关于线性代数行列式计算器式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-12-29 02:09 标签： 线性代数行列式计算
线性代数是一门基础数学课程, 它的基本概念、理论和方法，具有较强的逻辑性、抽象性，同时它也是一门非常好的工具学科，在很多领域都有广泛的用途。本课程讲述了线性代数的基本知识，包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、特征值、相似矩阵及二次型等。通过本课程的学习，能使学生比较系统地理解线性代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，对学生数学素养的提高也有着重要的作用，这些理论方法和能力能为学生学习后续课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
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&&&&&&&&&&&&线性代数（三）行列式的来历行列式是线性变换的伸缩因子，在里面已经介绍过了。本文想谈的是行列式在历史中是怎么演变出来的，主要以下几个问题：定义行列式的目的是什么？行列式出现的思路是什么？为什么用“全排列”、“逆序数”这么晦涩的名词来定义行列式？1 定义行列式的目的历史上，定义行列式的目的就是为了解线性方程组。下面这个方程组：从几何上来讲，两个方程都是直线，解就是它们的交点：通过高斯消元法可以得到唯一解：一般的，对于二元一次线性方程组：如果它有唯一解，那么通过高斯消元法容易得到：对于三元一次线性方程组：如果它有唯一解，同样可以通过高斯消元法得到： 元一次线性方程组的解可想而知，会更加复杂。简化 元一次线性方程组的解，找出其中的规律，在这个过程中产生了行列式。2 定义行列式的思路大家可能习惯了这样的数学：或者矩阵乘法的定义（可以参考）：以上数学的剧情都是直线发展的。但是行列式的定义思路要曲折些：有点像经常说的，大胆假设、小心求证。下面我们来看看这一过程。3 低阶行列式3.1 二阶行列式3.1.1 定义二阶行列式是这么定义的，交叉相乘，之后相减：3.1.2 验证再看看刚才的二元一次方程组的解：它的解的分母都是：套用刚才定义的二阶行列式的符合和规则可以得到：分子可以分别表示为：则线性方程的解表示为：经过验证，这样定义二阶行列式是合理的，可以达到我们预设的解线性方程组的目的。3.2 三阶行列式3.2.1 定义比较复杂，可以靠对角线法则进行记忆：3.2.2 验证有了三阶行列式的定义，则三元方程组的解：可以通过三阶行列式来表示：经过验证，这样定义三阶行列式也是合理的。4 行列式的定义 阶行列式应该怎么定义？具体的过程肯定是，数学家们（应该是凯莱、范德蒙这些先驱）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。为了介绍行列式的定义，先引入两个概念。4.1 全排列有如下三个数字：总共有以下6种不重复的排列方式：这就是全排列。把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（简称排列）。再举个例子，如下四个数字：总共有以下24种不重复的排列方式，可以自行验算。4.2 逆序数比如有这么一个数列：规定：从小到大为正序否则为逆序比如：上图中可以看出，没有一个逆序的，因为5是第三个数字，所以用下列的负号来表示没有逆序：再比如：数列内所有的逆序数为：逆序数定义为：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。再比如数列：数列的逆序数为4，可以自行验证。4.3 通过全排列和逆序数定义三阶行列式有了全排列和逆序数，就可以来定义行列式了。以三阶行列式为例：来观察每一项的脚标，脚标第一项都是按照“ ”排列的：而脚标的第二项是“ ”的全排列：正负号怎么来的呢？是由逆序数决定的：整个过程为：三阶行列式可以定义为：其中， 为排列 的逆序数， 表示对“ ”的所有排列“ ”求和。这种定义方式和之前的对角线定义方式得到的结果是一样的，但是可以推广到 阶。4.4 定义 阶行列式定义为：其值为：其中， 为排列 的逆序数， 表示对“ ”的所有排列“ ”求和。5 克拉默法则那么上面的 阶行列式的定义是否合适？我们用克拉默法则来验收。加百列·克莱姆（1704 - 1752），瑞士数学家，发现了可以通过行列式解线性方程组的克拉默法则（也称之为克莱姆法则），让行列式成为数学界的共识，是行列式的历史源头。下面从具体的二元、三元一次方程组说起。5.1 规律观察二元方程组的解：再观察三元方程组的解：可以看到如下规律：分母都是系数组成的行列式分子也是系数组成的行列式，只是对应于不同的 ，第 列被替换为了常数项推广到 元线性方程组的话，就是克拉默法则。5.2 定义如果有 个未知数， 个方程所组成的线性方程组，它的系数矩阵 的行列式不等于零，即： 则方程组有唯一解： 其中 是把系数矩阵 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶矩阵，即：从 阶行列式的定义出发可以证明：这就说明行列式的定义是成功的（从行列式的定义出发，需要先证明几个行列式的性质，然后证明克拉默法则，这里就不引用了）。为什么要用“全排列”、“逆序数”这么晦涩的名词来定义行列式？完全是因为只有这样定义，克拉默法则才成立。广告时间：线性代数的各种概念都可以通过文中的形式进行讲解，有兴趣可以报名参加我们的“线代基础课程”（报名方法：关注微信公众号：马同学高等数学，公众号ID：matongxue314，点击菜单栏的“线代课程”）。16421 条评论分享收藏文章被以下专栏收录

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