本文记录的是一维波动方程柯西問题的解：达朗贝尔公式的推导过程

一维波动方程柯西问题（为方便讨论记为方程A）：
其中（1）式是由动量守恒构造的运动方程（2）式為时（即初始时刻）的位置和速度，也就是初始条件（3）式为x和t的定义域。柯西问题就是不考虑边界条件x没有边界的情况下，仅由初始条件和运动方程建立的问题

求解step1：由叠加原理分成两个问题

叠加原理在此不细说，原理和结论都很简单分别将方程中的运动方程和初始条件改为齐次条件，得到如下两个方程：
方程C：叠加原理的结论为如果方程B和方程C分别有解和，那么方程A的解直接带入，很容易驗证
后文中我们将提到，方程C可以由齐次化原理转化为方程B求解()因此我们这里只讨论方程B。

step2传播波法（也称为行波法）

由（4）：我們可写为算子形式，即即不妨设。其中是关于的函数AB为常数。
由求导的链式法则我们得到
由（10）（11）联立得到
取，则有且求积分嘚其中F和G是任意两个可微分的单变量函数。带入（12）得这个表达式很重要由其物理意义，也被称为传播波法需要注意的是，表达式（13）是仅由（4）推导出的也就是说不管初始条件、边界条件是什么，只要满足就可以写成的形式（类似待定系数法）之后F和G的具体表达式由边界条件和初始条件给出。

step3代入初始条件

由初始条件（5）代入（13），得
将（15）积分得其中是任意一点C是某个确定的常数。由（14）囷（16）联立可解得
代入（13）得方程B的解
注意到（17）的前半部分可以换一种写法，写为（17）或（18）即为达朗贝尔公式

达朗贝尔公式的一些注记

观察（18），我们可以看到前一半是关于初始位移后一半是初始速度。我们可以看到解在点的值只与初始条件在内的值有关称为依赖区间，即解在点的值只依赖初始条件在依赖区间内的值至于依赖区间为什么是这个，从物理的“波的传播”的知识也不难得到
快速记公式：先看后一项，是先对初始位移在依赖区间上积分之后乘t再除以依赖区间的测度（长度2at）。再看前一项因为速度是位移对t求導，所以前面加上对t求导数