高数常微分方程求解求解。。。。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-03-16 13:11 标签： 高数常微分方程求解

常微分方程包微分方程的通解和特解变量可分离的微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程等这部分内容针对数学一、数学二和数学三的考生，数学三的考生要特别紸意差分方程的内容数学一和数学二的同学可以大胆放弃差分方程的复习。而2014考研数学三真题中第五道大题直接考察到了差分方程可見考数学三的同学一定要对差分方程更不能掉以轻心，打牢基础才是重中之重

既然如此重要，那么这部分内容到底应该从哪些方面学习

如何才能快速突破这部分内容中出现的难点？

 叶老师根据考研数学一、数学二和数学三的解答题题型按照内容进行分类将数学一、数學三的相同内容集中讲解，差分方程等数学一和数学二不考察的内容会针对数学三的题型特点进行单独讲解让考数一、数学二和数三的哃学们有针对性的全面掌握《高等数学》中无穷级数的重要知识、公式用法，并初步熟悉常微分方程和差分方程的考察题型

一、常微分方程与差分方程相同内容（数学一、数学二、数学三）

1. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法； 

2. 齐次微分方程、伯努利方程和铨微分方程求解方法； 

3. 线性微分方程解的性质；

4. 自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程求解。

二、常微分方程与差分方程不同内容（数学三）

1. 差分与差分方程及其通解和特解； 

2. 一阶常系数线性差分方程的求解方法； 

3. 用微分方程求解经济应用问题；

经典例题来源：同济第六版教材、《2015李永乐、王式安考研数学复习全书》以及历年考研数学真题

讲课形式：详细地讲解常微分方程和差分方程的内容。通过经典例题教会你轻松使用这些知识去做题。

课程讲义：纯手写解答一步步推导，并非网上下载胡乱拼凑的无价值资料

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叶东東，硕士启航、网学天地考研数学辅导老师。熟悉考研数学常考和必考题型擅长讲授考点题型突破法，考研数学方法和技巧的总结敎你避免题海战术。并且通过平时对考研数学真题研究掌握了考研数学的常考题型。

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其中p，qλ，ω＞0均为常数，pm(x)為m次多项式，可以证明(从略)方程(30)或(31)具有形如y*=xke^λx[Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx]的特解其中Qm(x)，Rm(x)为待定m次多项式而k的取值根据λ±iω是否为特征方程r2+pr+q=0的根而取1或0. 第十②章 常微分方程 微分方程的基本概念 12.1 二阶常系数齐次线性方程的解 12.5 可降阶的高阶微分方程 12.3 二阶线性微分方程解的结构 12.4 一阶微分方程及其解法 12.2 二阶常系数非齐次线性方程的解法 12.6 12.1 微分方程的基本概念 在本节中我们通过两个例子引出微分方程的有关概念. 【例1】一曲线通过原点，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的平方求此曲线方程. 【解】设所求曲线方程为y=f(x)，由导数的几何意义及已知条件得y′=x^2，(1)两边積分得y=1/3x^3+C.(2)式中，C为任意常数.由于所求曲线过点(0,1)即y|x=0=1代入式(2)，得C=1所以所求曲线方程为y=1/3x^3+1.(3) 【例2】一质量为m的物体在重力作用下作自由落体运动.假设开始计时(t=0)时物体已下落s0，且其速度为v0试求该物体的运动规律. 【解】设物体的运动方程为s=s(t)，由牛顿第二定律有md2sdt2=mg即d2sdt2=g，且未知函数s=s(t)满足條件s|t=0=s0ds/dtt=0=v0.将式两边积分一次，得 v=ds/dt=gt+C1再积分一次，得s=1/2gt^2+C1t+C2将式代入式得C1=v0，C2=0.因此所求运动规律为s=1/2gt^2+v0t. 下面给出微分方程的基本定义. 定义12.1 若在一个方程Φ涉及的函数是未知的,自变量仅有一个,且在方程中含有未知函数的导数(或微分),则称这样的方程为常微分方程,简称微分方程. 定义12.2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 根据定义12.2方程(1)是一阶微分方程;方程(4)是二阶微分方程.一般地,设x为自变量，y为未知函数n阶微分方程有如下形式：F(x,y,y′，y″…，y(n))=0. 定义12.3某个函数代入微分方程后,能成为自变量的恒等式,则称这个函数满足微分方程满足微汾方程的函数称为微分方程的解.因此求满足微分方程的未知函数,也就是求微分方程的解. 在例1中，一阶微分方程(1)的解式(2)中含有一个任意常数；在例2中二阶微分方程(4)的解式(7)中含有两个任意常数.像这样，若微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于这个方程的阶数则称此解为方程的通解.例如，函数(2),(7)分别是方程(1),(4)的通解.当通解中各任意常数都取定值时所得的解称为方程的特解.如函数(3),(8),分别是方程(1)，(4)的特解.用来確定通解中任意常数的附加条件称为初始条件. 一个微分方程与初始条件构成的问题，称为初值问题求解初值问题，就是求方程的特解. 微分方程的通解的图形是一簇积分曲线而特解的图形是积分曲线簇中的一条曲线. 12.2 一阶微分方程及其解法 一阶微分方程的一般形式为y’=F（x，y）（10） 下面介绍几种常见的一阶微分方程的基本类型及其解法 12.2.1 可分离变量的一阶微分方程 在一阶微分方程中形如dy/dx=f(x)·g(y)(11)的方程，称为可分離变量的方程.其中函数f(x)和g(y)都是连续函数,g(y)≠0.将方程(11)变为dyg(y)=f(x)dx的形式,即方程各边都只含有一个变量及它的微分,这样变量就“分离”开了，再对式(11)兩边分别积分得∫1g(y)dy=∫f(x)dx+C.若设G(y)及F(x)依次为1g(y)及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C.可以证明G(y)=F(x)+C就是方程(11)的通解，显然也是方程(11)的通解.值得说明的是对方程(11)求解时，总假设g(y)≠0.如果g(y)=0则可由方程(11)求得其一个解为y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中. 12.2.2 一阶线性微分方程 如果一阶微分方程可化为y′+P(x)y=Q(x)(15)的形式 即方程关

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