2.1认识一元二次方程-（1）

1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力

3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

学习重点：一元二次方程的概念

学习难点：如何把实际问题转化为数学方程

什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？？

自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：

1）情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。

你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？

阅读课本P48，回答问题：

1）什么是一元二次方程？

2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？

1.一元二次方程应用举例：

1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。

2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

如果设中间的一个数为x，列方程并化成一般形式。

3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。

如果设梯子底端滑动x m，列方程并化成一般形式。

1）一元二次方程的概念：

强调三个特征：①它是______方程；②它只含______未知数；③方程中未知数的最高次数是__________.

一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_______是必不可少的项．

2）几种不同的表示形式：

1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。

2、.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?

当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是关于x的一元一次方程

3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ）

4.化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）.

6.当m=_________时，方程是关于x的一元二次方程。

一元二次方程的一般形式：

其中ax2 ， bx， c分别为二次项，一次项及常数项

基础题：课本32页随堂练习1、2，知识技能2

提高题：课本32页知识技能1

2.1一元二次方程（1）

一元二次方程的一般形式：

其中ax2 ， bx， c分别为二次项，一次项及常数项

2.1一元二次方程（2）

1、探索一元二次方程的解或近似解；

2．提高估算意识和能力；

3. 通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意识和能力。

学习重点：探索一元二次方程的解或近似解

学习难点：估算意识和能力的培养．

1．什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？

2．指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）x可能小于0吗？说说你的理由；

（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？

（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流

通过估算求近似解的方法：

先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。

例题1：P31梯子问题

梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x＋6)2＋72＝102

（1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？

（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？

（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？

十分位是几？照此思路可以估算出x的百分位和千分位。

1、见课本P34页随堂练习

4．用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：

5、用直接开平方法解下列一元二次方程：

本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想——“夹逼”思想．估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高

基础题：35页知识技能1

提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3

2.2用配方法求解一元二次方程（1）

1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n (n≥0)的方程；

2．理解一元二次方程的解法——配方法．

3．把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式，体会转化的数学思想。

学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n≥0)的形式

1．用直接开平方法解下列方程：

2．什么是完全平方公式？

利用公式计算：（1）(x＋6)2 （2）

预习课本36-37页,解方程：x2＋12x－15＝0（配方法）

配方法：通过配成_____________的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

配方：填上适当的数，使下列等式成立：

解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9

两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得

两边开平方，得 X+4=±5

1.一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）

2．用配方法解下列方程：

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

2.2用配方法求解一元二次方程（2）

1．会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

2．进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤．

学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．

学习难点：理解配方法的解题思路

例2：解方程：3x2＋8x―3＝0

解：两边都除以____，得：

配方，得：（方程两边都加上________________的平方）

归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：

1. 把二次项系数化为1

2. 移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；

3. 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；

3.用直接开平方法求出方程的根.

解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9

两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得

两边开平方，得 X+4=±5

1. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）．

2．用配方法解下列方程：

一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2。小球何时能达到10m高？

怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？

2.3用公式法求解一元二次方程（1）

1. 知道一元二次方程的求根公式的推导；

2．会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.

3. 认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.

学会用公式法解一元二次方程．

用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.

1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？

2、把下列方程化成（x+m）2=n的形式：

3、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？

认真阅读P41～42页例题之前内容：

（1）、一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝

注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac＜0时，它的根的情况是怎样的？

归纳：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，

① 当b2－4ac____0时，方程有两个不相等的实数根；

② 当b2－4ac_____0时，方程有两个相等的实数根；

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2－4ac来判定.我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。

解：(2)将原方程化为一般形式，得：

1.不解方程,判断下列方程的根的情况：

2．用公式法解下列方程：

用公式法解一元二次方程的步骤：

3. 求出b2－4ac的数值，并判别其是否是非负数；

4. 若b2－4ac≥0，用求根公式求出方程的根；若b2－4ac<0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。

2.3用公式法求解一元二次方程（2）

1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.

2．进一步熟练求解一元二次方程.

3．会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题

会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想.

会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题.

1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？

小明：我的设计方案如右图所示，其中

花园四周小路的宽度相等。

（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样

（2）求出一元二次方程的解？

（3）这两个解都合要求吗？为什么？

2．小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上

的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？

（1）设花园四角的扇形半径均为xm，可列

（2）估算一元二次方程的解是什么？（∏取3）

（3）符合条件的解是多少？

3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

1、课本44页随堂练习1 ，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？

2、课本p45第2题。

1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。

2、一元二次方程的解一般有________个，要根据_________舍去不合题意的解。

2.4用因式分解法求解一元二次方程

会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程．

正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.

1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？

2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？

认真阅读P46～47页内容：

⑴、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

⑵、因式分解法的理论根据是：

⑶、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？

（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的？

（2）对于一元二次方程（x+1）2-25＝0可以怎样求解？

例. 用因式分解法解下列方程：

解：(2)：原方程可变形为

（3）：原方程可变形为

1. 用因式分解法解下列方程：

2．用因式分解法解下列方程：

3. 一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。

1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。

2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。

3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：

（1）通过移项，将方程右边化为零：

（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；

（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，

（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解

2.5一元二次方程的根与系数的关系

1.知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.

2.理解一元二次方程根与系数的关系.

3.能用两根确定一元二次方程的系数.

4.能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。

一元二次方程根与系数关系．

一元二次方程根与系数关系的应用.

通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就来一起学习：2.5 一元二次方程的根与系数的关系

2、根据解方程求出的两个解，计算两个解的和与积，完成下表：

3、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论。

4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。

例1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

∴ 方程有两个实数根.

设方程的两个实数根为X1和 X2 ，那么

1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。

他们的答案正确吗？说说你的判断方法。

3. 已知方程x2-x-7 = 0的一个根是3，求它的另一个根。

2、应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式 ；② 二次项系数 ，一次项系数，常数项. 即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系。

2.6应用一元二次方程（1）

----应用一元二次方程解决几何问题-

1、能用含未知数的代数式表示几何图形中的有关的数量关系。

2．能找出几何图形中的等量关系，并建立方程。

3.能求出符合要求的解。

学习重点：应用一元二次方程解决几何问题。

学习难点：根据几何问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

1、列方程解应用题的关键是什么？

2、列方程解应用题的步骤？

1、如图所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求小路的宽度.思考：

（1）设小路的宽度为______

（1）当梯子顶端下滑时，梯子低端滑动的距离大于，那么梯子顶端下滑几米时，梯子低端滑动的距离和它相等呢？

（2）如果梯子的长度是，梯子的顶端与地面的垂直距离为，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的低端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？

P52如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）

1、已知甲乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲乙各走多远？

2、某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标。如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90海里。如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由。

习题2.9问题解决第2题。

2.6应用一元二次方程（2）

----应用一元二次方程解决代数问题-

1、掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤。；

2．掌握利润问题，增长率问题等常见应用题解法。

3. 能求出符合要求的解。

学习重点：应用一元二次方程解决代数问题。

学习难点：根据代数问题中的数量关系抽象出符合要求的一元二次方程．

已知某种商品的销售标价为204元，即使促销降价20%仍有20%的利润，则求该商品的成本价。

1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元

思考：你是如何设未知数并列出方程？

某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40-60元范围内，这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

通过小组讨论解答完成以上问题.

例题1：新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的降价应为多少元？

1、某服装商场将进货价为30元的内衣以50元售出，平均每月能售出300件。经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销售量就将减少10件。为了实现每月8700元的销售利润，并减少库存，尽快回笼资金，这种内衣的售价应定为多少元？这是应进内衣多少件？

2、某礼品店购进一批足球明星卡，平均每天可售出600张，每张盈利0.5元。为了尽快减少库存，老板决定采取适当的降价措施。调查发现，如果每张明星卡降价0.2元，那么平均每天可多售出300张。老板想平均每天盈利300元，每张明星卡应降价多少元？

习题2.10问题解决第1、2题。

来源丨班班通教学系统 欢迎收藏及转发至朋友圈

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