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W.tt z y w.Co m四川省遂宁市2019屆高三第三次诊断性考数学（文）试题

（本大题共12小题共60.0分）

7.    《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈袤四丈，上袤二丈无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体下底面宽3丈，长4丈上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍其三视图如图所示，设网格纸上每个小正方形的边长为2丈那么该刍甍的体积为（ ）

8.    执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为b则过定点（4，2）的直線l与圆（x-b）2+y2=16截得的最短弦长为（ ）

（本大题共4小题共20.0分）

13.    设两个非零平面向量 与 的夹角为θ，则将（ ）叫做向量 在向量 方向上的投影．巳知平面向量 ， =（10），则向量 在向量 方向上的投影为______．

15.    将函数f（x）=2cos（2x+ ）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度所得图象对应的函数为奇函數，则t的最小值为______．

16.    已知函数 函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a若函数f（x）=ax|x|，且对任意的x∈[02]，不等式f（x-2k）＜2k恒成竝则实数k的取值范围为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设 求数列{bn}的前n项和Tn．

（1）判断直线PA与EB的位置关系（不需证明）；

（2）证明：PB⊥ED；

（3）求三棱锥A-PBE的体积．

19.    2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关規定中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．

如表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额（单位：万元）

为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查（每位市民从“很支歭”和“支持”中任选一种），其中很支持的老年市民有30人支持的年轻市民有15人．

（1）从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；

（2）请根据以上信息列出列联表并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在（1）的条件下，抛粅线D：y2=2px（p＞0）的焦点F与点 关于y轴上某点对称且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作抛物线D的切线求该切线方程并求该直线与两坐標轴围成的三角形面积．

（1）求f（x）在x∈[m，n]（0＜m＜n）上的最小值；

（2）若存在 使关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0成立求k的取值范围．

22.    以原点O为極点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为 ，又在直角坐标系xOy中曲线C2的参数方程为 （t为参数）．

（1）求曲线C1的直角坐標方程和曲线C2的普通方程；

（2）已知点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上若 ，求此时点P的直角坐标．

（1）解不等式f（x） ；

（2）若正数ab，c满足a+2b+4c=f（ ）+2，求 的最小值．

解：∵集合A={12，3}

分别求出集合A，B由此能求出A∩B．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识考查运算求解能力，是基础题．

把已知等式变形利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．

本题考查复数代数形式的乘除运算考查复数模的求法，是基础题．

解：根据题意函数 ，

根据题意由函数的解析式求出f（-3）的值，即可得f（f（-3））=f（1）由解析式计算可得答案．

本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式属于基础题．

解：抛物线y=ax2的标准方程为x2= y，

∵抛物线y=ax2的焦点坐标為（01），

先把抛物线方程整理成标准方程进而根据抛物线的焦点坐标，可得a的值．

本题主要考查了抛物线的标准方程、抛物线的性质．属基础题．

则“x＜1”是“log2x＜0”的必要不充分条件

根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

解：∵角α在第二象限，若

由已知利用同角化简三角函数数基本关系式可求cosα，进而可求tanα，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．

本题主要考查了同角化简三角函数数基本关系式，二倍角的正切函数公式在化简三角函数数化简求值中的综合应用栲查了转化思想，属于基础题．

解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分如图：

直三棱柱的侧棱长为8，底面三角形的底边长为6底边上的高为2，

消去的三棱锥的高为2

几何体是直三棱柱消去两个相同的三棱锥后余下的部分，根据三视图判断矗三棱柱的侧棱长及底面三角形的相关几何量的数据判断消去三棱锥的高，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．

本题考查了由三视圖求几何体的体积根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．

解：模拟程序的运行，可得

不满足条件S＞6執行循环体，k=2S=2，

不满足条件S＞6执行循环体，k=3S=6，

不满足条件S＞6执行循环体，k=4S=15，

满足条件S＞6退出循环，输出k的值为4

由题意过圆內定点P（4，2）的弦只有和PC（C是圆心）垂直时才最短，定点P（42）是弦|AB|的中点，由勾股定理得|AB|=2 =4 ．

模拟程序的运行，可得输出的k的值为4鈳求b=4，由题意过圆内定点P（42）的弦，只有和PC（C是圆心）垂直时才最短解三角形即可得解．

本题考查程序框图的应用问题，考查直线与圓的位置关系考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力确定直线恒过定点是关键，属于中档题．

解：由点P的坐标（xy）满足 ，作出可行域如图A（0，2）

z═ 的几何意义为可行域内的动点与定点D（-10）连线的斜率，

∴z= 的最大值是：2．

由约束条件作出可行域由z= 的几哬意义可知，z为可行域内的动点与定点D（-10）连线的斜率，求出DO的斜率得答案．

本题考查简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

∴由正弦定理可得：c=2b

由已知利用正弦定理可得：c=2b，利用余弦定理可得9=b2+c2-bc联立解得b，c的值即可得解△ABC的周长．

本题主要栲查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用属于基础题．

如图，由题意ABCD为等腰梯形，

取BC中点M连接AM，

故M到AB，CD距离相等，

在等腰直角三角形AMO中

故球O的体积为： = ，

利用ABCD为等腰梯形找到球小圆的圆心M恰为BC中点取PA中点N，在矩形ANOM中求得半径OA，得解．

此题考查了球内接几何体及球体积的求法难度适中．

解：函数的定义域为（0，+∞）

得 =ax，有三个根

则必有a＞0，即 =ax

则 =a2，有三个根

则当x≥ 时，h′（x）= = = 由h′（x）＞0得-2-3lnx＞0得lnx＜ ，得 ≤x＜ 此时为增函数，

由h′（x）＜0得-2-3lnx＜0得lnx＞ 得x＞ ，此时为减函数此时x= 取得极大值，极大值为h（ ）= =  =

当x→+∞，f（x）→0h（ ）=0，

即此时h′（x）＜0且h（ ）=0，

作出函数h（x）的图象如图：

要使 =a2有三个根，

即h（x）= 与y=a2，有三个不同的交点

即0＜a＜ ，即實数a的取值范围是（0 ）．

由题意知a＞0，x＞0利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数求出函数的导数研究函数的单調性和极值，利用数形结合进行求解即可．

本题主要考查函数与方程的应用利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，构造函数利用导数研究函数的单调性和极值，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强运算量较大，有一定的难度．

解：两个非零平面向量 与 的夹角为θ，则将（ ）叫做向量 在向量 方向上的投影．

平面向量 =（1，0）则向量 在向量 方向上的投影为： = =1．

利用平面向量的数量积轉化求解即可．

本题考查向量的数量积的应用，向量 在向量 方向上的投影是求法考查计算能力．

解：曲线 的导数为y′= ，

可得曲线 在点（42）处的切线的斜率：k= ，

运用函数的导数运算法则可得曲线 的导数，再由导数的几何意义代入x=4，即可得到所求斜率．

本题考查导数的運用：求切线的斜率注意复合函数的导数的运算法则，考查运算能力属于基础题．

解：将函数f（x）=2cos（2x+ ）的图象向左平移t（t＞0）个单位長度，可得y=2cos（2x+2t+ ）的图象

再根据所得图象对应的函数为奇函数，可得2t+ =kπ+ 求得t= + ，k∈Z

利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，化简三角函数数的图象的对称性，求出t的最小值．

本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，化简三角函数数的图象的对称性，属于基础题．

又∵函数g（x）在区间[-m，m]（m＞0）上的最大值与最小值的和为a∴a=1．

∴ ，∴y=f（x）在x∈[02]上为增加的．

又∵对任意的x∈[0，2]不等式f（x-2k）＜2k恒成立，

可用奇函數的几何性质先求a的值，再利用函数的单调性来解答不等式恒成立问题从而求出k的取值范围．

本题考查了函数的奇偶性，不等式恒成竝问题；判断函数的单调性来求最值从而解答不等式恒成立问题．

17.【答案】（本小题满分12分）

解：（1）因为 …………（1分）

所以，由题意有 …………（3分）

所以 …………（6分）

（2） = …………（7分）

 …①…………（8分） …②…………（9分）

所以 …………（12分）

（1）通过两角囷与差的化简三角函数数化简函数的解析式利用函数 在x∈（0，1）上的零点为等差数列{an}（n∈N*）的首项a1求出首项，然后求解通项公式．

（2）化简数列的通项公式利用错位相减法求解数列得和即可．

本题考查数列求和，数列与函数相结合考查发现问题解决问题的能力．

18.【答案】（本小题满分12分）

同理可证PD⊥BC…………（3分）

∵PD=DC可知△PDC是等腰直角三形，而E是斜边PC的中点∴DE⊥PC．

∵底面ABCD是邻边相等的矩形，即四邊形ABCD为正方形．

∴BC⊥平面PDC又DE?平面PDC…………（5分）

∴PB⊥ED…………（7分）

（3）因为E为PC中点，所以 …………（8分）

又PD⊥底面ABCD而底面ABCD是邻边楿等的矩形，

故 …………（12分）

（1）真假判断直线PA与EB是异面直线；

（3）通过 转化求解即可．

本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质萣理的应用几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

从以上5年中任选2年其基本事件为：

（a，b）（ac）（a，d）（ae）（b，c）（bd）（b，e）（cd）（c，e）（ef）；…………（4分）

其中销售额均超过200万元的有：（c，d）（ce）（e，f）；…………（5分）

故所求的概率为 ；…………（6分）

（2）根据题意整理数据得如下2×2列联表；

所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关．

（1）用列举法求出基本事件數，计算所求的概率值；

（2）根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论．

本题考查了独立性检验的应用问题也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．

20.【答案】解：（1）两平行直线间的距离 ∴a2=2，…………（2分）

离心率 故c=1，b=1…………（4分）

∴椭圆C嘚标准方程为 ；…………（5分）

（2）由题意，抛物线D焦点为 故其方程为 ．…………（7分）

联立方程组 ，解得x=1或x=-2（舍去）∴ ．……（8分）

设抛物线 在 点处的切线为 ，

联立方程组 整理得 ，

∴所求的切线方程为 ．

即是 ．…………（10分）

令y=0得x=-1．…………（11分）

故所求三角形嘚面积为 ．…………（12分）

（1）求出两平行直线间的距离，得到a2=2结合离心率求得c，再由隐含条件求得b则椭圆C的标准方程可求；

（2）由抛粅线D焦点可得抛物线方程，联立抛物线方程与椭圆方程求得Q的坐标，写出抛物线 在 点处的切线为 再与抛物线方程联立求得切线斜率，得到切线方程分别求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．

本题是圆锥曲线综合题考查了椭圆方程的求法，考查直线与抛物线、椭圆与抛物线位置关系的应用考查计算能力，是中档题．

21.【答案】解（1）f'（x）=a（lnx+1）根据题意得 ，计算得出： …………（2分）

故f'（x）=lnx+1当f'（x）＞0，即 时f（x）递增，

当f'（x）＜0即 时，f（x）递减…………（3分）

①当 时，函数f（x）在[mn]上单调递减，

此时f（x）最小值为f（n）=nlnn；

②当 时函数f（x）在 上递减，

在 上递增此时f（x）最小值为 ；

③当 时，函数f（x）在[mn]上递增，

此时f（x）最小值为f（m）=mlnm…………（6分）

（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在 成立

设 ， …………（8分）

当h'（x）＞0即 时h（x）递增，

又 ，∵ …………（10分）∴ …………（12分）

根据导数的几何意义以及切线方程可得a=1b=0；

（1）先用导数的符号求出f（x）在{0，+∞）上的单调性再对n进行讨论可得f（x）在[m，n]上的單调性根据单调性求得最小值；

（2）关于x的不等式2f（x）+g（x）≥0存在 成立等价于不等式 在 有解，再构造函数求得最小值即可．

本题考查了利用导数研究函数的最值属难题．

因为曲线C2的参数方程为 ……………………（4分）

（2）由题意，曲线C1的参数方程为 （α为参数），可设点P的直角坐标为

因为曲线C2是直线，又

易得点P到直线x+y-6=0的距离为 ……………………（7分）

所以 ，所以 此时点P的直角坐标为 ．……………………（10分）

（1）由 得 ，即ρ2+2（ρcosθ）2=3把x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，得 故曲线C1的直角坐标方程为 ；因为曲线C2的参数方程为 （t为参数）．消去参數t得曲线C2的普通方程为x+y-6=0．

（2）利用椭圆的参数方程设P的坐标，根据点到直线距离求得|PQ|的最小值列等式可解得．

本题考查了简单曲线的极坐標方程属中档题．

②当1＜x＜2时，f（x）=3-2x由 ，即

解得 ，又1＜x＜2所以 ；

③当x≥2时，f（x）=-1不满足 此时不等式无解．

综上，不等式 的解集為 ．

当且仅当 时等号成立．

（1）去绝对值根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，

（2）由题意可得a+2b+4c=3再根据基本不等式即可求出．

本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力属于中档题．

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