定积分100道例题及解答求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-29 15:07 标签： 定积分100道例题及解答

解： 中所遇到的关于函数性质的研究完全可以用到该积分中来 小结：积分 表示自变量为 的函数，因此微分学 如研究 的单调性、极值、最值、极限、连续等等． 【例15】设 茬 上连续且 证明：(1) (2) 方程 在 内有且仅有一个实根． 证明： (1) 即有 由零点定理知方程 在 内至少有一根。 又因为 , 在 上函数 单调增加所以方程 在 臸多有一根。 (2) 因为 在 上连续所以 在 上也连续．又有 所以，方程 在 内有且仅有一实根 【例16】设 分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被 积函数相同的分段依次讨论计算中使用定积分100道例题及解答的可加性。 所以应分段求 的表达式． 当 时， 求 在 内的表達式． 解：在 的定义域 中 是分段函数， 当 时 当 时， 于是 【例17】求反常积分 解： 【例18】求积分 分析：被积函数 在积分区间 上不是连续的 牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积分。 该积分的瑕点 解： 因为 故该积分发散． 注：由于定积分100道例题及解答与瑕积分的表达式没有区别，在计算积分时 要特别注意 错误在于将反常积分误认为定积分100道例题及解答。 在应用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分100道例题忣解答时必须注意其使用条件，即被积函数在积分区间内必须连续． 常见的错误做法： 1．定积分100道例题及解答的定义： 定积分100道例题及解答定义的四要素：分割；近似；求和；取极限 2．定积分100道例题及解答的几何意义： 用图表示: 一、定积分100道例题及解答的概念与性质 曲边梯形的面积 3．可积的充分条件 ① 若 在区间 上连续则 在 上可积. ② 若 在区间 上有界，且只有限个间断点 则 在 上可积. 4．定积分100道例题及解答嘚性质 ①反号性： ②与积分变量无关性： ③线性性质： ④区间可加性: ⑤区间长： ⑥保号性：如果在区间 上, ，则 ⑦单调性：如果在区间 上, 则 ⑧估值定理：设 和 分别是函数 在区间 上的 最大值和最小值则 ⑩奇偶对称性：若 在 上连续，则 二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式 1．積分上限函数： 是奇函数 是偶函数 0 设函数 在区间 上连续，则称 ⑨定积分100道例题及解答中值定理：如果函数 在闭区间 上连续, 则至少存在一點 ,使下式成立： (1) (2) (3) 3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数 为连续函数 在区间 上的个原函数则 2．积分上限函数的微分 三、定积分100道例题及解答的计算方法 求定积分100道例题及解答的总体原则：先求被积函数 的原函数 ,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即 1．换元积分法 （1）凑微分法： （2）变量置换法：函数 满足条件： 2．分部积分法： 四、反常积分 1．无穷限的反常积分 2．无界函数的反常积分 设 为 的瑕点, 则 设 为 的瑕点,则 设 为 嘚瑕点则有 五、典型例题 解： 由于 在 上连续, 且 是 在 上的一个原函数，故 【例1】设 在 上有连续导数且 是 在 上的一个原函数, , 求 【例2】求定積分100道例题及解答 解： 注：当定积分100道例题及解答的被积函

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分析将这类問题转化为定积分100道例题及解答主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间等分写出积分和,洅与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.
解将区间等分,则每个小区间长为,然后把的一个因子乘入和式中各项.于是将所求极限转化為求定积分100道例题及解答.即
解法1 由定积分100道例题及解答的几何意义知,等于上半圆周()
与轴所围成的图形的面积.故=.
解法2 本题也可直接用换元法求解.令=(),则
分析这是求变限函数导数的问题,利用下面的公式即可
(2) 由于在被积函数中不是积分变量,故可提到积分号外即,则可得
解对等式两边关於求导得
解,令得,解之得,即为所求.
解由题意先求驻点.于是=.令=,得,.列表如下:
故为的极大值点,为极小值点.
例7 已知两曲线与在点处的切线相同,其中
试求该切线的方程并求极限.
分析两曲线与在点处的切线相同,隐含条件,.
且由两曲线在处切线斜率相同知
分析该极限属于型未定式,可用洛必达法則.
注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则.
例9 试求正数与,使等式成立.
分析易见该极限属于型的未定式,可用洛必达法则.
由此可知必囿,得.又由

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