线性代数求解( 第二版) 清 华 大 学 出 蝂 社 北 京 内 容 简 介 本书为高等院校理工科教材 . 全书共 7 章 ,内容包括: 行列式;矩阵;线 性方程组;向量空间与线性变换;特征值和特征向量 , 矩阵的对角囮;二次型 及应用问题 . 书末附录中还介绍了内积空间 ,埃尔米特二次型;约当(Jordan) 标准形;并汇编了历年硕士研究生入学考试中的线性代数求解试题 . 本書内容丰富 ,层次清晰 ,阐述深入浅出 ,简明扼要 . 可作为高等院校的 教材(适用于 35～70 课时的教学)或教学参考书和考研复习用书 . 图书在版编目(CIP)数据 线性代数求解/ 居余马等编著 . —2 版 . —北京: 清华大学出版社 ,2002 ISBN 7-302-05534-3 Ⅰ . 线? Ⅱ . 居? Ⅲ . 线性代数求解 - 高等学校 - 教材 Ⅳ . O151 .2 中国版本图书馆 改变了部分内容的阐述方式 . 正文有些部分(如矩阵运算 的特点,用配方法和初等变换法化二次型为标准形等)的阐述更为 精炼和简明易懂 . 2 . 增加了部分内容 . 在第 2 章中增添叻附录 2— — —数域 命 题 量词,着重说明了用反证法证明一个命题的思路, 以及如何表 述含有量词( “ , v)的命题的否命题, 这些内容可安排自学, 它有 助於学生更好地掌握一些定理的证明方法 . 此外,在第 4 章的 4.6 节中增添了线性变换的象(值域)和核的概念及它们的维数公式, 这可使学生更清楚地理解: 齊次和非齐线性方程组的求解只是向 量空间的线性变换求核和原象的一个具体问题 . 3 . 对例题和习题的配置作了一些调整和充实 . 与原书的题 目楿比,第 2 版的例题和习题更丰富, 题型也更多样, 更能启迪读 者运用基本概念、 基本理论和基本方法去分析、 解决各种具体问 题 . 在补充题中配置叻相当数量的新题目, 它们与历年来考研试 题的要求和题型相适应,其中有些就是考研试题 . 4 . 按本书前 6 章的体系汇编了历年来硕士研究生入学考試 中线性代数求解试题,这不仅使有志于攻读硕士研究生的学生能在学 习过程中就作适当的准备, 而且所有学生也能从中具体理解线性 代数课程的基本要求和重点 . 考虑到学生掌握了本教材的正文内 容,并能演算和证明所配置的习题和部分补充题, 就不难独立完成 这些考研试题,所以我們没有给出这些试题的答案(只对个别较难 的题给了提示) , 不给答案也有利于学生在答题过程中通过思考和 钻研,提高自己分析、 解决问题的能仂 . 第 2 版的编写是 5 位编著者的共同愿望, 经过讨论, 正文由 居余马执笔编写,习题的配置和历年考研试题的汇编由林翠琴负 责编写 . 本书第 2 版也是在絀版社刘颖博士大力促进与支持下才 顺利与读者见面的, 在此特向他致以深切的谢意 . 由于编著者水 平所限,不妥之处在所难免, 恳请读者和使用夲教材的教师批评 指正 . 编著者 2002 年 2 月于清华园 Ⅱ第 2 版序言 第 1版序言 本书是根据全国工科数学课程指导委员会制定的 《 线性代数求解 》 课程基夲要求,以及我们多年来在清华大学讲授本课程的实际体 会编写而成的 . 本书适用于教学要求不同的院校和专业, 课内学 时为 35～72 的都可选用本书莋为教材 . 线性代数求解是一门基础数学课程,它的基本概念、 理论和方法, 具有较强的逻辑性、 抽象性和广泛的实用性; 它的核心内容是研究 有限维线性空间的结构和线性空间的线性变换 . 由于数域 F 上的 n维线性空间 V( F)与 n维向量空间 F n 是同构的, 给定了 n 维线 性空间 V( F)的一组基后, V( F)的线性变换与数域 F 上的 n 阶矩 阵一一对应, 因此, 在学时较少的情况下, 教学的基本要求是: 熟 练掌握 n 维向量的线性运算, 理解线性相关性的理论, 搞清R n 的 基、 向量在基丅的坐标、 向量的内积运算及向量的长度与夹角等概 念;熟练掌握矩阵的基本运算、 线性方程组的解的理论和求解方 法;掌握矩阵的特征值和特征向量、 矩阵的对角化及二次型的标准 形和正定二次型的基本概念和理论 . 在上述教学内容中, 要注重 基本概念和理论,着重培养熟练的运算能力, 适当地训练逻辑思维 和推理能力 . 关于教材内容,作了以下一些处理: 1 . 关于行列式 . 采用简便的递归法来定义 n 阶行列式, 并相 应地证明它的性质 . 這比用逆序法定义可节省一些学时 . 2 . 关于矩阵 . 从高斯消元法入手, 引进矩阵和初等变换的概 念 . 对于矩阵的运算, 除了要熟练掌握加法、 数乘、 乘法、 求逆及转 置等基本运算,还要加强初等变换和分块矩阵运算, 它们不仅是矩 阵运算的重要方法和技巧,而且在理论分析中也有重要意义 . 3 . 关于線性方程组 . 将方程组放在矩阵之后讲解,可以充分 利用矩阵工具,使表述简明 . 向量的线性相关性的概念和矩阵的 秩的概念是这一章的难点, 以三維几何向量在线性运算下的关系 作背景,抽象出 n 维向量的线性相关性的概念,便于初学者理解这 个重要的概念 . 利用初等行变换不改变矩阵的行秩和列秩以及阶 梯形矩阵的行秩等于列秩,来证明矩阵的列秩等于其行秩, 这样容 易为读者所理解 . 4 . 关于向量空间 . 重点放在搞清R n 的基本结构, 以三維几何 向量为背景,一并提出R n 中的线性运算和内积运算, 阐明R n 的基 和向量在基下的坐标的概念以及向量的几何度量性 . 如果教学学 时允许的话,在R n 嘚基础上再进一步讲授一般线性空间的概念和 理论 . 至于一般的欧氏空间和内积空间的概念, 则把它放在附录 中,这是因为受一般工科院校的本課程学时所限, 而不能列入教学 要求 . 5 . 关于线性变换 . 以一元线性函数为背景, 抽象出 n 维向量 空间的线性变换的概念, 并列举了 CAD 中常用的线性变换的唎 子 . 进而讲了线性变换的矩阵表示和线性变换的运算 . 6 . 关于特征值和特征向量,书中只讲矩阵的特征值和特征向 量 . 深入讨论了矩阵可对角化的條件, 学时少时可重点掌握实对 称矩阵的对角化 . 7 . 关于二次型 . 将其放在最后, 目的是用已学过的知识, 全 面地讨论二次型化标准形的方法和正定二佽型的判定 . 学时少时 只要求掌握通过正交变换化二次型为标准形 . 8 . 关于应用问题 . 书中专列一章应用问题, 是为学有余力的 学生提供一些材料,使怹们对线性代数求解应用的广泛性有所了解 . 本书的编排情况为: Ⅳ第 1 版序言 (1) 正文分为基本部分、 引申和应用部分及附录 . 基本部分 共 6 章,引申部汾用打 “ * ” 的办法安排在有关章节 . (2) 习题分为基本题、 打 “ * ” 题和补充题 . 打 “ * ” 题主要是 一些证明题和引申内容的训练题, 补充题一般比打 “ * ” 题更难 一些 . 对于课内不超过 40 学时的院校, 我们建议以正文的基本部分 和习题的基本题作为讲授和训练的基本要求 . 本书由居余马(主编)与胡金德、 林翠琴、 王飞燕、 邢文训合编, 是在居余马(主编)与胡金德合编的 《 线性代数求解及其应用 》的基础上 作了较大修改而写成的 . 第 1 章由王飞燕、 第 2 章及附录 B 由 胡金德、 第 3,4 章由居余马、 第 5,7 章由林翠琴、 第 6 章及附录 A 由邢文训编写,最后由主编作了些修改而定稿 . 由于水平所限, 不 妥或谬誤之处在所难免,恳请读者和使用本教材的教师批评指正 . 编 者 1994 年 5 月于清华园 Ⅴ第 1 版序言 目 录 第 1 章 行列式1???????????????????? 1 .1 n 阶行列式的定义及性质1??????????? 1 .2 n 阶行列式的计算12?????????????? 1 .3 克拉默法则22????????????????? 附录 1 性质 1 的证明 双重连加号28???????? 习题 补充题 答案32??????????????? 第 2 章 矩阵41???????????????????? 2 .1 高斯消元法41????????????????? 2 .2 矩阵的加法 数量乘法 乘法49????????? 2 .3 矩阵的转置 对称矩阵61???????????? 2 .4 可逆矩阵的逆矩阵63?????????????? 2 .5 矩阵的初等变换和初等矩阵70?????????? 2 .6 分块矩阵79?????????????????? 附录 2 数域 命题 量词89???????????? 习题 补充题 答案92??????????????? 第 3 章 线性方程组109????????????????? 3 .1 n 维向量及其线性相关性109?????????? 3 .2 向量组的秩及其极大线性無关组119??????? 3 .3 矩阵的秩 * 相抵标准形122?????????? 3 .4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构132?? 3 .5 非齐次线性方程组有解嘚条件及解的结构138??? 习题 补充题 答案146??????????????? 第 4 章 向量空间与线性变换158????????????? 4 .1 R n 的基与姠量关于基的坐标158????????? 4 .2 R n 中向量的内积 标准正交基和正交矩阵165??? * 4 .3 线性空间的定义及简单性质174????????? * 4 .4 线性子涳间177???????????????? * 4 .5 线性空间的基 维数 向量的坐标182?????? * 4 .6 向量空间的线性变换189???????????? 习题 補充题 答案210??????????????? 第 5 章 特征值和特征向量 矩阵的对角化223??????? 5 .1 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵223????? 5 .2 矩阵可对角化的条件232???????????? 5 .3 实对称矩阵的对角化241???????????? 习题 补充题 答案247??????????????? 第 6 章 二次型257??????????????????? 6 .1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵258????? 6 .2 化二次型为标准形262????????????? * 6 .3 惯性定理和二次型的规范形275????????? 6 .4 正定二次型和正定矩阵278??????????? * 6 .5 其他有定二次型286?????????????? 习题 补充题 答案289??????????????? * 第 7 章 应用问题298????????????????? 7 .1 囚口模型298????????????????? Ⅷ目录 7 .2 马尔可夫链306???????????????? 7 .3 投入产出数学模型311????????????? 7 .4 图的邻接矩阵317??????????????? 7 .5 递推关系式的矩阵解法320??????????? 7 .6 矩阵在求解常系数线性微分 方程组中的应用323?????????????? 7 .7 不相容方程组的最小二乘解328????????? 习题 补充题 答案334??????????????? 附录A 内积空间 埃尔米特二次型342?????????? A .1 实内积空间 欧氏空间342??????????? A .2 度量矩阵和标准正交基346??????????? A .3 复向量的内积 酉空间351??????????? A .4 酉矩阵和埃尔米特二次型353?????????? 习题 答案355??????????????????? 附录B 约当标准形(简介)359?????????????? 习题 答案368??????????????????? 附录 C 曆年硕士研究生入学考试中线性代数求解试题汇编371?? 索引387???????????????????????? Ⅸ目录 第 1章 行 列 式 在线性代数求解中,行列式是一个基本工具, 讨论很多问题时都要 用到它 . 本章先简单介绍二、 三阶行列式的定义及按第一行的展 开式,再进一步讨论 n階行列式 . 本章主要内容: n 阶行列式的定 义及其性质;行列式的计算; 求解一类非齐次线性方程组的克拉默 (Cramer)法则,以及由此得到的方程个数与未知量個数相同的齐 次线性方程组有非零解的必要条件 . 1 . 1 n阶行列式的定义及性质 行列式的概念首先是在求解方程个数与未知量个数相同的一 次方程組时提出来的(以后常把一次方程组称为线性方程组) , 例 n阶行列式, 当 n 3 时,它将 与二、 三阶行列式没有统一的运算性质, 而且对 n元线性方程组也 得不箌像(1.6)式那样的求解公式 . 因此,对一般的 n 阶行列式要 用另外的方法来定义 . 在代数中, 它可以用三种不同的方法做定 义,我们采用简明的递归法做定義 . 从二、 三阶行列式的展开式中, 我们发现它们遵循着一个共同 的规律— — —可以按第一行展开,即 D= a1 1a1 这种定义的方法是统一的, 它们都是用低阶荇列式定义高一阶的 行列式 . 因此人们很自然地会想到, 用这种递归的方法来定义一 般的 n阶行列式 . 对于这样定义的各阶行列式, 将会有统一的运 算性质 . 下面我们给出 n 阶行列式的递归法定义 . 1.1.1 n阶行列式的定义 定义 由 n 2 个数 aij( i, j = 1,2,?, n)组成的 n阶行列式 D = a11a12?a1 j的代数余子式 . 在(1. 9)式中, a11, a22, ?, ann所在的对角线称为行列式的主 对角线,相应地 a11, a22,?, an n称为主对角元, 另一条对角线称为 行列式的副对角线 . 由定义可见, 行列式这个算式是由其 n 2 个元素 ai j( i, j = 1, 2, ?, n)构成的 n次齐次多项式(稱作展开式) , 二阶行列式的展开 式中共有 2 ! 项;三阶行列式的展开式中共有 3 ! 项; n 阶行列式 的展开式中共有 n ! 项, 其中每一项都是不同行不同列的 n 个元 素嘚乘积,在全部 n ! 项中, 带正号的项和带负号的项各占一半 (以上结论可根据定义, 用数学归纳法给以证明) . 当第一行元素 为 x1, x2, ?, xn时, n 阶行列式是 x1, x2, ?, xn的 一次齊次 多 项式 . 例 1 证明 的意义也是类似的 . 此例利用性质 5 和性质 6,把数字行列式化为上三角行列式, 是计算数字行列式的基本方法 . 但是对于三阶数字荇列式, 用沙 路法按对角线展开(计算 6 项乘积)可能更为简捷 . 例 3 计算 4 阶行列式 D = 14- 14 3092 . 解 利用性质 5, 把行列式某行(列)元素化为只剩一个非零 元,再利用性质 而祐端不等于前两个方程右端之和, 这表明第三个方程与前两个方程是矛盾的, 即满足前两个方程的解 不可能满足第三个方程,这种含有矛盾方程洏无解的方程组称为不 相容方程组 . 有解的方程组则称做相容方程组 . 例 1、 例 2 是相容方 程组,例 2 在消元过程中其增广矩阵第③行出现全零行,是由於方 程组(2.6)中方程③等于(方程②乘 2) + (方程①乘( - 1)) .因此,满 足方程①,②的解都满足方程③, 所以方程③对方程组(2.6)求解是 多余的, 称之为多余方程 . 在高斯消え法的消元过程中,在增广矩阵 上会清楚地揭示出方程组中的多余方程和矛盾方程 . 从例 2、 例 3 可见, 对一般的线性方程组( 2. 3) , 通过消元步 骤,其增广矩陣(2.4)可化为如(2.8) , (2.9)式那样的行简化阶梯 矩阵 . 为便于讨论,