a+b+c的平方÷sinA×sinB×sinC=？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-21 14:35 标签： a+b+c的平方

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展开用积化和差公式，整理为B再用余弦定理

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利用琴生不等式sinA+sinB+sinC≤3sin（（a+b+c的平方）/3） 琴生不等式　　 琴生（Jensen）不等式：（注意前提、等号成立条件）

　　同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立我们分别称它们为严格嘚凹凸函数

　　如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立

　　现在我们看看如何证明琴生不等式下面只对凸函数加以证明。

　　首先我们对n是2的幂加以证明用数学归纳法

　　假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1)

　　所以对于所有2的幂琴生不等式成立。

　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂我们可以找到一个k,使得2^k>n

　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论

　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式

　　显然，我们可以查看函数f(x)=x^2

　　所以我们可以得到对于任意x1,x2,...,xn,

　　也就是n阶平方平均不等式。

　　從上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦

　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

　　至于这个证明只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的（或者构造一个函数采用中值定理）

　　有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了

　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式

　　其中前面两个取f(x)=x^t就可以了

　　后面一个取f(x)=log(x)就鈳以了。

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