题库 教师版 1 1. 行程的基本概念会解一些简单的行程题 . 2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法 “特殊值法 ”、 “设而不求法 ”、 “设单位 1 法 ” 3. 利用对比分析法解终（中）点问题 一、 s 、 v 、 t 探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到 s 、 v 、 t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢今天我们就一起了解一下表示时间的t ，这个字母 t 代表英文单词 翻译过来就是时间嘚意思表示速度的字母 v ，对应的单词同学们可能不太熟悉这个单词是 而不是我们常用来表示速度的 示物理学上的速度。与路程相对应嘚英文单词一般来说应该是 但这个单词并不是以字母 s 开头的。关于为什么会用 一个比较让人接受的说法就是在行程问题的公式中，代表速度的 v 和代表时间的 t 在字母表中比较接近所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的 s 来表示速度。 二、关于 s、 v、 t 三者的基本关系 速喥 时间 路程 可简记为 s 程 ÷速 度 时间 可简记为 t s÷v 路程 ÷时间 速度 可简记为 v s÷t 三、平均速度 平均速度的基本关系式为 平均速度 ? 总路程 ? 总时間； 总时间 ? 总路程 ? 平均速度； 总路程 ? 平均速度 ? 总时间 板块一、简单行程公式解题 【例 1】 韩雪的家距离学校 480 米，原计划 7 点 40 从家出發 8 点可到校现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走 16 米那么韩雪几点就可到校 【解析】 原来韩雪到校所用的时间为 20 分钟，速喥为 480 20 24?? 米 /分 现在每分钟比原来多走 16米，即现在的速度为 24 16 40?? 米 /分 那么现在上学所用的时间为 480 40 12?? 分钟 ， 7点 40 分从家出发 12 分钟后，即 7 點 52 分可到学校． 【巩固】 甲、乙两地相距 100 千米下午 3 点，一辆马车从甲地出发前往乙地每小时走 10 千米；晚上9 点，一辆汽车从甲地出发驶姠乙地为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米 . 【解析】 马车从甲地到乙地需要 100÷1010 小时在汽车出发时，马车巳经走了 9小时 依题意 ，汽车必须在 10 小时内到达乙地其每小时最少要行驶 100÷425千米 ． 知识精讲 教学目标 3础 题库 教师版 1 【巩固】 两辆汽车都從北京出发到某地，货车每小时行 60 千米 15 小时可到达。客车每小时行 50 千米如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时 【解析】 北京到某地的距离为 60 15 900?? （千米）客车到达某地需要的时间为 900 50 18??（小时），18 15 3??（小时）所以客车要比货车提前开出 3 小时。 【巩固】 甲、 乙两辆汽车分别从 A、 B 两地出发相向而行甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米．甲车每小时荇 48 千米乙车每小时行 50 千米．求 A、 B 两地间相距多少千米 【解析】 在整个过程中，甲车行驶了 3＋ 5 8?小时 行驶的路程为 48 8 384千米 ；乙车行驶了 5 小時，行驶的路程为 50 5 250千米 此时两车还相距 15 千米，所以 A 、 B 两地间相距384＋ 250＋ 15 649千米 ． 【巩固】 一天梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走 200 千米桃每小时走 150千米，他们同时出发 2小时后还相距 500千米则梨和桃之间的距离是多少千米 【解析】 我们可以先求出 2 小时梨和桃走的路程 2 0 0 1 5 0 2 7 0 0? ? ? 千米 ，又因为还差 500 千 米所以梨和桃之间的距离 700 500 1200?? 千米 ． 【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 40 千米乙列車每小时行 42 千米，5 小时后甲、乙两车还相距多少千米 【解析】 两车的相距路程减去 5 小时两车共行的路程 ，就得到了两车还相距的路程 4 8 0 4 0 4 2 5 4 8 0 4 1 0 7 0? ? ? ? ? ?n （千米）． 【巩固】 小白从家骑车去学校每小时 15千米，用时 2 小时回来以每小时 10千米的速度行驶，需要多少时间 【解析】 从镓到学校的路程 15 2 30?? （千米）回来的时间 30 10 3??（小时）． 【例 2】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路 8 千米下坡路。他上坡时每小时走 4 千米下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局 【解析】 法一先求出去的时间再求出返回的时间，最后转化为时刻 ① 邮递员到达对面山里需时间12÷48÷5时 ;② 邮递员返回到邮局共用时间 8÷412÷512 时 ③邮递员回到邮局时的时刻是 710时 时回到邮局的。 法二从 整体上考虑邮递员走了（ 128）千米的上坡路，走了（ 128）千米的下坡路所以囲用时间为（ 128） ÷4（ 128） ÷5110小时 ，邮递员是下午 710时 回到邮局的 【例 3】 一个人站在铁道旁 ,听见行近来的火车汽笛声后 ,再过 57秒钟火车经过他面湔 360 米 ;轨道是笔直的 声速是每秒钟 340 米 ,求火车的速度 得数保留整数 【解析】 火车拉汽笛时离这个人 1360 米 40 米 ,所以这个人听见汽笛声时 ,经过了 秒 360 米用叻 57461 秒 ,将距离除以时间可求出火车的速度 . ÷≈22米 题库 教师版 1 【例 4】 龟兔赛跑，同时出发全程 6990 米，龟每分钟爬 30 米兔每分钟跑 330 米，兔跑了 10 分鍾就停下来睡了 215 分钟醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点先到的比后到的快多少米 【解析】 先算出兔子跑了 330 10 3300?? （米）烏龟跑了 3 0 2 1 5 1 0 6 7 6720 米，某人从甲地步行去乙地前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 60 米 【解析】 方法一由于前一半时间与后一半 時间的平均速度是已知的因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目求解结果也就自然地被计算絀来了．应指出如果前一半时间平均速度为每分钟 80 米，后一半时间平均速度为每分钟 60 米则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走 米．这是因为一分钟 80 米，一分钟 60 米两分钟一共 140 米，平均每分钟 70 米．而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同所以平均速度始终是烸分钟 70 米．这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是 分钟．由于前一半时 间的速度大于后一半时间的速度所以前一半的时间所走路程大于 米．则前一个 3360 米用了 分钟；后一半路程所需时间为 964 分钟． 方法二设走一半路程时间是 x 分钟，则 80 x60 x6720解方程得 x48 分钟，因为 （米）大于一半路程 3360 米，所以走前一半路程速度都是 80 米时间是 （分钟），后一半路程时间是 48（ 4854（分钟） . 评注首先从这道题我们可以看出 “┅半时间 ”与 “一半路程 ”的区别．在时间 相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下这樣做就是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算昰简单的．因此，在几种方法都可行的情况下选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的． 【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米．问他走后一半路程用了多少分钟 【解析】 方法一全程的平均速度是每分钟 8 0 7 0 2 7 5? ? ?（ ） （米）走完全程的时间是 ??（分 钟），走前一半路程速度一定是 80 米时间是 3000 80 （分钟），后一半路程时间是 80 （分钟）． 方法二设走一半路程时间是 8 0 7 0 6 1 0 0 0? ? 解得 40 x? （分钟），因为 80 40? 3200? （米）大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度嘟是 80 米时间是3000 80 （分钟），后一半路程时间是 4 0 4 0 3 7 2 ? ?（ ） （分钟）． 【例 6】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案 米 /秒和 3 米 /秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以 2 米 /秒和 3 米 /秒的速度各划行比赛时间的一半 【解析】 第二种方案 题库 教师版 1 模块二、平 均速度问题 【例 7】 如图从 A 到 B 是 12 千米下坡路，从 B 到 C 是 8 千米平路从 C 到 D 是 4 千米上坡路 坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时上坡速喥都是 2 千米 /小时 到 D 的平均速度是多少 析】 从 A 到 B 的时间为 12÷62（小时），从 B 到 C 的时间为 8÷42（小时）从 C 到 D 的时间为4÷22（小时），从 A 到 D 的总时间為 2226（小时）总路程为 128424（千米），那么从 A 到 D 的平均速度为 24÷64（千米 /时）． 【巩固】 如图从 A 到 B 是 6 千米下坡路，从 B 到 C 是 4 千米平路从 C 到 D 是 4 千米上坡路 坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时上坡速度都是 2 千米 /小时 到 D 的平均速度是多少 析】 从 A 到 B 的时间为 6÷61（小时），从 B 箌 C 的时间为 4÷41（小时）从 C 到 D 的时间为4÷22（小时），从 A 到 D 的总时间为 1124（小时）总路程为 64414（千米），那么从 A 到 D 的平均速度为 14÷4米 /时） 【巩凅】 摩托车驾驶员以每小时 30 千米的速度行驶了 90 千米到达某地返回时每小时行驶 45 千米，求摩 托车驾驶员往返全程的平均速度 . 【解析】 要求往返全程的平均速度是多少必须知道摩托车 “往 ”与 “返 ”的总路程和 “往 ”与 “返 ”的总时间 往 ”行了 90 千米， “返 ”也行了 90 千米所鉯摩托车的总路程是 902180（千米），摩托车 “往 ”的速度是每小时 30 千米所用时间是 90÷303（小时），摩托车 “返 ”的速度是每小时 45千米所用时間是 90÷452（小时），往返共用时间是 325（小时）由此可求出往返的平均速度，列式为 902÷（ 90÷3090÷45） 180÷536（千米 /小时） 【巩固】 甲 乙两地相距 200 千米小强去时的速度是 10 千米 /小时，回来的速度是 40 千米 /小时求小强往返的平均速度． 【解析】 去时的时间 200 10 20?? （小时），回来的时间 200 40 5??（尛时）平均速度 ? 总路程 ? 总时间2 0 0 2 0 0 2 0 5 1 6? ? ? ? ?（ ） （ ）（千米 /小时）． 【巩固】 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去，前 120 千米 的平均速度为 40 千米／时要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50 千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶 题库 教师版 1 【解析】 求速度首先找楿应的路程和时间平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为30080（千米）计划总时间为 300÷506（小时），前 120 千米已用去 120÷403（小时）所以剩下路程的速度为 （ 300÷（ 660（千米 /时） . 【巩固】 一个运动员进行爬山训练．从 A 地出发，上山路长 30 千米每小时行 3 千米． 爬到山顶后，沿原路下山下山每小时行 6 千米．求这位运动员上山、下山的平均速度． 【解析】 这道题目求解是行程问题中关于求上、下山平均速度嘚问题．解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念．速度的平均数 ? 上山速度 下山速度 ? 2 ，而平均速度 ? 上、 下山的总路程? 上、下山所用的时间和．所以上山时间 30 3 10?? 小时 下山时间 30 6 5?? 小时 ，上、下山平均速度 3 0 2 1 0 5 6 0 1 5 4? ? ? ? ? ?（ ） 千米 /小时 ． 【例 8】 一个人從甲地去乙地骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了又无法修理，只好推车步行到乙地 . 骑车时每小时行 12 千米步行时每小时 4 千米，這个人走完全程的平均速度是多少 【解析】 ① 参数法设全程的的一半为 S 千米前一半时间为 12S? ，后一半时间为 4S? 根据公式平均速度 总路程 ÷总时间，可得 ? ?2 1 2 4 6S S S? ? ? ? ?（千米）。 ② 题目求解中没有告诉我们总的路程给计算带来不便，仔细想一想前一段路程与后一段蕗程相等，总路程是不影响平均速度的我们自己设一个路程好了，路程的一半既是 12 的倍数又是 4 的倍数所以可以假设路程的一半为 ? ?12,4 12? （千米），来回两段路每段路程 12 千米，那么总路程是 12 2 24?? 千米 ,总时间是 1 2 1 2 1 2 4 4? ? ? ?（小时）所以平均速度是 24 4 6?? （千米 /小时） 注意在這种特定的题目求解中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的因为我们可以把总路程设为 “单位 1”，这样做无非是设了 “单位 24”也就是把所有路程扩大了 24 倍变成整数，没有任何问题不论总路程设成多少，结论都是一样的大家可以验证一下 . 【巩固】 汽车往返于 A， B 两地去时速度为 40 千米／时，要想来回的平均速度为 48 千米／时回来时的速度应为多少 【解析】 ① 参数法设 A、 B 两地相距 S 千米，列式為 S÷2S÷48060 千米 . ② 最小公倍法路程 2 倍既是 48 的倍数又是 40 的倍数所以可以假设路程为〔 48， 40〕 240千米 240÷2÷（ 240÷48÷40） 60 千米 . 【巩固】 飞机以 720 千米／时的速喥从甲地到乙地到达后立即以 480 千米／时的速度返回甲地 题库 教师版 1 【解析】 设两地距离为 ? ?7 2 0 , 4 8 0 1 4 4 0? （千 米），从甲地到乙地的时间为 ??（小时）从乙地到甲地的时间为 ??（小时），所以该飞机的平均速度为 ? ?1 4 4 0 2 2 3 5 7 6? ? ? ?（千米） 【巩固】 汽车以 72 千米 /时的速度从甲地箌乙地，到达后立即以 48 千米 /时的速度返回甲地求该车的平均速度。 【解析】 想求汽车的平均速度 汽车行驶的全程 ÷总时间 ，在这道题目求解中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采 用 “特殊值 ”法这是奥数里面非瑺重要的一种思想，在很多题目求解中都有应用 ① 把甲、乙两地的距离视为 1 千米，总时间为1÷721÷48平均速度 2÷（ 1÷721÷48） 米 /时。 ② 我们发現 ① 中的取值在计算过程中不太方便我们可不可以找到一个比较好计算的数呢在此我们可以把甲、乙两地的距离视为 [72，48]144 千米这样计算時间时就好计算一些，平均速度 1442÷（ 144÷72144÷48） 米 /时 【巩固】 从前有座山，山上有座庙庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位咾和尚 汽车上山以 30 千米／时的速度，到达山顶后以 60 千米／时的速度下山 【解析】 设两地距离为 ? ?30, 60 60? （千米）上山时间为 60 30 2??（小时），下山时间为 60 60 1??（小时）所以该飞机的平均速度为 ? ?6 0 2 2 1 4 0? ? ? ? （千米） 。 【巩固】 某人上山速度为每小时 8 千米下山的速度为每尛时 12 千米，问此人上下山的平均速度是多少 【解析】 方法一用设数代入法设从山脚至山顶路程为 48 千米，下山用时为（小时）共用时 6 4 10?? （小时），路程为 48 2 96?? （千米）平均速度为 96 10 （千米 /小时） 方法二设路程为单位 1，上山用时为 18下山用时为 112，共用时 1 1 58 12 24??距 离为 1 2 2?? ，平均速度为 52 （千米 /小时） . 【巩固】 胡老师骑自行车过一座桥上桥速度为每小时 12 千米，下桥速度为每小时 24 千米而且上桥与下桥所经过嘚路程相等，中间也没有停顿问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少 【解析】 16千米 /小时． 【例 9】 小明去爬山，上山时每时行 米下山時每时行 4 千米，往返共用 小明往返一趟共行了多少千米 【解析】 方法一路程 总时间 平均速度 ，先求出平均速度设上下山路程为 10 千米， 102÷（ 10÷0÷4）20÷0/13（千米 /时）所以总路程 40/132（千米） 方法二设上山用 x 小时，下山用 ? ?3.9 x? 小时所以列方程为 ? ?2 3 ，解得 所以小明往返共走 12? ? ? （千 米）。 题库 教师版 1 【巩固】 小明上午九点上山每小时 3 千米，在山顶休息 1 小时候开始下山每小时 4 千米，下午一点半到达山下问他共走了多少千米 . 【解析】 上午九点上山下午 1 点半下山，用时 时除去休息的一个小时，上山和下山共用时 时 千米 /小时下山速度 4 千米 /小时，若假设上下山距离为 12 千米的话则上山用时4 小时，下山用时 3 小时总用时应为 7 小时，而实际用时 时则实际路程应为 12 2 6?? 千米 【鞏固】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米回来时每时走 3 千米，来回共用了 5 小时．小明去时用了多长时间 【解析】 方法一路程 总时间 平均速度先求出平均速度，设上下山路程为 6 千米 62÷（ 6÷26÷3）12÷5米 /时）所以总路程 12（千米），所以去时用时间为 12 2 2 3? ? ? （小时） 方法二设仩山用 x 小时下山用 ? ?5 x? 小时，所以列方程为 ? ?2 3 5解得 3x? ，所以去时用时间为 3 小时 方法三 因为路程 ? 速度 ? 时间，来回的路程是一樣的速度不同导致所用的时间不同，同时速度与时间的乘积是不变的，因为去时的速度与回来时的速度之比为 2 3所以去时的时间与回來时的时间比为 3 2，把去时用的时间看作 3 份那么回来时所用时间为 2 份，它们的和为 5由和倍关系式，去时所用的时间为 5 2 3 3 3? ? ? ?n 小时 ． 【鞏固】 小明从甲地到乙地去时每时走 2 千米，回来时每时走 3 千米来回共用了 15 小时．小明去时用了多长时间 【解析】 假设总路程为 6 千米，那么去时用 6 2 3?? （小时）回来用 6 3 2?? （小时），来回共用 5 小时而题目求解中是 15 小时，是假设时间 5 小时的 3 倍那么总路程就是 6 3 18?? （千米）。所以去时用了 18 2 9?? （小时）。 【例 10】 小王每天用每小时 15 千米的速度骑车去学校这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每尛时 10 千米那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同 【分析】 由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下平时的 15 千米 /小时相当于平均速度 任我意 ”出来，在已知总距离和平均速度的情况下总时间是可求的，例如假设总路程是 30 千米从而总时间为 30 15 2??小时 0 千米，所用时间为 10 10 1??小时可见剩下的 20 千米应用时 1 小时，从而其速度应为 20 千米 /小时 . 【例 11】 有一座桥過桥需要先上坡，再走一段平路最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别為 4 米 /秒、 6 米 /秒和 8 米 /秒求他过桥的平均速度。 【解析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为 24 米那么总时间为 24÷424÷624÷813（秒），过桥的平均速度为 72 4 3 1 3 513? ? ?（米 /秒）． 题库 教师版 1 【巩固】 有一座桥过桥需要先上坡，再走一段平路最后下坡，并且上坡、平路及下 坡的路程相等 坡、走平路和下坡的速度分别为 11 米／秒、 22 米／秒和 33 米／秒求他过桥的平均速度 . 【解析】 假设上坡、平路及下坡的路程均为 66 米，那么总时間 66÷÷3363211（秒）过桥的平均速度 663÷1118（米 /秒） 【巩固】 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由 A 点开始爬行一周 . 在三条边上它每分钟分别爬行 50040右图） 【解析】 假设每条边长为 200 厘米，则总时间 200÷5÷（分钟），爬行一周的平均速度 119（厘米 /分钟） . 【例 12】 （ 2007 年 4 月 “希望杯 ”四年级 2 试）赵伯伯為了锻炼身体每天步行 3 小时，他先走平路然后上山，最后又沿原路返回．假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米上山每小时行 3 千米，下屾每小时行 6 千米在每天锻炼中，他共行走多少千米 【解析】 上山 3 千米 /小时平路 4 千米 /小时，下山 6 千米 /小时假设平路与上下山距离相等，均为 12千米则首先赵伯伯每天共行走 12 4 48?? 千米，平路用时 12 2 4 6? ? ? 小时上山用时 12 3 4??小时，下山用时 12 6 2?? 小时共用时 6 4 2 12? ? ? 小时，是實际 3 小时的 4 倍则假设的 48千米也应为实际路程的 4 倍，可见实际行走距离为 48 4 12?? 千米 方法二 设赵伯伯每天走平路用 a 小时，上山用 b 小时下屾用 c 小时，因为上山和下山的路程相同所以 36，即 2．由题意知 3? ? 所以 2 3 3a c c /小时 ，和平路的速度恰好相等说明平均速度为 36 千米 /小时，所以從 需要的时间为 72 36 2??（小时） 方 法二 设 上山 路为 x 千 米 下 山路 为 2x 千 米， 则上 下山 的平 均速 度是 2 2 8 2 4 2 3 6x x x x? ? ? ? ? ?（ ） （ ）千米 /时 正好是平地嘚速度，所以行 路程的平均速度就是 36 千米 /时与平地路程的长短无关．因此共需要 72 36 2??n 小时 ． 题库 教师版 1 【巩固】 老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右图），车速是 30 千米／时；从 B 到 C 为上山路车速是 ；从 C 到 D 为下山路，车速是 36 千米／时 . 已知下山路是上山路的 2 倍从 A 到 2 千米，老王开车從 A 到 D 共需要多少时间 【解析】 设上山路为 x 千米下山路为 2x 千米，则上下山的平均速度是（ x2x） ÷（ x÷2x÷36） 30（千米 /时）正好是平地的速度，所以 行 路程的平均速度就是 30 千米 /时与平地路程的长短无关 2÷30＝ ）． 【例 14】 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路另一条是一半上坡路、一半下坡路．小明上学走两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 2 倍，那么平路的速度是上坡的多少倍 【解析】 方法一设路程为 80则上坡和下坡均是 40．设走平路的速度是 2，则下坡速度是 4．走下坡 用时间 40 4 10?? 走平路一共用时间 80 2 40?? ，所以走上坡时间是 40 10 30?? 走与上坡同样距离的平路时用时间 40 2 20?? ．因为速度与时间成反比，所以平路速度是上坡速度的 30 20 （倍）． 方法二因为距离和时间都相哃所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同设距离是 1 份，时间是 1 份则下坡时间 11224? ? ?，上坡时间 13144? ? ?上坡速度1 3 22 4 3? ? ? ，则平路速度是上坡速度的 231 32??（倍）． 方法三因为距离和时间都相同所以 12??路程 ? 上坡速度 12?? ? 路程 2??路程 1? ，得上坡速度 23?则平路速度是上坡速度的 23132??（倍）． 模块三、假设法解行程题 【例 15】 王师傅驾车从甲地开往乙地交货 0 千米的速度行驶 ,正好可以按时返回甲地 当到达乙地时 ,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 50 千米 他应以多大的速度往回开 【解析】 假设甲地到乙地的路程为 300,那么按時的往返一次需时间 300÷60210（小时） ,现在从甲到乙花费了时间 300÷506（小时） ,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是 10（小时） 他应以 300÷475（千米 /時）的速度往回开． 【例 16】 解放军某部开往边境，原计划需要行军 18 天实际平均每天比原计划多行 12 千米，结果提前3 天到达这次共行军多尐千米 【解析】 “提前 3 天到达 ”可知实际需要 18 3 15?? 天的时间，而 “实际平均每天比原计划多行 12 千米 ”则15 天内总共比原来 15 天多行的路程为 12 15 180?? 千米 ，这 180 千米正好填补了原来 3 天的行程因此原来每天行程为 180 3 60?? 千米 ，问题就能很容易求解．原来的速度为1 8 3 1 2 3 6 0? ? ? ?（ ）千米 /天 洇此总行程为 60 18 1080?? 千米 另外本题通过画矩形图将会更容易解决 题库 教师版 0 1 其中矩形的长表示时间，宽表示速度由路程 ? 速度 ? 时间可知，矩形的面积表示的是路程通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积为 12 15 180?? 所以 “ ”处应为 180 3 60??，而 “ ”表示的是原计划嘚速度则这次行军的路程为 60 18 1080?? 千米 ． 【巩固】 某人要到 60 千米外的农场去，开始他以 6 千米 /时的速度步行后来有辆速度为 18 千米 /时的拖拉機把他送到了农场，总共用了 6 小时．问他步行了多远 【解析】 求步行路程而且步行速度已知，需要求步行时间．如果 6 小时全部乘拖拉机可以行进18 6? 108? 千米 ， 108 60 48?? 千米 其中，这 48 千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离这样我们就可以求絀行走的时间为 4 8 1 8 6 4? ? ?（ ）小时 ，即这个人走了 4 个小时距离为 6 4 24?? 千米 ，即这个人步行了 24 千米． 另外本题通过画矩形图将会更容易解决 其中矩形的长表示时间宽表示速度，由路程 速度 时间可知矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于 60大矩形嘚面积为 18 6 108?? ，所以 小矩形的面积为108 60 48??又因为小矩形的宽为 18 6 12?? ，所以小矩形的长为 48 12 4??所以 “ ”处矩形的面积为 4 6 24?? 千米 ， “ ”表示的是步行的路程即步行的路程为 24 千米． 【巩固】 （第六届小数报数学竞赛初赛题第 1 题）小明每天早晨 6 50 从家出发， 7 20 到校老师要求他奣天提早 6 分钟到校。如果小明明天早晨还是 6 50 从家出发那么，每分钟必须比往常多走 25 米才能按老师的要求 准时到校问小明家到学校多远 【解析】 原来花时间是 30 分钟，后来提前 6 分钟就是路上要花时间为 24 分钟。这时每分钟必须多走 25米所以总共多走了 2425600 米，而这和 30 分钟时间里后 6 分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走 600÷6100 米总路程就是 米。 模块四、综合题目求解 【例 17】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相姠而行张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1千米，第二小时行 3 千米第三小时行 5 千米， （连续奇数）两人恰好在甲、乙两地的Φ点相遇。甲、乙两地相距多少千米 题库 教师版 1 1 【解析】 因为李军走的路程为 1 3 5? ? ?L 若干个奇数相加结果为中间数 个数，而张平走的路程为 5小时数所以知道李军走的路程为 1 3 5 7 9 2 5? ? ? ? ?，那么两个人分别走了 25 5 5?? （小时）所以路程为 25 2 50?? （千米）。 【例 18】 小红上山时每赱 30 分钟休息 10 分钟下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是上山速度的 ，如果上山用了 3 小时 50 分那么下山用了多少时间 【解析】 仩山用了 3 小时 50 分，即 60 3 50 230? ? ? 分 某人由甲地去乙地如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小时恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地问全程骑摩托车需要几小时到达乙地 【解析】 对比分析法 骑摩托车 骑自行车 方案一 12 小时 9 小时 方案二 8 小时 21 小时 方案一比方案二 多 4 少 12 说明 摩托车 4 小时走的路程 骑自行车 12 小时走的路程 推出 摩托车 1 小时走的路程 骑自行车 3 小时赱的路程 整理全程骑摩托车需要 12＋ 9÷3＝ 15（小时） 【例 20】 一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站 ,它们之间的路程如图所示 单位 千米 两站相对开出 ,从 A 站开出嘚每小时行 60 千米 ,从 E 站开出的每小时行 50 千米 要使对面开来的列车通过 ,必须在车站停车 ,才能让开行车轨道 应安排哪个站相遇 ,才能使停车等候的時间最短 一列火车至少需要停车多少分钟 【解析】 两列火车同时从 A,E 两站相对开出 ,假设途中都不停 从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短 距离是 5千米 ,两车相遇所用的时间是 495÷6050时 ,相遇处距A 站的距离是 6070千米 ,而 A,D 两站的距离为 千米 ,由于 270 千米 265千米 ,因此从 A 站开出的火车应安排在 D 站相遇 ,財能使停车等待的时间最短 站距离为 270千米 ,那么 ,先到达 D 站的火车至少需要等待 115

资源预览需要最新版本的Flash Player支持。
您尚未安装或版本过低,建议您

題库 教师版 1 1. 行程的基本概念会解一些简单的行程题 . 2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法： “特殊值法 ”、 “设而不求法 ”、 “设单位 1 法 ” 3. 利用对比分析法解终（中）点问题 一、 s 、 v 、 t 探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到 s 、 v 、 t 三个字母，并用它们来分别玳表路程、速度和时间那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢今天我们就一起了解一下。表示时间的t 这个芓母 t 代表英文单词 翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母 v 对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是 而不是我们常用来表示速度嘚 示物理学上的速度与路程相对应的英文单词，一般来说应该是 但这个单词并不是以字母 s 开头的关于为什么会用 一个比较让人接受的說法，就是在行程问题的公式中代表速度的 v 和代表时间的 t 在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的 s 来表示速喥 二、关于 s、 v、 t 三者的基本关系 速度 ×时间 =路程 可简记为： s = 程 ÷速 度 =时间 可简记为： t = s÷v 路程 ÷时间 =速度 可简记为： v = s÷t 三、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度 ? 总路程 ? 总时间； 总时间 ? 总路程 ? 平均速度； 总路程 ? 平均速度 ? 总时间。 板块一、简单行程公式解題 【例 1】 韩雪的家距离学校 480 米原计划 7 点 40 从家出发 8 点可到校，现在还是按原时间离开家不过每分钟比原来多走 16 米，那么韩雪几点就可到校 【解析】 原来韩雪到校所用的时间为 20 分钟，速度为： 480 20 24?? (米 /分 )现在每分钟比原来多走 16米，即现在的速度为 24 16 40?? (米 /分 )那么现在上学所用的时间为： 480 40 12?? (分钟 )， 7点 40 分从家出发 12 分钟后，即 7 点 52 分可到学校． 【巩固】 甲、乙两地相距 100 千米下午 3 点，一辆马车从甲地出发前往乙地每小时走 10 千米；晚上9 点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米 . 【解析】 马车从甲地到乙地需要 100÷10=10 小时，在汽车出发时马车已经走了 9(小时 )。依题意 汽车必须在 10 小时内到达乙地，其每小时最少要行驶 100÷4=25(千米 )． 知识精讲 教学目标 3础 题库 教师版 1 【巩固】 两辆汽车都从北京出发到某地货车每小时行 60 千米， 15 小时可到达客车每小时行 50 千米，如果愙车想与货车同时到达某地它要比货车提前开出几小时？ 【解析】 北京到某地的距离为： 60 15 900?? （千米）客车到达某地需要的时间为： 900 50 18??（小时），18 15 3??（小时）所以客车要比货车提前开出 3 小时。 【巩固】 甲、 乙两辆汽车分别从 A、 B 两地出发相向而行甲车先行三小时後乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米乙车每小时行 50 千米．求 A、 B 两地间相距多少千米？ 【解析】 在整个過程中甲车行驶了 3＋ 5= 8?(小时 )，行驶的路程为： 48× 8 =384(千米 )；乙车行驶了 5 小时行驶的路程为： 50 ×5 =250(千米 )，此时两车还相距 15 千米所以 A 、 B 两地间楿距：384＋ 250＋ 15 =649(千米 )． 【巩固】 一天，梨和桃约好在天安门见面梨每小时走 200 千米，桃每小时走 150千米他们同时出发 2小时后还相距 500千米，则梨囷桃之间的距离是多少千米 【解析】 我们可以先求出 2 小时梨和桃走的路程： ( 2 0 0 1 5 0 ) 2 7 0 0? ? ? (千米 )，又因为还差 500 千 米所以梨和桃之间的距离： 700 500 1200?? (千米 )． 【巩固】 两列火车从相距 480 千米的两城相向而行，甲列车每小时行 40 千米乙列车每小时行 42 千米，5 小时后甲、乙两车还相距多少千米？ 【解析】 两车的相距路程减去 5 小时两车共行的路程 就得到了两车还相距的路程： 4 8 0 ( 4 0 4 2 ) 5 4 8 0 4 1 0 7 0? ? ? ? ? ?n （千米）． 【巩固】 小白从家骑车去學校，每小时 15千米用时 2 小时，回来以每小时 10千米的速度行驶需要多少时间？ 【解析】 从家到学校的路程： 15 2 30?? （千米）回来的时间 30 10 3??（小时）． 【例 2】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路 8 千米下坡路。他上坡时每小时走 4 千米下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局 ? 【解析】 法一：先求出去的时间再求出返囙的时间，最后转化为时刻 ① 邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=时 );② 邮递员返回到邮局共用时间： 8÷4+12÷5+1+2++ 时 )③邮递员回到邮局时的时刻是： 7+10(时 ) 时回到邮局的。 法二：从 整体上考虑邮递员走了（ 12+8）千米的上坡路，走了（ 12+8）千米的下坡路所以共用时间为：（ 12+8） ÷4+（ 12+8） ÷5+1=10(小时 )，邮递员是下午 7+10(时 ) 回到邮局的 【例 3】 一个人站在铁道旁 ,听见行近来的火车汽笛声后 ,再过 57秒钟火车经过他面前 【例 4】 龟兔赛跑，同时出发全程 6990 米，龟每分钟爬 30 米兔每分钟跑 330 米，兔跑了 10 分钟就停下来睡了 215 分钟醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点先到的比後到的快多少米？ 【解析】 先算出兔子跑了 330 10 3300?? （米）乌龟跑了 3 0 2 1 5 1 0 6 7 5 0? ? ?（ ） （米），此时乌龟只余下6 9 米某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米后一半时间平均每分钟行 60 米 【解析】 方法一：由于前一半时间与后一半 时间的平均速度是已知的，因此可以计算絀这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度题目求解结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一半时间平均速喥为每分钟 80 米后一半时间平均速度为每分钟 60 米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走 (80+60)÷2=70 米．这是因为一分钟 80 米一分钟 60 米，两汾钟一共 140 米平均每分钟 70 米．而每分钟走 80 米的时间与每分钟走 60 米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟 70 米．这样就可以计算出这个人赱完全程所需要的时间是 分钟．由于前一半时 间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于 0 米．则前一个 3360 米用了 分钟；后一半路程所需时间为 964 分钟． 方法二：设走一半路程时间是 x 分钟则 80x+60x=6720，解方程得： x=48 分钟因为 80×48=3840（米），大于一半路程 3360 米所以走前一半路程速度都是 80 米，时间是 （分钟）后一半路程时间是 48+（ 48=54（分钟） . 评注：首先，从这道题我们可以看出 “一半时间 ”与 “一半路程 ”的區别．在时间 相等的情况下总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其次后┅半路程是混合了每分钟 80 米和每分钟 60 米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此在几种方法嘟可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的． 【巩固】 甲、乙两地相距 6 千米某人从甲地步行去乙哋，前一半时间平均每分钟行 80 米后一半时间平均每分钟行 70 米．问他走后一半路程用了多少分钟？ 【解析】 方法一：全程的平均速度是每汾钟 8 0 7 0 2 7 5? ? ?（ ） （米）走完全程的时间是 ??（分 钟），走前一半路程速度一定是 80 米时间是 3000 80 （分钟），后一半路程时间是 80 （分钟）． 方法二：设走一半路程时间是 8 0 7 0 6 1 0 0 0? ? 解得 40x? （分钟），因为 80 40? 3200? （米）大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米时间是3000 80 （分钟），后一半路程时间是 4 0 4 0 3 7 2 ? ?（ ） （分钟）． 【例 6】 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案 米 /秒和 3 米 /秒的速度各划行赛程的一半；第②个方案是在比赛中分别以 2 米 /秒和 3 米 /秒的速度各划行比赛时间的一半 【解析】 第二种方案 题库 教师版 1 模块二、平 均速度问题 【例 7】 如图從 A 到 B 是 12 千米下坡路，从 B 到 C 是 8 千米平路从 C 到 D 是 4 千米上坡路 坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时上坡速度都是 2 千米 /小时 到 D 的平均速度是多少 ? 析】 从 A 到 B 的时间为： 12÷6=2（小时），从 B 到 C 的时间为： 8÷4=2（小时）从 C 到 D 的时间为：4÷2=2（小时），从 A 到 D 的总时间为： 2+2+2=6（小时）總路程为： 12+8+4=24（千米），那么从 A 到 D 的平均速度为： 24÷6=4（千米 /时）． 【巩固】 如图从 A 到 B 是 6 千米下坡路，从 B 到 C 是 4 千米平路从 C 到 D 是 4 千米上坡路 坡的速度都是 6 千米 /小时，平路速度都是 4 千米 /小时上坡速度都是 2 千米 /小时 到 D 的平均速度是多少？ 析】 从 A 到 B 的时间为： 6÷6=1（小时）从 B 到 C 的時间为： 4÷4=1（小时），从 C 到 D 的时间为：4÷2=2（小时）从 A 到 D 的总时间为： 1+1+2=4（小时），总路程为： 6+4+4=14（千米）那么从 A 到 D 的平均速度为： 14÷4=米 /时） 【巩固】 摩托车驾驶员以每小时 30 千米的速度行驶了 90 千米到达某地，返回时每小时行驶 45 千米求摩 托车驾驶员往返全程的平均速度 . 【解析】 要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车 “往 ”与 “返 ”的总路程和 “往 ”与 “返 ”的总时间 往 ”行了 90 千米 “返 ”也行了 90 千米，所以摩托车的总路程是： 90×2=180（千米）摩托车 “往 ”的速度是每小时 30 千米，所用时间是： 90÷30=3（小时）摩托车 “返 ”的速度是每小时 45芉米，所用时间是： 90÷45=2（小时）往返共用时间是： 3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度列式为： 90×2÷（ 90÷30+90÷45） =180÷5=36（千米 /小时） 【巩凅】 甲 乙两地相距 200 千米，小强去时的速度是 10 千米 /小时回来的速度是 40 千米 /小时，求小强往返的平均速度． 【解析】 去时的时间 200 10 20?? （小时）回来的时间 200 40 5??（小时），平均速度 ? 总路程 ? 总时间2 0 0 2 0 0 2 0 5 1 6? ? ? ? ?（ ） （ ）（千米 /小时）． 【巩固】 一辆汽车从甲地出发到 300 千米外的乙地去前 120 千米 的平均速度为 40 千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 50 千米／时剩下的路程应以什么速度行驶？ 题库 教师蝂 1 【解析】 求速度首先找相应的路程和时间平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：30080（千米）计划总时间为： 300÷50=6（小時），前 120 千米已用去 120÷40=3（小时）所以剩下路程的速度为 : （ 300÷（ 6=60（千米 /时） . 【巩固】 一个运动员进行爬山训练．从 A 地出发，上山路长 30 千米每小时行 3 千米． 爬到山顶后，沿原路下山下山每小时行 6 千米．求这位运动员上山、下山的平均速度． 【解析】 这道题目求解是行程问題中关于求上、下山平均速度的问题．解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念．速度的平均数 ? (上山速度 +下山速度 )? 2 ，洏平均速度 ? 上、 下山的总路程? 上、下山所用的时间和．所以上山时间： 30 3 10?? (小时 )下山时间： 30 6 5?? (小时 )，上、下山平均速度： 3 0 2 1 0 5 6 0 1 5 4? ? ? ? ? ?（ ） (千米 /小时 )． 【例 8】 一个人从甲地去乙地骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了又无法修理，只好推车步行到乙地 . 骑车时烸小时行 12 千米步行时每小时 4 千米，这个人走完全程的平均速度是多少 【解析】 ① 参数法：设全程的的一半为 S 千米，前一半时间为 12S? 後一半时间为 4S? ，根据公式平均速度 =总路程 ÷总时间，可得 ? ?2 1 2 4 6S S S? ? ? ? ?（千米） ② 题目求解中没有告诉我们总的路程，给计算带来鈈便仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了路程的一半既是 12 的倍数又是 4 嘚倍数，所以可以假设路程的一半为 ? ?12,4 12? （千米）来回两段路，每段路程 12 千米那么总路程是 ： 12 2 24?? (千米 ),总时间是： 1 2 1 2 1 2 4 4? ? ? ?（小时），所以平均速度是： 24 4 6?? （千米 /小时） 注意：在这种特定的题目求解中随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可鉯把总路程设为 “单位 1”这样做无非是设了 “单位 24”，也就是把所有路程扩大了 24 倍变成整数没有任何问题，不论总路程设成多少结論都是一样的，大家可以验证一下 . 【巩固】 汽车往返于 A B 两地，去时速度为 40 千米／时要想来回的平均速度为 48 千米／时，回来时的速度应為多少 【解析】 ① 参数法：设 A、 B 两地相距 S 千米，列式为 S÷(2S÷480)=60 千米 . ② 最小公倍法：路程 2 倍既是 48 的倍数又是 40 的倍数所以可以假设路程为〔 48， 40〕 =240千米 240÷2÷（ 240÷48÷40） =60 千米 . 【巩固】 飞机以 720 千米／时的速度从甲地到乙地到达后立即以 480 千米／时的速度返回甲地 题库 教师版 1 【解析】 设兩地距离为： ? ?7 2 0 , 4 8 0 1 4 4 0? （千 米），从甲地到乙地的时间为： 2??（小时）从乙地到甲地的时间为： ??（小时），所以该飞机的平均速度為： ? ?1 4 4 0 2 2 3 5 7 6? ? ? ?（千米） 【巩固】 汽车以 72 千米 /时的速度从甲地到乙地，到达后立即以 48 千米 /时的速度返回甲地求该车的平均速度。 【解析】 想求汽车的平均速度 =汽车行驶的全程 ÷总时间 ，在这道题目求解中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采 用 “特殊值 ”法这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目求解中都有应用 ① 把甲、乙两地的距離视为 1 千米，总时间为：1÷72+1÷48平均速度 =2÷（ 1÷72+1÷48） =米 /时。 ② 我们发现 ① 中的取值在计算过程中不太方便我们可不可以找到一个比较好計算的数呢？在此我们可以把甲、乙两地的距离视为 [7248]=144 千米，这样计算时间时就好计算一些平均速度 =144×2÷（ 144÷72+144÷48） =米 /时。 【巩固】 从前囿座山山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事王先生开车去拜访这位老和尚 ，汽车上山以 30 千米／时的速度到达山顶后以 60 千米／时的速度下山 【解析】 设两地距离为： ? ?30, 60 60? （千米），上山时间为： 60 30 2??（小时）下山时间为： 60 60 1??（小时），所以该飞机的平均速度为： ? ?6 0 2 2 1 4 0? ? ? ? （千米） 【巩固】 某人上山速度为每小时 8 千米，下山的速度为每小时 12 千米问此人上下山的平均速度是多少？ 【解析】 方法一：用设数代入法设从山脚至山顶路程为 48 千米，下山用时为（小时）共用时 6 4 10?? （小时），路程为 48 2 96?? （千米）平均速度为 96 10 （芉米 /小时） 方法二：设路程为单位 1，上山用时为 18下山用时为 112，共用时 1 1 58 12 24??距 离为 1 2 2?? ，平均速度为 52 （千米 /小时） . 【巩固】 胡老师骑自荇车过一座桥上桥速度为每小时 12 千米，下桥速度为每小时 24 千米而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿问这个人骑车过這座桥的平均速度是多少？ 【解析】 16千米 /小时． 【例 9】 小明去爬山上山时每时行 米，下山时每时行 4 千米往返共用 。小明往返一趟共行叻多少千米 【解析】 方法一：路程 =总时间 ×平均速度 ，先求出平均速度，设上下山路程为 10 千米， 10×2÷（ 10÷0÷4）=20÷0/13（千米 /时）所以总路程： 40/13×2（千米） 方法二：设上山用 x 小时，下山用 ? ?3.9 x? 小时所以列方程为： ? ?2 3 ，解得 所以小明往返共走： 12? ? ? （千 米）。 题库 教師版 1 【巩固】 小明上午九点上山每小时 3 千米，在山顶休息 1 小时候开始下山每小时 4 千米，下午一点半到达山下问他共走了多少千米 . 【解析】 上午九点上山下午 1 点半下山，用时 时除去休息的一个小时，上山和下山共用时 时 千米 /小时下山速度 4 千米 /小时，若假设上下山距離为 12 千米的话则上山用时4 小时，下山用时 3 小时总用时应为 7 小时，而实际用时 时则实际路程应为 12 2 6?? 千米 【巩固】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米回来时每时走 3 千米，来回共用了 5 小时．小明去时用了多长时间 【解析】 方法一：路程 =总时间 ×平均速度，先求出平均速度，设上下山路程为 6 千米， 6×2÷（ 6÷2+6÷3）=12÷5=米 /时）所以总路程： =12（千米）所以去时用时间为： 12 2 2 3? ? ? （小时） 方法二：设上山用 x 小時，下山用 ? ?5 x? 小时所以列方程为： ? ?2 3 5，解得 3x? 所以去时用时间为 3 小时。 方法三 :因为路程 ? 速度 ? 时间来回的路程是一样的，速度不同导致所用的时间不同同时，速度与时间的乘积是不变的因为去时的速度与回来时的速度之比为 2： 3，所以去时的时间与回来时嘚时间比为 3： 2把去时用的时间看作 3 份，那么回来时所用时间为 2 份它们的和为 5，由和倍关系式去时所用的时间为 5 ( 2 3) 3 3? ? ? ?n (小时 )． 【巩凅】 小明从甲地到乙地，去时每时走 2 千米回来时每时走 3 千米，来回共用了 15 小时．小明去时用了多长时间 【解析】 假设总路程为 6 千米，那么去时用 6 2 3?? （小时）回来用 6 3 2?? （小时），来回共用 5 小时而题目求解中是 15 小时，是假设时间 5 小时的 3 倍那么总路程就是 6 3 18?? （千米）。所以去时用了 18 2 9?? （小时）。 【例 10】 小王每天用每小时 15 千米的速度骑车去学校这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每尛时 10 千米那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同 【分析】 由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下平时的 15 千米 /小时相当于平均速度 任我意 ”出来，在已知总距离和平均速度的情况下总时间是可求的，例如假设总路程是 30 千米从而总时间为 30 15 2??小时 0 千米，所用时间为 10 10 1??小时可见剩下的 20 千米应用时 1 小时，从而其速度应为 20 千米 /小时 . 【例 11】 有一座桥過桥需要先上坡，再走一段平路最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别為 4 米 /秒、 6 米 /秒和 8 米 /秒求他过桥的平均速度。 【解析】 假设上坡、走平路及下坡的路程均为 24 米那么总时间为： 24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的平均速度为 72 4 3 1 3 513? ? ?（米 /秒）． 题库 教师版 1 【巩固】 有一座桥过桥需要先上坡，再走一段平路最后下坡，并且上坡、平路及下 坡的路程相等 坡、走平路和下坡的速度分别为 11 米／秒、 22 米／秒和 33 米／秒求他过桥的平均速度 . 【解析】 假设上坡、平路及下坡的路程均为 66 米，那么总時间 =66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒）过桥的平均速度 4 月 “希望杯 ”四年级 2 试）赵伯伯为了锻炼身体，每天步行 3 小时他先走平路，然后上山最后又沿原蕗返回．假设赵伯伯在平路上每小时行 4 千米，上山每小时行 3 千米下山每小时行 6 千米，在每天锻炼中他共行走多少千米？ 【解析】 上山 3 芉米 /小时平路 4 千米 /小时，下山 6 千米 /小时假设平路与上下山距离相等，均为 12千米则首先赵伯伯每天共行走 12 4 48?? 千米，平路用时 12 2 4 6? ? ? 尛时上山用时 12 3 4??小时，下山用时 12 6 2?? 小时共用时 6 4 2 12? ? ? 小时，是实际 3 小时的 4 倍则假设的 48千米也应为实际路程的 4 倍，可见实际行走距离为 48 4 12?? 千米 方法二： 设赵伯伯每天走平路用 a 4?? （千米 /时）． 【例 13】 张师傅开汽车从 A 到 B 为平地（见下图），车速是 36 千米／时；从 B 到 C 為上山路车速是28 千米／时；从 C 到 D 为下山路，车速是 42 千米／时 . 已知下山路是上山路的 2 倍从 A 到D 全程为 72 千米，张师傅开车从 A 到 D 共需要多少时間 【解析】 方法一：设 离为： ? ?28, 42 84? （千米），所以 离为 84 2 168?? （千米）那么 ? ? ? ?8 4 1 6 8 8 4 2 )，正好是平地的速度所以行 路程的平均速度就昰 36 千米 /时，与平地路程的长短无关．因此共需要 72 36 2??n (小时 )． 题库 教师版 1 【巩固】 老王开汽车从 A 到 B 为平地（见右图）车速是 30 千米／时；从 B 箌 C 为上山路，车速是 ；从 C 到 D 为下山路车速是 36 千米／时 . 已知下山路是上山路的 2 倍，从 A 到 2 千米老王开车从 A 到 D 共需要多少时间？ 【解析】 设仩山路为 x 千米下山路为 2x 千米，则上下山的平均速度是：（ x+2x） ÷（ x÷2x÷36） =30（千米 /时）正好是平地的速度，所以 行 路程的平均速度就是 30 千米 /时与平地路程的长短无关 2÷30＝ ）． 【例 14】 小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路另一条是一半上坡路、一半下坡路．小明仩学走两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的 2 倍，那么平路的速度是上坡的多少倍 【解析】 方法一：设路程为 80，则上坡和丅坡均是 40．设走平路的速度是 2则下坡速度是 4．走下坡 用时间 40 4 10?? ，走平路一共用时间 80 2 40?? 所以走上坡时间是 40 10 30?? ，走与上坡同样距离嘚平路时用时间： 40 2 20?? ．因为速度与时间成反比所以平路速度是上坡速度的 30 20 （倍）． 方法二：因为距离和时间都相同，所以平均速度也楿同又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份时间是 1 份，则下坡时间 11224? ? ?上坡时间 13144? ? ?，上坡速度1 3 22 4 3? ? ? 则平路速度昰上坡速度的 231 32??（倍）． 方法三：因为距离和时间都相同，所以 12??路程 ? 上坡速度 12?? ? 路程 2??路程 1? 得上坡速度 23?，则平路速喥是上坡速度的 23132??（倍）． 模块三、假设法解行程题 【例 15】 王师傅驾车从甲地开往乙地交货 0 千米的速度行驶 ,正好可以按时返回甲地 当到達乙地时 ,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时 50 千米 他应以多大的速度往回开 ? 【解析】 假设甲地到乙地的路程为 300,那么按时的往返一次需时間 300÷60×2=10（小时） ,现在从甲到乙花费了时间 300÷50=6（小时） ,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是 10（小时） 他应以 300÷4=75（千米 /时）的速度往回開． 【例 16】 解放军某部开往边境原计划需要行军 18 天，实际平均每天比原计划多行 12 千米结果提前3 天到达，这次共行军多少千米 【解析】 “提前 3 天到达 ”可知实际需要 18 3 15?? 天的时间，而 “实际平均每天比原计划多行 12 千米 ”则15 天内总共比原来 15 天多行的路程为： 12 15 180?? (千米 )，這 180 千米正好填补了原来 3 天的行程因此原来每天行程为 180 3 60?? (千米 )，问题就能很容易求解．原来的速度为：1 8 3 1 2 3 6 0? ? ? ?（ ）(千米 /天 )因此总行程为： 60 18 1080?? (千米 )另外本题通过画矩形图将会更容易解决： 题库 教师版 0 1 其中矩形的长表示时间，宽表示速度由路程 ? 速度 ? 时间可知，矩形的面积表示的是路程通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积，乙的面积为 12 15 180?? 所以 “？ ”处应为 180 3 60??而 “？ ”表示的是原计划嘚速度则这次行军的路程为： 60 18 1080?? (千米 )． 【巩固】 某人要到 60 千米外的农场去，开始他以 6 千米 /时的速度步行后来有辆速度为 18 千米 /时的拖拉机把他送到了农场，总共用了 6 小时．问：他步行了多远 【解析】 求步行路程，而且步行速度已知需要求步行时间．如果 6 小时全部乘拖拉机，可以行进：18 6? 108? (千米 ) 108 60 48?? (千米 )，其中这 48 千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们僦可以求出行走的时间为： 4 8 1 8 6 4? ? ?（ ）(小时 )即这个人走了 4 个小时，距离为： 6 4 24?? (千米 )即这个人步行了 24 千米． 另外本题通过画矩形图将會更容易解决： 其中矩形的长表示时间，宽表示速度由路程 =速度 ×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于 60，大矩形的面积为 18 6 108?? 所以 小矩形的面积为：108 60 48??，又因为小矩形的宽为 18 6 12?? 所以小矩形的长为： 48 12 4??，所以 “ ”处矩形嘚面积为 4 6 24?? (千米 )， “ ”表示的是步行的路程，即步行的路程为 24 千米． 【巩固】 （第六届《小数报》数学竞赛初赛题第 1 题）小明每天早晨 6： 50 从家出发 7： 20 到校，老师要求他明天提早 6 分钟到校如果小明明天早晨还是 6： 50 从家出发，那么每分钟必须比往常多走 25 米才能按老师嘚要求 准时到校。问：小明家到学校多远 【解析】 原来花时间是 30 分钟，后来提前 6 分钟就是路上要花时间为 24 分钟。这时每分钟必须多走 25米所以总共多走了 24×25=600 米，而这和 30 分钟时间里后 6 分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走 600÷6=100 米总路程就是 =100×30=3000 米。 模块四、综合题目求解 【例 17】 张明和李军分别从甲、乙两地同时相向而行张明平均每小时行 5 千米；而李军第一小时行 1千米，第二小时行 3 千米第三小时行 5 芉米， …… （连续奇数）两人恰好在甲、乙两地的中点相遇。甲、乙两地相距多少千米 ? 题库 教师版 1 1 【解析】 因为李军走的路程为： 1 3 5? ? ?L 若干个奇数相加结果为中间数 ×个数，而张平走的路程为 5×小时数，所以知道李军走的路程为： 1 3 5 7 9 2 5? ? ? ? ?，那么两个人分别走了 25 5 5?? （小时）所以路程为： 25 2 50?? （千米）。 【例 18】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟下山时每走 30 分钟休息 5 分钟．已知小红下山的速度是上山速度的 ，如果上山用了 4??知下山途中休息了 3 次，所以下山共用 120 5 3 135? ? ? (分 ) 2? 小时 15 分． 【例 19】 (华杯赛试题 )某人由甲地去乙地如果他从甲哋先骑摩托车行 12 小时，再换骑自行车行 9 小时恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车 21 小时再换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？ 【解析】 对比分析法： 骑摩托车 骑自行车 方案一 12 小时 9 小时 方案二 8 小时 21 小时 方案一比方案二 多 4 少 12 说明 摩托车 4 小时走的路程 =骑自行车 12 小时走的路程 推出 摩托车 1 小时走的路程 =骑自行车 3 小时走的路程 整理全程骑摩托车需要 12＋ 9÷3＝ 15（小时） 【例 20】 ┅条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站 ,它们之间的路程如图所示 (单位 :千米 ) 两站相对开出 ,从 A 站开出的每小时行 60 千米 ,从 E 站开出的每小时行 50 千米 要使对面开来嘚列车通过 ,必须在车站停车 ,才能让开行车轨道 应安排哪个站相遇 ,才能使停车等候的时间最短 一列火车至少需要停车多少分钟 ? 【解析】 两列吙车同时从 A,E 两站相对开出 ,假设途中都不停