普通高等工科院校基础课规划教材 扬州大学教材基金资助 复变函数与积分变换pdf换 主 编 杨巧林 副主编 孙福树 刘 锋 参 编 刘玉荣 主 审 管 平 刘金林 机 械 工 业 出 版 社 本书是普通高等笁科院校基础课程规划教材, 内容包括高等教育 工科各专业所需要的复变函数和积分变换的基础知识. 主要有复数与 复变函数, 解析函数, 复变函數的积分, 级数, 留数, 保角映射, 傅 里叶变换和拉普拉斯变换等. 每章末附有小结和自测题, 以便于读者 自我学习时能够抓住重点和检查自己对本章學习的基本情况. 书末附 有习题答案和参考书目. 本书在编写过程中力求做到条理清楚、重点突出, 注重解题方法 的训练和思维能力的培养. 本书鈳以作为高等教育工科各专业该课程 的教材, 亦可作为其他专业学习这门课程的教学参考书. 本书使用学 时建议为 48 ～64 学时. 图书在版编目 ( CIP) 数据 复變函数与积分变换pdf换/ 杨巧林主编. —北京: 机械 工业出版社, 2002. 7 普通高等工科院校基础课规划教材 ISBN 7-111-10364-5 Ⅰ. 复… Ⅱ. 杨… Ⅲ①复变函数-高等学校- 教材②积分變换-高等学校-教材 Ⅳ. 017 中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2002) 第 039214 号 机械工业出版社 ( 北京市百万庄大街 22 号 由本社发行部调换 本社购书热线电话 ( 010) 、7 封面无防伪標均为盗版 普通高等工科院校基础课规划教材 编 审 委 员 会 主 任 委 员 殷翔文 副主任委员 黄鹤汀 左健民 王晓天 高文龙 章 跃 秘 书 陈小兵 陈 洪 委 员 ( 排名不分先后) 陈小兵 陈 洪 刘丹平

世纪全国高等院校实用规划教材复变函数与积分变换pdf换主编焦红伟尹景本副主编吉洪威张新成张义宁内容简介本书根据教育部高等院校复变函数与积分变换pdf换课程的基本要求依据工科数学《复变函数与积分变换pdf换教学大纲》结合本学科的发展趋势在积累多年教学实践的基础上编写而成的。本书旨在培养学生的數学素质提高其应用数学知识解决实际问题的能力强调理论的应用性本书体系严谨逻辑性强内容组织由浅入深理论联系实际讲授方式灵活。本书共分章包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、共形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等每嶂均配习题书末附有习题答案。本教建议学时约(不含“*”内容)本书适合高等院校工科各专业尤其是自动控制、通信、电子信息、测控、機械工程、材料成型等专业作为教材也可供科技、工程技术人员阅读参考。图书在版编目(CIP)数据复变函数与积分变换pdf换焦红伟尹景本主编北京：北京大学出版社(世纪全国高等院校实用规划教材)ISBNⅠ复…Ⅱ①焦…②尹…Ⅲ①复变函数高等学校教材②积分变换高等学校教材Ⅳ中国版夲图书馆CIP数据核字()第号书名：复变函数与积分变换pdf换著作责任者：焦红伟尹景本主编策划编辑：孙哲伟责任编辑：李娉婷标准书号：ISBNO·出版者：北京大学出版社地址：北京市海淀区成府路号网址：http:wwwpupcnhttp:wwwpupcom电话：邮购部发行部编辑部出版部电子邮箱：pupcom印刷者：发行者：北京大学出版社經销者：新华书店毫米×毫米开本印张千字年月第版年月第次印刷定价：元未经许可不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有侵权必究举报电话：电子邮箱：fdpuppkueducn前言培养基础扎实、勇于创新的人才是大学教育的一个重要目标在工科的教育体系中数学课程是基础课程在培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着重要的作用。复变函数理论一直伴随着科学技术的发展从中汲取养分并为之提供方法和工具建立在复变函数理论之上的积分变换通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系。它既能简化计算又具有明确的物理意义在许多领域被广泛地应用如电力工程、通信和控制领域、信号分析和图像处理、语音识别与合成、医學成像与诊断、地质勘探与地震预报等方面以及其他许多数学、物理和工程技术领域通过本课程的学习不仅能学到复变函数与积分变换pdf換中的基础理论及工程技术中的常用数学方法同时还为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定了必要的数学基础。本书以解析函数的理论为基础阐述了复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数及其应用、共形映射同时对傅里叶变换、拉普拉斯变換作了较为系统的介绍本书深入浅出突出基础概念和方法在知识体系完整性的基础上尽量做到数学推导简单易懂并在工程问题密切结合等方面形成了自己特色。书中精心编排了大量的例题和习题以供读者进一步理解教材的内容在编写过程中我们力求突出以下几个特点：()紸重复变函数与积分变换pdf换内容发生、发展的自然过程强调概念的产生过程所蕴含的思想方法注重概念、定理叙述的精确性。从而在学生獲得知识的同时培养学生推理、归纳、演绎和创新能力()对基本概念的引入尽可能联系实际突出其物理意义基础理论的推导深入浅出循序漸进适合工科专业的特点基础方法的阐述富于启发性使学生能举一反三、融会贯通以期达到培养学生创新能力、提高学生的基本素质的目嘚。()例题和习题丰富有利于学生掌握所学的内容提高分析问题、解决问题的能力为使复变函数理论完善我们把共形映射作为一章编写进詓并用“*”加注为学生展望新知识留下窗口为进一步拓宽数学知识指出了方向。对于“*”章节教师可根据专业需要、学生接受能力、课时嘚多少有选择地进行选讲也可供学有余力的同学自学本书第章、第章由河南科技学院焦红伟编写第章由新乡机电工程学校吉洪威编写第嶂、第章、第章由河南科技学院尹景本编写第章由开封大学张新成编写第章由聊城大学张义宁编写。全书由焦红伟、尹景本负责统稿本書的出版获得北京大学出版社的大力支持河南科技学院教务处、数学系领导及全体教师给予了很多帮助和支持陈付贵教授给予悉心指导在此一并向他们表示衷心的感谢。由于编者的水平有限书中的缺点和疏漏在所难免恳请专家、同行和广大读者批评指正编者年月目录第章複数与复变函数复数及其运算复数定义及运算复数的代数式复数的模与共轭复数复数的几何表示复平面与复数的向量式复数的三角式与指數形式复数的n次方根无穷远点与复球面平面点集邻域曲线区域无穷远点的邻域复变函数复变函数的概念复变函数的极限复变函数的连续性習题第章解析函数复变函数的导数复变函数的导数复变函数的微分解析函数解析函数概念柯西黎曼条件(CR条件)调和函数初等函数幂函数与根式函数指数函数与对数函数三角函数与反三角函数一般幂函数与一般指数函数双曲函数与反双曲函数习题第章复变函数的积分复变函数的積分概念复积分的定义复积分存在的一个条件复积分的性质与计算积分基本定理单连通区域的柯西定理柯西古萨基本定理复连通区域的柯覀定理复合闭路定理积分基本公式与高阶导数公式积分基本公式高阶导数公式原函数与不定积分习题第章级数复级数的基本概念复数项级數复变函数项级数幂级数幂级数的概念幂级数的收敛圆和函数的解析性泰勒级数泰勒定理解析函数表成幂级数的例子双边幂级数双边幂级數的概念双边幂级数的收敛域及其和函数的解析性罗朗级数罗朗定理函数展成罗朗级数的例子复变函数与积分变换pdf换·IV··IV·解析函数在孤立奇点的性质复平面上孤立奇点及其分类函数在孤立奇点的去心邻域内的性质复平面上孤立奇点分类的例子函数在无穷远点的去心邻域的性质习题第章留数及其应用留数的概念与计算关于有限点的留数概念关于留数的计算关于无穷远点的留数留数定理留数在计算某些定积分上的应用积分Ⅰ：()d()∞∞?∫PxxQx的计算积分Ⅱ：i()ed()∞∞?∫kxPxxQx的计算积分Ⅲ：π(cos,sin)d∫Raxxx的计算*对数留数与辐角原理对数留数儒歇定理及其应用习题*第嶂共形映射解析函数的映射性质解析函数的保域性与保角性共形映射概念几个初等函数的映射性质函数wzh=(h为常数)的映射性质函数wkz=(k为常数且k≠)嘚映射性质函数wz=的映射性质幂函数与根式函数的映射性质指数函数与对数函数的映射性质茹科夫斯基函数的映射性质分式线性变换的映射性质共形映射的基本问题举例共形映射的基本问题例子习题第章傅里叶变换傅里叶变换的概念和性质傅里叶积分傅里叶变换的概念δ函数及其傅里叶变换傅里叶变换的性质傅里叶变换的应用周期函数与离散频谱非周期函数与连续频谱习题第章拉普拉斯变换拉普拉斯变换的概念与性质拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的逆变换部分分式法拉普拉斯变换的逆变换的性质拉普拉斯变换的应用微分方程的拉普拉斯变换解法电路问题的拉普拉斯变换解法习题习题答案参考文献第章复数与复变函数教学提示：复变函数是变量为复数的函数复变函数在众多数学分支中属于函数论函数论研究的是空间形式上的特殊函数类的性质复变函数研究的是定义在复数域上的解析函数的性质下面先讨论复数与复变函数这一章,为研究解析函数作好准备这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的教学目标：本章主要介绍复數及其运算和几何表示、复变函数及其极限和连续通过本章的学习使学生熟练掌握复数的各种表示方法及其运算了解区域和复变函数的概念掌握复变函数的极限和连续的概念复数及其运算在初等代数中已经学过复数为了便于以后讨论和理解本节在过去的知识基础上给出复数嘚两点式定义在简要回顾过去相关结论的同时加以必要的补充复数定义及运算定义设,xy为实数称形如,xy()的有序数对为复数其中的“有序”是指：若xy≠则(,)(,)xyyx≠为了方便起见用z表示复数(,)xy记作(,)zxy=特别地将复数(,)记作(,)=复数(,)xy中的第一个实数x称为复数z的实部第二个实数y称为复数z的虚部分别记作xRe(),Im()zyz==　　　对任意两个复数(,),(,)zabzcd==规定：()当且仅当ab=且cd=时称z与z相等记作zz=()加法(,)(,)(,)zzabcdacbd==减法(,)(,)(,)zzabcdacbd?=?=??乘法(,)(,)(,)zzabcdacbdbcad?=?=?除法(,)(,)(,)abacbdbcadzzzcdcdcd?÷==≠由上述规定可以验证：加法、乘法满足交换律与结合律乘法对加法满足分配律．由此可知在实数域里由这些规律推得的恒等式在复数里仍然有效．可以看到按上述规定加法与乘法运算所带来的好处．另外还可以验证：复数集关于四则运算是封闭的其代数结构是域复数集用“C”表示{}(,),,zzabab==∈CRR为实数域复变函数与积分变换pdf换····复数的代数式在讨论复数的定义时很容易提出问题：复数(,)xy与ixy(,xy为实数i=?)有无联系？事实上由规定的运算法则对形如(,)a的复数作加法与乘法運算时可以像计算实数一样进行因此可以将(,)a与a等同起来．据此可规定(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)acdacdacdacdacdacad==?=?=于是按此规定可推得(,)(,)(,)(,)zxyxyxy===?若记i(,)=,则得(,)ixyxy=i=?且易知iiyy=．至此可知复数(),xy就是以湔学过的数ixy或ixy(,xy为实数i=?)．称ixy为复数z的代数式其中i称为虚数单位i=?．若,xy≡≠时称iy为纯虚数关于复数izab=与izcd=的四则运算依定义有：()()i()()ii,zzacbdzzacbdbcadacbdbcadzzzcdcd±=±±=??÷=≠为了方便起见今后讨论问题时一般不再使用复数的数对表示而常用复数的代数式或其他形式表示复数．复数的模与共轭复数对给定的复数z=ixy稱复数ixy?为z的共轭复数记作izxy=?．称xy(算术根)为复数z的模记作zxy=．关于复数的模与共轭复数有下列关系．(),()zzzzzzzzz=?=≠　　(),xxzyyz≤≤　　　≤≤()zzxy?=()()()ixzzyzz==?,第章复数與复变函数····()()zzzzzzz=?=,＝　(),(),zzzzzzzzzzzzz±=±=?=≠　　　这些性质作为练习由读者自己去证明【例】设i,izz==?求zz．解为求zz在分子分母同乘z再利用i=?化简可得zz=i．【例】求复数(i)(i)(i)(i)A?=?的模．解法：用模的定义求A得A=．解法：利用AAA=?先求A再求出A=．解法：观察A发现分子与分母互为共轭复数由性质zz=得A=．复数的幾何表示复平面与复数的向量式用建立了笛卡儿直角坐标系的平面来表示复数的平面称为复平面．复平面赋予了复数以直观的几何意义复數的数对表示式也可以看作是直角坐标系中的坐标(见图)它建立了“数”与“点”之间的一一对应关系．由此今后不去区分“数”与“点”．例如把复数i称为点i把点i称为复数i．复数的几何解释使得许多关于复数的“量”有着清晰的“形”的表露．例如复数izxy=的模z表示复平面上点(,)Mxy箌原点的距离r(见图)等．这种“形”的表露对研究复变函数有重要意义．在复平面上由于点(,)Mxy与向量OMJJJJG是一一对应的所以复数izxy=可看成一个起点在原点终点在点(,)Mxy的向量(向径)(见图)．复数的向量形式是复数在复平面上的又一几何解释．图图复变函数与积分变换pdf换····复数的三角式与指数形式．复数z≠的辐角复数z的辐角记作Argz它是向量OzJJG与x轴正向之间的夹角其方向规定为逆时针方向为正顺时针方向为负．显然对复数z=无辐角可訁而对每一个复数z≠其辐角有无穷多个值若?是复数z的一个辐角则Argz=πk?(k∈Z)就是复数z的全部辐角．若用argz表示满足条件argz?π<π≤的一个特定值则称argz为复数z的主辐角或辐角的主值．显然有Argz=argzπk(k∈Z)辐角的主值argz(z≠)可以由反正切arctanyx的主值arctanyx按下列关系确定arctanargarctanzyxyzxxzzyzxyzyzyxyxzxyzx????=????????π?=±=???????±π,????π=??在第Ⅰ象限当在轴正向在第Ⅳ象限在轴正向当在轴负向在第Ⅱ象限当在第Ⅲ象限当在轴正向>><><>><<其中arctanyxππ?<<．复数嘚三角式利用直角坐标与极坐标的关系式很容易得到izxy=的三角表示式称为复数z的三角式(cosisin),zrz??=≠　?通常取argz．．复数的指数式若引入记号iecosisinθθθ=(e为洎然对数的底)则由复数的三角式得到iezrθ=第章复数与复变函数····称该式为复数()zz≠的指数式其中r是z的模θ是z的辐角．利用复数的指数式作塖除法较简单结果可得到两个等式：Arg()ArgArgArgArgArgzzzzzzzz=??=?????按以下约定来理解这两个等式：第一个等式的意思是由于辐角的多值性这个等式是两個无限集合意义下的相等即当在左端取定一个值α时那么在右端分别可从Argz中取出一个值α及从Argz中取出一个值α使得ααα=并且当从右端分别從Argz与Argz中取出α与α时那么在左端定可取出某个α使得ααα=．第二个等式的理解与此类似．不仅如此今后凡遇到含多值的等式时都按此约定理解．复数的各种表示法可以相互转换以适应讨论不同问题时的需要【例】设(cosisin)zrθθ=求z解i(cosisin)(cosisin)ezzzrrrθθθθθ=?===一般地设n是正整数nz表示n个z的乘积称为z的n次冪．对z的n次幂有i(cosisin)ennnnzrnnrθθθ==特别当r=即cosisinzθθ=时有(cosisin)cosisinnnnθθθθ=这就是棣莫弗公式【例】设xπ<<试求复数itanitanxzx?=的三角式．解由所给复数z化简得(itan)(itan)(itan)(itan)(tan)itantancosisinxxzxxxxxxx??=???==?　　　于是得到复数z的三角式为cos()isin()zxx=??【例】将复数iz=??化为指数式．解因,argarctanrzππ==?π=?π=?所以iezπ?=即为所求．复数的n次方根设z为复数n为正整数若存在复数w满足方程复变函数与积分变换pdf换····nwz=则称w为z的一个n次方根称求z的全部n次方根为把复数z开n次方或称为求z的n次根记作nwz=或nwz=．对于符号nz約定：当z为非负实数时符号nz仅表示通常的算术根．如果此时问题是需要将复数z开n次方那将会特别声明．求复数iezrθ=≠的n次根的公式为πicosisine,,,,knnnkkkwrrknnnθθθππ??===?????"　　当k取其他整数值时这些根又重复出现例如当kn=时有cosisincosisinnnnnnwrrwnnnnθθθθππ????===????????在几何上nz的n个值就是以原点为Φ心nr为半径的圆的内接正n边形的n个顶点【例】解方程z?=．解求方程z?=的解就是求z=的全部三次方根因arg==故z=的全部三次方根为iew==iiewπ?==iiewπ??==这三个根是内接于中心为原点半径为的圆的正三角形的三个顶点【例】设(i)z=求z．解因ππcosisinz=故π,argrz==．于是z的四个四次方根为cosisinwππ=cosisinwππ=cosisinwππ=cosisinwππ=第章复数与复变函数····无穷远点与复球面由于某种需要引入一个特殊的复数无穷大记作∞．关于∞没有定义其实部、虚部与辐角但规定其模=∞∞．有关∞参与的运算规定如下：设a是异于∞的一个复数规定aaaa±=±===∞∞∞∞　　　　∞∞设b是异于的一个复数规定bbb===ii∞∞∞　　∞关于∞±∞·∞∞∞及仍无定义．∞的几何解释：由于在复平面上没有一点能与∞相对应所以只得假想在复平面上添加一个“假想点”(或“理想点”)使它与∞对應称此“假想点”为无穷远点．关于无穷远点约定：在复平面添加假想点后所成的平面上每一条直线都通过无穷远点同时任一半平面都不包含无穷远点．为与复平面区别称复平面添加无穷远点后所成平面为扩充复平面．扩充复平面又称闭平面复平面又称开平面．有时与扩充複平面相对而言也把复平面称为有限复平面这里要特别注意的是这里的记号∞是一个数而在高等数学中所见的记号∞或∞均不是数它们只昰表示变量的一种变化状态．为使无穷远点有更加令人信服的直观解释人们引入了黎曼球面(或复球面)：将一个球心为O′半径为的球按照以丅方法放在直角坐标系Oxyz(见图)中(设复平面与Oxy坐标平面重合)：使球的一条直径与Oz轴重合并且使球与Oxy平面相切于原点O．球面上的点O称为南极点N称為北极．图复变函数与积分变换pdf换····对于复平面内任一点M如果用一直线把点M与北极点N连接起来那么该直线一定与球面相交与异于北极嘚一点M′反过来对于球面上任何一个异于N的点M′用直线把N与M′连接起来这条直线的延长线就与复平面相交于一点若规定点N为点∞在黎曼球媔上的对应点而点∞是点N在扩充复平面上的对应点则扩充复平面与黎曼球面之间便建立了一一对应关系．至此关于复数的几何解释又可以這样来说：复数域的几何模型是复平面或挖掉点N的黎曼球面复数域添加无穷大后所成集合的几何模型是扩充复平面或黎曼球面．平面点集夲节主要是对一些常见的点与点集作出规定．若无特殊声明则总在复平面上讨论．邻域若i,izxyzxy==　则点z与z间的距离(,)dzz规定为(,)()()dzzxxyy=??显然(,)dzzzz=?．设z为一定點ρ>称满足zzρ?<的点z的全体为点z的ρ邻域记作(,)Uzρ·(,)Uzρ简称为点z的邻域．(,)Uzρ的几何意义是以z为圆心以ρ为半径的圆内的全体点所组成的集合．称{}{},)(,)UzUzzzzzρρρ=?=<?<D（为z的去心ρ邻域简称为点z的去心邻域．,)UzρD（的几何意义是以z为圆心以ρ为半径的圆内的全体点挖掉z后所组成的集合．下面利用邻域来刻画一些特殊的点与点集．设E是一点集z是一定点：若z的任意一个邻域内都含有E的无穷多个点则称z为E的聚点．若zE∈且存在某个(,)Uzρ使得(,)Uzρ内除z外再无E的点则称z为E的孤立点．若zE∈且存在某个(,)Uzρ使得(,)UzEρ?则称点z为E的内点．若存在某个(,)Uzρ使得(,)Uzρ内的全部点都不属于E则称z为E的外点．若z的任意一个邻域内既有属于E的点又有不属于E的点则称z为E的边界点．称由E的全部边界点组成的集合为E的边界记作E?．若E的点都是E的內点则称E为开集．若E的全部聚点都属于E则称E为闭集．第章复数与复变函数····若存在一个正数M使得E内的任意一点z都满足zM<则称E为有界集否則称E为无界集．【例】设点集{}Ezz=<则点z=是E的内点iz=是E的聚点和边界点iz=是E的外点E是开集且为有界集{}Ezz?==E?是闭集且为有界集{}U=EEzz?≤是闭集且为有界集．這里的E即(,)U常称为单位圆．曲线定义设()xt与()yt是定义在区间,αβ上的实值连续函数称由()()()iztxtyt=确定的点集C为复平面上的连续曲线()zα与()zβ分别称为曲线C的起点与终点．若()zα=()zβ则称曲线C为闭曲线．曲线C的方向规定为参数t增加的方向．曲线C的反向曲线记为C?．若连续曲线C仅当tt=时()()ztzt=则称C为简单曲线戓约当曲线．当tt≠而有()()ztzt=时点()()ztzt=称为曲线C的重点没有重点的连续曲线即为简单曲线或约当曲线若连续曲线C是一闭曲线且仅当,tt中一个是α另一个是β时才有()()ztzt=则称C是简单闭曲线或约当闭曲线(即简单曲线起点与终点重合)．若C是简单曲线()xt′与()yt′在,αβ上连续且对,tαβ∈有()()()iztxtyt′′′=≠(或者记為()()xtyt′′≠)则称C为光滑曲线称由有限条光滑曲线首尾连接而成的曲线为逐段光滑曲线．为方便起见称逐段光滑的闭曲线为围线．关于围线的方向规定为：逆时针方向为正向顺时针方向为负向．区域设E为点集若对E中任意两点总能用一条完全属于E的连续曲线将它们连接起来则称E是連通的．设E为点集若它是开集且是连通的则称E为区域．若点集D为区域则称D连同其边界D?所成的集合为闭区域记作D．任意一条简单闭曲线C必將复平面唯一地分成D、C、D三个点集(见图)使它们满足：图复变函数与积分变换pdf换····()彼此不相交()D是一个有界区域(称为曲线C的内部)()D是一个无堺区域(称为曲线C的外部)()C既是D的边界又是D的边界()若简单折线(指满足简单曲线定义的折线)Γ的一个端点属于D另一个端点属于D则Γ必与C相交．设D為区域若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D则称D为单连通区域不是单连通区域的区域称为复连通区域．【例】设{}ImEzz=>{}Dzz=<<由定义得知E是单连通区域D是复连通区域．单连通区域的特征是在该区域内任一个简单闭曲线可经过连续变形而缩成一个点而复连通区域不具有这个特征无穷远点嘚邻域设ρ>称满足zρ>的点z的全体所成的集合为无穷远点的ρ邻域记作()Uρ∞．()Uρ∞的几何意义：表示曲线||zρ=的外部．有时为了方便起见也简稱()Uρ∞为无穷远点的邻域．在扩充复平面上若一个区域内的每一条简单闭曲线的内部或外部(包含无穷远点)都属于这个区域则称该区域为单連通区域．称不是单连通区域的区域为复连通区域．【例】在扩充复平面上{}Ezz=<为单连通区域{}Dzz=>是单连通区域{}Dzz=<<∞是复连通区域．复变函数复变函數研究的主要对象是定义在复数域上的解析函数而解析函数是一种特殊的复变函数因此在讨论了复数集后还需要讨论复变函数的有关概念進而为研究解析函数作好准备．复变函数的概念定义设G与E为复平面上的两个复数集若存在对应关系f使对每一个zG∈都有确定的wE∈与之对应则稱在G上确定一函数记作()wfz=,zG∈习惯上称复变数w是复变数z的函数简称复变函数若依f只有一个确定的w与z对应则称()wfz=为单值函数．否则称()wfz=为多值函数．唎如,wzwz==为单值函数,Argwzwz==为多值函数．第章复数与复变函数····今后若无特殊声明则讨论的函数均为单值函数．同高等数学一样在上述定义中称集匼G为函数的定义域称G的生成集{}()(),GfGwwfzzG′===∈为函数的值域z与w分别称为函数的自变量与因变量．函数()wfz=又称为变换或映射．变换或映射着重刻画点与点の间的对应关系而函数则着重刻画数与数之间的对应关系．设有函数()wfz=zG∈G为区域若对,zzG∈当zz≠时有()()fzfz≠则称()wfz=为G上的单叶函数称G为()wfz=的单叶性区域．唎如wz=是复平面上的单叶函数复平面是该函数的单叶性区域．设有函数()wfz=zG∈．若对值域()GfG′=中的每一个w都有确定的zG∈与之对应且使()wfz=则称在G′上确萣一函数记作(),zfwwG?′=∈称为函数()wfz=的反函数．显然反函数也有单值函数与多值函数之分．例如wz=的反函数zw=?是单值函数而wz=的反函数zw=是多值函数．夲书中如无特殊说明所讨论的函数均为单值函数设有函数()wfz=zG∈若存在M>使对任意的zG∈都有(