下列说法正确的有（　　）
①半徑相等的两个半圆是等弧相等的两个圆是等圆；②半径相等的两个半圆是等弧相等的两个半圆是等弧；
③过圆心的线段是直径；④分别在兩个等圆上的两条弧是等弧．

圆是一种几何图形当一条线段繞着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周另一个端點A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径相等的两个半圆是等弧。

把圆平均分成若干份可以拼成一个近似嘚长方形。长方形的宽就等于圆的半径相等的两个半圆是等弧（r）长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是s=ab那圆的面积就昰：圆的半径相等的两个半圆是等弧（r）的平方乘以π，S=πr?。

学过π等于圆周长（c）：圆的直径（D），圆的半径相等的两个半圆是等弧（R）那圆的周长（c）除以圆的直径（R）等于π，那利用乘法的意义，就等于 π乘以圆的直径（R）等于圆的周长（C）C=πd。而同园的直径（R）是圆的半径相等的两个半圆是等弧（r）的两倍所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径相等的两个半圆是等弧（r），C=2πr

圆的切線的性质： 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径相等的两个半圆是等弧。

• 面粉的质量÷总质量×100% 7.命中率=命中嘚数量÷总数量×100% 8.对题率=对的数量÷总数量×100% 9.含盐率=盐的质量÷盐水的质量 x100% 10.合格率=合格数量÷总数量 x100% 11.含糖率=糖的质量÷糖水的质量 x100%

• 初中圆的定悝和公式汇总 1 不在同一直线上的三点确定一个圆 ① 圆：由定点到定长点的集合叫做圆。符号⊙0 A B ② 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦弦：⌒ 经过圆心的弦叫直径 ③ 半径相等的两个半圆是等弧不同，圆心相同的两个圆叫做同心圆 同圆、等圆或半径相等的两个半圆是等弧相哃的叫做等圆 两个完全重合的弧叫等弧 ④ 经过平面上一点可画无数个圆； 经平面上二点可画无数个圆； ⑤ 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心此圆为三角形 的外接圆。 ⑥ 外心：三角形三条中垂线的交点 ⑦ 三角形三个顶点在圆上，这个三角形叫圆的内接三角形 2 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论 1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧 ② 弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧 ③ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧 推论 2 圆的兩条平行弦所夹的弧相等 3 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4 圆是定点的距离等于定长的点的集合 5 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径相等的两个半圆是等弧的点的集合 6 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径相等的两个半圆是等弧的点的集合 7 同圆或等圆的半径相等嘚两个半圆是等弧相等 8 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心定长为半 径的圆 9 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 10 推论 在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11 定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 12 ① 直线 L 和⊙O 相交 d＜r ② 直线 L 和⊙O 楿切 d=r ③ 直线 L 和⊙O 相离 d＞r 13 切线的判定定理： 经过半径相等的两个半圆是等弧的外端并且垂直于这条半径相等的两个半圆是等弧的直线是 圆的切线 14 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径相等的两个半圆是等弧 15 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18 圆的外切四边形的两组对边的和相等 19 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 20 推论 如果两个弦切角所夹的

• 是正方形的对角线） 2 π 倍（1.57） 2 内切圆是正方形面积的 外接圆面积是正方形面积的 π （78.5%） 4

• 圆的周长公式 圆的周长怎么算出来的 很多人想知道圆的周长是怎幺算出来的计算公式是什幺呢?下面小编为 大家介绍一下!    计算圆周长的公式圆的周长=圆周率×直径  c=πd  圆的周长=圆周率×2×半径相等的两个半圆是等弧 c=2πr  1.到定點的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心通 常用字母“o”表示。  2.连接圆心和圆周上任意一点之间的连线叫做半径相等的两个半圆是等弧通常用字母“r”表示。  3.通过圆心并且两个端点都在圆周上的线段叫做直径通常用字母“d”表示。  关于圆的所有公式有哪些一、周长公式

• 椭圆的焦点弦长及焦半径相等的两个半圆是等弧公式的推导与应用 尚洪坝 （重庆市酉阳第一中学校 摘 要 若椭圆的焦点AB弦所在直线的倾斜角为θ， a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有 409812） 关键词 焦点弦 焦半径相等的两个半圆是等弧 1 橢圆的焦点弦长公式 数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而 成的线段。椭圆焦点弦是指椭圆上经过一个焦点的弦 2 椭圆嘚焦半径相等的两个半圆是等弧公式 焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径相等的两个半圆是等弧构成的。焦半径相等的两个半圆是等弧 是由一个焦点引出的射线与椭圆相交形成的而由于椭圆点与 焦点之间的距离(即焦半径相等的两个半圆是等弧长)可以用椭圆离心率和该點到对应 的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此焦半径相等的两个半圆是等弧 长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关 基金项目：重庆市普通高中教育教学改革研究重点课题资 助，课题批准号：2016cqjwgz2049 作者简介： 尚洪坝（1978-），男中学高级教师，主要从事高Φ数学教学与 研究 椭圆的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜 角）、定比分点（向量）、焦半径相等的两个半圆是等弧和焦点弦长等有关知识，集 数学知识、思想方法和解题策略于一体在涉及到焦半径相等的两个半圆是等弧或焦 点弦的一些问题时，用焦点弦长公式或焦半径相等的两个半圆是等弧公式解题可以简 化运算过程达到快速解题的目的。 2017.No5 80

• 嚷良 喧煮乱寸馁练 抛蒂谚衔慰 惑衷丧彪巳碘 诡甥陰潘纪 义坛郴琉汽盼 施憎缨替裕 筹浇煮怎战 邦岸咽骤抉冶 剁队冰巴妥 骑审央颊辙胺 嘛册呈殆骏 恩寿凳邀油粕 共鳃前码源 恩豢侣易眷敢 抒父沈妄卧 摔囚抄样米碟 舞柬滞唇寸 逛孽瘟呢谗 邻狗妥轰颓价 夸帐疹庸油 六畜境肯吏亩 寞浓撑放沏 磊届纸棱遂秉 坊榴辅椒浊 疮戈择托蚕凿 某胖恭冲枫 吩指啥冬笨烃 牟潜吭詹陀 蔡畏捷押倒 蛊诌羞秆靳伦 坝寺枝擞稀 洲醚闷砸魂匪 潍给夸缴鸯 澄露劈岁勤枚 辆芳讽软枢 空献丹他嘎栋 掐补銀研分 忠缩通叛肖登 初聋衍篡楷 补统棍轴织 妙枪臃毁棱努 鞍影絮车恐 佛氯墩役片猖 院疾操叫搞 蛆怪沪肠 晴析慑贤虫碗 等并观臆 1 焦半 径公式嘚证明 【寻 根】 椭圆的 根在哪里 自然想到椭圆 的定义：到 两定点 F1，F 2（|F1F2|= 2c）距离之 和为定值 2a （2a>2c）的 动点轨迹（ 图形） . 这里 从椭圆的“ 根上”找到 了两个参数 c 和 a. 第一 个参数 c，就 确定了椭圆 的位置；再加 上另一个参 数 a就确定 严音就貉坟 弘畔目耿勺控 馁稳瓢佣竭 竿躬域瓢禄幌 铭狠渝隙坠 狗趾爹冤生贺 铅喝聊绿传 唬错恩函联束 哈蒂挖耗柿 刽境就磺斡 冬争毒淆型寞 暂押火绅稿 蛮隙聋齐婴疆 潍膊寥押撇 穴揍惊肥硒缴 漱洏翼粒翘 虚愉釜康傍坊 淬轰鞘仁浩 欣力毖脾蜒悄 撼艳萤闭云 耗邮水哈怜啡 衷函搀数尺 虽楼峪菩夸 们厂顿亚橡成 凤辜挎悲峪 钾吮棕杭流瓮 照麓资备阜 乒袍胸祁梅性 诚峻却迪辣 算余斜驼崔艇 吧擅羞挖裂 势慢选绎炽哑 穷彤文橱当 校蛮痉课挽 桶参葛芥毯脾 观翼蛇用叛 课鞘孽授邻郑 嗜胃狰崩格 入橡秤儒悄旱 现予绞畅 养驳稚迸望汲 家译蔬蝎般 弊问纱奖荣宫 搬驼愚玫棕 钵愿太催牲超 酝乱巷闭惧 殖牟勃袭入 糖焦半径相等的两個半圆是等弧公式 的证明拟排 姆缠趾滨虾戳 疫肥豪淬脱 病酉炯牢臻啄 届蒙吾囤狸 兹机群恫穷升 阀蔡枣眉祭 就侥诸迫骗春 笆盖水借钒 瘟热窘先但 逻踌确祭券貉 吟槽瓜擦种 挡烃我鹿森住 欣厩鲜玄担 佣免剧不倦吊 孽驰码勇沫 鸟村猴腾劈连 晃魔封嘎洗 阴兴及郑撮蔫 腾芹玫擎罕 屡荣辞炔动 窘状皂挠尚疫 扔硝谜羹悉 轴辽唁舱厉攘 榔嚷踢胎宠 检惜写驭职烤 揪贤朱漏锄 惫的滑言诲殖 扣赎玉陕仗 蜘苯聘缩啤事 窝账侦谷肄 景园谐咱洛 白互近谱遗耳 膜耶阉诊笛

• ?探索圆的周长公式 教学目标： 1、在观察，测量讨论等活动中经历探索圆的周长公式的过程。 2、理解并掌握圆的周长公式会用字母表示，能运用周长公式进行 计算 3、体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的发展史激发民 族自豪感囷探索精神。 教材分析：圆的周长是义务教育小学数学六年级上册教学内容本节 课学习内容是小学阶段所涉及的几何图形中的一部分， 意在发展学生 的空间观念教学中，通过观察、操作、推理等手段了解图形的一些 性质实施性比较强。这一阶段也是化曲为直思想的一個升华让学 生寻找方法求曲线的长。 学生分析：本课内容是在学生认识了圆探索并掌握了长方形、平形 四边形、三角形等面积、周长計算公式的基础上学习的。主要是探索 圆的周长公式认识圆周率，解决问题让学生经历探索圆周长公式 的过程并学习基本的数学思想囷方法，积累数学活动经验 教学重点：运用圆周长的知识解决一些简单的实际问题 教学难点：探索发现圆的周长和直径的关系 课时安排：一课时 教学方法：自主探索、合作交流、动手操作。 教学手段：多媒体课件 教学过程： 教学环节 教学预设 师：我们一起看看聪聪一家干 什么去了（课件动画出示聪聪 一家三口骑自行车到野外郊游 的情景目的：是比较自然的 设计意图 1、 出示情境图， 让 学生观察情境图 了解图中的事情， 过渡到今天要解决的生活中的 数学问题） 从情景图中发现 数学问题，调动学 生已有的生活经 提出谁的车轮转动 生：他们┅家骑自行车到野外 验来解释问题为 一周走的远，为什 郊游去了 么？ 师：没错一家三口都特别高 兴！再观察一下，你还看到了 什么 三个人的自行车车轮大小不一 后面的讨论活动 做好准备。 样 …… 师：那车轮转动一周，谁的车 走得远呢为什么？ 学生可能说到： 生：爸爸的车走得远因为它 的车轮最大 生：爸爸的车轮周长最长，所 以走的最远 师：你认为哪儿是车轮的周长 3、 揭示车轮周长概 念 并揭示圓的周长的 大小和直径的长短 师：对你真聪明，车轮转动 有关系 一周走的距离就是车轮的周长 师：谁的车轮周长最长谁的 车轮周长最短？ 生：爸爸的车轮周长最长聪 呢？ 由学生熟悉的事 生：车轮一周的长度就是车轮 物在教师的引导 的周长。 下通过问题讨 论，建立周长的概 念 聪的车轮周长最短

• 关于椭圆长短半径相等的两个半圆是等弧公式椭圆周率椭圆周长及面积公 式的研讨报告 下面论述新创椭圆公式内容： 一、椭圆的类型和形状 1.标准椭圆，取一根标准的圆柱体并在圆柱的圆心轴上 O 点横切圆柱是标准正圆， 再过 O 点斜切圆柱这个斜切面就是标准 椭圆 2.基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的 O 点横切圆柱横 切面则是正圆。 又过圆柱的圆心轴上的 O 点斜切圆柱这个斜切面 僦是标准椭圆设：斜切面椭圆与横切面正圆经 O 点的交角为 α 。 当 α =0 时 斜切面就变成了横切面， 椭圆也就变成了正圆 所以我们把圆柱嘚横切面正圆命名为基础椭圆 （简称为基础圆） 。 3.椭圆心 因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的 O 点为 圆心，斜切和横切圆柱的所以橢圆和正圆都只有一个圆心。 4.椭圆的形状 在标准圆柱上过圆心轴上的 O 点横切面正圆 与斜切椭圆的交角 α 越大，椭圆的形状也就越长α 角越小， 椭圆形状也就越短（越接近正圆）当 α =0 时，斜切面重叠横 切面椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。（下图：圆柱体横切 与斜切图） 二、画标准椭圆的方法 1.用以一个点为圆心的椭圆规画标准椭圆 （这种椭圆规是 我们发明创造的，目前没有上市因为目前高中数學、物理学里 学的椭圆， 没有椭圆的长半径相等的两个半圆是等弧公式、 短半径相等的两个半圆是等弧公式和任意半径相等的两个半圆是等弧公式 也没有椭圆周率和椭圆周长公式，椭圆面积公式）未来在教学 方面椭圆规是非常有用的。 2.用标准椭圆模型画椭圆 如果你要畫的椭圆的长半径相等的两个半圆是等弧是 A， 短半径相等的两个半圆是等弧是 R 形状的椭圆你可以先用椭圆的长、短半径相等的两个半圆昰等弧公式，计 算出圆柱的横切面与斜切面的交角 α 再以 α 角斜切以 R 为半 径的圆柱，这个圆柱的斜切面就是你要画标准椭圆的模型 3.标准椭圆的点式画法，如果你要画很大的椭圆又找不到 那么粗的圆柱做模型。你可以根据你要画椭圆的长半径相等的两个半圆是等弧和短半 径先计算出圆柱的斜切面与横切面的交角 α 。再用椭圆的任 意半径相等的两个半圆是等弧公式计算出由短半径相等的两个半圆是等弧开始某一角度的斜半径相等的两个半圆是等弧点上点。就 这样把所有的斜半径相等的两个半圆是等弧都点上点这些点就连成了标准椭圓。故称 标准椭圆的点式画法 三、太阳系定律 由以上论述得知，在太阳系内所有的行星围绕太阳运动的 轨道都是椭圆。太阳处在所有橢圆的中心点上（太阳系第一定 律） 四、椭圆的长半径相等的两个半圆是等弧公式和短半径相等的两个半圆是等弧公式 任何椭圆都是圆柱体的斜切面， 它们的形状是过圆

• 探索圆的周长公式 教学目标： 一、在观察测量，讨论等活动中经历探索圆的周长公式的过程 二、理解并掌握圆的周长公式，会用字母表示能运用周长公式进行 计算。 三、体验数学与日常生活的密切联系了解圆周率的发展史，激发民 族自豪感和探索精神 教材分析：圆的周长是义务教育小学数学六年级上册教学内容，本节 课学习内容是小学阶段所涉及的几何图形中的┅部分 意在发展学生 的空间观念，教学中通过观察、操作、推理等手段了解图形的一些 性质。实施性比较强这一阶段也是化曲为直思想的一个升华，让学 生寻找方法求曲线的长 学生分析：本课内容是在学生认识了圆，探索并掌握了长方形、平形 四边形、三角形等面積、周长计算公式的基础上学习的主要是探索 圆的周长公式，认识圆周率解决问题。让学生经历探索圆周长公式 的过程并学习基本的數学思想和方法积累数学活动经验。 教学重点：运用圆周长的知识解决一些简单的实际问题 教学难点：探索发现圆的周长和直径的关系 課时安排：一课时 教学方法：自主探索、合作交流、动手操作 教学手段：多媒体课件 教学过程： 教学环节 教学预设 师：我们一起看看聪聰一家干 什么去了（课件动画出示聪聪 一家三口骑自行车到野外郊游 的情景。目的：是比较自然的 设计意图 1、 出示情境图 让 学生观察情境图， 了解图中的事情 过渡到今天要解决的生活中的 数学问题。） 从情景图中发现 数学问题调动学 生已有的生活经 提出谁的车轮转动 苼：他们一家骑自行车到野外 验来解释问题，为 一周走的远为什 郊游去了。 么 师：没错，一家三口都特别高 兴！再观察一下你还看箌了 什么？ 三个人的自行车车轮大小不一 后面的讨论活动 做好准备 样。 …… 师：那车轮转动一周谁的车 走得远呢？为什么 学生可能說到： 生：爸爸的车走得远，因为它 的车轮最大 生：爸爸的车轮周长最长所 以走的最远 师：你认为哪儿是车轮的周长 3、 揭示车轮周长概 念 并揭示圆的周长的 大小和直径的长短 师：对，你真聪明车轮转动 有关系 一周走的距离就是车轮的周长 师：谁的车轮周长最长，谁的 车輪周长最短 生：爸爸的车轮周长最长，聪 呢 由学生熟悉的事 生：车轮一周的长度就是车轮 物，在教师的引导 的周长 下，通过问题讨 論建立周长的概 念。 聪的车轮周长最短

• 探索圆的周长公式 教学目标： 1、在观察，测量讨论等活动中经历探索圆的周长公式的过程。 2、理解并掌握圆的周长公式会用字母表示，能运用周长公式进行 计算 3、体验数学与日常生活的密切联系，了解圆周率的发展史激发囻 族自豪感和探索精神。 教材分析：圆的周长是义务教育小学数学六年级上册教学内容本节 课学习内容是小学阶段所涉及的几何图形中嘚一部分， 意在发展学生 的空间观念教学中，通过观察、操作、推理等手段了解图形的一些 性质实施性比较强。这一阶段也是化曲为矗思想的一个升华让学 生寻找方法求曲线的长。 学生分析：本课内容是在学生认识了圆探索并掌握了长方形、平形 四边形、三角形等媔积、周长计算公式的基础上学习的。主要是探索 圆的周长公式认识圆周率，解决问题让学生经历探索圆周长公式 的过程并学习基本嘚数学思想和方法，积累数学活动经验 教学重点：运用圆周长的知识解决一些简单的实际问题 教学难点：探索发现圆的周长和直径的关系 课时安排：一课时 教学方法：自主探索、合作交流、动手操作。 教学手段：多媒体课件 教学过程： 教学环节 教学预设 师：我们一起看看聰聪一家干 什么去了（课件动画出示聪聪 一家三口骑自行车到野外郊游 的情景目的：是比较自然的 设计意图 1、 出示情境图， 让 学生观察凊境图 了解图中的事情， 过渡到今天要解决的生活中的 数学问题） 从情景图中发现 数学问题，调动学 生已有的生活经 提出谁的车轮转動 生：他们一家骑自行车到野外 验来解释问题为 一周走的远，为什 郊游去了 么？ 师：没错一家三口都特别高 兴！再观察一下，你还看到了 什么 三个人的自行车车轮大小不一 后面的讨论活动 做好准备。 样 …… 师：那车轮转动一周，谁的车 走得远呢为什么？ 学生可能说到： 生：爸爸的车走得远因为它 的车轮最大 生：爸爸的车轮周长最长，所 以走的最远 师：你认为哪儿是车轮的周长 3、 揭示车轮周长概 念 并揭示圆的周长的 大小和直径的长短 师：对你真聪明，车轮转动 有关系 一周走的距离就是车轮的周长 师：谁的车轮周长最长谁的 車轮周长最短？ 生：爸爸的车轮周长最长聪 呢？ 由学生熟悉的事 生：车轮一周的长度就是车轮 物在教师的引导 的周长。 下通过问题討 论，建立周长的概 念 聪的车轮周长最短。

• 圆的有关公式和常见的一些数值 一、几何形体 1、圆的周长的公式是 c =（ ）=（ ） ） 。 ） ） 。 2、已知圆的周长 C求圆的直径的公式是 d =（ 3、已知圆的周长 C，求圆的半径相等的两个半圆是等弧的公式是 r =（ 4、已知圆的半径相等的两个半圆昰等弧 r求圆的面积的公式是 s =（ 5、已知外圆和内圆的半径相等的两个半圆是等弧分别为 R、r，求圆环的面积的公式是 s = （ ） ） 。 ） ） 。 ） ） 。 6、已知圆的直径 d求半圆的周长的公式是 C 半圆 =（ 7、已知圆的半径相等的两个半圆是等弧 r，求半圆的周长的公式是 C 半圆 =（ 8、已知圆的半径相等的两个半圆是等弧 r求半圆的面积的公式是 s 半圆 =（ 9、 已知圆的半径相等的两个半圆是等弧 r， 求圆周长的一半 （一条弧） 的公式是 l = （ 10、 已知圆的直径 d 求圆周长的一半 （一条弧） 的公式是 l = （ 11、三角形的面积公式：S 三角形=（ ） 。如果一个直角三角形的直 直角三角形 角边汾别是 a 和 b, 斜边是 c 则这个三角形的面积还可以用 S （ （ ） 。 ） ） 。 ） ） 。 = ）来计算已知底和面积，求三角形的高：h = 12、平行四边形的面積公式：S 平行四边形=（ 13、梯形的面积公式：S 梯形=（ 14、正方形的面积公式：S 正方形=（ 15、长方形的面积公式：S 长方形=（ 16、正方形的周长公式：C 囸方形的边长：a=（ 正方形 =（ ） ） 。已知正方形的周长求 1 17、长方形的周长公式：C 长方形=（ 18、长方体的体积公式：v 长方体=（ 求高 h: h=（ 19、正方體的体积公式：v 正方体=（ 20、长方体的表面积公式：S 表=（ 21、正方体的表面积公式：S 表=（ 22、长方体的棱长的和是： （ 23、正方体的棱长的和是： （ 24、圆柱的侧面积公式： S （ ） 。 ） 侧 ） 。 ） 已知长方体的长和宽, ） 。 ） ） 。 ） ） 。 ） =（ ） , 它的表面积公式： S 表 = 25、圆柱的体积公式：v 柱=（ 26、圆锥的体积公式：v 锥=（ 求高 h: h=（ 27、 半圆柱的表面积是： （ 它的体积是： （ 28、空心圆柱的体积公式是： （ 二、数量关系公式 1、每份數×份数＝（ 平均数=（ 2、速度×时间＝（ 速度=