7．设 2 2???? 3 , 2 , 1 ?x 8．设 A 是 n 阶方阵苴 A 的行列式 0??而 *A 是 A 的伴随矩阵，则* 1?? 9．若齐次线性方程组?????????????? 只有零解则? 应满足 1 ?? 条件。 二． 计算題 1． 已知 5阶行列式 321?求434241 ?和4544 其中 解 ?????????????1 ??????????1 2．
计算行列式1111???????D 。 解?????????????D 2 8 091 4 1111??????? 3． 设 A 是 n 阶方阵 ，且 0?A 求 。 3 解 ??????? ? 00 ???? 4． 设 A 是 n 阶实对称矩阵 022 ?? 若 0 ?? ，求 ? 解 ，是实对称矩阵? 相似于对角阵 20022 ???? 和的特征值为由 而 rA k ,
所以 重的特征值是 。 对于矩阵 A3I , 有一个 1重的特征值k 以及一个 3重的特征值 ， ??? 33 5． 计算,,2,1,???????????解??????????????2211321????????????????2322111?? ?? ??????? ???? nk 矩阵部分 一． 填空题 4 1． 设 三 阶 方 阵 A B 满足 ?? 61
，且???????????A 则 11????????????? ?? 2． 设????????????????，其中 ,,3,2,10,0 ???则矩阵 A 的秩 1 . 3． 设 A 是 34? ??????????????????????0041003则逆矩阵 11????????????? ?6． 设????????????? B 为三阶非零矩阵，且 则 3 ??t
阶的可逆矩阵，则分块矩阵????????? X 0的逆矩阵0 1 1111 ???????? ?? ? ???? A 11． 设 n 阶方阵 A 满足方程 0232 ??? 则 A 的逆矩阵 3211 ??（ 3 ??? ） 12． 设???????????A 而 2?n 为正整数，则 0 2 1 ?? ?A 22 12 ???? 13． 设 A B 是 n 阶矩阵，且 B 则
1 ?? ? （ ???????????? ） 二． 选择题 1． 设 n 阶矩阵 A ， B ，其中 E 是 n ???????????????????????????????????????????????131211 C ） 21 ?? ．设 A n 阶方阵，则必有（ D ） （ A） ?? （ B） （ C） 111 ??? ??? （ D） 6.设 n A 1
Bn?11C –1 D11?1,,, ?? ?? 为 n 阶可逆矩阵 ,则 111 ??? ? 于 C A 11 ?? ? B C ?? D 1 ?? 三． 计算题 1． 已知???????????A 求 （ n 是自嘫数） 7 解由归纳法，?????????????? ??． 已知 B 其中 ????????????B ， ????????????P 求 A 及 5A
解??????????????P ?????????????? ?P B ??? ??? ．已知 n 阶方阵 ?????????????????2222??????中所有元素的代数余子式之和。 解 可逆? 2 ?????????????????????001211?????????A ,1* ??????? ??????? ??? 3． 已知矩阵 满足 ??
其中????????????A ，求矩阵 B 8 解 22 ?????? ????????????????B 5．设矩阵 ，满足 ,82* ? 其中 ?????????????A *A 是 矩阵 B 解 ? ????????????????????????????????*已知?????????????A ，且 ?2 其中 I 为三阶单位矩阵，求矩阵 B
解???????????????????????????????????????? ?11117． 设 n 阶方阵????????????????????????，求 解? ? ? ????????????????????????????????????????????????11111????????????????故 1?a 时 1 ? ?1 时， rA 当 a≠ 1且 a≠ 1
rAn 四． 证明题 9 1． 设 A 是 n 阶非零方阵 *A 是 A 的伴随矩阵， A 的转置矩阵当 * 时，证明 0?A 证明 ? ? ??????? 02*证（反证法） 10 ???? 00 1 **** ????????? T? 与题设矛盾。 2． 设 A 是 n 阶方阵若 0?A ，证明 0* ?A （其中 *A 是 证明 3． 设44 ??
0,4,3,2,1,11 ???? 证 1??A 证明101 424* ??????????????? 1 ??????? ????jj 4． 用矩阵秩和向量组秩的关系证明 },mi n { 证明设??...........................1121121 ??????????????????????即 列皆由 A 的列线性表示，故 , 类似可证 行皆由 B
的行线行表示所以 。 5． 设 A 为 矩阵 B 为 矩阵，若 0?证明 ? 证明 0........2121 ??? 0 ?? 从而 1 * ?（ 3） ?? 1 的所囿 子式全为零故 0* ?A ，从而 0 * ? 空间向量与线性方程组部分 一． 填空题 1. 设 ,2 ??? ?????? ][ 2 ??? 2. 点 4,2,1 ? 在平面 0432 ???? 的投影点是
724,72,71 ?（????????????将其代入 0432 ???? 得 74??t ） 4． 过原点及点 2,3,6 ? 且与平面 024 ??? 直的平面方程是 0322 ??? 5． 面上的直线 ? 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 22 ??? 6． 曲线???????????? 面上的投影曲线为????????043 2227． 已知向量组
?????????????????常数4321 ,,, 足条件 04321 ???? （??????????????????????????????????? 10．若向量组（ ? ）可甴向量组（ ? ）线性表示则秩（ ? ） ? 秩（ ? ）。 二．选择题 1． 设直线???????????平面 0224 ???? 则（ B ） （ A） L 与 ? 平行 （ B） L 与 ?
垂直 （ C） L 在 ? 上 （ D） L 与 ? 斜交 2．已知 21,?? 是非齐次线性方程 的两个不同的解，21,??是对应的齐次线性方程组 0?基础解系 21,任意常数，则方程组 的通解必是（ B ） A 2 2121211 ????? ???? B 2 2121211 ????? ???? C 2 2121211 ????? ???? D 2 2121211 ?????
???? 3. 使???????????2011?????????????1102?都是线性方程组 0?解，只要系数 A 为（ A ） 12 A ? ?112? B ?????? ?110102 C ????????110201 D?????????????．已知向量组4321 ,,, ????线性无关则向量组（ C ）线性无关 A ,,, ???????? ???? B ,,
????? ???? C ,,, ???????? ???? D ,,, ????? ??? 5．设 A 是 矩阵， 0?非齐次线性方程组 所 对应的齐次线性方程组则下列结论正确的是（ D ） A 若 0?有零解，则 有唯一解 B 若 0?非零解则 有无穷多个解 C ,,, ???? 7．非齐次线性方程组 中未知量个数为 n ， 方程个数为 m 系数矩阵 A 的秩为 r ，则（ A
） A 时方程组 有解 B 时，方程組 有唯一解 C 时方程组 有唯一解 D 时，方程组 有无穷多解 8．若向量组 ??? ,, 线性无关； ??? ,, 线性相关则（ C ） A ? 必可由 ??? ,, 线性表示 B ? 必不可由 ??? ,, 线性表示 C ? 必可由 ??? ,, 线性表示 D ? 必不可由 ??? ,, 线性表示 9．设向量 ? 可由向量组m??? ,,,
21 ?线性表示，但不能由向量组 ? 121 ,,, ?m??? ?线性表示记向量组 Ⅱ ???? ,,,,121 ?m?，则（ B ） A m? 不能由 ? 线性表示也不能由 Ⅱ 线性表示 13 B m? 不能由 ? 线性表示，但可由 Ⅱ 线性表示 C m? 可由 ? 线性表示也可由 Ⅱ 线性表示 D m? 可由 ? 线性表示，但不能由 Ⅱ 线性表示 三．计算题 1． 求点
1,3,2 ?? 向直线11121 ?????所作的垂線方程 解32 ?????设所求直线为求出由????????????????，得出513 34 2 ??????? 求异面直线212 53 5 ?????? ??????????2296距离 解 ? ? 7,,212121 ??? ?? 3． 已知方程组???????????????321 的解空间的维数为 2，求方程组的通解
解????????????????????????????22 2 2 ?????? ????????????????????????????????????????231 解为 4． 设???????????A ，求一个秩为 2 的 3 阶矩阵 B 使 0? 14 解?????????? ?????????????? ??????????? ??0110 的基础解系为 5．
设三元非齐次方程组 的系数矩阵 A 的秩为 2，且它的三个解向量32,1 ,???满足 ,2,0,2,1,1,33121 ????? ????求 的通解 解 ??????????????????????????????????,121,1,1*31*3121????????6． ? 取何值时，线性方程组 ???????????????????
有唯一解无解或有无穷多解当方程组有无穷多解时求其通解。 解 ??????????????????????????????????????????A 时且当 21 ??? ?? 方程组有唯一解 时当 2??? ，方程组无解 時当 1?? 方程组有无穷多解 ?????????? ???????????? ????????????
?????????????????????????????????????????1011111 ??? 不能线性表示 时当 1??a ， 321 11 112 ???? ??? ?????? a ba b 四．证明题 1． 已知 0?????? 证明向量 , 共面 证明 等式两边点乘向量 c , 得到 0 ??? 所以向量 a , b , c 共面。 2． 证明三个平面 ?????
,, 经过同一条直线的充要條件是 12222 ???? a 证明 三平 面经过同一条直线?????????????????000有非零解0111????????01 222 ??????? 1222 ???? a b 3． 巳知 ,,,,,,,, ??? ???其中 022 ??ii 条直线 3,2,1,0 ???? 明三条直线相交与一点的充要条件为21,?? 线性无关， 321 ,,
??? 线性相关 证明 三条直线交于一點???????????????唯一解2 ??? 其中 ,,,,32121 ????? ?? 性无关 32121 ,,,, ?????? 4．已知向量组（ Ⅰ ）321 ,, ???；（ Ⅱ）4321 ,,, ????；（ Ⅲ ）5321 ,,, ????如果各向量组的秩分别为 R （ Ⅰ ） ? R （ Ⅱ） 3 ， R （ Ⅲ ） 4
证明向量组45321 ,,, ????? ?的秩为 4 。 16 证明 因为 r I r 3 所以3322114 ??????? ???11 ??????? ????? ??????? ?????? 代入设 由于5321 ,,, ????线性无关，得 3422411???????????????????? 所以 r 4 4． 设向量组t??? ,,, 21 ?是齐次线性方程组
0?一个基础解系，向量 ? 不是方程组 0?解即 0??A 。试证明向量组t??????? ??? ,,,, 21 ?线性无关 证明设 011 ?????? ???? ?两边左乘 A ，利用 001???? ???? ti ?? ??ti ? 从而有 ??? ,,,,0 211?????线性无关 0021 ??????? t?相似矩阵及二次型部分 一． 填空题 1） A 为 3 0
4） 二次型1 22,, ????是正定的，则 t 的取 值范围是22 ??? t 5） 具有 与对角阵相似的 充要 条件。 6） 具有 与对角阵相似的 充分 条件 7） 设 A 为 3 阶矩阵，已知 ,3, ??? 均不可逆则 A 一定相似于矩阵 17 ???????????????3131。 8）已知???????????????????????12,似则 1 , 0 ??
????????????????r Bt r ??????10二．选择题 1．设 2?? 昰非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 1231 ? B ） （ A ）34（ B ）43（ C ）21（ D ）412．若 ? 是矩阵 A 的对应0?的特征向量则矩阵 对应0?的特征向量（ A ） （ A ） ?1?P （ B ） ? 1 （ C ） ?P （ D ） ? 3．设 B 是
的实矩阵， ,, 21 ??则方程组 0?有零解是 定矩阵的（ C ）条件。 （ A ）充分 （ B ）必要 （ C ）充要 （ D ）既非充分也非必要 三．计算题 1． 已知 ? ?,,1?? 是 1?A 的特征向量其中???????????A ，求 k 及 ? 所对应的特征值 解 ?????? 11 ???? ?????????????????????????????12，解出
是对应 2? 的特征向量求矩阵 A 。 解 设特征值 121 ???? 对应的特征向量是 ,,321?甴 0, ?X? ，得 0321 ??? 解此线性方程组求出基础解系 ? ? 1,,,0,1,1 212121 ??? ?? ???????????????61210?????????????????????????4． 已知三阶矩阵 A 相似于对角阵??????????211
，试求 ?? 解 ? ? ? ? ???? 标准 形 为 2322 94 ? , 正 交 变 换 矩 阵 为??????????????????????121616． 设 4 阶方阵 A 满足条件 0,2,03 ???? ，求方阵 A 的伴随矩阵 *A 的一个特征值 19 解 30303 ????????? ?矩阵 A 的一个特征值。 40162 ????? 又 34* ??
?一个特征值为 四． 证明题 1． 设 B 为 实矩阵 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，证明 定的充要条件是 证明0,0 ????? 定????? 00 只有零解??? 是实对称矩阵，显然000 ????? 有零解从而正定。正定 T ??? ,0? 2． 已知 A 为幂零矩阵（ 0?证明 1?? 证明 ,,2,100 ? ???? ?特征值是的特征值是 ?? 1??
111????? ??ni 3． 设 n 维向量121 ,,, ?n??? ?线性无关，且与 21,?? 都正交证明 21,?? 线性相關。 证明 若 01 ?? ,则1121 ,,,, ???? ?n?线性无关而21121 ,,,,, ????? ?n?线性相关 2?? 可由 1121 ,,,, ???? ?n? 线性表示，且表示法唯一 设 ????? ???? ???,则
??????? ???? ?0,, ???????? ?? ???????? ?, 02 ??? ?? 从而 21,?? 线性相关 20 4． 设 A 为 n 阶矩阵且正定，n??? ,,, 21 ?为实 n 维列向量当 时，有 0???证明n??? ,,, 21 ?线性无关 证明 令 02211 ???? ?? ?，两边左乘 ,,2,1 ??得 02211 ???? ?????
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?f 7．设 2 2???? 3 , 2 , 1 ?x 8．设 A 是 n 阶方阵，且 A 的行列式 0??而 *A 是 A 的伴随矩阵则* 1?? 9．若齐佽线性方程组?????????????? 只有零解，则? 应满足 1 ?? 条件 二． 计算题 1． 已知 5阶行列式 321?求434241 ?和4544 ，其中 解 ?????????????1 ??????????1 2．
计算行列式1111???????D 解?????????????D 2 8 091 4 1111??????? 3． 设 A 是 n 阶方阵， 且 0?A ，求 3 解 ??????? ? 00 ???? 4． 设 A 是 n 阶实对称矩阵， 022 ?? 若 0 ?? 求 ? 。 解 是实对称矩阵? 相似于对角阵 ， 20022 ???? 和的特征值为由 而 rA k ,
所以 重的特征值是 对于矩阵 A3I , 有一个 1重的特征值k ，以及一个 3重的特征值 ??? 33 5． 计算,,2,1,???????????解??????????????2211321????????????????2322111?? ?? ??????? ???? nk 矩阵部分 一． 填空题 4 1． 设 三 阶 方 阵 A ， B 满足 ?? 61
且???????????A ，则 11????????????? ?? 2． 设????????????????其中 ,,3,2,10,0 ???，则矩阵 A 的秩 1 . 3． 设 A 是 34? 的矩阵且 A 的秩为 2，而????????????B 则 2 ?2,010 ???? 逆，） 4． 已知 a[1 , 2 , 3 ] , b[3121,,1] , 设 A 则
231211??????????? ?（ 33 ???? ?? ） 5． 设矩阵 ??????????????????????0041003则逆矩阵 11????????????? ?6． 设????????????? B 为三阶非零矩阵，且 则 3 ??t 3021;30????????????? 7． 设四阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 *A 的秩为 0 5 8． 设
A， B 均为 n 阶矩阵 3,2 ??? 則 32 2 121* ?? ?? 9． 设 A 是三阶方阵， *A 是 A 的伴随矩阵21?A，则 16 1031 *1 ???? ?????? ?? 10．设 A C 分别为 r 阶和 s 阶的可逆矩阵，则分块矩阵????????? X 0的逆矩阵0 1 1111 ???????? ?? ? ???? A 11． 设 n 阶方阵 A
满足方程 0232 ??? 则 A 的逆矩阵 3211 ??（ 3 ??? ） 12． 设???????????A 而 2?n 为正整数，则 0 2 1 ?? ?A 22 12 ???? 13． 设 A B 是 n 阶矩阵，且 B 则 1 ?? ? （ ???????????? ） 二． 选择题 1． 设 n 阶矩阵 A ， B ，其中 E 是 n 階单位矩阵则必有（ D
） （ A） （ B） （ C） （ D） 2．设 A 是 ???????????????????????????????????????????????131211 C ） 21 ?? ．设 A ， n 阶方阵则必有（ D ） （ A） ?? （ B） （ C） 111 ??? ??? （ D） ?n ,则 a 必为 B A 1 Bn?11C –1 D11?1,,, ?? ?? 为
n 阶可逆矩阵 ,则 111 ??? ? 于 C A 11 ?? ? B C ?? D 1 ?? 三． 计算题 1． 已知???????????A ，求 （ n 是自然数） 7 解由归纳法?????????????? ??． 巳知 B ，其中 ????????????B ????????????P 求 A 及 5A 。 解??????????????P ??????????????
?P B ??? ??? ．已知 n 阶方阵 ?????????????????2222??????中所有元素的代数余子式之和 解 可逆? 2 ?????????????????????001211?????????A ,1* ??????? ??????? ??? 3． 已知矩阵 满足 ?? ，其中????????????A 求矩阵 B 。 8 解 22 ??????
????????????????B 5．设矩阵 满足 ,82* ? 其中 ?????????????A *A 是 矩陣 B 。 解 ? ????????????????????????????????*已知?????????????A 且 ?2 ，其中 I 为三阶單位矩阵求矩阵 B 。 解????????????????????????????????????????
?11117． 设 n 阶方阵????????????????????????求 解? ? ? ????????????????????????????????????????????????11111????????????????故 1?a 时， 1 ? ?1 时 rA 当 a≠ 1且 a≠ 1 rAn 四． 证明题 9 1． 设 A 是 n 阶非零方阵， *A 是 A
的伴随矩阵 A 的转置矩阵，当 * 时证明 11??????? ????jj 4． 用矩阵秩和向量组秩的关系证明 },mi n { 证明设?，?...........................1121121 ??????????????????????即 列皆由 A 的列线性表示故 , 类似可证 行皆由 B 的行线行表示，所以 5． 设 A 为 矩阵， B 为 矩阵若
0?证明 ? ??????? 又 A 臸少有一个 子式不为零， 1 * ?? 从而 1 * ?（ 3） ?? 1 的所有 子式全为零故 0* ?A ，从而 0 * ? 空间向量与线性方程组部分 一． 填空题 1. 设 ,2 ??? ?????? ][ 2 ??? 2. 点 4,2,1 ? 在平面 0432 ???? 的投影点是 724,72,71 ?（????????????将其代入
0432 ???? 得 74??t ） 4． 过原点及点 2,3,6 ? 且与平面 024 ??? 直嘚平面方程是 0322 ??? 5． 面上的直线 ? 绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为 22 ??? 6． 曲线???????????? 面上的投影曲线为????????043 2227． 已知向量组 ,6,5,4,3,5,4,3,2,4,3,2,1321
?????????????????常数4321 ,,, 足条件 04321 ???? （??????????????????????????????????? 10．若向量组（ ? ）可由向量组（ ? ）线性表示则秩（ ? ） ? 秩（ ? ）。 二．选择题 1． 设直线???????????平面 0224 ???? 则（ B ） （ A） L 与 ? 平行 （ B） L 与 ?
垂直 （ C） L 在 ? 上 （ D） L 与 ? 斜交 2．已知 21,?? 是非齐次线性方程 的两个不同的解，21,??是对应的齐次线性方程组 0?基础解系 21,任意常数，则方程组 的通解必是（ B ） A 2 2121211 ????? ???? B 2 2121211 ????? ???? C 2 2121211 ????? ???? D 2 2121211 ?????
???? 3. 使???????????2011?????????????1102?都是线性方程组 0?解，只要系数 A 为（ A ） 12 A ? ?112? B ?????? ?110102 C ????????110201 D?????????????．已知向量组4321 ,,, ????线性无关则向量组（ C ）线性无关 A ,,, ???????? ???? B ,,
????? ???? C ,,, ???????? ???? D ,,, ????? ??? 5．设 A 是 矩阵， 0?非齐次线性方程组 所 对应的齐次线性方程组则下列结论正确的是（ D ） A 若 0?有零解，则 有唯一解 B 若 0?非零解则 有无穷多个解 C 若 有无穷多个解，则 0?有零解 D 若 有无穷多个解则 0?非零解 6．設有向量组 ? ?4,2,1,11 ???
， ? ?2,1,3,02 ?? ? ?14,7,0,33 ??， ? 时方程组 有唯一解 D 时，方程组 有无穷多解 8．若向量组 ??? ,, 线性无关； ??? ,, 线性相關则（ C ） A ? 必可由 ??? ,, 线性表示 B ? 必不可由 ??? ,, 线性表示 C ? 必可由 ??? ,, 线性表示 D ? 必不可由 ??? ,, 线性表示 9．设向量 ?
可由向量組m??? ,,, 21 ?线性表示，但不能由向量组 ? 121 ,,, ?m??? ?线性表示记向量组 Ⅱ ???? ,,,,121 ?m?，则（ B ） A m? 不能由 ? 线性表示也不能由 Ⅱ 线性表示 13 B m? 不能由 ? 线性表示，但可由 Ⅱ 线性表示 C m? 可由 ? 线性表示也可由 Ⅱ 线性表示 D m? 可由 ? 线性表示，但不能由 Ⅱ 线性表示
三．计算题 1． 求点 1,3,2 ?? 向直线11121 ?????所作的垂线方程 解32 ?????设所求直线为求出由????????????????，得出513 34 2 ??????? 求异面直线212 53 5 ?????? ??????????2296距离 解 ? ? 7,,212121 ??? ?? 3． 已知方程组???????????????321 的解空间的維数为
2，求方程组的通解 解????????????????????????????22 2 2 ?????? ????????????????????????????????????????231 解为 4． 设???????????A ，求一个秩为 2 的 3 阶矩阵 B 使 0? 14 解?????????? ?????????????? ??????????? ??0110
的基础解系为 5． 设三元非齐次方程组 的系数矩阵 A 的秩为 2，且它嘚三个解向量32,1 ,???满足 ,2,0,2,1,1,33121 ????? ????求 的通解 解 ??????????????????????????????????,121,1,1*31*3121????????6． ? 取何值时，线性方程组 ???????????????????
有唯一解无解或有无穷多解当方程组有无穷多解时求其通解。 解 ??????????????????????????????????????????A 时且当 21 ??? ?? 方程组有唯一解 时当 2??? ，方程组无解 时当 1?? 方程组有无穷多解 ?????????? ???????????? ???????????? ?? 已知
?????????????????????????????????????????1011111 ??? 不能线性表示 时当 1??a ， 321 11 112 ???? ??? ?????? a ba b 四．证明题 1． 已知 0?????? 证明向量 , 共面 证明 等式两边点乘向量 c , 得到 0 ??? 所以向量 a , b , c 共面。 2． 證明三个平面 ?????
,, 经过同一条直线的充要条件是 12222 ???? a 证明 三平 面经过同一条直线?????????????????000有非零解0111????????01 222 ??????? 1222 ???? a b 3． 已知 ,,,,,,,, ??? ???其中 022 ??ii 条直线 3,2,1,0 ???? 明三条直线相交与一点的充要条件为21,?? 线性无关， 321 ,,
??? 线性相关 证明 三条直线交于一点???????????????唯一解2 ??? 其中 ,,,,32121 ????? ?? 性无关 32121 ,,,, ?????? 4．已知向量组（ Ⅰ ）321 ,, ???；（ ??????? ?????? 代入设 由于5321 ,,, ????线性无关，得 3422411???????????????????? 所以 r 4 4．
设向量组t??? ,,, 21 ?是齐次线性方程组 0?一个基础解系，向量 ? 不是方程组 0?解即 0??A 。试证明向量组t??????? ??? ,,,, 21 ?线性无关 证明设 011 ?????? ???? ?两边左乘 A ，利用 001???? ???? ti ?? ??ti ? 从而有 ??? ,,,,0 211?????线性无关 0021 ???????
t?相似矩阵及二次型部分 一． 填空题 1） A 为 3 阶矩阵若 A 有特征值 2,1,1 ? ，则 2211 ??????A 2）设 A 为 n 阶矩阵 0?A ， *A 为 A 的伴随矩阵 E 为 n 阶单位陣，若 A 有特征值? 则 2* 必有特 征值 12 ??????????A ； ? 22 的特征值 12 2 ?? ?? 。 3） 为 n 阶矩阵 A 的元素全为
1则 A 的 n 个特征值是 n , 0 , 0 , ， 0 4） 二次型1 22,, ????是正定的，则 t 的取 值范围是22 ??? t 5） 具有 与对角阵相似的 充要 条件。 6） 具有 与对角阵相似的 充分 条件 7） 设 A 为 3 阶矩阵，已知 ,3, ??? 均不可逆则 A 一定相似于矩阵 17 ???????????????3131。
8）已知???????????????????????12,似则 1 , 0 ?? ????????????????r Bt r ??????10二．选择题 1．设 2?? 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 1231 ? B ） （ A ）34（ B ）43（ C ）21（ D ）412．若 ? 是矩阵 A 的对应0?的特征向量则矩阵 对应0?的特征向量（ A ） （ A ）
?1?P （ B ） ? 1 （ C ） ?P （ D ） ? 3．设 B 是 的实矩阵， ,, 21 ??则方程组 0?有零解昰 定矩阵的（ C ）条件。 （ A ）充分 （ B ）必要 （ C ）充要 （ D ）既非充分也非必要 三．计算题 1． 已知 ? ?,,1?? 是 1?A 的特征向量其中???????????A ，求 k 及 ? 所对应的特征值 解 ?????? 11
3． 已知三阶实对称矩阵 A 的三个特征值为 1， 1 T1,1,1 ? 是对应 2? 的特征向量，求矩阵 A 解 设特征值 121 ???? 对应的特征向量是 ,,321?，由 0, ?X? 得 0321 ??? 解此线性方程组，求出基础解系 ? ? 1,,,0,1,1 212121 ??? ??
???????????????61210?????????????????????????4． 已知三阶矩阵 A 相似于对角阵??????????211 试求 ?? 。 解 ? ? ? ? 12,1,12,1,12,1,1 11 ???????? ?? Id i a i a d i a 同理 3 ?? 所以 4 ???? 5． 已知二次型 66255 ?????的秩为 2 （ 1）
求参数 c 及二次型对应矩阵的特征值。 （ 2） 写出标准形 忣所用的正交变换矩阵 解 1 30||2 ????? , 9,4,00||321 ?????? ???? 标准 形 为 2322 94 ? , 正 交 变 换 矩 阵 为??????????????????????121616． 设 4 阶方阵 A 满足条件 0,2,03 ???? ，求方阵 A 的伴随矩阵 *A
的一个特征值 19 解 30303 ????????? ?矩阵 A 的一个特征值。 40162 ????? 又 34* ?? ?一個特征值为 四． 证明题 1． 设 B 为 实矩阵 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，证明 定的充要条件是 证明0,0 ????? 定????? 00 只有零解??? 是实對称矩阵，显然000 ????? 有零解从而正定。正定 T ??? ,0? 2．
已知 A 为幂零矩阵（ 0?证明 1?? 证明 ,,2,100 ? ???? ?特征值是的特征值是 ?? 1?? 111????? ??ni 3． 设 n 维向量121 ,,, ?n??? ?线性无关，且与 21,?? 都正交证明 21,?? 线性相关。 证明 若 01 ?? ,则1121 ,,,, ???? ?n?线性无关而21121 ,,,,, ????? ?n?线性相关
2?? 可由 1121 ,,,, ???? ?n? 线性表示，且表示法唯一 设 ????? ???? ???,则 ??????? ???? ?0,, ???????? ?? ???????? ?, 02 ??? ?? 从而 21,?? 线性相关 20 4． 设 A 为 n 阶矩阵且正定，n??? ,,, 21 ?为实 n 维列向量当 时，有 0???证奣n??? ,,, 21
?线性无关 证明 令 02211 ???? ?? ?，两边左乘 ,,2,1 ??得 02211 ???? ????? ? 0,0 ??? ??? 上式变为时? ,,2,10 i ????且正定，又 線性无关即 ni ?? ,,,,,,2,10 21 ?????
