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反常积分和级数的收敛性判别法总结
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反常积分和级数的收敛性判别法总结
官方公共微信关于反常积分收敛与无穷大的逻辑关系？
同济六版高等数学上册中有一关于函数&img src=&/792bcd0c0fa8c6fffd9cf2_b.jpg& data-rawwidth=&86& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&86&&的反常积分的题，该题结果为π，但是看该函数的图像时，依据定积分的几何意义，&img src=&/792bcd0c0fa8c6fffd9cf2_b.jpg& data-rawwidth=&86& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&86&&的值在图像上应该是&img src=&/287b3f94d8b1bcef9b9017a_b.jpg& data-rawwidth=&44& data-rawheight=&36& class=&content_image& width=&44&&与 X 轴所围的面积。由于x两侧趋于无穷大，&img src=&/287b3f94d8b1bcef9b9017a_b.jpg& data-rawwidth=&44& data-rawheight=&36& class=&content_image& width=&44&&&b&与 X 轴所围的面积应该是在不断向两侧延伸（虽然增加的很小，但依然不断的增加），因此最终的面积(即积分)应该为无穷大，为什么按照定积分的数学计算得出来的面积却是π，&u&&i&请教该逻辑错误在什么地方？&/i&&/u&&/b&&img src=&/467ad1fd52bb66ab832e88ae703dc390_b.jpg& data-rawwidth=&695& data-rawheight=&418& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&695& data-original=&/467ad1fd52bb66ab832e88ae703dc390_r.jpg&&&br&抱歉，不知道为什么公式图片不能正常加载，上传一下照片：&br&&img src=&/7edbdd9f642bb03cfae8a_b.jpg& data-rawwidth=&1007& data-rawheight=&529& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1007& data-original=&/7edbdd9f642bb03cfae8a_r.jpg&&
同济六版高等数学上册中有一关于函数的反常积分的题，该题结果为π，但是看该函数的图像时，依据定积分的几何意义，的值在图像上应该是与 X 轴所围的面积。由于x两侧趋于无穷大，与 X 轴所围的面积应该是在不断向两侧延伸（虽然增加的很小，但依然不断的增加），因此最终的面积(即积分)应该为无穷大，为什么按照定积分的数学计算得出来的面积却是π，请教该逻辑错误在什么地方？…
1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)+....=1虽然增加的很小，但依然不断的增加，因此最终的和应该为无穷大，为什么算出来是1呢？题主你懂了么？
你的问题很简单，你认为无界的图形有无穷的面积。但是你知道面积的定义是什么吗？你知道这个定义是什么，就是用积分定义嘛。也就是说你没有掌握学数学的最基本的方法，把定义当作你思考的根本。学数学最忌讳带入你的直觉，因为这样会死的很惨。
“与 X 轴所围的面积应该是在不断向两侧延伸（虽然增加的很小，但依然不断的增加），因此最终的面积(即积分)应该为无穷大。”这说明题主你还没看懂极限啊。。。请把同济教材第一章好好看看
假设乌龟和兔子相距一段距离，兔子在A点，乌龟在B点，同时出发兔子追乌龟，当兔子到达B点时，乌龟到达C点；兔子到达C点时，乌龟到达D点。以此类推：兔子永远追不上乌龟。事实上，兔子可以追上乌龟。
楼主可以类比一下前面定积分的定义（虽然反常积分不能说是Riemann积分），划分区间长度趋于0的时候，这个函数在a到b的黎曼和。同样都是无穷多个矩形之和。也就是回到了高数第一章里的问题，无穷多个无穷小之和是多少？这个问题楼主应该曾经也好奇过吧。草草回答，请见谅。
你对无穷的理解不对， 面积确实是在增加，但是增加的越来越少越来越少取极限是趋近于某一个数的，增加并不意味着一定会到无穷，饿死了这个函数是收敛的。
微积分定义多看看
与 X 轴所围的面积应该是在不断向两侧延伸（虽然增加的很小，但依然不断的增加），因此最终的面积……==============================单调有界收敛人家有界好么！有界！
“与 X 轴所围的面积应该是在不断向两侧延伸（虽然增加的很小，但依然不断的增加），因此最终的面积(即积分)应该为无穷大”该逻辑错在不断增加，并且增加的越来越慢 与 面积（积分）是否为为无穷没有任何关系在这种情况下，面积（积分）可以为无穷，也可以不为无穷所以你错在把没关系的两个事物按照经验联系在一起
参见芝诺悖论...
我也不能解释的很清楚。 可以看一下无穷级数里的调和级数 跟你这个相反。感觉是收敛其实是发散的…
极限这玩意儿还是证明一下好，不要凭感觉
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社交帐号登录问题补充&&
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解答：1、从1到∞的积分，1跟∞，既是积分的下限、上限，也是积分区间，没有区别；2、函数收敛，积分可能收敛，也可能不收敛。
例如 y = 1/x，在x→∞，是收敛的；但是积分不收敛(楼上已经说明)
y = 礌甫辟晃转浩辨彤玻廓1/x²、y = 1/x³、y = 1/x⁴、、、、
在x→∞，无论函数，还是积分，都是收敛的。
新加坡留学大师 &
不是，比如f(x)=1/x 。f(礌甫辟晃转浩辨彤玻廓x)在无穷处收敛于0，但∫ 1/x dx=ln(x)在1到正无穷是发散的
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一、引言若讨论Riemann积分,首先必须满足:(1)积分区间[a,b]有限;(2)被积函数f(x)在[a,b]上有界.在现实中一些积分不一定满足这两个条件,但确实需要求积分.所以,我们有必要突破Riemann积分的限制条件,考虑积分区间无穷或被积函数无界的积分问题,从而出现了“反常积分”.其实不难发现:无穷积分与瑕积分是可以相互转化,而且反常积分与数值级数∑1∞an之间有着深刻的类比,根据反常积分的一些定理和性质,在传统的判别方法基础上发现一些新的判别方法.二、反常积分基本判别方法1.无穷积分与瑕积分的相互转化(1)瑕积分转化无穷积分.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,b为瑕点.则有∫abf(x)dxt=b1-x∫b1-+∞af b-1t.t12dt.(2)无穷积分转化瑕积分.设a0,有∫a+∞g(x)dxt=1x-∫1a0g1tdt2t=∫01ag1ttd2t.考虑到瑕积分与无穷积分可以互化,而且具有平行的理论和结果,现...&
(本文共1页)
权威出处：
含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数(特别是非初等函数)的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础.讨论含参量反常积分及其一致收敛性，对后继课程的学习与研究有着深远的意义和影响.然而，目前关于判别含参量反常积分的方法并不多仁’一‘〕，并且这些判别法各有利弊，每个判别法都有其应用的局限性.比如最主要、最常用的判别法有魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，应用这三个判别法均不能判别含参量反常积分丁:一，一’·d，(，。)上的一致收敛性，因而继续寻找更多更有效的关于含参量反常积分一致收敛的判别法是非常有必要的.本文从文献[1〕一道习题人手，得到了含参量反常积分一致收敛的比较判别法、魏尔斯特拉斯判别法、柯西判别法与对数等判别法，并分别利用柯西判别法和对数判别法证明了含参量反常积分X·，一’·d，(，o)上是一致收敛的.由于含参量无穷积分和含参量暇积分可以相互转化，所以本文只给出含参量无穷积分...&
(本文共4页)
权威出处：
对于一致收敛和收敛大家都比较熟悉,但是一致收敛条件太强,而收敛又较弱.对于某些问题我们只需要考虑他的局部性质就够了,从而我们研究一种介于它们之间的收敛(局部一致收敛),将是很有意义的工作.对于局部一致收敛,近年来已经有不少研究,丁润成在文献[1]中研究了数列局部(弱)一致收敛的性质;张国才,王恕达在文献[2]中探讨了二元函数局部一致收敛的条件.对于含参量反常积分的局部一致收敛性,文献[3]中王建英探讨了含参量反常积分局部一致收敛和一致收敛的关系,并给出了局部一致收敛于连续的等价性.文献[4-7]中也对含参量反常积分局部一致收敛的性质以及判定给出了较好的结果.本文在已有结果的基础上,与一致收敛的判别法相类比得出了含参量反常积分局部一致收敛几种判别法,这对局部一致收敛的研究将是很有意义的工作.定义1若函数列｛fn(x)｝和函数f(x),对任意的正数ε及任意的x0∈D存在正整数N及正数δ,使得对一切的x∈∩D,当nN时,都有|fn(x...&
(本文共3页)
权威出处：
1引言利用比较判别法来判别无穷限反常积分与正项级数的敛散性是很方便的。若取∫+∞adxxp,(a0)、∑1np为比较的标准时,我们还可以得到下面的对数判别法,从中我们可以发现,对数判别法在很多方面较比较判别法更方便。2对数判别法命题1设f(x)0,(xα0,x1),f∈R([a,b])(任意的ba)(ⅰ)若存在α0,使-lnf(x)lnx1+α,则∫+∞af(x)dx收敛;(ⅱ)若-lnf(x)lnx1,则∫+∞af(x)dx发散。证(ⅰ)若-lnf(x)lnx1+α,则lnf(x)-(1+α)lnx,即f(x)1x1+α,α0由∫+∞a1x1+αdx收敛及比较判别法可知∫+∞af(x)dx收敛。(ⅱ)若-lnf(x)lnx1,f(x)1x,由∫+∞a1xdx发散可知∫+∞af(x)dx发散。推论对数判别法的极限形式设f(x)0,(x a0),f∈R([a,b])(任意的ba),若limx→∞-lnf(x)lnx=ρ,(ⅰ)当ρ...&
(本文共2页)
权威出处：
函数的定积分,有两个重要的约束条件,即积分区间的有限性和被积函数的有界性。将这两个约束条件取消,便得到了定积分两种形式的推广:(1)将函数的积分区间由有限扩展到无限就得到了无穷限的反常积分;(2)将被积函数由有界扩展到无界就得到无界函数的反常积分[1-3]。但是,反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题。因为积分区间的有穷性和被积函数的有界性在很多实际问题中往往需要突破这些限制,因而对反常积分敛散性的判定就显得格外重要[4-15]。本文讨论的重点就是关于反常积分敛散性的新的对数判定方法以及新的对数判别法和旧的对数判别法的优劣。1研究内容考察无穷限积分的对数审敛法[4]的证明知道,它是以反常积分?1∞1xpdx(p1时收敛,p?1时发散)作为标准来进行判定的。在本文的研究中,我们可以以反常积分?1+∞dxx(1nx)p(p1时收敛,p?1时发散)作为比较标准来探讨相应的判别法。类似地,对于瑕积分?baf(x)dx(a是唯一的瑕点),我们...&
(本文共5页)
权威出处：
设x为实变量,由欧拉公式得eix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx,得sinx=eix-2ie-ix,cosx=eix+2e-ix.(1)设s=β+iω(其中β,ω为实变量,且β0),反常积分∫0+∞e-stdt=-e-sst0+∞=-e-βt(cosωst+isinωt)0+∞=1s.(2)公式(1)揭示了三角函数与复指数函数之间的联系,利用这种关系及(2)式中反常积分的结果,可以简化几类反常积分的计算.下面举例说明:例1计算反常积分∫0+∞e-3tcos2tdt.解∫0+∞e-3tcos2tdt=∫0+∞e-3te2ti+2e-2tidt=21∫0+∞e-(3-2t)tdt+21∫0+∞e-(3+2t)tdt=213-12i+3+12i=133.注1.本例的一般解法为连续使用两次分部积分,然后解方程得积分结果.相对而言,本文对本题的解法较易.2.形如∫0+∞e-βtcosωtdt,∫0+∞e-βtsinω...&
(本文共1页)
权威出处：
1引言Fourier变换在偏微分方程中的应用极为广泛。在很多文献中,变换主要是用来求解热传导方程。但其应用不仅仅局限于偏微分方程的求解,本文将利用求解函数的Fourier变换,得到一些反常积分的计算方法。2定义与定理Fourier变换与Fourier逆变换的系数在不同书籍和文献中可能不同,只要求两系数的乘积为21π,出现这些情况的原因是由于至今没有统一的规定,本文采用下述定义。定义[1][2](变换Fourier)设函数在(fx)上(-∞,+∞)连续、分段光滑且绝对可积,则f存在,称f(λ)为函数(fx)的Fourier变换。定理若函数(fx)在(-∞,+∞)上连续、分段光滑且绝对可...&
(本文共1页)
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一个反常积分收敛性的剖析
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