, f ( x) = ? 0, x=0 解: 因 f ( x) = ? ? 1 + x2 , ? x&0 x ? 1, x &1 ? ?3．单项选择题 (1)下列各式中正确的是 下列各式中正确的是（ (1)下列各式中正确的是（ A． lim (1 + x ) = e ； +x →0 1 x）? 1? B． lim ? 1 + ? = e ； + x →0 ? x?x18第一章 函数与极限习题详解C． lim ? 1 ?? x →∞ ?1? ? = ?e ； x?xD． lim ? 1 + x →+∞? ?1? ? x??x= e．(2)当 下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（ ． (2)当 x → 0 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（ ） A． x ； C． 1 ? x ? 1 ；22B． 1 ? cos x ； D． x ? tan x ． ） C． ∞ ； D．不存在但不为 ∞ ．x 2 ? 1 x1 1 (3)极限 e ? 为（ (3)极限 lim x →1 x ? 1A． 1 ； B． 0 ；都是无穷小， (4) 若当 x → x0 时，α ( x) 和 β ( x) 都是无穷小，则当 x → x0 时，下列表达式中哪一 个不一定是无穷小（ 个不一定是无穷小（ A． α ( x ) + ． ）2 2 B． α ( x ) 和 β ( x ) ；β ( x) ；C． ln [1 + α ( x) ? β ( x) ] ；α 2 ( x) D． ． β ( x)? x2 + 2 x + b , x ≠ 1, ? 则以下结果正确的是（ ． (5) 设 f ( x ) = ? 适合 lim f ( x ) = A ，则以下结果正确的是（ ） x ?1 x →1 ? a, x =1 ?A． a = 4, b = ?3, A = 4 ； 可取任意实数； C． b = ?3, A = 4, a 可取任意实数； 解答： 解答： (1) A; (2) D; (3) D: (4) D; (5) C． ． 可取任意实数； B． a = 4, A = 4, b 可取任意实数； 都可取任意实数． D． a, b, A 都可取任意实数．4.求下列极限 求下列极限: 求下列极限 (1) lim 3 sinn →∞ nπ 3n ?1= limsinn →∞π 3n ?1 3π = 3π ; π3n ?11 1 ? n +1 1 1 8 =8; (2) lim(1 + + L + + n ) = lim n →∞ n →∞ 1 8 8 7 1? 8(3) lim arccos( x 2 + x ? x) = lim arccosn →+∞ n →+∞( x 2 + x ? x)( x 2 + x + x) x2 + x + x;= lim arccosn →+∞x x +x+x2= arccos1 π = ; 2 319第一章 函数与极限习题详解(4) lim1 ? cos 2 x 2sin 2 x 2 = lim = ; x → 0 x sin 3 x x →0 x 3x 3 1 1 x 2 cos sin x 2 cos x = lim x = lim x cos 1 = 0; (5) lim x→0 x→0 x →0 x x xx→0(6) lim1 + 6x ? 1 ? 2x = lim x →0 x2 + 4x2(1 + 6x ? 1 ? 2x(x2+ 4x )()(1 + 6x + 1 ? 2x1 + 6x + 1 ? 2x))= limx→0(x+ 4x)(8x 1 + 6x + 1 ? 2x)= limx →0( x + 4) (8 1 + 6x + 1 ? 2x)=1;1 ? cos(sin x) (7) lim = lim x → 0 2 In(1 + x 2 ) x →0sin x sin x ) sin 2 ( ) 2 = lim 2 = 1; x→0 x2 2 x2 4 1 sin 1 1 1 1 ? ? x + lim 1 sin x = 1 + 0 = 1; (8) lim ? x sin + sin x ? = lim x sin + lim sin x = lim x →∞ x →∞ x →∞ x →∞ x 1 x x x x →∞ x ? ? x 2 ax x+a x 2a x2?aa x ? a (9) lim( ) = lim(1 + ) = e2 x →∞ x ? a x →∞ x?a 2sin 2 (1 1 x ?1 ? cos x ?1 x(10) lim x cos x = lim ?1 + (cos x ? 1) ? x = lim ?1 + (cos x ? 1) ? cos ? ? x → 0+ x → 0+ ? x → 0+ ?=e 2．?1设当 x → x0 时，f ( x ) 是比 g ( x ) 高阶的无穷小． 高阶的无穷小． 证明： 5． 证明： x → x0 时，f ( x ) + g ( x) 与 g ( x ) 当 是等价无穷小． 是等价无穷小． 证明: 证明 由已知得 lim是等价无穷小． 是等价无穷小．x → x0f ( x) f ( x) + g ( x) f ( x) = 0, 则 lim = lim ( + 1) = 1, 即 f ( x) + g ( x)与g ( x) x → x0 x → x0 g ( x ) g ( x) g ( x)6．已知 limx→2x3 + ax + b = 8 ，求常数 a 与 b 的值． 的值． x?2x3 + ax + b = 8 ， 所 以 lim( x3 + ax + b) = 8 + 2a + b = 0 ， 则 解 ： 因 为 lim x→2 x→2 x?2b = ?8 ? 2a, 那么lim x3 + ax + b ( x ? 2)[ x 2 + 2 x + ( a + 4)] = lim x→2 x→2 x?2 ( x ? 2)= lim[ x 2 + 2 x + (a + 4)] = a + 12 = 8 ， 解得a = ?4, b = 0 ．x →27.设 x1 = 10, xn +1 = 6 + xn (n ≥ 1).证明数列{xn }极限存在， 并求此极限． 并求此极限．证明： 用数学归纳法证明此数列的单调性． 因为 x1 = 10 及 x2 = 6 + x1 = 4 ， 证明： 用数学归纳法证明此数列的单调性． 可知 x1 & x2 , 所以{ 单调递减， 所以 xn } 单调递减， 又显然 xn & 0 ， {xn } 即 假设 xn & xn +1 , 则 xn +1 = 6 + xn & 6 + xn +1 = xn + 2 ，20第一章 函数与极限习题详解有下界， 存在极限， 两边取极限， 有下界，由单调有界准则知 {xn } 存在极限，设 lim xn = A ， 对xn +1 = 6 + xn 两边取极限，有n →∞A= 6 + A ，解之得 A=3 或 A= ?2 （舍去） ，即得 lim xn =3． 舍去）n →∞? sin6x ? 2x , x & 0, ? 8.确定常数 a 与 b 的值，使得函数 f ( x) = ? a + 3x, x = 0, 处处连续． 的值， 处处连续． ? 1 ?(1 + bx) x , x & 0. ?解 ：当 x & 0 时 ， f ( x ) =1 sin 6 x 显然它们都是连续的， 它们都是连续的 和当 x & 0 时， f ( x) = (1 + bx) x ，显然它们都是连续的， 2xf = ? 又 lim （x） lim ?1 b sin 6 x =3，lim （x） lim (1 + bx) x = lim (1 + bx) bx = eb ， x = 0 时，f ( x) =a, f = + 当 x →0 x →0 x → 0+ x →0 x → 0+ 2x 点也连续， 要使 f（x）在 x=0 点也连续，则 eb =3=a,即 a=3,b=ln3．求下列函数的间断点，并判断其类型． 9.求下列函数的间断点，并判断其类型． 1 （1） f ( x) = arctan ； x 解：因为 lim f ( x) = lim arctan ? ?x →0 x →01 π 1 π = ? ， lim f ( x) = lim arctan = ，又 x ≠ 0 时， f ( x) + + x →0 x 2 x →0 x 2连续， 为间断点， 为跳跃间断点． 连续，所以只有 x=0 为间断点，x=0 为跳跃间断点． x （2） f ( x) = ； tan x 解：当 tanx=0 时，有 x=0 或 x=n π （n= ± 1, ± 2,…）因为 lim f ( x) = limx→0 x →0x =1，所以 tan xx=0 为可去间断点．又 lim 为可去间断点．间断点． 间断点．当 x = nπ + 是可去间断点． 是可去间断点．x → nπx = ∞ （n= ± 1, ± 2,…） 所以 x = nπ （n= ± 1, ± 2,…）为无穷 ， tan xx π =0，所以 x = nπ + （n= ± 1, ± 2,…） tan x 2π2（n= ± 1, ± 2,…）时， lim πx → nπ + 2（3） f ( x) = limx + enx ； x →∞ 1 + e nxnx?1, x & 0, ?1 x+e ? 解： f ( x) = lim = ? , x = 0 ，因 lim f（x）=0， lim nx x →∞ 1 + e x → 0? x → 0+ ?2 ? x, x & 0, ?断点． 断点．f ( x) =1，所以 x=0 为跳跃间21第一章 函数与极限习题详解复习题 B 1．单项选择题 不等价的是（ （1）当 x → 0 时，下列无穷小量中与 x 不等价的是（ ） ． 2 ln(1 + x ) A． x ? 3 x 2 + x 3 ． B． ． C． e x ? 2 x 2 + 5 x 4 ? 1 ． x 下列极限不存在的是（ ） （2）下列极限不存在的是（ ． A．lim (2 x +x →+∞ 1D． sin(6sin x + x 2 ) ．x 2 ? 3x + 1 sin x 1 ln(1 + x) 1 lim ) ． B． x sin ． C． lim + arctan ) ． ． D．lim ( + x→0 x →∞ x →0 x x x x x）等于 e ．1 x（3）极限（ 极限（x →∞A． lim(1 + x) ．1 1 1 B． lim (1 + ) x ?1 ． C． lim (1 ? ) x ． D． lim(1 + ) x ． x →?∞ x →?∞ x→0 x x xn →∞ n →∞的值为（ ． （4）设 ?n ，数列 | f ( n) |& g ( n) ，如果 lim g ( n) = 3 ，则 lim f ( n) 的值为（ ）lim f (n) = ?3 ． B． 3 ≤ lim f (n) ≤ 3 ． C． f (n) = 3 ． D． 3 & lim f (n) & 3 ． ? lim ? A．n →∞ n →∞ n →∞ n →∞（5）已知 lim(2 x2 ? ax ? b) = 1 ，其中 a 与 b 为常数．则（ ） 为常数． ． x →∞ x + 1 A． a = 2 ， b = 3 ． B． a = ?2 ， b = 3 ． C． a = 2 ， b = ?3 ． D． a = ?2 ， b = ?3 ．） ． 个可去间断点． B．只有 1 个可去间断点． 个可去间断点． D．有 3 个可去间断点．（6）设函数 f ( x) =x3 ? x ，则（ sin π x 有无穷多个第一类间断点 穷多个第一类间断点． A．有无穷多个第一类间断点． 个跳跃间断点． C．有 2 个跳跃间断点．解答： 解答： （1）D;（2）C;（3）B;（4）B;（5）C;（6）D（提示：x=0， ± 1 为可去间断点 ± ） ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （提示： ， 2．填空题 （1）设函数 f ( x) 的定义域是 [0,1] ，则 f (x ?1 的定义域是_________ _________． ) 的定义域是_________． x +11 1 + x ? x2 =_________． （2）计算 lim ln =_________． x →0 x 1 ? x + x2（3）设 lim(1 + 2 x ? 2 x )x →0 1 2 ax + bx 2= e2 ，则 a =_________， b = =_________，． ． ．（ 4） 设 x → 0 + 时 ， e （5）设 limx →0x cos x 2? e x 与 x ? 是同阶无穷小，则 ? = 是同阶无穷小，f ( x) f ( x) = ?3 ，则 lim = 3 x →0 x x， limx →0f ( x) = x2充分” 必要” 充分必要”三者中选择一个正确的填入空格内： （6） 在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入空格内：数列 xn } 有 、 界是数列 xn } 收敛的{{条件； 条件；函数 f ( x ) 的极限 lim f ( x) 存在是 f ( x ) 在 x0 的某一x → x022第一章 函数与极限习题详解去心邻域内有界的 的条件； 条件；函数 f ( x ) 在 x0 的某一去心邻域内无界是 lim f ( x) = ∞x → x0条件； 条件；函数 f ( x) 在 x0 左连续且右连续是 f ( x) 在 x0 连续的条件． 条件．答案： ） （ （2） ； （3） （4） 答案： 1） [1, +∞ ] ； ）1； ）a=1；b 为任意实数； ） （ （ ； 为任意实数； （ 分，必要，充要． 必要，充要．9 ;（5）0，0； ）必要，充 （6）必要， （ ） ， ； （ 2（2）题解答过程： lim ）题解答过程：x→ 01 1 + x ? x2 ln(1 + x ? x 2 ) ? ln(1 ? x + x 2 ) = lim ln 2 x→ 0 x 2x 1? x + x= limx→ 0ln ?1 + x ? x 2 ) ? ? （ ? 2x?ln ?(1+( ? x + x 2 ) ? ? ? 2x= limx→ 0x ? x2 ? x + x2 1 1 ? lim = ?(? ) =1． x →0 2x 2x 2 2题解答过程： （3）题解答过程： 因为 lim(1 + 2 x ? 2 x )x →0 1 2 ax + bx 2= lim (1 + 2 x ? 2 x )x→ 01 2 x ? 2 x2 × 2 2 x ? 2 x 2 ax + bx 2= e a = e2 ，所以，a=1，b 为任意 所以，2实数． 实数． 题解答过程： （4）题解答过程： 因为 lim +x →0ex cos x 2 ? exxu= lim +x →0e x [ex (cos x 2 ?1)? 1]xu= lim +x →0exx (cos x 2 ? 1) = lim x → 0+ xuex1 ? x (? x 4 ) 2 =c 常 （ xu，所以 数） 所以 u= ，9 ． 2f ( x) f ( x) = ?3 ，所以 3 = ?3 + α ( x) x3 x题解答过程： （5）题解答过程：因为 limx→ 0(其中 α ( x) 为当 x → 0 时的无穷小量)， 那么f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) = ?3x 2 + x 2 α ( x) ， 2 = ?3x + x α ( x) ， lim =0，lim 2 =0． 故 x→ 0 x→ 0 x x x x3．求下列极限： 求下列极限： （1） lim[ 1 + 2 + L + n ? 1 + 2 + L + (n ? 1)] ；n →∞（2） lim +x →0ex ? 131 ? cos x(1 ? cos x)；1 ? a x + bx + cx ? x （4 （3） lim ? ． ( a & 0 , b & 0 , c & 0) ； 4） lim(1 + e x arctan x 2 )1? cos x ； （ ? x→0 x →0 3 ? ?1（5） lim(sin x )π x→ 2tan x；（6） lim (sinx →+∞x + 1 ? sin x ) ；23第一章 函数与极限习题详解1 1 1 1 （7） lim(1 + + + L + ) n ； n →∞ 2 3 n1 ? ? 2 + e x sin x ? ? + （8） lim ； 4 x →0 ? | x| ? ? 1+ e x ? ? ?10） （9） lim(1 + x )(1 + x ) L (1 + x ) , | x |& 1 ； （10） lim2 2n x →∞x→0ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? sin x arctan(4 3 1 ? cos x )．解答： 解答： （1） lim[ 1 + 2 + L + n ? 1 + 2 + L + ( n ? 1) ] = lim[ ）n →∞n →∞n( n + 1) (n ? 1) n ? ] 2 2[ = limn →∞n(n + 1) (n ? 1)n n(n + 1) (n ? 1) n ? ][ + ] n 2 2 2 2 = lim n →∞ n( n + 1) (n ? 1)n n(n + 1) (n ? 1) n [ ] [ ] + + 2 2 2 2= lim1 1+ 1 1 1? n + n 2 23n →∞=2 2（2） lim ） +x →0ex ? 1 1 ? cos x(1 ? cos x)= lim +x →0（x x x x →0x3 x3 = lim 3 = 4 ． x(1 ? cos x) x →0+ x 2 4 3x1 x）x( a x ?1) + ( b x ?1) + ( c x ?1) a x + bx + c x ?3 3x 3lim (a +b +c a +b +c ?3 a +b +c ?3 ) = lim(1 + ) = lim(1 + ) x→0 x →0 3 3 31 x x x x x=eln abc 3= 3 abc ．x 1 2 1? cos x（4） lim (1 + e arctan x ) ）x →0= lim (1 + e arctan x )x x →0 1 × sin x (sin x ?1) cos x1 e x arctan x 2 2 e x arctan x 2 1? cos x= e2 ．（5） lim (sin x) tan x = lim(1 + sin x ? 1) sin x ?1 ） πx→πx→221 × sin x ?1= lim (1 + sin x ? 1)x→x x ? sin x (cos ? sin )2 2 2 x x cos2 ? sin 2 2 2π= e0 = 1 ．2（6） lim (sin x + 1 ? sin x ) = lim 2sin ）x →+∞ x →+∞x +1 ? x x +1 + x cos ， 2 2其中 |2 cosx +1 + x x +1 + x x +1 ? x | ≤ 2 ， 即 2 cos 是有界 量 ， lim sin = 0 ，故 x →+∞ 2 2 2x →+∞lim (sin x + 1 ? sin x ) = 0 ．24第一章 函数与极限习题详解（7）因为 1 ≤ (1 +1 1 1 1 1 1 1 1 n n + + .... + ) n ≤ n ，又 lim n = 1 ，所以 lim(1 + + + .... + ) n = 1 ． n →∞ n →∞ 2 3 n 2 3 n11sin x 2 + e x sin x + ) = lim ( ? ) = 2 ?1 = 1 ， （8）因为 lim ( 4 4 ? ? x →0 x→0 | x| x x x 1+ e 1+ e sin x 2 + e x sin x 2 + e x sin x lim ( + ) = lim ( + ) = 0 + 1 = 1 ，所以， lim ( 所以， + ) =1． 4 4 4 x → 0+ x → 0+ x →0 |x| x |x| x x x 1+ e 1+ e 1+ e(1 ? x)(1 + x)(1 + x 2 )...(1 + x 2 ) （9） lim(1 + x)(1 + x )...(1 + x ) = lim n →∞ n →∞ 1? xn2 + ex112 + ex11122n= lim1 ? x2 1 = (| x |& 1) . n →∞ 1 ? x 1? x = limx →0n +1（10） lim 10）x→0ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? sin x arctan(4 3 1 ? cos x )ln(esin x + 3 1 ? cos x ) ? ln esin x 4 3 1 ? cos x3 1 ? cos x 1 ? cos x ) sin x sin x 1 1 1 e = lim 3 e = lim sin x = . 3 x →0 4 4 1 ? cos x 4 1 ? cos x 4 x →0 e 3= limx →0ln(1 +4．已知函数 f ( x) = limxn 的间断点及其类型． ，试确定 f ( x) 的间断点及其类型． n →∞ 2 + x 2 n ?0,| x |& 1 ?0,0 ≤| x |& 1 ? xn ? = ?1 解：因为 f ( x) = lim ， 2n n →+∞ 2 + x ?3 , x = 1 ? ?不存在，x=-1 ?x →1 x →1 x →?1 x →?1所以 lim f ( x) = lim f ( x) = 0 ≠ f (1) ， lim? f ( x) = lim+ f ( x) = 0, f (?1)不存在， ? +因此， 均为可去间断点。 因此， x = ±1 均为可去间断点。? ax 2 + bx, x & 1, ? x = 1, 求 a ， b 使 f ( x) 在 x = 1 处连续． 处连续． 5．设函数 f ( x) = ?3, ? 2a ? bx, x & 1. ?解： 因为 lim f ( x) = lim(ax 2 + bx) = a + b ， lim f ( x) = lim(2a ? bx) = 2a ? b ? ? + +x →1 x →1 x →1 x →1? a + b = 2a ? b f (1) = 3 ，要使 f ( x) 在 x = 1 处连续，则 ? 处连续， ，解得 a = 2 ， b = 1 . ?a + b = 3π π 上至少有一个根． 6．求证方程 x + 1 + sin x = 0 在区间 (? , ) 上至少有一个根． 2 225第一章 函数与极限习题详解π π ? π π? 证明： 上连续， 证明：令 f ( x) = x + 1 + sin x ，显然 f ( x) 在 ? ? , ? 上连续，又 f (? ) = ? & 0 ， 2 2 ? 2 2? π π ? π π? 由零点定理可知， f ( ) = + 2 & 0 ，由零点定理可知， f ( x) 在 ? ? , ? 内至少有一个零点 ξ ，即方程 2 2 ? 2 2?? π π? x + 1 + sin x = 0 在 ? ? , ? 内至少有一个根. 内至少有一个根. ? 2 2?1 a ．证明数列 收敛． 7．设 a & 0 ，任取 x1 & 0 ，令 xn +1 = ( xn + ) （其中 n = 1, 2,L ） 证明数列 { xn } 收敛．并求 ． 2 xn极限 lim xn ．n →∞x2 1 1 a 是单调的， （1 证明： 证明：首先证明 { xn } 是单调的， 1）若 xn ≤ a ，则 xn +1 = ( xn + ) ≥ ( xn + n ) = xn ， （ 2 2 xn xn x2 1 a 1 单调递增有上界。 （2 即 { xn } 单调递增有上界。 2）若 xn & a ，则 xn +1 = ( xn + ) & ( xn + n ) = xn ，即 （ 2 xn 2 xn单调递减有上界， （2 有极限存在； lim （ { xn } 单调递减有上界，综（1） 2）知数列 { xn } 有极限存在；令 n→∞ xn = A ，则 A = 舍去） ，即 解之得 A = a 或 A = ? a （舍去） 即 lim xn = a . ，n →∞1 a (A + ) ， 2 A成本― 8．成本―效益模型 出：从某工厂的污水池清除污染物的百分比 p 与费用 c 是由下列模型给p (c ) =100c ． 8000 + c允许无限增长， 试求出可被清除污染物的百分比． 实际上， 可以完全清除污染吗？ 如果费用 c 允许无限增长， 试求出可被清除污染物的百分比． 实际上， 可以完全清除污染吗？ 100c = 100 所以如果费用 C 允许无限增长，可被清除污染物的百 允许无限增长， 解： lim p (c) = lim c →∞ c →∞ 8000 + c 100%，实际上是不可能完全清除污染的. 分比为 100%，实际上是不可能完全清除污染的.26
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