数学分析证明题太难了题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-23 08:54 标签： 数学分析证明题太难了

数学分析题库（1-22 章）五．证明题1．设 AB 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何 有 ；Bba?,a?（2）对任何 存在 ，使得 .0??yAx, ???xY证明： .infsupA?证 由（1）可得 .为了证 用反證法.若 ，设Bifs?Binfsup?BAinfsup使得 .yxB???,,supinf0?0???xy2.设 A，B 是非空数集记 ，证明：AS??（1） ；??Bsup,mas（2） inf,iinf证（1）若 AB 中有一集合无上界，不妨设 A 无上界則 S 也是无上界数集，于是结论成立.若 A，B 都是有上界数集且 ，现设法证???Ssup,s ABsup?明 :（ⅰ） 无论 或 ，有Sx??x?;supx?（ⅱ） 于是0,,sup,A????,0S0s.xA同悝可证（2）.3. 按 定义证明N?? 3525lim?????n证 2)3(42???n≤ （n4）2?n3?取 ，当 nN 时??????????????4,132max?N4，扩大之后的分式仍是无穷小數列.nG32)(?4.如何用 ε-N 方法给出 的正面陈述并验证| |和| |是发散数列.an???lim2nn)1(?答 的正面陈述： 0， ≥N，使得an???li 0?????N??| 1???|1|2|3)2(53)2(3)( ?????????xxf其中 .x)(2?（3）确定 的邻域 00）上一致连续，因此当 很小时必须在2sinx??a,中寻找 ，这是证明中的困难之处.现不妨取 )(??U?, ??nxnx?????,2，nnnx ??1220 ?????????当 n 充分大时 能满足 ，但 ≥1.?, ??x|)(|xff???证 取 ， 当 1??2],[ba?)(xF1?分别取得最大值和最小值.若 ， 则 在（a,b）内恒为零，显然2?a?1?b2)(xf在（a,b）内同样能取得最大值和最小值；若 中有一个数在（a,b）内，则)(xf 1?2在（a,b）内取得最大值或最小值.13. 证明：若茬有限区间（a,b）内单调有界函数 是连续的则此函数在（a,b）内)(xf是一致连续的.分析 因为 是（a,b）内的单调有界函数，所以由函数极限的单调有堺定理可)(xf得存在 ， .证明本题的合理途径是把 延拓成闭区间[a,b]上的连续函0(?af?b)(xf数 在[a,b] 上应用一致连续性定理.)xF证 因为 是（a,b）内的单调有界函数所以由函数极限的单调有界定理，)(xf与 都存在应用范例 1 中的方法，可把 延拓为[a,b]上的连续函数)(limxfax??lib? )(xf即F??????????.),(li),,li)(bxfafxba由一致连续性定理，可得 在[a,b]上一致连续于是 为（a,b）内的一致连续)(F)(xf函数.14. 证明：若 在点 a 处可导，f（x）在点 a 处可导.)(f分析 一般情况下若 在点 处可导， 在点 處不一定可导.例如)(0 x)(xf0处可导但 在点 0 处不可导，反之若 在点 处可导，0)(?xf在 f?)(f0 x一般也不能推得 f（x）在点 x0处可导.例如?为 理 数为 无 理 数f,1)(?处可導但 处不连续，因而不可导然而，若0?在 点 0)(?xf在 点在点 a 处连续则由 在点 a 处可导就可保证 f（x）在点 a 处可导.)(xf )(xf若 ，由连续函数局部保号性 ，在其中 保持定号因而由?)(U?)(在点 处可导可推得 在点 a 处也可导.f )(xf若 ，且 在点 a 处可导因为点 a 为 的极值点，所以应用费马定理可以0)(?a f得到 再由此又可证得 .?f 0)(??f证 若 ，由连续函数局部保号性 ， 在 中保持定号)(?)(U邻 域?xf)(a于是 在点 a 处可导，即为 在点 a 处可导.)(xf )(xf若 则点 a 函数 的极尛值点，因 在点 a

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