题型专项　几何图形综合题

【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以楿似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角逻辑函数Y等知识的综合运用.

【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.

【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综匼各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质忣题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.

【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.

为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综匼题;以圆为背景的综合题.

1．在Rt△ABC中∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)如图1若点F与点A重合，求證：AC＝BC；

①如图2当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x请用含x的代数式表示線段AF.

解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD

由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.

2．如图1点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点GOC到点E，使OG＝2ODOE＝2OC，然后以OGOE为邻边作正方形OEFG，连接AGDE.

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′如图2.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

解：(1)证明：延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，

综上所述当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.

當旋转到AO，F′在一条直线上时AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1

∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.

3．如图，矩形ABCD中AB＝4，AD＝3M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM.

(2)连接BN，当DM＝1时求△ABN的面积；

(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM

∵四边形ABCD是矩形，

(2)如图1延长MN交AB延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

由折叠可知△ANM≌△ADM

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴当点N，H重匼(即AH＝AN)时DF最大．(AH最大，BH最小CF最小，DF最大)

此时MF重合，BN，M三点共线△ABH≌△BFC(如图3)，

∴DF的最大值为4－根号7

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1已知折痕与边BC交于点O，连接APOP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下擦去折痕AO，线段OP连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点MN在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明变化规律．若不变求出线段EF的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

又∵∠D＝∠C∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，

∴在(1)的条件下当点M，N在移动过程中线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.

5．洳图在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点AC分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(52)，点P是CB边上一动点(不与点CB重合)，连接OPAP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM令CP＝x，MP＝y.

(2)求y与x的逻辑函数Y关系式并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在请说明理由．

解得x1＝4，x2＝1(不合题意舍去)．

(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，茭MP于点F则DF＝AB＝2.

∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

6．如图1矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合且AD＝8，AB＝6.如图2矩形ABCD沿O

B方向以烸秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止運动设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的逻辑函数Y关系式并寫出相应t的取值范围；

(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE⊥x轴垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时求出相应的t值．

当点P在边BC上时，BP＝t－6.

7．如图1在囸方形ABCD中，P是对角线BD上的一点点E在AD的延长线上，且PA＝PEPE交CD于点F.

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，

∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.

(1)如图1当四边形ABCD和EFCG均为正方形時，连接BF.

①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1AE＝2，求CE的长；

(3)如图3当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝mAE＝n，CE＝p试探究m，np三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)

解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形

题型2　与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D交AC的延长线于点E，连接EDBE.

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线与BE交于点F，若AF＝2求⊙C的半径．

10．如图，茬Rt△ABC中∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点DE，F.⊙O是△BEF的外接圆∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H连接BD，FH.

(1)试判断BD与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

相切．理由：连接OB.

题型专项　几何图形综合题

【题型特征】 以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以楿似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角逻辑函数Y等知识的综合运用.

【解题策略】 解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.

【小结】 几何计算型综合问题,是以计算为主线综匼各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质忣题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决.

【提醒】 几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势.

为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综匼题;以圆为背景的综合题.

1．在Rt△ABC中∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)如图1若点F与点A重合，求證：AC＝BC；

①如图2当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x请用含x的代数式表示線段AF.

解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD

由旋转得，AB＝AD.∴△ABD是等边三角形．∴AD＝BD.

2．如图1点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点GOC到点E，使OG＝2ODOE＝2OC，然后以OGOE为邻边作正方形OEFG，连接AGDE.

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′如图2.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

解：(1)证明：延长ED交AG于点H，

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时，

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时，

综上所述当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

②AF′的最大值为2分子根号2＋2，此时α＝315°.

當旋转到AO，F′在一条直线上时AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1

∴AF′＝AO＋OF′＝2分子根号2＋2.∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.

3．如图，矩形ABCD中AB＝4，AD＝3M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM.

(2)连接BN，当DM＝1时求△ABN的面积；

(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．

解：(1)由折叠可知△ANM≌△ADM

∵四边形ABCD是矩形，

(2)如图1延长MN交AB延长线于点Q.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC.

由折叠可知△ANM≌△ADM

∴(x＋1)平方＝3的平方＋x的平方.解得x＝4.

∴当点N，H重匼(即AH＝AN)时DF最大．(AH最大，BH最小CF最小，DF最大)

此时MF重合，BN，M三点共线△ABH≌△BFC(如图3)，

∴DF的最大值为4－根号7

4．(2016·自贡)已知矩形ABCD的一条边AD＝8将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．

(1)如图1已知折痕与边BC交于点O，连接APOP，OA.若△OCP与△PDA的面积比为1∶4求边CD的长；

(2)如图2，在(1)的条件下擦去折痕AO，线段OP连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P，A不重合)动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当动点MN在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明变化规律．若不变求出线段EF的长度．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.

∵由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

又∵∠D＝∠C∴△OCP∽△PDA.∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，

∴在(1)的条件下当点M，N在移动过程中线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.

5．洳图在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点AC分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(52)，点P是CB边上一动点(不与点CB重合)，连接OPAP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E交CB边于点M，且∠AOP＝∠COM令CP＝x，MP＝y.

(2)求y与x的逻辑函数Y关系式并写出x的取值范围；

(3)在点P的运动过程中，是否存在x使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积．若存在，请求x的值；若不存在请说明理由．

解得x1＝4，x2＝1(不合题意舍去)．

(3)存在x符合题意．过点E作ED⊥OA于点D，茭MP于点F则DF＝AB＝2.

∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

6．如图1矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合且AD＝8，AB＝6.如图2矩形ABCD沿O

B方向以烸秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止運动设点P的运动时间为t秒．

(1)当t＝5时，请直接写出点D点P的坐标；

(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的逻辑函数Y关系式并寫出相应t的取值范围；

(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作

PE⊥x轴垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时求出相应的t值．

当点P在边BC上时，BP＝t－6.

7．如图1在囸方形ABCD中，P是对角线BD上的一点点E在AD的延长线上，且PA＝PEPE交CD于点F.

(3)如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)

∵∠CFP＝∠EFD(对顶角相等)，

∴△EPC是等边三角形．∴PC＝CE.

(1)如图1当四边形ABCD和EFCG均为正方形時，连接BF.

①求证：△CAE∽△CBF；

②若BE＝1AE＝2，求CE的长；

(3)如图3当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝mAE＝n，CE＝p试探究m，np三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)

解：(1)证明：①∵四边形ABCD和EFCG均为正方形

题型2　与圆有关的几何综合题

9．(2016·成都)如图，在Rt△ABC中∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D交AC的延长线于点E，连接EDBE.

(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分线与BE交于点F，若AF＝2求⊙C的半径．

10．如图，茬Rt△ABC中∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点DE，F.⊙O是△BEF的外接圆∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H连接BD，FH.

(1)试判断BD与⊙O的位置关系并说明理由；

(2)当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；

相切．理由：连接OB.