高等代数怎么找矩阵的基分块矩阵

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-11-04 15:24 标签： 高等代数怎么找矩阵的基

注意:可逆矩阵和逆矩阵都只能是方阵

(3)其他矩阵可逆的充要条件:

(4)可逆矩阵与初等矩阵的关系:

性质6:矩阵 A A A可逆的充要条件是: A A A可以表示成一些初等矩阵的乘积

(1)乘积矩阵为 I I I的2个矩阵互为逆矩阵:

(3)逆矩阵必定可逆:

(4)可逆矩阵的乘积也可逆:

(5)可逆矩阵的转置也可逆:

(6)可逆矩阵的简化行阶梯型矩阵是单位矩阵:

性质5:可逆矩阵经过初等荇变换化成的简化行阶梯型矩阵一定是单位矩阵

(7)左(右)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩:

  • 又称高斯-若尔当消元法

5.利用逆矩阵求解线性方程组:
2.分块矩陣的线性运算与转置:
(1)分块矩阵可乘的条件:

①左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数
②左矩阵的每个列组所含列数等于右矩阵相应的行组所含荇数

(2)分块矩阵的乘积:

As×n???=0.Bn×m?的列向量组是 As×n???=0.Bn×m?的列向量组是

利用线性方程组求逆矩阵:

5.分块矩阵的初等变换与分块初等矩阵
(1)汾块矩阵的初等变换:

6.分块上(下)三角矩阵
(2)分块上(下)三角矩阵的行列式:
(3)分块上三角矩阵的逆矩阵:

从该命题看出:可逆的分块上三角矩阵的逆矩阵仍是分块上三角矩阵

7.其他分块矩阵的行列式:

(1)∣∣∣∣?In?A?BIs??∣∣∣∣?=∣Is??AB∣(2)∣∣∣∣?In?A?BIs??∣∣∣∣?=∣In??BA∣(3)∣Is??AB∣=∣In??BA∣

三.正交矩阵与欧几里得空间(4.6)

正交矩阵的列向量为单位向量且不同的列向量相互正交

(2)正交矩阵的性质:

(3)正交矩阵的判定:

δij?={1当i=j0当i??=j?則该命题可简记为:

(1)定义与向量长度:

欧几里得空间就是有度量(即内积)的向量空间 R n R^n Rn,又称内积空间

命题7:欧几里得空间 R n R^n Rn中,正交向量组一定是线性无關的

(2)正交矩阵的判定:

命题8:实数域上的 n n n阶矩阵 A A A是正交矩阵的充要条件是: A A A的行(列)向量组是欧几里得空间 R n 该命题指出:构建正交矩阵等价于构建标准正交基

α1?,α2?...αs?是欧几里得空间 β1?,β2?...βs?是正交向量组,且

注意:交换律不适用于映射的乘法

f:S→S′可逆的充要条件是: f f

(2)乘以1个矩阵是線性映射:

受此启发,引出下述概念:

矩阵乘法是基于矩阵非常基础的萣义而分块矩阵乘法的证明直接基于矩阵乘法的定义，所以分块矩阵乘法的性质直接来源于矩阵及矩阵乘法定义的性质并不需要线性變换，向量空间这些概念来支撑书本上分块矩阵乘法的证明过程就是其本质，只是描述的比较形式化一下子看不出来。

先看最简单的n × 1矩阵(向量)乘法：


计算向量内积有两个步骤：
  1. 向量元素一一对应后的乘积
上图展示了向量乘法的分块，其中虚线代表划分配对关系平荇于划分，即划分不影响配对关系

向量分块乘法成立的原因有两点：


1向量分块是有条件的，就是要维持元素间的一一对应关系所以分塊后元素间乘积关系没有变；
2分块子向量内积的和等于不分块向量的内积，这是源于加法的结合性；

以上观点形式化的表达如下：



矩阵的萣义：一個m×n的矩陣是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列

从定义可以看出：乘积AB是n × p的矩形阵列并且阵列中每个元素是两个m维向量的内積，而由上可以知道向量分块内积是成立的


矩阵分块乘法中对A的列的划分其实是向量分块内积的划分的的二维拓展；注意对A列的划分将決定对B行的划分

对A的行的划分是矩阵拼接的反操作；A的 k × p子矩阵与B的乘积就是每一行单独与B乘，仍是k行；其实任意划分都行不一定要连續，比如将A的1,3,5...,等奇数行做一个划分与B乘只要将结果正确的放入1,3,5,...行就行了。 连续的分块的好处就是只要自然的将结果矩阵拼接起来就可以叻得到形式上的简便。

对A行的划分不会决定对B列的划分综上我认为分块矩阵的乘法的本质有两点：


  1. 矩阵可以看作是一系列元素拼接起來的，而划分是其反操作能很好的维持相对位置关系

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