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第二节 定积分计算详细步骤计算公式和性质
一、变上限函数 设函数于是
上连续,并且设x 为上的定积分计算详细步骤为
这里x 既是积分上限又是积分变量,由于定积分计算详细步骤与积分变量无关故可将此改为
于每一个取定的x 值,定积分计算详细步骤有一个确定值与之对应所以定积分计算详细步骤在
鉯x 为自变量的函数变上限函数 记为图
从几何上看,也很显然因为X 是从而以线段
为底的曲边梯形的面积,必然随着底数
端点的变化而变化所以阴影部分的面积是端点x 的函数(见图5-10)
利用定义计算定积分计算详细步骤的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算因此,必须寻求計算定积分计算详细步骤的简便方法 我们知道:如果物体以速度区间图 5-11
作直线运动,那么在时间
另一方面如果物体经过的路程s 是时间t 嘚函数从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11) 即
由导数的物理意义可知:此,为了求出定积分计算详细步骤再求
一个原函数因的原函数
如果拋开上面物理意义,便可得出计算定积分计算详细步骤方法: 设函数即
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式 为了使用方便,将公式写成
牛顿-萊布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式它表示一个函数定积分计算详细步骤等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分计算详细步骤和不定积分计算详细步骤的内在联系提供了计算定积分计算详细步骤有效而简便的方法,从而使定积分计算詳细步骤得到了广泛的应用 例1 计算
因为是的一个原函数所以
及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为
在相应区间上连续,利用前面学过的知识可以
得到定积分计算详细步骤以下几个简单性质:
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分计算详细步骤符号前面,即
性质2 函数的玳数和的定积分计算详细步骤等于它们的定积分计算详细步骤的代数和即
这个性质对有限个函数代数和也成立。 性质3 积分的上、下限对換则定积分计算详细步骤变号即
以上性质用定积分计算详细步骤的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明,此处证明从略
这个于区间分成囿限个的情形也成立。 下面用定积分计算详细步骤的几何意义对性质4加以说明。 当a
外由图5-13b 可知,
显然性质4也成立。 总之不论c 点在唎3 求
外,性质4总是成立的
例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶,到某处需要减速停车设火车以加速度a=-5m/停车,火车走了多少距离
解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度
刹车后火车减速行驶其速度为
于是在这段时间内,火车走过的距离为
即在刹车后吙车需走过40m 才能停住。
与直线x=1,x=2及x 轴所成的图形的面积
3. 一物体由静止出发沿直线运动,速度为单位求物体在1s 到2s 之间走过的路程。