→ 尺规作图
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第一篇:尺规作图初中数学尺规作图讲解 初中数学尺规作图讲解 尺规作图
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图 有如下三条⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆； 用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题， 不管多么复杂， 如果能反复应用上述三条作图公法， 经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能 问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至 1837 年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分 角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882 年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明 π 是一 个超越数（即 π 是一个不满足任何整系数代数方程的实数） ，由此即可推得根号 π(即当圆半径 r = 1 时所求正方形 的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现的伽罗华理论.尽管 如此， 仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目， 当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题还有另外两个著名问题⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策， 因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三 等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的 条件尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积， 解决 了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家 的挑战. 尺规作图的相关延伸尺规作图的相关延伸用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点 A 、 B ，找出一点 C 使得 AB = BC = CA . 3.已知两点 A 、 B ，只用半径固定的圆规，求作 C 使 C 是线段 AB 的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表 达.10 世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672 年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作 出直线上的 2 点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直 线与弧交点、两直线交点 ，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
五种基本作图五种基本作图初中数学的五种基本尺规作图为：1.做一线段等于已知线段 2.做一角等于已知角 3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线 5.做一线段的中垂线
下面介绍几种常见的尺规作图方法下面介绍几种常见的尺规作图方法尺规作图方法
轨迹交点法⑴ 轨迹交点法：解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由 两个条件确定的，先放弃其中一个条件，那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹；若改 变放弃另一个条件，这个点就在另一条轨迹上，故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的 交点来解作图题的方法称为轨迹交点法，或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法. 【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A 、 B 的距离必须 】 相等，到两条高速公路 m 、 n 的距离也必须相等，发射塔 P 应修建在什么位置？
F A B O C1 n D m
【分析】这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点 P 应满足两个条件，一是在线段 AB 分析】 的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点 P 应是它们的交点. 解析】 【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线 OD 或 OE ； ⑵ 作线段 AB 的垂直平分线 FG ；则射线 OD ， OE 与直线 FG 的交点 C1 ， C2 就是发射塔的位置.
【例2】 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (4 ， 0) ， O 是坐标原点，在直线 y = x + 3 上求一点 P ，使 ?AOP 】 是等腰三角形，这样的 P 点有几个？
y=x+3 y P1 P3
【解析】首先要清楚点 P 需满足两个条件，一是点 P 在 y = x + 3 上；二是 ?AOP 必须是等腰三角形.其次，寻找 解析】
P 点要分情况讨论，也就是当 OA = OP 时，以 O 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线有两个点 P 、 P2 ； 1
当 OA = AP 时，以 A 点为圆心， OA 为半径画圆，与直线无交点；当 PO = PA 时，作 OA 的垂直平分线， 与直线有一交点 P3 ，所以总计这样的 P 点有 3 个.
【例3】 设 ⊙O 与 ⊙O ' 相离，半径分别为 R 与 R ' ，求作半径为 r 的圆，使其与 ⊙O 及 ⊙O ' 外切. 】
M1 D O O' R' C M2 r B
O O' R
【分析】设 ⊙M 是符合条件的圆，即其半径为 r ，并与 ⊙O 及 ⊙O ' 外切，显然，点 M 是由两个轨迹确定的，即 分析】 M 点既在以 O 为圆心以 R + r 为半径的圆上，又在以 O ' 为圆心以 R '+ r 为半径的圆上，因此所求圆的圆 心的位置可确定.若 ⊙O 与 ⊙O ' 相距为 b ，当 2r & b 时，该题无解，当 2r = b 有唯一解；当 2r & b 时， 有两解. 解析】 【解析】 以当 ⊙O 与 ⊙O ' 相距为 b ， 2r & b 时为例⑴ 作线段 OA = R + r ， O ' B = R '+ r . ⑵ 分别以 O ， O ' 为圆心，以 R + r ， R '+ r 为半径作圆，两圆交于 M 1 , M 2 两点. ⑶ 连接 OM 1 ， OM 2 ，分别交以 R 为半径的 ⊙O 于 D 、 C 两点. ⑷ 分别以 M 1 ，M 2 为圆心，以 r 为半径作圆. ∴ ⊙M 1 ,⊙M 2 即为所求. 【思考】若将例 3 改为：“设 ⊙O 与 ⊙O ' 相离，半径分别为 R 与 R ' ，求作半径为 r (r & R ) 的圆，使其与 ⊙O 内 切，与 ⊙O ' 外切.”又该怎么作图？
代数作图法⑵ 代数作图法：解作图题时，往往首先归纳为求出某一线段长，而这线段长的表达式能用代数方法求出，然
后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法. 【例4】 只用圆规，不许用直尺，四等分圆周（已知圆心）.
【分析】设半径为1.可算出其内接正方形边长为 2 ，也就是说用这个长度去等分圆周.我们的任务就是做出这 分析】
个长度.六等分圆周时会出现一个 3 的长度.设法构造斜边为 3 ，一直角边为1的直角三角形， 2 的 长度自然就出来了. 解析】 【解析】 具体做法⑴ 随便画一个圆.设半径为 1.
⑵ 先六等分圆周.这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 3 . ⑶ 以这个距离为半径，分别以两个相对的等分点为圆心，同向作弧，交于一点.（“两个相对的等分点” 其实就是直径的两端点啦！两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为 2，腰为 3 的等腰三
角形.可算出顶点距圆心距离就是 2 .） ⑷ 以 2 的长度等分圆周就可以啦！ 【例5】 求作一正方形，使其面积等于已知 ?ABC 的面积. 】 【分析】设 ?ABC 的底边长为 a ，高为 h ，关键是在于求出正方形的边长 x ，使得 x 2 = 分析】 比例中项. 解析】 【解析】 已知：在 ?ABC 中，底边长为 a ，这个底边上的高为 h ， 求作：正方形 DEFG ，使得S正方形DEFG = S?ABC
1 1 ah ，所以 x 是 a 与 h 的 2 2
1 ⑴ 作线段 MD = a ； 2
⑵ 在 MD 的延长线上取一点 N ，使得 DN = h ； ⑶ 取 MN 中点 O ，以 O 为圆心， OM 为半径作 ⊙O ； ⑷ 过 D 作 DE ⊥ MN ，交 ⊙O 于 E ， ⑸ 以 DE 为一边作正方形 DEFG . 正方形 DEFG 即为所求.
【例6】 在已知直线 l 上求作一点 M ，使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线，其切线长为 a .
【分析】先利用代数方法求出点 M 与圆心 O 的距离 d ，再以 O 为圆心， d 为半径作圆，此圆与直线 l 的交点即 分析】 为所求. 解析】 【解析】 ⑴ 作 Rt ?OAB ，使得∠A = 90° ， OA = r ， AB = a . ⑵ 以 O 为圆心， OB 为半径作圆. 若此圆与直线 l 相交，此时有两个交点 M 1 ， M 2 .
M 1 ， M 2 即为所求.
若此圆与直线 l 相切，此时只有一个交点 M . M 即为所求. 若此圆与直线 l 相离，此时无交点.即不存在这样的 M 点使得过 M 作已知半径为 r 的 ⊙O 的切线， 其切线长为 a .
⑶ 旋转法作图：有些作图题，需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度，以使已知图形与所求图 旋转法 作图：
形发生联系，从而发现作图途径. 【例7】 已知：直线 a 、 b 、 c ，且 a ∥ b ∥ c . 求作：正 ?ABC ，使得 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.
A a D' B D b
【分析】假设 ?ABC 是正三角形，且顶点 A 、 B 、 C 三点分别在直线 a 、 b 、 c 上.作 AD ⊥ b 于 D ，将 ?ABD 绕 分析】 A 点逆时针旋转 60° 后，置于 ?ACD ' 的位置，此时点 D ' 的位置可以确定.从而点 C 也可以确定.再作 ∠BAC = 60° ， B 点又可以确定，故符合条件的正三角形可以作出. 解析】 【解析】 作法⑴ 在直线 a 上取一点 A ，过 A 作 AD ⊥ b 于点 D ； ⑵ 以 AD 为一边作正三角形 ADD ' ； ⑶ 过 D ' 作 D ' C ⊥ AD ' ，交直线 c 于 C ； ⑷ 以 A 为圆心， AC 为半径作弧，交 b 于 B (使 B 与 D ' 在 AC 异侧). ⑸ 连接 AB 、 AC 、 BC 得 ?ABC . ?ABC 即为所求.
【例8】 已知：如图， P 为 ∠AOB 角平分线 OM 上一点. 求作?PCD ，使得 ∠P = 90° ， PC = PD ，且 C 在 OA 上， D 在 OB 上.
【解析】⑴ 过 P 作 PE ⊥ OB 于 E . 解析】 ⑵ 过 P 作直线 l ∥ OB ; ⑶ 在直线 l 上取一点 M ，使得 PM = PE (或 PM ' = PE )； ⑷ 过 M (或 M ' )作 MC ⊥ l （或 M ' C ⊥ l ） ，交 OA 于 C (或 C ' )点； ⑸ 连接 PC (或 PC ' )，过 P 作 PD ⊥ PC (或 PD ' ⊥ PC ' )交 OB 于 D （或 D ' ）点. 连接 PD, CD (或 PD ', C ' D ' ). 则 ?PCD (或 ?PC ' D ' )即为所求.
位似法作图⑷ 位似法作图：利用位似变换作图，要作出满足某些条件的图形，可以先放弃一两个条件，作出与其位似的
图形，然后利用位似变换，将这个与其位似得图形放大或缩小，以满足全部条件，从而作出 满足全部的条件. 【例9】 已知：一锐角 ?ABC . 求作:一正方形 DEFG ，使得 D 、 E 在 BC 边上， F 在 AC 边上， G 在 AB 边上.
G G' F'
D' D E'
【分析】先放弃一个顶点 F 在 AC 边上的条件，作出与正方形 DEFG 位似的正方形 D ' E ' F ' G ' ，然后利用位似变 分析】 换将正方形 D ' E ' F ' G ' 放大（或缩小）得到满足全部条件的正方形 DEFG . 解析】 【解析】 作法⑴ 在 AB 边上任取一点 G ' ，过 G ' 作 G ' D ' ⊥ BC 于 D ' ⑵ 以 G ' D ' 为一边作正方形 D ' E ' F ' G ' ，且使 E ' 在 BD ' 的延长线上. ⑶ 作直线 BF ' 交 AC 于 F . ⑷ 过 F 分别作 FG ∥ F ' G ' 交 AB 于 G ；作 FE ∥ F ' E ' 交 BC 于 E . ⑸ 过 G 作 GD ∥ G ' D ' 交 BC 于 D . 则四边形 DEFG 即为所求.
面积割补法作图⑸ 面积割补法作图：对于等积变形的作图题，通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形，再借助平 行线补上一个等底等高的另一个三角形，使面积不变，从而完成所作图形. 【例10】 如图，过 ?ABC 的底边 BC 上一定点， P ，求作一直线 l ，使其平分 ?ABC 的面积.
【分析】因为中线 AM 平分 ?ABC 的面积，所以首先作中线 AM ，假设 PQ 平分 ?ABC 的面积，在 ?AMC 中先 分析】 割去 ?AMP ，再补上 ?ANP .只要 NM ∥ AP ，则 ?AMP 和 ?AMP 就同底等高，此时它们的面积就相等 了.所以 PN 就平分了 ?ABC 的面积.
【解析】作法解析】 ⑴ 取 BC 中点 M ，连接 AM , AP ; ⑵ 过 M 作 MN ∥ AP 交 AB 于 N ； ⑶ 过 P 、 N 作直线 l . 直线 l 即为所求.
【例11】 如图：五边形 ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成. ⑴ 请你作一条直线 l ，使直线 l 平分五边形 ABCDE 的面积； ⑵ 这样的直线有多少条？请你用语言描述出这样的直线.
【解析】⑴ 取梯形 AFDE 的中位线 MN 的中点 O ，再取矩形 BCDF 对角线的交点 O ' ，则经过点 O ， O ' 的 解析】 直线 l 即为所求； ⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线 l 交 AE 于 Q ，交 BC 于 R ，过线段 RQ 中点 P ，且与线段 AE 、
BC 均有交点的直线均可平分五边形 ABCDE 的面积.
AC BC = ，那么称点 C 为线段 AB 的黄金分 AB AC
【例12】 ( 07 江苏连云港)如图 1 ，点 C 将线段 AB 分成两部分，如果
割点． 某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义S S 直线 l 将一个面积为 S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 S1 ， S2 ，如果 1 = 2 ，那么称直线 S S1
l 为该图形的黄金分割线． ⑴ 研究小组猜想：在 △ ABC 中，若点 D 为 AB 边上的黄金分割点(如图 2 )，则直线 CD 是 △ ABC 的黄 金分割线．你认为对吗？为什么？ ⑵ 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ ⑶ 研究小组在进一步探究中发现：过点 C 任作一条直线交 AB 于点 E ，再过点 D 作直线 DF ∥ CE ，交 AC 于点 F ，连接 EF (如图 3 )，则直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线．请你说明理由． ⑷ 如图 4 ， E 是 ABCD 的边 AB 的黄金分割点， 点 过点 E 作 EF ∥ AD ， DC 于点 F ， 交 显然直线 EF 是 ABCD 的黄金分割线．请你画一条 ABCD 的黄金分割线，使它不经过 ABCD 各边黄金分割 点． C C D F F C
【解析】⑴ 直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线．理由如下解析】 设 △ ABC 的边 AB 上的高为 h ．
1 1 1 AD h ， S△ BDC = BD h ， S△ ABC = AB h ， 2 2 2
S△ ADC AD S△ BDC BD = = ， ． S△ ABC AB S△ ADC AD
S△ ADC S△ BDC = ． S△ ABC S△ ADC
又∵点 D 为边 AB 的黄金分割点， ∴
AD BD = ．∴ AB AD
∴直线 CD 是 △ ABC 的黄金分割线． ⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， S S 1 此时 S1 = S2 = S ，即 1 ≠ 2 ， S S1 2 ∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线． ⑶ ∵ DF ∥ CE ， ∴ △DEC 和 △FCE 的公共边 CE 上的高也相等， ∴ S△ DEC
= S△ FCE ．
设直线 EF 与 CD 交于点 G ，∴ S△ DGE ∴ S△ ADC
= S△ FGC ．
= S四边形AFGD + S△ FGC
= S四边形AFGD + S△DGE = S△ AEF ，
S△ BDC = S四边形BEFC ．
S△ ADC S△ BDC S四边形BEFC S = ，∴ △ AEF = ． S△ ABC S△ ADC S△ ABC S△ AEF
（答案图 1）
（答案图 2）
∴直线 EF 也是 △ ABC 的黄金分割线． ⑷ 画法不惟一，现提供两种画法； 画法一：如答图 1 ，取 EF 中点 G ，再过点 G 作一直线分别交 AB ， DC 于 M ， N 点， 则直线 MN 就是 ABCD 的黄金分割线． 画法二：如答图 2 ，在 DF 上取一点 N ，连接 EN ，再过点 F 作 FM ∥ NE 交 AB 于点 M ， 连接 MN ，则直线 MN 就是 ABCD 的黄金分割线．
第一篇:尺规作图尺规作图
一、理解“尺规作图”的含义
1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其 中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作 图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过 程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图（1） 用尺规作一条线段等于已知线段； （2） 用尺规作一个角等于已知角. 利 用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.
二、熟练掌握尺规作图题的规范语言
1.用直尺作图的几何语言①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交× ×于点×； 2.用圆规作图的几何语言①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧） ； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .
三、了解尺规作图题的一般步骤
尺规作图题的步骤1.已知当作图是文字语言叙述时， 要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时， 一般要保留作图 痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找 作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了， 而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题 时，保留作图痕迹很重要.
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图, 通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 作法（1） 作射线 AP； （2） 在射线 AP 上截取 AB=a . 则线段 AB 就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=NO（即 O 是 MN 的中点）. 作法（１）分别以 M、N 为圆心，大于 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于 P，Q； （２）连接 PQ 交 MN 于 O． 则点 O 就是所求作的ＭＮ的中点。（试问：PQ 与ＭＮ有何关系？） 题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，∠AOB， 求作：射线 OP, 使∠AOP＝∠BOP（即 OP 平分∠AOB）。作法（1）以 O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA，OB 于 M，N； （2）分别以 M、Ｎ为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线 OP。则射线 OP 就是∠AOB 的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）
题目五：已知三边作三角形。已知：如图，线段 a，b，c. 求作：△ABC，使 AB = c，AC = b，BC = a. 作法（1） 作线段 AB = c； （2） 以 A 为圆心 b 为半径作弧， 以 B 为圆心 a 为半径作弧与
前弧相交于 C； （3） 连接 AC，BC。则△ABC 就是所求作的三角形。
题目六：已知两边及夹角作三角形。已知：如图，线段 m，n, ∠ ? . 求作：△ABC，使∠A=∠ ? ，AB=m，AC=n. 作法（1） 作∠A=∠ ? ； （2） 在 AB 上截取 AB=m ,AC=n； （3） 连接 BC。则△ABC 就是所求作的三角形。
题目七：已知两角及夹边作三角形。已知：如图，∠ ? ，∠ ? ，线段 m . 求作：△ABC，使∠A=∠ ? ，∠B=∠ ? ,AB=m. 作法（1） 作线段 AB=m； （2） 在 AB 的同旁 作∠A=∠ ? ，作∠B=∠ ? ， ∠A 与∠B 的另一边相交于 C。则△ABC 就是所求作的图形（三角形） 。
初中尺规作图典型例题归纳
典型例题一
例 已知线段 a、b，画一条线段，使其等于 a ? 2b ．
所要画的线段等于 a ? 2b ，实质上就是 a ? b ? b ．
画法：1．画线段 AB ? a ．2．在 AB 的延长线上截取 BC ? 2b ．线段 AC 就是所画的 线段． 说明 1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去． 2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本 作图．
典型例题二
例 如下图，已知线段 a 和 b，求作一条线段 AD 使它的长度等于 2a－b．
错解 如图（1） ， （1）作射线 AM； （2）在射线 AM 上截取 AB=BC=a，CD=b，则线段 AD 即为所求． 错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在 求线段差时，要交待截取的方向．
图（1） 图（2） 正解 如图（2） ， （1）作射线 AM； （2）在射线 AM 上，顺次截取 AB=BC=a； （3）在线段 CA 上截取 CD=b，则线段 AD 就是所求作的线段．
典型例题三
例 求作一个角等于已知角∠MON（如图 1） ．
图（1） 错解 如图（2） ，
（1）作射线 O1 M 1 ； （2）在图（1） ，以 O 为圆心作弧，交 OM 于点 A，交 ON 于点 B； （3）以 O1 为圆心作弧，交 O1 M 1 于 C； （4）以 C 为圆心作弧，交于点 D； （5）作射线 O1 D ． 则∠ CO1 D 即为所求的角． 错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某
点为圆心，以其长为半径作弧． 正解 如图（2） ， （1）作射线 O1 M 1 ； （2）在图（1）上，以 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OM 于点 A， 交 ON 于点 B； （3）以 O1 为圆心，OA 的长为半径作弧，交 O1 M 1 于点 C； （4）以 C 为圆心，以 AB 的长为半径作弧，交前弧于点 D； （5）过点 D 作射线 O1 D ． 则∠ CO1 D 就是所要求作的角．
典型例题四
例 如下图，已知∠α 及线段 a，求作等腰三角形，使它的底角为α ，底边为 a．
分析 先假设等腰三角形已经作好， 根据等腰三角形的性质， 知两底角∠B=∠C=∠α ， 底边 BC=a，故可以先作∠B=∠α ，或先作底边 BC=a． 作法 如下图
（1）∠MBN=∠α ； （2）在射线 BM 上截取 BC=a； （3）以 C 为顶点作∠PCB=∠α ，射线 CP 交 BN 于点 A．△ABC 就是所要求作的等腰三角形． 说明 画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再 根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．
典型例题五
例 如图（1） ，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，过点 C 作 CD∥AB（写出作法，画 出图形） ． 分析 根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角∠ECD=∠EFB 即可． 作法 如图（2） ．
图（1） 图（2） （1）过点 C 作直线 EF，交 AB 于点 F； （2）以点 F 为圆心，以任意长为半径作弧，交 FB 于点 P，交 EF 于点 Q； （3）以点 C 为圆心，以 FP 为半径作弧，交 CE 于 M 点； （4）以点 M 为圆心，以 PQ 为半径作弧，交前弧于点 D； （5）过点 D 作直线 CD，CD 就是所求的直线． 说明 作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．
典型例题六
例 如下图，△ABC 中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B= 36? ，∠C= 44? ，请你从中 选择适当的数据，画出与△ABC 全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法 但要在所画的三角形中标出用到的数据） ．
分析 本题实质上是利用原题中的 5 个数据，列出所有与△ABC 全等的各种情况，依 据是 SSS、SAS、AAS、ASA． 解 与△ABC 全等的三角形如下图所示．
典型例题七
例 正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点 A 出发， 将△ABC 分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保 留作图痕迹，不写作法） ．
（2003 年，桂林） 分析 这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC 分成面积相等的三个三角形， 且都是从 A 点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相 等，所以只要作出 BC 边的三等分点即可． 作法 如下图，
找三等分点的依据是平行线等分线段定理．
典型例题八
例 已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线 OC． 错解 如图（1） 作法 （1）以 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 D、E 两点； （2）分别以 D、E 为圆心，以大于
1 DE 的长为半径作弧，两弧相交于 C 点； 2
（3）连结 OC，则 OC 就是∠AOB 的平分线． 错解分析 对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结 OC，则 OC 是 一条线段，而角平分线应是一条射线．
正解 如图（2） （1）以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA、OB 于 D、E 两点； （2）分别以 D、E 为圆心，以大于
1 DE 的长为半径作弧，两弧交于 C 点； 2
（3）作射线 OC，则 OC 为∠AOB 的平分线．
典型例题九
例 如图（1）所示，已知线段 a、b、h（h＜b） ． 求作△ABC，使 BC=a，AB=b， BC 边上的高 AD=h．
图（1） 错解 如图（2） ， （1）作线段 BC=a； （2）作线段 BA=b，使 AD⊥BC 且 AD=h． 则△ABC 就是所求作的三角形． 错解分析 ①不能先作 BC；②第 2 步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据； ③未考虑到本题有两种情况． 对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图， 如本 题先作高 AD，再作 AB，最后确定 BC．
图（2） 图（3） 正解 如图（3） ． （1）作直线 PQ，在直线 PQ 上任取一点 D，作 DM⊥PQ； （2）在 DM 上截取线段 DA=h； （3）以 A 为圆心，以 b 为半径画弧交射线 DP 于 B； （4）以 B 为圆心，以 a 为半径画弧，分别交射线 BP 和射线 BQ 于 C 1 和 C 2 ； （5）连结 AC 1 、 AC 2 ，则△ ABC1 （或△ ABC2 ）都是所求作的三角形．
典型例题十
例 如下图，已知线段 a，b，求作 Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b（用直尺 和圆规作图，保留作图痕迹） ． 分析 本题解答的关键在于作出∠ACB=90°， 然后确定 A、 两点的位置， B 作出△ABC．
（1）作直线 MN（2）在 MN 上任取一点 C，过点 C 作 CE⊥MN； （3）在 CE 上截取 CA=b，在 CM 上截取 CB=a； （4）连结 AB，△ABC 就是所求作的直角三角形． 说明 利用基本作图画出所求作的几何图形的关键是要先分析清楚作图的顺序． 若把握 不好作图顺序，要先画出假设图形．
典型例题十一
例 如下图，已知钝角△ABC，∠B 是钝角．
求作（1）BC 边上的高； （2）BC 边上的中线（写出作法，画出图形） ． 分析 （1）作 BC 边上的高，就是过已知点 A 作 BC 边所在直线的垂线； （2）作 BC 边上的中线，要先确定出 BC 边的中点，即作出 BC 边的垂直平分线． 作法 如下图
（1）①在直线 CB 外取一点 P，使 A、P 在直线 CB 的两旁； ②以点 A 为圆心，AP 为半径画弧，交直线 CB 于 G、H 两点； ③分别以 G、H 为圆心，以大于
1 GH 的长为半径画弧，两弧交于 E 点； 2 1 BC 的长为半径画弧，两弧分别交于 M、N 两点； 2
④作射线 AE，交直线 CB 于 D 点，则线段 AD 就是所要求作的△ABC 中 BC 边上的高． （2）①分别以 B、C 为圆心，以大于
②作直线 MN，交 BC 于点 F； ③连结 AF，则线段 AF 就是所要求作的△ABC 中边 BC 上的中线． 说明 在已知三角形中求作一边上的高线、中线、角平分线时，首先要把握好高线、中 线、角平分钱是三条线段；其次，高线、中线的一个端点必须是三角形中这边所对的顶点， 而关键是找出另一个端点．
典型例题十二
如图（1）所示，在图中作出点 C，使得 C 是∠MON 平分线上的点，且 AC=OC．
图（1） 图（2） 分析 由题意知，点 C 不仅要在∠MON 的平分线上，且点 C 到 O、A 两点的距离要相 等，所以点 C 应是∠MON 的平分线与线段 OA 的垂直平分线的交点． 作法 如图（2）所示 （1）作∠MON 的平分线 OP； （2）作线段 OA 的垂直平分线 EF，交 OP 于点 C，则点 C 就是所要求作的点． 说明（1）根据题意弄清要求作的点的特征是到各直线距离相等，还是到各端点距离相等． （2）两条直线交于一点．
典型例题十三
例 如下图，已知线段 a、b、∠α 、∠β ． 求作梯形 ABCD，使 AD=a，BC=b，AD∥BC，∠B=∠α ；∠C=∠β ．
分析 假定梯形已经作出，作 AE∥DC 交 BC 于 E，则 AE 将梯形分割为两部分，一部 分是△ABE，另一部分是 AECD．在△ABE 中，已知∠B=∠α ，∠AEB=∠β ，BE=b-a， 所以，可以首先把它作出来，而后作出 AECD． 作法 如下图．
（1）作线段 BC=b； （2）在 BC 上截取 BE=b-a ； （3）分别以 B、E 为顶点，在 BE 同侧作∠EBA=∠α ，∠AEB=∠β ，BA、EA 交于 A； （4）以 EA、EC 为邻边作 AECD． 四边形 ABCD 就是所求作的梯形． 说明 基本作图是作出较简单图形的基础，三角形是最简单的多边形，它是许多复杂 图形的基础．因此，要作一个复杂的图形，常常先作一个比较容易作出的三角形，然后以此 为基础，再作出所求作的图形．
典型例题十四
例 如下图，在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部在 A 区内，到铁路与公 路的距离相等，且离铁路与公路交叉处 B 点 700 米，如果你是红方的指挥员，请你在图示 的作战图上标出蓝方指挥部的位置．
（2002 年，青岛） 分析 依据角平分线的性质可以知道，蓝方指挥部必在 A 区内两条路所夹角的平分线 上，然后由蓝方指挥部距 B 点的距离，依据比例尺，计算出图上的距离为 3.5cm，就可以确 定出蓝方指挥部的位置． 解 如下图，图中 C 点就是蓝方指挥部的位置．
典型例题十五
例 如图（1） ，已知有公共端点的线段 AB、BC．求作⊙O，使它经过点 A、B、C（要 求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ． （2002 年，大连）
图（1） 图（2） 分析 因为 A、B、C 三点在⊙O 上，所以 OA=OB=OC=R．根据到线段 AB、BC 各端点 距离相等的点在线段的垂直平分线上，故分别作线段 AB、BC 垂直平分线即可． 解 如图（2） 说明 角平分线的性质、线段垂直平分线的性质在作图题中的应用是近几年中考中的 又一道风景，它往往与实际问题紧密联系在一起．
典型例题十六
例 如图，是一块直角三角形余料， ?C ? 90? ．工人师傅要把它加工成一个正方形零 件，使 C 为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在 AB、BC、AC 边上．试协助工人师傅
用尺规画出裁割线．
分析 要作出符合条件的正方形，可先作出有三个角为 90°的四边形，并设法让相邻 的一组边相等即可． 作法 如图．
① 作 ?ACB 的角平分线 CD，交 AB 于点 G； ②过 G 点分别作 AC、BC 的垂线，垂足为 E、F．则四边形 ECFG 就是所要求作的正方形．
1、已知线段 AB 和 CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于 AB＋2CD.
2、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A-∠B.
3、如图作△ABC，使得 BC= a 、AC= b 、AB= c
4、如图，画一个等腰△ABC，使得底边 BC= a ，它的高 AD= h
5、如图，已知∠AOB 及 M、N 两点，求作：点 P，使点 P 到∠AOB 的两边距离相等，且到 M、 N 的两点也距离相等。
6.己知三角形的两条边及其夹角，求作三角形 已知一个三角形的两条边分别为 a，b，这两条边夹角为∠a，求作这个三角形
7.已知三角形的两角及其夹边，求作三角形
巳知一个三角形的两角分别为∠a ∠β 夹边为 a 求作这个三角形。
8、己知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形 已知三角形的两角分别为∠a ∠β ，∠a 的对边为∠a,求作这个三角形
9.己知一直角边和斜边求作三角形 己知一个直角三角形的一条直角边为 a，斜边长为 c，求作这个三角形。
10．尺规作图：请你作出一个以线段 a 和线段 b 为对角线的菱形 ABCD. (要求：写出已知，求作，结论，并用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证 明) 已知：
结论垂直平分线的训练 1.某旅游景区内有一块三角形绿地 ABC，如图所示，现要在道路 AB 上建一个休息点 M， 使他到 A，C 两个点的距离相等. 在图中确定休息点 M 的位置；
角平分线作图训练 2.如图，AB.AC 表示两条相交的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该 物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处 A 点的距离为 1000 米． （1）若要以 1：50000 的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处 A 点的图上距离； （2）在图中画出物流中心的位置 P． 1cm 解（1） （2） B
结论3.为美化环境，在一块三角形草坪上建一个喷水池，使得它到草坪的三边 AB、BC、AC 的 距离相等．若三角形草坪如图所示，请你在图中确定这个喷水池（用点 P 表示）的位置；
A C 作圆训练 4． 青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施， 使它到三所运动员公寓 A.B.C 的距离相等．
（1）若三所运动员公寓 A.B.C 的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点 P 表示）的位置； A （2）若∠BAC＝66? ，则∠BPC＝ ? .
5．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形（△ABC）空地上修建一个面积最大的圆形 花坛，请在图中画出这个圆形花坛． 解A
6.为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形（△ABC）空地上作一个半圆形花坛并使之 满足以下要求：①圆心在边 BC 上，②该半圆面积最大.请你帮忙设计这一花坛.
等腰三角形、菱形作图训练 7.如图，画一个等腰△ABC，使得底边 BC= a ，它的高 AD= h
8.如图，线段 a 和线段 b 分别是菱形 ABCD 的一条边和一条对角线， （1）请用尺规作出这个菱形． （2）若 a=3，b=3 3 ，试求该菱形的面积.
1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的 半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个 圆形截面的半径．
2.如图花坛△ABC 为一等边三角形，现要将其扩建为一圆形花坛覆盖在△ABC 上，且使 A、 B、C 依然在花坛的边缘上（1）请你帮忙画出设计方案. （2）若等边三角形的边长为 6 米，则花坛的面积增加了多少？
3．如图，有一块三角形材料（△ABC） ，请你画出一个圆，使其与△ABC 的各边都相切. 解A
结论4.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把植物园 A.动物园 B 和人工湖 C 包括在内，又要 使这个圆形的面积最小，请你作出这个圆，圆心用 P 表示.（A、B、C 不在同一直线上）
第一篇:尺规作图一、几种正多边形的作法
尺规作图以它特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。连拿破仑这样一位威震欧 洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。有一次，他还编了一 道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。拿破仑出的题目是：&只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周 4 等分。& 由于圆心 O 是已知的，求出这个题目的答案并不难。
正四边形的作法：1、在圆周上任意选一点Ａ，以 A 点为圆心，OA 长为半径作弧，交
圆 O 于点 B； 2、以点 B 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆 O 于点 C； 3、以点 C 为圆心，OA 长为半径作弧，交圆 O 于点 D； 4、分别以 A 点和 D 点为圆心，AC 长为半径作弧，两弧交于点 M； 5、用圆规量出 OM 的长度，以点 A 为起点，逐一在圆周上划分，便可将圆周 4 证明：设 AO=a ∵AO=BO=AB ∴∠BOA=60° 同理，∠BOC=∠COD=60° ∴点 A、D、O 在同一直线上，AD 为圆的直径
由勾股定理，AC?=AD?-CD?=3a?
∵AM=DM，AO=DO ∴MO⊥AD，由勾股定理，MO?=AM?-AO?=AD?-AO?=2a? ∴2AE?=AD? ∴四边形 AEDF 是正四边形 如果再增添一把直尺，将这些 4 等分点连接起来，就可以得到一个正 4 边形。由此不难 看出，等分圆周与作正多边形实际上是一回事。
如果再加上一把直尺来作正四边形，那就更加容易了。四边形作出来了, 那么怎样用尺规作出一个正五边形和正六边形呢？ 以下是一种正五边形的作法1、 作一个圆，设它的圆心为 O； 2、作圆的两条互相垂直的直径 AZ 和 XY； 3、作 OY 的中点 M； 4、以点 M 为圆心，MA 为半径作圆，交 OX 于点 N； 5、以点 A 为圆心，AN 为半径，在圆上连续截取等弧，使弦 AB=BC=CD=DE=AN，则五边 形 ABCDE 即为正五边形。
证 明 设 圆 的 半 径 为 R， 由 上 述 正 五 边 形 的 作 法 可 知 AN2=AO 2+ON 2=AO 2+（ AM-OM ）2 1 所 以 AN= 10-2 5 R 2 由 于 半 径 为 R的 正 五 边 形 的 边 长 a=AN,所 以 五 边 形 ABCDE即 为 正 五 边 形
以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角 形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的 一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。
正六边形的作法：
1、作直径 AD；
C D B O E A
2、分别为 A、D 为圆心，以⊙O 半径 OA 为半径画弧交⊙O 于 B、 F、 C、E； 3、依次连结 AB、BC、 CD、DE、EF、 FA． 则六边形 ABCDEF 即为所求作 的正六边形．
证明：连结 OB、OC、OE、OF． ∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°， 同理 ∠DOE=∠COD=∠AOF=60°． ∵∠AOD=180°， ∴∠BOC=∠EOF=60°． ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA ∴六边形 ABCDEF 是正六边形． 上面这种尺规作图的方法运用了所作图形与载体圆的特殊关系和性质，这也是尺规作 图中的一种常见作法——性质法，即先分析所求作图形与已知图形的性质关系，然后根椐 这些相关性质和关系作出图形。四、五、六边形都作出来了，不过，要用尺规作出正７边形可就不那么容易了。别看由 6 到 7，仅仅只增加了一条边，却一跃成为古代几何的四大名题之一。尺规作图题就是这样 变化莫测。这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策。后来，大数学家阿基 米德发现了前人之所以全都失败了的原因正 7 边形是不能由尺规作出的。阿基米德从理论 上严格证明了这一结论。那么，采用尺规作图法，究竟有哪些正多边形作得出来，有哪些作不出来呢？ 有人猜测：如果正多边形的边数是大于 5 的质数，这种正多边形就一定作不出来。7 是 一个比 5 大的质数，按上面这种说法，正 17 边形是一定作不出来的。在过去的 2000 年里， 确实有许多数学家试图作出正 17 边形，但无一不遭受失败。岂料在 1796 年，18 岁的大学 生高斯居然用尺规作出了一个正 17 边形，顿时震动了整个欧洲数学界。这件事也深深震动了高斯， 使他充分意识到自己的数学能力， 从此决心献身于数学研究， 后来终于成为一代数学大师。高斯还发明了一个判别法则， 指出什么样的正多边形能由尺规作出， 什么样的正多边形 则不能，圆满地解决了正多边形的可能性问题。高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接 正多边形，当边数满足如下特征之一方可做出1) 正偶数； 2) 正奇数且边数为费马质数或不同的费马质数乘积（费马质数是质数且型如 是非负正整数） 高斯的判别法则表明，能够由尺规作出的正多边形是很少的，例如，在边数是 100 以内 的正多边形中，能够由尺规作出的只有 24 种。有趣的是，正 7 边形的边数虽少，却不能由尺现作出；而正 257 边形，边数多得叫人实 际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。1832 年，数学家黎克洛根据高斯指出的 原则，解决了正 257 边形的作图问题。他的作图步骤极其繁琐，写满了 80 页纸，创造了一 项&世界纪录&。, k
不久，德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。他费了 10 年功夫，解决了正 65537 边形的 作图问题。这是世界上最繁琐的尺规作图题。据说， 赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢！
二、两圆的公切线的作法
了解以圆为载体作出正多边形的作法并不是我们最终的目的， 掌握其中的数学思想和分 析解题方法才是最重要的。下面就以作两圆的公切线为例， 逐步阐明有关这类问题的一般分 析解决方法。两圆的外公切线有多种情况，有两圆相切、相离和相交三种情况，在不同的情况下，这 些切线具有一些不同的性质。我们先从最特殊的两圆相切的外公切线入手。
相切两圆的公切线
（1）内公切线 由于两圆相切，切点即为两圆心连线与 圆相交的点，所以只需过切点作直线垂直于 两圆心的连线即为两圆的内公切线。
（2）外公切线 作法：1、过点 A 作两圆的内公切线 MN，连 结 BC；
2、以 BC 为直径作圆，交 MN 于点 F； 3、以点 F 为圆心，AF 长为半径作圆，分别 交圆 B 和圆 C 于点 D、点 E； 4、过点 D 和点 E 作直线 DE，直线 DE 即为两 圆的外公切线。证明：连结 DF、FE ∵BC 是⊙C 的直径，点 F 在⊙C 上 ∴∠CFB 是直角 ∵DF=AF，DB=AB，BF=BF ∴⊿FDB≌⊿FAB ∴∠FDA=∠FAB=90°，∠DFB=∠AFB，同理∠CEF=90°，∠AFC=∠CFE 又∵∠BFC=90°
∴∠DFA+∠AFE=180° ∴点 E、F、D 在同一直线上 ∴直线 ED 为两圆的公切线 分析过程：1、先粗略作出两圆的内外公切线，观察它们之间的联系与性质； 2、 由草图可知由于 AF=FD=FE （点 E、 D 分别为两圆切点， F 为内外公切线的交点， A 为相切两 圆的切点），所以只要作出 F 点，又因为 AF 是可求的，就可以作出外公切线； 3、因为∠DFB=∠AFB，∠AFC=∠EFC，所以∠BFC=90°，所以只需以 BC 为圆心作 圆，就可作出 90°的角，而点 F 又在圆的内公切线上，故所作新圆与内公切线的交点即为 F 点。由上面的分析过程可总结出尺规作图的一种一般思路，即对于先粗略地作出所求作图 形，然后找出可作出所求图形的关键点（线），把作图转化为求作关键点（线），接着研 究分析关键点（线）的性质，试图从这些性质中找出作出这一点（线）的方法。上面的作图方法中还体现了一种尺规作图中常见的思路，即直角法。我们知道在圆中 直径所对的角为直角，这样我们就可以在只知道直角三角线斜边的情况下作出直角，如果 再知道这个直角的项点在圆周上的位置，那么就可作出这个直角了。特殊的两圆的公切线作出来了，那么一般的两圆的公切线该如何作呢？ 思路一1、粗略地作出已知两圆的外公切线，观察它们的一般性质； 2、由于两圆的外公切线与两圆心连线交于一点，连结各圆心与切点就能构出两个有一个角 是直角的相似三角形； 3、分析这两个相似三角形的边的比例关系，根据课本中一种用尺规作成比例线段的作法， 试图用已知边来作出未知边。
作法：1、任意作直线 l 和直线 p 交于点 C； 2、在 l 上截取 CF 等于圆 A 的半径，CD 等于圆 A 与圆 B 的半径之差； 3、在 p 上截取 CE=AB，连结 DE； 4、过点 F 作 FG∥DE 交直线 p 于点 G； 5、在直线 AB 上截取 AO=CG，并且点 O 和点 A 分别在点 B 的两侧； 6、以 BO 为圆心作圆交圆 B 于点 N，则直线 ON 即为两圆的外公切线。证明：过点 A 作 AM⊥ON 于点 M 设圆 A 的半径为 a，圆 B 的半径为 b， ∵DE∥FG ∴⊿CDE∽⊿CFG ∴CE∶CG=CD∶CG，即 AB∶AO=（a-b）∶a ∴BO∶AO=b∶a ∵∠BNO=∠AMO=90° ∴⊿AMO∽⊿BNO ∴BO∶AO=BN∶AM，即 BO∶AO=b∶AM ∴AM=b，即 AM 为圆 A 的半径， ∴直线 NO 为两圆的外公切线
上面的作图方法主要是运用了等线段法，思考过程是按照前面所介绍的一般思路来思 考，在粗略地作出草图后，找到了关键点 O，然后根据点 O 所具有的特殊性质作出点 O，再 用直角法作出切线。上面的作图过程还体现了尺规作图中一种其本图形画法的应用——比例线段作法。用 此法可以解决求作已知成比例线段的问题。上面的作图方法虽然烦琐，但也是一种重要的作图方法。下法就介绍一种更简便的方法。思路二1、粗略作出草图，分析其间关系； 2、在平时做求公切线长度的题中，常用的作辅助线的作法就是，过小圆圆心作直线，垂直 于大圆圆心与切点连结而成的线段，然后用勾股定理来求公切线的长度； 3、按此作辅助线的作法作出辅助线，分析发现其中关系，作出图形。作法：1、以 AB 为直径作圆，交以点 A 为圆心，⊙A 和⊙B 的半径之差长为半径作的圆于点 E； 2、连结 AE 并延长 AE 交⊙A 于点 F； 3、过点 F 作 AF 的垂线 l，则直线 l 即为两圆的外公切线。证明：过点 B 作 BG⊥l，并且交 l 于点 G，设圆 A 的半径为 a，圆 B 的半径为 b ∵∠FEB=∠EFG=∠FGB=90° ∴四连形 EFGB 是矩形 ∴BG=EF=AF-AE=a-（a-b）=b ∴直线 l 是两圆的外公切线 上面的作图方法是性质法，作图过程也遵守了上面所介绍的一般思维方法，找出关键 点 E，然后作出图形。这种方法与平时的一般作辅助线的方法联系紧密，这也从某种角度说 明了尺规作图与作辅助线间的关系，我们可以从平时的作题过程中积累作辅助线的方法， 这会对研究尺规作图有很大的帮助。上面作的都是两圆的外公切线， 其实内公切线用上面的两种的作图、 分析方法也一样可 以作出来，这里就不多加介绍了。
尺规作图在人类社会的发展史上发挥着重要的作用。尺规作图的研究，促成数学上多个 领域的发展。好些数学结果就是为解决尺规作图三大难题而得出的副产品，对尺规作图的探 索推动了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等。二十世纪六十年代前的工程图 学的理论基础是尺规作图，因为二十世纪六十年代以前的工程图样生产方式是手工尺规作 图，手工尺规作图决定了整个传统工程图学学科结构模式。通过对尺规作图的研究，能丰富我们的知识，加强我们的动手能力，拓展我们的思维方 式，对今后数学甚至其它学科的学习都有很大的帮助。让我们投入尺规作图的行列中，使这 个古老的经典问题焕发新的生机吧！
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